[数学]辽宁省部分学校2024届高三抢分卷(三)模拟试题(解析版)

这是一份[数学]辽宁省部分学校2024届高三抢分卷(三)模拟试题(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，若，则中所有元素之和为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】由得或，解得：或，
若，则，不符合题意；
若，，从而，
所以中所有元素之和为4，
故选：C．
2. 已知复数满足，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
所以.故选：B.
3. 已知随机变量，其中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由二项分布的知识得，
得，又，所以，
所以．
故选：D．
4. 某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数与可见叶片数进行分析研究，其关系可以用函数（为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（ ）（参考数据：，）
A. 15B. 16C. 17D. 18
【答案】C
【解析】由题意知，，则等式两边同时取自然对数得，，
．，，，，
故选：C．
5. 已知非零向量满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将两边同时平方，，
由得，
所以，整理得，
所以．
故选：A
6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的焦距为（ ）
A. B. C. 6D. 12
【答案】B
【解析】由已知条件及椭圆的定义可得，
故，，
设，因为椭圆的离心率为，所以，
由余弦定理可得，
则，故的面积为，故，
则，故椭圆的焦距为.
故选：B．
7. 已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设圆台与球的体积分别为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，高为，内切球的半径为，
显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则，，
由，整理得，而，解得，，
因此圆台的高，，
则圆台的体积，
内切球的体积，所以.
故选：D
8. 已知函数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】易知函数的定义域为．由可得，
所以函数是偶函数．易得，令，
则，当且仅当时取等号，
所以是增函数，又，故当时，，即在上单调递增．
由上分析知，当时， ，因，
故当时，，即“”是“”的充分条件；
当时，，可得，所以或，
即“”不是“”的必要条件．
故选：A．
二、选择题
9 已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】选项A：因为，，，所以，所以，故A正确．
选项B：，当且仅当时取等号，（利用基本不等式时注意取等号的条件）,故B正确．
选项C：，所以，当且仅当时取等号，故C错误．
选项D：，
当且仅当时取等号，（另解：，当且仅当时取等号）,故D正确．故选:ABD.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值是
B. 若，则在上单调递减
C. 若在上恰有3个零点，则的取值范围为
D. 函数的值域为
【答案】AC
【解析】
，
选项A：因为，所以，的最小值为，故A正确；
选项B：当时，，由得，
所以在上单调递增，故B错误；
选项C：由得，若在上恰有3个零点，
则，得，故C正确；
选项D：因为，所以，
所以，解得，故D错误．故选：AC.
11. 已知双曲线的左焦点、右焦点分别为双曲线的左、右顶点，过的直线分别交双曲线的左、右两支于点，交双曲线的右支于点（与不重合），关于的一条渐近线的对称点为，且与的周长之差为2，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的离心率为2
B. 的面积为
C. 过点作直线与双曲线交于点，若，则满足条件的直线只有1条
D. 若直线交双曲线的右支于两点，则为定值
【答案】ABD
【解析】选项A：设，因为分别为双曲线的左、右顶点，所以，
所以双曲线的离心率，故A正确．
选项B：因为与的周长之差为2，
所以，即，
得，，则，
不妨设关于渐近线对称，记交渐近线于点为坐标原点，
所以，所以，
在中，，，，所以，，
所以．
因为分别为的中点，所以， 故B正确．
选项C：由B可得的右焦点为，其方程为，
所以过点作直线与双曲线的右支交于点，此时通径最短，的最小值为12；
过点作直线与双曲线的左、右两支分别交于点，则的最小值为4．
故时，满足条件的直线有3条，故C错误．
选项D：由选项B可知双曲线的方程为，双曲线的方程为，，，
设，则，于是．
设直线的方程为，代入双曲线的方程消去得，
，
设，则，，
因为分别位于双曲线的左、右两支，所以，得，
于是
，所以．
因为，所以直线的方程为，同理可得，
于是，故D正确．故选：ABD.
三、填空题
12. 已知函数，则______．
【答案】5
【解析】
．故答案为：
13. 在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______．
【答案】
【解析】取的中点，连接，如图所示：
因为为的中点，为的中点，
则根据三角形的中位线定理可得，且.
所以为异面直线与所成的角或其补角．
因为在中，，，，
所以，则.
又，所以．
又在中，，,
所以由余弦定理可得：.
又因为在中，，
所以由余弦定理可得：.
则在中，由余弦定理可得，，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：.
14. 欧拉函数的函数值等于所有不超过且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如：，．记，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】在的整数中与不互质的数有，共有个，所以与互质的数有个，因此．
在的整数中，2的倍数共有个，5的倍数共有个，10的倍数共有个，所以．
所以，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，则恒成立等价于恒成立，
即恒成立，所以，
令，则，
所以，且，
所以，
所以，即实数的取值范围是
四、解答题
15. 已知函数，曲线在点处的切线与轴平行．
（1）求实数的值；
（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．
（1）解：因为函数，可得，
所以，即曲线在点处的切线的斜率为，
因为曲线在点处的切线与轴平行，所以，解得，
故实数的值为．
（2）解：由（1）知，
因为，所以由，即．
设，
则在上恒成立，
所以函数在上单调递减，所以，
所以，即实数的取值范围是．
16. 在①，②，③的面积为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
在锐角三角形中，角所对的边分别为，______．
（1）求；
（2）已知是的平分线与的交点，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：（1）方案一：选择条件①
，
，
，
，．
，．
方案二：选择条件②
，，
，，．
，，．
方案三：选择条件③
由题，，
，．
，
，，．
（2）是的平分线，
．
在中，，由正弦定理得，
，
是锐角三角形，
，，
，
的取值范围为．
17. 如图四棱台中，，平面，.
（1）证明：；
（2）若，，，求二面角的余弦值.
（1）证明：取的中点，连接，则，，
四边形为平行四边形，所以，，
，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为平面，，所以平面，
又平面，所以.
（2）解：因为平面，平面，所以，
由（1）得，，
以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，
，在四棱台中，四边形相似于四边形，
且相似比为，，所以，
，所以，
平面的一个法向量为，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则
所以，
由图可知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
18. 已知一个质点沿正四面体的棱做匀速运动，每秒钟都等可能地从正四面体的一个顶点运动到另一个顶点，且顶点是该质点的初始位置．
（1）若该质点第1秒运动到顶点，则第4秒运动到顶点不同运动路线有多少条？
（2）设该质点在3秒内经过顶点的次数为，求的分布列与数学期望；
（3）设该质点第秒恰好在顶点处的概率为，求数列的通项公式．
（1）解：根据题意，可作出如下树状图：
由图可知，第4秒运动到顶点的不同运动路线有7条．
（2）解：由题意知该质点从一个顶点运动到其他三个顶点的概率均为，
且随机变量所有可能取值为，
可得，，
．
所以的分布列为
所以，期望为．
（3）解：因为该质点在第秒恰好在顶点处的概率为，
所以第秒该质点不在顶点处的概率为，
所以，所以，
又由，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，所以．
19. 一般地，抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形，对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形．如图，，分别为抛物线的切线三角形和切点三角形，为该抛物线的焦点．当直线的斜率为时，中点的纵坐标为．
（1）求．
（2）若直线过点，直线分别与该抛物线的准线交于点，记点的纵坐标分别为，证明：为定值．
（3）若均不与坐标原点重合，证明：
解：（1）由题可知点均在该抛物线上，故设，，
由题意得当时，，
故，所以．
（2）由（1）得该抛物线的方程为，所以，准线为．
因为直线过点，所以与共线，
由题可知点在该抛物线上，故设，
则，，
所以，
因为，所以．
由题意知直线的斜率均存在且均不为，
易知直线的方程为，即，
令得，同理可得，
所以，
因为，所以，所以为定值．
（3）由题意知抛物线在三点处的切线的斜率都存在且不为．
设抛物线在点处的切线方程为，
与联立，消去并整理得，
由，解得．
所以抛物线在点处的切线方程为．
同理可得抛物线在点处切线方程为，
在点处的切线方程为．
由，解得，所以，
同理可得，，
又，，，
所以．
由两点间的距离公式得，
同理可得，，
所以
，
所以．
0
1
2