福建省福州延安中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

这是一份福建省福州延安中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题，共15页。试卷主要包含了下列函数中，关于的二次函数是，如果，则等于，元旦将至，九，已知点，，，都在二次函数等内容，欢迎下载使用。
（满分：150 分；时间：120 分钟）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．下列函数中，关于的二次函数是（ ）
A．B．C．D．
2．如果，则等于（ ）
A．B．C．D．6
3．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
4．某校九年级1班开展宪法知识竞赛，现抽取7位同学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是（ ）
A．平均数为81分B．众数为85分C．中位数为88分D．方差为19.6
5．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．B．C．D．
6．小张骑车从图书馆回家，中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回家．若小张骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小张500离家的距离（单位：米）与时间（单位：分钟）的对应关系如图所示，则文具店与小张家的距离为（ ）
A．400米B．300米C．200米D．100米
7．元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么所列方程为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是的中位线，点是上一点，且满足，则的面积与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
9．已知点，，，都在二次函数（a，b，c为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是（ ）
A．或B．或C．或D．或
10．古希腊数学家丢番图在《算术》中提到了一元二次方程的问题，欧几里得的《原本》中记载了形如的方程的图解法是：如图，画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正实数根等于（ ）
A．的长B．的长C．的长D．的长
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．如图，抛物线的对称轴是直线，关于的方程的一个根为，则另一个根为______．
12．某公司从德、能、勤、绩、廉等五方面按对员工进行年终考评．公司某职员在2023年度五个方面得分如图所示，则该职员的年终考评为______分．
13．如图，，若， ，则______．
14．如图，“爱心”图案是由函数的部分图象与其关于直线的对称图形组成．点是直线上方“受心”图案上的任意一点，点是其对称点．若，则点的坐标是______．
15．小明借助没有刻度的直尺，按照下图的顺序作出了的平分线，他这样做的数学原理是______．
16．现有y是关于x的二次函数，下列结论正确的是______．（填写正确的序号）
①当时，函数图象的顶点坐标为；
②当时，函数图象总过定点；
③当时，函数图象在轴上截得的线段的长度大于；
④若函数图象上任取不同的两点、，则当且时一定能使成立．
三．解答题（共9小题，共86分）
17．请用两种方法解这个方程：．
18．已知与成正比例，当时，．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）试判断点是否在（1）中的函数图象上，请说明理由．
19．已知关于$x$的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．
20．某校为了解学生在学校甲、乙超市的生活消费情况，各随机抽查了20名学生某一周（按周一至周五算）的消费金额（单位：元），并将数据进行收集、整理和分析．下面给出了部分信息．
a．消费金额的频数分布表如下：
b．乙超市消费金额在这一组的是：70707071717375
c．甲、乙两个超市消费金额的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中和的值；
（2）若甲超市该周的学生消费人数为500人，估计甲超市一个月（按4周算）的学生消费总金额．
21．茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元．且已知销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元．
（1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？
（2）由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？
22．已知：如图，在矩形ABCD中，E是边CD上的点，连接AE．
（1）尺规作图，以BC为边，C为顶点作，CF交线段AB于点F．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．
（2）求证：四边形AFCE为平行四边形．
23．某实验室在10℃~15℃的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长速度相同．为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，并通过实验研究其对幼苗生长速度的影响．
研究人员发现，在10℃~15℃范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律，且温度越高生长速度增大的幅度越大；但营养素超过一定量，则会抑制幼苗的生长速度，此外，在10℃~15℃范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，研究人员获得了两组数据，分别如表一表二所示．
表一在10℃下营养素不同的用量所对应的生长速度
表二在10℃~15℃范围内的不同温度下达到最大生长速度平均所需的营养素用量
（1）在10℃下营养素用量从增加到的过程中，该种幼苗的生长速度随之变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式；
（2）请判断实验室在10℃下使用营养素将该种幼苗从10mm培育到30mm，比不使用营养素是否能提前12天完成，并说明理由；
（3）请通过合理估计，用一个数学关系式大致描述在10℃~15℃范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直至达到最大的规律．
24．（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点，．求证：四边形是菱形，
（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，求四边形的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点，，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，，求的长．
25．已知抛物线，其中是实数．
（1）已知三个点，，，其中有一个点是抛物线的顶点，请选出该点并求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，抛物线与轴交于，两点（点在轴正半轴），与y轴交于点，抛物线的顶点的记为，
①若点在点，之间的抛物线上运动（不与点，重合），连接交于点，连接．记，的面积分别为，，求的最大值；
②过点G的直线l与抛物线的另一个交点为P，直线l与直线交于点F，过点F作的垂线，交抛物线于点，过的中点作于点．求证：．
福州延安中学2023-2024学年第二学期初二期末试卷
数学答案
（满分：150分；时间：120分钟）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
三．解答题（共9小题，共86分）
17．
【解答】解：方法一：，
或，
所以，；
方法二：，
，
，
，
所以，．
18．
【解答】解：（1）∵与成正比例，
∴设，
∵当时，，
∴，
解得：，
∴，即，
∴y与x的函数表达式为；
（2）点不在（1）中的函数图象上，理由如下：
在中，当时，，
∴点不在（1）中的函数图象上．
19．
【解答】（1）证明：∵
，
∴此方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴，，
∵此方程恰有一个根小于，
∴，解得，即的取值范围为．
20．
【解答】解：（1）（元），
∵第10和第11个数据为71和73，
∴（元），
即表中的值为80， 的值为72；
（2）（元），
答：估计甲超市一个月（按4周算）的学生消费总金额为160000元．
21．
【解答】解：（1）设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元．
根据题意，得，
解得，
∴A种茶具每套进价100元，B种茶具每套进价75元．
（2）再次购进A、B两种茶具时，A种茶具每套进价为（元），B种茶具每套进价为（元）．
设购进A种茶具x套，则购进B种茶具套．
根据题意，得，
解得；
设获得的利润为元，则，
∵，
∴W随x的增大而增大，
∵，
∴当时，W的值最大，，此时购进B种茶具（套），
购进种茶具30套、种茶具50套获得最大的利润，最大的利润是1900元．
22．
【解答】
（1）解：如图所示，即为所求；
$（2）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∴ 四边形为平行四边形．
23．
【解答】解：（1）设营养素用量为 ，该种幼苗的生长速度为 ，
∵在10℃~15℃范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律，
∴可设，
根据表二，函数图象经过，，代入可得
，
解得，
∴；
（2）不能提前12天完成，理由如下：
由表二可知，在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度是1mm/天，
∴不使用营养素时，该种幼苗从10mm培育到30mm所需的时间是天，由表三可知，在10℃下该种幼苗达到最大生长速度平均所需的营养素是，即，
代入（1）中所求函数解析式可得，
即该种幼苗在10℃使用营养素的最大生长速度是2.08mm/天，
此种情况下，该种幼苗在天内的生长高度为
，
∴不能提前12天完成；
（3）设营养素用量为 ，该种幼苗的生长速度为y ，
∵在10℃~15℃范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律，
∴可设，
∵在10℃~15℃的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长速度相同，结合表二可知，当时，都有，
∴，
即
∵在10℃~15℃范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变，
∴由（2）可知，在10℃~15℃范围内的不同温度下，，
且当y取最大值时，在10℃~15℃范围内的不同温度下，对应的营养素用量如表三中第二行数据所示，将，，，，逐一代入，分别可求得在10℃~15℃范围内的不同温度下解析式中相应的的值，如下表所示：
根据表中数据，的值与相应的温度值大致符合关系式为，
， 其中，
∴在10℃~15℃范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直至达到最大的规律可用关系式表示．
24．
【答案】（1）见详解：（2）；（3）．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵EF垂直平分AC，
∴，
∴，
∴，
∴四边形AFCE为平行四边形
∵，
∴平行四边形AFCE为菱形；
（2）解：过点作于，
由折叠可知：，，
在中，，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴四边形ABFH是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形ABFE的周长；
（3）解：过点A作，交的延长线于，过点作于，
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可知：，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∵，，
∴四边形ANFM是平行四边形
∵，
∴四边形是矩形
∴，
在中，，
∴，
在中，．
25．
【解答】（1）解：∵的顶点坐标为，
∴顶点在直线上，
当时，，
当时，，
∴顶点为，
∴抛物线为；
（2）①解：过点E作于点M，点D作于点N，如图1，
的面积为，，
的面积为，则，
∴，
令，则，
解得或，
∴，，
当时，，
∴；
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则直线的解析式为，
设，则直线的解析式为，
即，
整理得：，
则，
∵，
故当时，有最大值为，
即的最大值是；
②证明：连接QN和PN，过点P作与点H，如图2：设直线的解析式为：，将代入求得：，
故直线的解析式为：；
∵直线与直线交于点，
∴将点的纵坐标代入，
得：，
解得：，
∴，
∴点Q的横坐标，
∴，
∴，
∵直线与抛物线交于，两点，则，
整理得： ，
∴，
∵，
∴，即点的横坐标为，
∴，
∴，
∴，，
∵， 为的中点，
∴，即，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即为直角三角形，
又∵M为PQ的中点，
∴MN是斜边上的中线，
∴．消费金额x/元
甲超市
0
0
12
6
2
乙超市
1
4
7
3
5
超市
平均数
中位数
众数
甲
m
76
75
乙
76.85
n
70
营养素用量（mg）
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
该种幼苗的生长速度（mm/天）
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
1.5
1
温度（℃）
10
11
12
13
14
15
该种幼苗达到最大生长速度平均
所需的营养素用量（mg）
0.54
0.360
0.270
0.216
0.180
0.156
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
A
D
B
D
B
D
D
D
A
11
12
13
14
15
16
7.6
3
或
菱形的每一条对角线都平分它的一组对角
①②③
10
11
12
13
14
15
k
2
3
4
5
6
6.92