江苏省南京市秦淮中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题

这是一份江苏省南京市秦淮中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题，共15页。
A. B. C. D.
2.（5分）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，且，则
D.若，则
3.（5分）已知数据的平均数为10，方差为5，数据-1的平均数为，方差为，则（ ）
A. B.
C. D.
4.（5分）向量与不共线，，若与共线，则应满足（ ）
A. B.
C. D.
5.（5分）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件“第一枚向上点数为奇数”，事件“第二枚向上点数为偶数”，事件“两枚骰子向上点数之和为8”，事件“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则（ ）
A.与互斥 B.与相互独立
C.与互斥 D.与相互独立
6.（5分）在中，角对边分别为.若，则实数的值为（ ）
A.6 B.3 C. D.
7.（5分）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.（5分）已知，若，则实数的值（ ）
A.-3 B.3 C.2 D.-2
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
（多选）9.（6分）设复数（为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A.的共轭复数为
B.
C.在复平面内对应的点位于第二象限
D.
（多选）10.（6分）已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则为等腰三角形
C.若，则为锐角三角形
D.若，则三角形有两个解
（多选）11.（6分）如图，在棱长为的正方体中，分别是的中点，则（ ）
A.四点共面
B.若，则异面直线与所成角的正弦值为
C.平面截正方体所得截面为等腰梯形
D.若，则三棱锥的体积为
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12.（5分）一只不透明的口袋中装有形状､大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是__________.
13.（5分）已知，则__________.
14.（5分）在中，角所对的边分别为是的中线，且，则的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
16.（15分）某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照分成6组，制成如图所示的频率直方图.
（1）求频率直方图中的值，并估计这100名学生的平均成绩；
（2）若成绩在的为等级，的为等级，其他为等级，
①在这100名学生中用分层抽样的方法在三个等级中抽取25人，求从等级中抽取的人数.
②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有
一人为等级的概率.（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取）
17.（15分）如图，在平行四边形中，，垂足为为中点，
（1）若，求的长；
（2）设，求的值.
18.（17分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，在棱上且侧面，垂足为.
（1）求证：平面；
（2）若平面与直线交于点，证明：；
（3）侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值.
19.（17分）已知函数.
（1）若函数的图象关于直线轴对称，求实数的值.
（2）已知锐角的角对边分别是且当时满足.
（i）若的角平分线交边于，且，求的周长；
（ii）求的取值范围.
2023-2024学年江苏省南京市江宁区秦淮中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解.
【解答】解：复数，
则，其虚部为.
故选：C.
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题.
2.【分析】根据空间中直线与直线､直线与平面､平面与平面位置关系，分别判断，即可得解.
【解答】解：若，则或与异面，故A错误；
若，则或或与相交，相交也不一定垂直，故B错误；
若，且，当与相交时，，否则与不一定平行，故错误；若，则，故D正确.
故选：D.
【点评】本题考查空间中直线与直线､直线与平面､平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题.
3.【分析】根据平均数和方差公式计算即可.
【解答】解：数据的平均数为10，方差为5，
数据的平均数为，方差为.
故选：C.
【点评】本题主要考查了平均数和方差的性质，属于基础题.
4.【分析】由已知结合向量共线定理即可求解.
【解答】解：因为向量与不共线，，
若与共线，则存在实数，使得，
则，
所以，
则.
故选：C.
【点评】本题主要考查了向量共线定理的应用，属于基础题.
5.【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A､C，由相互独立事件的定义分析B､D，综合可得答案.
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，事件可以同时发生，如第一枚向上点数为3，第二枚向上点数为5，则事件不互斥，A错误；
对于B，事件不相互独立，B错误；
对于C，事件不会同时发生，则与互斥，C正确；
对于D，由C的结论，，但且，故，事件不相互独立，D错误.
故选：C.
【点评】本题考查互斥事件､相互独立事件的定义，注意相互独立事件的判断方法，属于基础题.
6.【分析】由条件及正弦定理化简得，进而求得，利用正弦定理求得.
【解答】解：因为，
所以由正弦定理得：，
所以，
化简得，
因为，所以，
所以，
又因为，所以，
由正弦定理得：.
故选：C.
【点评】本题考查正余弦定理和三角恒等变换，属于基础题.
7.【分析】依题意可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球，由可求出的长，进而可求，即为外接球的直径，从而可得外接球的表面积.
【解答】解：如图，因为面，四边形为正方形，所以可将四棱锥补成长方体，
则四棱锥的外接球也是长方体的外接球，
由面，所以就是与平面所成的角，
则，所以，
设四棱锥的外接球的半径为，
因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径，
所以，所以，
所以四棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
【点评】本题考查了四棱锥外接球的表面积计算，属于中档题.
8.【分析】根据两角和差的余弦公式可得出，两边平方即可求出的值.
【解答】解：，
，
，
，且，
，且，
.
故选：B.
【点评】本题考查了两角和差的余弦公式，二倍角的正弦公式，是基础题.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，复数模公式，复数的几何意义，即可求解.
【解答】解：，的共轭复数为，故A正确；
，故B错误；
在复平面内对应的点位于第二象限，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD.
【点评】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的定义，复数模公式，复数的几何意义，属于基础题.
10.【分析】选项A，结合正弦定理与大边对大角，即可判断；选项B，利用正弦定理化边为角，再结合两角差的正弦公式，即可得解；选项C，只能推出角为锐角，而角和无法确定；选项D，由，即可得解.
【解答】解：选项A，由正弦定理知，，
若，则，所以，即选项A正确；
选项B，由正弦定理及知，，
所以，所以，即，
所以为等腰三角形，即选项B正确；
选项C，若，则角为锐角，但角和无法确定，所以不一定为锐角三角形，即选
项C错误；
选项D，由题意知，，
所以，
所以满足题意的三角形有两个，即选项D正确.
故选：ABD.
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
11.【分析】根平行直线确定唯一平面，异面直线所成角的求法及余弦定理，正方体的对称性，三棱锥的体积公式，即可分别求解.
【解答】解：对A选项，根据题意可知，
四点共面，A选项正确；
对B选项，根据对称性可知，
异面直线与所成角即为或其补角，
又易知，
，
异面直线与所成角的余弦值为B选项错误；
对C选项，根据对称性可知平面截正方体所得截面为以为边长的正六边形，C选项错误；
对D选项，若，则到平面的距离等于的，即为，
又的面积为，
三棱锥的体积为选项正确.
故选：AD.
【点评】本题考查立体几何的综合应用，属中档题.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12.【分析】利用古典概型，结合超几何分布和组合数解题即可.
【解答】解：根据题意，得，
故恰有一球是黄球的概率为.
故答案为：.
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.
13.【分析】首先利用两点间的距离求出三角形的边长，进一步利用勾股定理的逆定理求出结果.
【解答】解：由于，所以，
由于，
所以为直角三角形，
故.
故答案为：1.
【点评】本题考查的知识点：两点间的距离公式，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题.
14.【分析】由题意可得，，结合向量数量积的性质及基本不等式即可求解.
【解答】解：因为是的中线，
所以，
两边平方得，，
即，
当且仅当时取等号，
所以，即的最大值为4.
故答案为：4.
【点评】本题主要考查了三角恒等变换，三角函数的定义，基本不等式等知识，考查了转化思想以及学生的数学运算能力，属于中档题.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系即可求出，然后即可求出，然后根据二倍角的正切公式即可得解；
（2）可求出的值，然后根据两角差的正弦公式即可得解.
【解答】解：（1），
，
，
；
（2），
，
，
.
【点评】本题考查了同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式，两角差的正弦公式，是基础题.
16.【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1求出的值，再利用平均数的定义求解；
（2）①根据分层抽样的定义求解；
②利用独立事件的概率乘法公式求解.
【解答】解：（1）由频率直方图知（0.004+0.022+0.030+0.028+m+0.004）×10=1，
，
名同学的平均成绩估计值为：
（分）；
（2）①由（1）知等级的频率为等级的人数为人，
等级的频率为等级的人数为人，
等级的频率为等级的人数为人，
抽取25人中等级中的人数为人；
②用频率代替概率，所以抽取一次，等级被抽中的概率为0.4，
抽取三次都没有抽中等级的概率为，
所以随机抽取3人至少有一人为等级的概率为.
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题.
17.【分析】（1）利用投影向量来求向量的数量积即可；
（2）先解三角形得到各边长，再利用向量知识来求解即可.
【解答】解：（1）是在方向上的投影向量，
，即.
（2）在中，，
，
，所以，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建系如图：
易知，因为为中点，
，
，
，
，解得，所以.
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，平面向量基本定理，考查运算求解能力，属于中档题.
18.【分析】（1）利用线面垂直的判定定即可得证；
（2）利用线面平行的性质定理即可得证；
（3）先证明为二面角的平面角，再计算即可.
【解答】解：（1）证明：因为侧面面，所以，
又因为四边形为正方形，所以，
又，
所以面，
因为侧面，
所以，
因为，且，
所以面；
（2）证明：因为底面为正方形，所以，
又因为平面平面，
所以平面，
又面，面平面，
所以；
（3）由题为等边三角形，，故为中点，
在线段上取点，使得，
因为是正方形，所以，
又，所以，
又因为底面底面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
设，
不妨设等边三角形的边长为2，
则，
所以在直角三角形中，.
【点评】本题考查空间线面位置关系的判定以及二面角的计算，属于中档题.
19.【分析】（1）根据对称性建立方程，即可求解；
（2）（i）根据正弦定理，角平分线的性质，余弦定理，即可求解；
（ii）根据向量数量积，正弦定理，构建三角函数模型，通过函数思想，即可求解.
【解答】解：（1）图象关于直线轴对称，
，
，
，
经检验：此时，满足，即时图象关于直线轴对称；
（2）（i）由正弦定理得：，
，
，
，
，
，即，
而，
是的角平分线，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的周长；
（ii），
，
，
，
将余弦定理分别代入整理可得：
，
由正弦定理得：，
，
，
，即
，
即的取值范围为.
【点评】本题考查三角函数的性质，向量的数量积的最值的求解，函数思想，化归转化思想，属难题.