山东省济南市市中区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

这是一份山东省济南市市中区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知，则下列不等式成立的是（ ）
A.B.C.D.
2.若分式的值为0，则的值为（ ）
A.2B.C.D.
3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.平行四边形B.矩形C.直角三角形D.正五边形
4.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A.B.
C.D.
5.如图，在中，于点，若，则（ ）
A.B.C.D.
6.若关于的分式方程有增根，则的值是（ ）
A.1B.C.2D.
7.下列判断中不正确的是（ ）
A.四个角相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
8.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A.B.C.且D.且
9.如图，的对角线、相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长为（ ）
A.3B.2C.1D.1.5
10.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值如下：若，，在一条直线上；若，，不在一条直线上.已知点坐标为，点坐标为，有下列结论：
①；
②若，，则点坐标为；
③满足的点，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上；
④若平面中任意一点满足，则满足条件的点的全体组成的图形面积为.
其中，正确结论的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
第II卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.填空题请直接填写答案.）
11.因式分解：______.
12.如图所示的地面由正六边形和菱形（所有菱形地砖都全等）两种地砖镶嵌而成，则的度数为______.
13.一元二次方程的一根是3，则另外一根是______.
14.如图，正比例函数（是常数，）的图象与一次函数的图象相交于点，点的纵坐标为4，则不等式的解集是______.
15.如图，在一块长为，宽为的矩形荒地上，要建造一个花园（阴影部分），使得花园的面积为荒地面积的，小明设计出如图所示的方案，则图中的值为______.
16.如图，正方形中，点在线段上，点在线段上，将四边形沿直线翻折，点的对应点恰好落在线段上，点的对应点为点，交于点，交于点.若正方形边长为4，长为1，则线段的长为______.
三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分6分）解不等式组，并写出它的整数解.
18.（本小题满分8分）解方程：
（1）；
（2）.
19.（本小题满分6分）如图，点为的对角线的中点，经过点的直线分别交的延长线，的延长线于点，，求证：.
20.（本小题满分6分）先化简，再求值：，其中.
21.（本小题满分8分）计算：
（1）已知一个多边形的内角和是，求这个多边形的边数；
（2）如图，小明从点出发，前进后向右转，再前进后又向右转，……，如此反复下去，直到他第一次回到出发点，他所走的路径构成了一个正多边形，求小明一共走了多少米.
22.（本小题满分8分）如图，等腰直角三角形中，，点从点开始沿边向点运动，过点作，，分别交，于，.
（1）四边形的形状是______；若设，则四边形的面积可表示为______.
（2）四边形的面积能为吗？如果能，请求出点与点之间的距离；如果不能，请说明理由.
23.（本小题满分10分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动.已知篮球的单价比足球单价多40元，用1600元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍.
（1）求足球和篮球的单价；
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过17500元，学校需要最少购买多少个足球？
24.（本小题满分10分）阅读理解
【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解.按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解.
①因式分解法求解特殊的三次方程：
将变形为，
.
.
.
.
或.
原方程有三个根：，，.
②换元法求解特殊的四次方程：
设，那么，于是原方程可变为，解得，，
当，时，；
当，时，；
原方程有四个根：，，，.
【应用新知】（1）仿照以上方法，按照要求解方程：
①（因式分解法）；
②（换元法）；
【拓展延伸】（2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值.
25.（本小题满分12分）已知和均为等腰直角三角形，，，，连接、，点是的中点，连接.
（1）特例探究
如图①，当点、分别在、上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______
（2）深入探究
如图2，当点、不在、上时，试判断（1）中的两个结论是否成立，若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由（仅就图2）的情形）；
（3）问题解决
将绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出的取值范围.
26.（本小题满分12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）.
（1）求直线的解析式；
（2）点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标；
（3）如图2，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点.且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种求解点坐标的过程.
图1图2
八年级数学期末测试 参考答案
一、选择题
二、填空题
11.12.6013.14.15.10
16.
三、解答题
17.（本小题满分6分）
解不等式组，并写出它的整数解.
解：由①得：
由②得：
不等式组的解集为：.
整数解为：，0，1
18.（本小题满分8分）
（1）解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
经检验，是原方程的解.
故原分式方程的解为.
（2），
，
或，
解得，.
19.（本小题满分6分）
证明：四边形是平行四边形，
，
，.
又点为的对角线的中点
，
.
.
即.
20.（本小题满分6分）
解：
，
当时，原式.
21.（本小题满分8分）
（1）解：设这个多边形的边数为，根据题意
解得，，
答：这个多边形的边数为9；
（2）所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，正多边形的外角和为
，（米）；
答：小明一共走了120米；
22.（本小题满分8分）
解：（1）平行四边形；
（2）四边形的面积能为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
点与点之间的距离为时，四边形的面积为；
23.（本小题满分10分）
解：（1）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：足球的单价是80元，篮球的单价是120元；
（2）设购买个足球，则购买个篮球，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为163.
答：最少购买163个足球.
24.（本小题满分10分）
（1）①，
，
，
，
，
.
或.
解方程得.
解方程得
，
故答案为：，，.
②，
设，则
方程变形为
，
，
当，时，无实根，舍去.
当，时，解得或；
原方程有两个根：，
（2）解：方程的解为：，
由于.
所以.
，
，.
.
当时，
原式
.
25.（本小题满分12分）
（1）；
（2）成立，
方法1：倍长中线
证明：延长到点，使，连接，，如图②，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
方法2：构造手拉手+中位线
证明：延长至，使得，连接，连接交于，交于.
和均为等腰直角三角形
易证是等腰直角三角形.
，，
点是的中点，
即
又
又点是的中点
是的中位线
，且
，且
（3）.
26.（本小题满分12分）
解：（1）一次函数，令，则，令，则，
，，即，，
将绕点顺时针旋转得，
，，
，，
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为；（方法不唯一）
（2）设，则，
轴，
点的纵坐标为，
将代入一次函数得：，
，即点的横坐标为，
，，
，，
，
，
，
点的坐标为；
（3）①为矩形的边时，如图，分别过点、作交直线于，作交直线于，在分别过点、作交直线于，作交直线于，则四边形、四边形均为矩形，
，，点为线段的中点，
，，
将绕点顺时针旋转得，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
点为线段的中点，
，，
；
设直线的解析式为，则，
直线的解析式为，
，，
，
可设直线的解析式为，
将代入得，，
，
直线的解析式为，
联立直线 得，
解得，
综上，为矩形的边时，点的坐标为或；（方法不唯一）
②为矩形的对角线时，如图，
，，
轴，
四边形为矩形，
轴，
点与点重合，
.
综上，以，，，为顶点的四边形为矩形时，点的坐标为或或.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
A
B
C
D
A
B
D
D
B