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人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题33一次函数与面积结合(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题33一次函数与面积结合(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了如图，一条直线经过点A等内容，欢迎下载使用。
1．已知O为坐标原点，过点A（1，2）的直线y=kx+b与x轴交于点B，且S△ABO=4，求k的值．
2．已知直线y=﹣3x+6与x轴交于A点，与y轴交于B点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线y=﹣3x+6与坐标轴围成的三角形的面积．
3．已知动点P以每秒2 cm的速度沿图(1)的边框按从B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图(2)中的图象表示．若AB=6 cm，试回答下列问题∶
（1）图（1）中的BC长是多少？
（2）图（2）中的a是多少？
（3）图（1）中的图形面积是多少？
（4）图（2）中的b是多少？
4．如图，已知一次函数 的图象经过A（－2，－1）， B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
5．如图，已知一次函数与正比例函数图像相交于点A ，与轴交于点B．
（1）求出m、n的值；
（2）求出的面积．
6．如图，一次函数y=kx+b的图象为直线l1，经过A（0，4）和D（4，0）两点；一次函数y=x+1的图象为直线l2，与x轴交于点C；两直线l1，l2相交于点B．
（1）求k、b的值；
（2）求点B的坐标；
（3）求△ABC的面积．
7．如图，一条直线经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线与直线AB相交于点C（3，），与轴相交于点D，求、的值以及△ACD的面积．
8．在平面直角坐标系中，O为原点，点，，，点D是y轴正半轴上的动点，连接交x轴于点E．
(1)如图①，若点D的坐标为，求的面积；
(2)如图②，若，求点D的坐标．
(3)如图③，若，请直接写出点D的坐标．
9．如图，在直角坐标系中，已知直线与x轴相交于点A与y轴交于点B．
(1)A、B两点坐标分别为________，________；
(2)点在x轴上，若点P是直线上的一个动点，当时，求点P的坐标．
10．已知，一次函数与的图像相交于点P，分别与y轴相交于点A、B．其中t为常数，且．
(1)求线段的长；
(2)试探索的面积是否是一个定值？若是，求出的面积；若不是，请说明理由；
(3)当t为何值时，的周长最小，并求出周长的最小值．
11．在平面直角坐标系中，原点为O，点P（m，n），已知一次函数的图象过点A（0，5），点B（﹣1，4）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当n＝0时，求PA+PB距离最短时m的值．
（3）当点P经过直线AB时，且△OAP的面积等于△OAB的面积的2倍时，求n的值．
12．在平面直角坐标系中，原点为O，已知一次函数的图象过点A（0，5），点B（-1，4）和点P（m，n）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当n=2时，求直线 AB，直线 OP与 x轴围成的图形的面积；
（3）当的面积等于的面积的2倍时，求n的值．
13．如图，已知直线y=x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
（1）求A，B两点的坐标；
（2）已知点C是线段AB上的一点，当S△AOC= S△AOB时，求直线OC的解析式．
14．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，过点B（4，0）的直线AB与直线OA相交于点A（3，1），动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）直线AB交y轴于点C，求△OAC的面积；
（3）当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，求出这时点M的坐标．
16．在平面直角坐标系中，为原点，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，如图①．
（1）点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________，直线的解析式为________．
（2）点是轴上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线，交直线于点．交直线于点（图②）．
①如图②，当点在轴的正半轴上时，若的面积为，求点的坐标；
②连接，若，求点的坐标．
17．如图，直线的解析表达式为：y=－3x＋3，且与x轴交于点D，直线经过点A，B，直线，交于点C．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）在直线上存在一点P，使得△ADP的面积是△ADC面积的2倍，请直接写出点P的坐标．
专题33 一次函数与面积结合
1．已知O为坐标原点，过点A（1，2）的直线y=kx+b与x轴交于点B，且S△ABO=4，求k的值．
答案：或−
分析：先表示出B点坐标为（− ，0）；再把A（1，2）代入y＝kx＋b得k＋b＝2，则b＝2−k，然后根据三角形面积公式得到×|−|×2＝4，即||＝4，所以||＝4，然后解方程即可．
【详解】把y＝0代入y＝kx＋b得kx＋b＝0，解得x＝−，
所以B点坐标为（−，0）；
把A（1，2）代入y＝kx＋b得k＋b＝2，则b＝2−k，
∵S△AOB＝4，
∴×|−|×2＝4，即||＝4，
∴||＝4，
解得k＝或−．
经检验，k的值都是原方程的解，且符合题意，
∴k＝或−．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
2．已知直线y=﹣3x+6与x轴交于A点，与y轴交于B点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线y=﹣3x+6与坐标轴围成的三角形的面积．
答案：（1）A（2，0），B（0，6）；（2）6．
【详解】试题分析：（1）分别令x=0、y=0求解即可得到与坐标轴的交点；
（2）根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：（1）当x=0时，y=﹣3x+6=6，
当y=0时，0=﹣3x+6，x=2．
所以A（2，0），B（0，6）；
（2）直线与坐标轴围成的三角形的面积=S△ABO=×2×6=6．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
3．已知动点P以每秒2 cm的速度沿图(1)的边框按从B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图(2)中的图象表示．若AB=6 cm，试回答下列问题∶
（1）图（1）中的BC长是多少？
（2）图（2）中的a是多少？
（3）图（1）中的图形面积是多少？
（4）图（2）中的b是多少？
答案：（1）8cm；（2）24cm2；（3）60cm2；（4）17
分析：（1）根据题意得：动点P在BC上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得BC的长；
（2）由（1）可得BC的长，又由AB=6cm，可以计算出△ABP的面积，计算可得a的值；
（3）分析图形可得，甲中的图形面积等于AB×AF-CD×DE，根据图象求出CD和DE的长，代入数据计算可得答案；
（4）计算BC+CD+DE+EF+FA的长度，又由P的速度，计算可得b的值．
【详解】（1）由图象知，当t由0增大到4时，点P由B C，∴BC==4×2=8(cm) ；
（2）a=S△ABC=×6×8=24(cm 2) ；
（3）同理，由图象知 CD=4cm，DE=6cm，则EF=2cm，AF=14 cm
∴图（1）中的图象面积为6×14-4×6=60cm 2 ；
（4）图（1）中的多边形的周长为(14+6)×2=40cm b=(40－6)÷2=17秒．
4．如图，已知一次函数 的图象经过A（－2，－1）， B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
答案：(1)；
(2)
分析：（1）先把A点和B点坐标代入y＝kx＋b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）令y＝0，即可确定D点坐标，根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOD＋S△BOD进行计算即可．
【详解】（1）解：把A（－2，－1），B（1，3）代入y＝kx＋b，得
，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：把x＝0代入得，
所以D点坐标为（0，），
所以△AOB的面积＝S△AOD＋S△BOD．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：①先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx＋b；②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
5．如图，已知一次函数与正比例函数图像相交于点A ，与轴交于点B．
（1）求出m、n的值；
（2）求出的面积．
答案：（1）n=4，m=2；（2）4．
【详解】试题分析：（1）把A（2，n）代入可求得n的值，再把A点的坐标代入求得m的值即可；（2）求得与轴的交点B的坐标，利用即可求得的面积．
试题解析：解：（1）∵点A（2，n）在函数的图象上，
∴
∴A（2，4）
∵点A（2，4）也在函数的图象上，
∴
解得：
（2）∵与轴交于点B，
∴令，则
∴B（－2，0）
∴
考点：一次函数．
6．如图，一次函数y=kx+b的图象为直线l1，经过A（0，4）和D（4，0）两点；一次函数y=x+1的图象为直线l2，与x轴交于点C；两直线l1，l2相交于点B．
（1）求k、b的值；
（2）求点B的坐标；
（3）求△ABC的面积．
答案：（1）k=-1,b=4; （2）B( ,);（3）△ABC的面积为3.75.
分析：（1）将A点和D点的坐标代入到一次函数的一般形式，求得k、b的值即可；
（2）两函数联立组成方程组求得方程组的解后即可求得点B的坐标；
（3）首先求得点C的坐标，然后利用S△ABC=S△ACD-S△BCD求解即可．
【详解】解：（1）把A（0，4）和D（4，0）代入y=kx+b得：
解得 ;
（2）由（1）得y=-x+4，联立
解得 ,
所以B（ ,);
（3）由y=x+1，当y=0时，x+1=0，解得x=-1，
所以点C（-1，0）
所以S△ABC=S△ACD-S△BCD=×5×4-×5×=3.75；
【点睛】本题考查两条直线平行或相交的问题，求两条直线的交点坐标时通常联立后组成方程组求解．
7．如图，一条直线经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线与直线AB相交于点C（3，），与轴相交于点D，求、的值以及△ACD的面积．
答案：（1）；（2）a=2，b=-4，S△ACD=3
分析：（1）通过待定系数法即可解答；
（2）将C（3，）代入确定C的坐标，然后再确定直线CD的解析式，再确定D的坐标，进而确定AD的长，然后运用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）设直线AB的解析式为
∵直线经过点A（5，0），B（1，4）
∴解得
∴直线AB的解析式为
（2）∵C（3，）在直线上
∴，即C（3，2）
把C（3，2）代入直线，得
∴
∴直线CD的解析式是．
当时，，，即D（2，0）
∴AD=5-2=3
∴．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及求三角形的面积，根据所给定点的坐标确定函数解析式是解答本题的关键．
8．在平面直角坐标系中，O为原点，点，，，点D是y轴正半轴上的动点，连接交x轴于点E．
(1)如图①，若点D的坐标为，求的面积；
(2)如图②，若，求点D的坐标．
(3)如图③，若，请直接写出点D的坐标．
答案：(1)5；
(2)；
(3)．
分析：（1）如图，连接，依据，结合各点坐标和三角形面积公式计算即可；
（2）结合已知求出，然后根据面积求出高，即可解决问题；
（3）设，直线的解析式为：代入法求得，
根据解析式求得，根据三角形面积公式分别求出、，结合解方程即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，连接，
，，，，
；
（2）解：，
，
；
（3）解：设，
直线的解析式为：，
则有：，
解得：，
，
令，解得，
，
，
，
，
，
整理得，
解得或（不符合题意，舍去），
．
【点睛】本题考查了三角形面积公式、代入法求一次函数解析式以及函数与坐标轴的交点坐标；解题的关键是掌握三角形面积公式，会求一次函数解析式及它与坐标轴的交点坐标．
9．如图，在直角坐标系中，已知直线与x轴相交于点A与y轴交于点B．
(1)A、B两点坐标分别为________，________；
(2)点在x轴上，若点P是直线上的一个动点，当时，求点P的坐标．
答案：(1)，；
(2)或
分析：（1）根据直线，令求出的值，令求出的值，即可得点、的坐标；
（2）分类讨论：点在轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点的坐标即可．
【详解】（1）解：对于直线，
当时，．
∴，
当时，，
∴，
∴．
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
①当点P在x轴下方时，
，
∴，
∵点P在x轴下方，
∴，
当时，代入得，，
解得．
∴；
②当点P在x轴上方时，
，
∴，
∵点P在x轴上方，
∴．
当时，代入得，，
解得．
∴，
综上所述，满足条件的点P的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积等知识，题中运用点的坐标与图形的知识求出相关线段的长度，注意分类讨论和“数形结合”数学思想的应用是解决问题的关键．
10．已知，一次函数与的图像相交于点P，分别与y轴相交于点A、B．其中t为常数，且．
(1)求线段的长；
(2)试探索的面积是否是一个定值？若是，求出的面积；若不是，请说明理由；
(3)当t为何值时，的周长最小，并求出周长的最小值．
答案：(1)6
(2)是，6
(3)，周长最小值为
分析：（1）分别令，求出y值，得到A和B的坐标，从而可得的长；
（2）求出点P坐标，利用三角形面积公式求出的面积即可；
（3）画出图形，分析得出要的周长最小，则要最小，作点A关于直线对称的点，连接，找到此时点P的位置，求出直线的表达式，可得点P坐标，可得t值，再根据点的坐标求出周长的最小值．
【详解】（1）解：在中，
令，则，
在中，
令，则，
∴，，
∴；
（2）∵图像相交于点P，
∴令，
解得：，代入中，
，
∴，
∴；
（3）如图，∵，
∴点P在直线上，
若要的周长最小，而，
∴当最小即可，
作点A关于直线对称的点，连接，与直线交于点P，
此时，设直线的表达式为，
则，解得：，
∴直线的表达式为，
令，则，即，
则，解得：，
此时，，
∴的周长最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数综合，最短路径问题，勾股定理，解题的关键是注意（3）中分析出要的周长最小，则要最小．
11．在平面直角坐标系中，原点为O，点P（m，n），已知一次函数的图象过点A（0，5），点B（﹣1，4）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当n＝0时，求PA+PB距离最短时m的值．
（3）当点P经过直线AB时，且△OAP的面积等于△OAB的面积的2倍时，求n的值．
答案：（1）y=x+5；（2）；（3）7或3
分析：（1）利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，此时PA+PB取最小值，根据点A的坐标可得出点A′的坐标，根据点A′、B的坐标利用待定系数法可求出直线A′B的表达式，再代入y=0求出x值即可得出结论．
（3）利用三角形面积公式得到 ，解得m=2或m=-2，然后利用一次函数解析式计算出对应的纵坐标即可．
【详解】解：（1）设这个一次函数的解析式是y=kx+b，把点A（0，5），点B（-1，4）的坐标代入得，
解得：
所以这个一次函数的解析式是y=x+5；
（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，此时PA+ PB取最小值，如图1所示．
∵点A的坐标为（0，5），
∴点A′的坐标为（0，-5）．
设直线A′B的表达式为y=ax+c，
将（-1，4）、（0，-5）代入y=ax+c，得
解得：
∴直线A′B的表达式为y=-9x-5．
当y=0时，-9x-5=0，
解得：x=，
∴PA+PB距离最短时m的值为．
（3）如图2，
∵当△OAP的面积等于△OAB的面积的2倍，
∴
∴m=2或m=-2，
即P点的横坐标为2或-2，
当x=2时，y=x+5=7，此时P（2，7）；
当x=-2时，y=x+5=3，此时P（-2，3）；
综上所述，n的值为7或3．
【点睛】本题考查了轴对称中最短路线问题以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出一次函数表达式；（2）找出PA+PB取最小值时点P的位置；（3）列出关于m的方程．
12．在平面直角坐标系中，原点为O，已知一次函数的图象过点A（0，5），点B（-1，4）和点P（m，n）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当n=2时，求直线 AB，直线 OP与 x轴围成的图形的面积；
（3）当的面积等于的面积的2倍时，求n的值．
答案：（1）；（2）；（3）n的值为7或3．
分析：（1）利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）设直线AB交x轴于C，如图，则C（-5，0），然后根据三角形面积公式计算即可；
（3）利用三角形面积公式得到 ，解得m=2或m=-2，然后利用一次函数解析式计算出对应的纵坐标即可．
【详解】解：（1）设这个一次函数的解析式是y=kx+b，
把点A（0，5），点B（-1，4）的坐标代入得：
，
解得：,
所以这个一次函数的解析式是y=x+5；
（2）设直线AB交x轴于C，
如图， 当y=0时，x+5=0，解得x=-5，
则C（-5，0），
当n=2时，，
即直线AB，直线OP与x轴围成的图形的面积为5；
（3）∵当的面积等于的面积的2倍，
∴，
∴m=2或m=-2，
即P点的横坐标为2或-2，
当x=2时，y=x+5=7，此时P（2，7）；
当x=-2时，y=x+5=3，此时P（-2，3）；
综上所述，n的值为7或3．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：考查了直线与坐标轴围成的图形的面积，掌握以上知识是解题的关键．
13．如图，已知直线y=x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
（1）求A，B两点的坐标；
（2）已知点C是线段AB上的一点，当S△AOC= S△AOB时，求直线OC的解析式．
答案：（1）点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为(0，2)；（2）y=-x
分析：（1）分别令y=0, x=0, 代入一次函数式，即可求出A、B点的坐标；
（2）先由OA和OB的长求出△AOB的面积，设C点坐标为（m,n），△AOC和△AOB等底不同高， 由 S△AOC= S△AOB 列式，求出C点的纵坐标n，把n代入一次函数式求出m, 从而得出C点坐标， 设直线OC的解析式为y=kx ，根据C点坐标用待定系数法求出k, 即可确定直线OC的函数解析式.
【详解】（1）解：∵直线y= x+2，
∴当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4
∵直线y= x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为(0，2)
（2）解：由(1)知，点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为(0，2)，
∴OA=4，OB=2，
∴S△AOB= =4
S△AOC= S△AOB ，
∴S△AOC=2
设点C的坐标为(m，n)
∴ =2，得n=1，
∵点C在线段AB上，
∴1= m+2，得m=-2
∴点C的坐标为(-2，1)
设直线OC的解析式为y=kx
-2k=1，得k=- ，
即直线OC的函数解析式为y=-x
【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质及三角形的面积公式.
14．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）C（﹣3，1），y＝x+2；（2）见解析；（3）存在，点N（﹣，0）或（，0）
分析：（1）过点C作CH⊥x轴于点H，根据直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，可得点A、B的坐标分别为：（0，2）、（﹣1，0），再证得△CHB≌△BOA，可得BH＝OA＝2，CH＝OB，即可求解；
（2）过点C作CH⊥x轴于点H，DF⊥x轴于点F，DG⊥y轴于点G，可先证明△BCH≌△BDF，得到BF=BH，再由B（-1，0），C（﹣3，1），可得到OF=OB=1，从而得到 DG=OB=1，进而证得△BOE≌△DGE，即可求证；
（3）先求出直线BC的表达式为，可得k＝ ，再求出点M（﹣6，0），从而得到S△BMC，S△BPN，即可求解．
【详解】解：（1）过点C作CH⊥x轴于点H，
令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（﹣1，0），
∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BCH，
∵∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，
∴△CHB≌△BOA（AAS），
∴BH＝OA＝2，CH＝OB，则点C（﹣3，1），
设直线AC的表达式为y＝mx+b ，
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+b得：
，解得：，
故直线AC的表达式为：y＝x+2；
（2）如图，过点C作CH⊥x轴于点H，DF⊥x轴于点F，DG⊥y轴于点G，
∵AC=AD，AB⊥CB，
∴BC=BD，
∵∠CBH=∠FBD，
∴△BCH≌△BDF，
∴BF=BH，
∵C（﹣3，1），
∴OH=3，
∵B（-1，0），
∴OB=1， BF=BH=2，
∴OF=OB=1，
∴DG=OB=1，
∵∠OEB=∠DEG，
∴△BOE≌△DGE，
∴BE=DE；
（3）设直线BC的解析式为 ，
把点C（﹣3，1），B（﹣1，0），代入，得：
，解得： ，
∴直线BC的表达式为：，
将点P坐标代入直线BC的表达式得：k＝ ，
∵直线AC的表达式为：y＝x+2，
∴点M（﹣6，0），
∴S△BMC＝MB×yC＝×5×1＝，
∴S△BPN＝S△BCM＝＝NB×＝NB，
解得：NB＝，
故点N（﹣，0）或（，0）．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，等腰三角形的性质，一次函数的性质和图象，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，一次函数的性质和图象是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，过点B（4，0）的直线AB与直线OA相交于点A（3，1），动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）直线AB交y轴于点C，求△OAC的面积；
（3）当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，求出这时点M的坐标．
答案：（1）y＝﹣x+4；（2）6；（3）M的坐标是：M1（1，）或M2（1，3）或M3（﹣1，5）
分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求得C的坐标，即OC的长，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．
【详解】解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：y＝﹣x+4；
（2）在y＝﹣x+4中，令x＝0，解得：y＝4，则OC=4，
S△OAC＝×4×3＝6；
（3）当M在线段OA时，
设OA的解析式是y＝mx，
把A（3，1）代入得：3m＝1，
解得：m＝，
则直线的解析式是：y＝x，
∵△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，
∴当M的横坐标是×3＝1，
在y＝x中，当x＝1时，y＝，
则M的坐标是（1，）；
当M在射线AC上时，
在y＝﹣x+4中，x＝1时，
则y＝3，
则M的坐标是（1，3）；
当M的横坐标是﹣1时，
在y＝﹣x+4中，当x＝﹣1时，y＝5，
则M的坐标是（﹣1，5）；
综上所述：M的坐标是：M1（1，）或M2（1，3）或M3（﹣1，5）．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，掌握待定系数法和一次函数的性质是解题的关键．
16．在平面直角坐标系中，为原点，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，如图①．
（1）点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________，直线的解析式为________．
（2）点是轴上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线，交直线于点．交直线于点（图②）．
①如图②，当点在轴的正半轴上时，若的面积为，求点的坐标；
②连接，若，求点的坐标．
答案：（1），；（2）①；②点P的坐标为或(
分析：（1）依据坐标轴上点的坐标特点可求得A、B的坐标，然后利用对称性可得到点C的坐标，接下来，利用待定系数法可求得BC的解析式；
（2）过点B作BD⊥PQ，垂足为D，先用含x的式子表示出PQ、BD的长，再用三角形面积公式进行计算即可；
（3）分情况讨论：①当点在轴的正半轴上时，先证明∠BAO＝∠OBM，可得，根据相似三角形的性质求出OM的长，即可得点P的横坐标，然后将点P的横坐标代入函数解析式可求得点P的坐标；②当点在轴的负半轴上时，同理求解即可．
【详解】解：（1）对于，由得：，
∴，
由得：，解得，
∴，
∵点与点关于轴对称，
∴，
设直线的函数解析式为，
则：，解得
∴直线BC的函数解析式为，
故答案为：；
（2）如图所示：过点作，垂足为，
设，则，，，
∴，
∵的面积为，
∴，
解得：（负值舍去)，
∴；
（3）分情况讨论：
①如图所示：当点在轴的正半轴上时．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
将代入得：，
∴；
②如图所示：当点在轴的负半轴上时，
同理可得：，
将代入得：，
∴，
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质等；其中用含x的式子表示BD和PQ的长是解答问题（2）的关键，证得，从而求得点P的横坐标是解答问题（3）的关键．
17．如图，直线的解析表达式为：y=－3x＋3，且与x轴交于点D，直线经过点A，B，直线，交于点C．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）在直线上存在一点P，使得△ADP的面积是△ADC面积的2倍，请直接写出点P的坐标．
答案：（1）D（1，0）；（2）；（3） ；（4）P1（8，6）或P2（0，-6）．
分析：（1）已知l1的解析式，令y＝0求出x的值即可；
（2）设l2的解析式为y＝kx+b，由图联立方程组求出k，b的值；
（3）联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出S△ADC；
（4）△ADP与△ADC底边都是AD，根据△ADP的面积是△ADC面积的2倍，可得点P的坐标．．
【详解】解：（1）由y＝﹣3x+3，令y＝0，得﹣3x+3＝0，
∴x＝1，
∴D（1，0）；
（2）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，
由图象知：x＝4，y＝0；x＝3，y=-，代入表达式y＝kx+b，
∴ ，
∴，
∴直线l2的解析表达式为；
（3）由，
解得，
∴C（2，﹣3），
∵AD＝3，
∴S△ADC＝×3×|﹣3|＝；
（4）∵△ADP与△ADC底边都是AD，△ADP的面积是△ADC面积的2倍，
∴△ADP高就是点C到直线AD的距离的2倍，
即C纵坐标的绝对值=6，则P到AD距离=6，
∴点P纵坐标是±6，
∵y=1.5x-6，y=6，
∴1.5x-6=6，
解得x=8，
∴P1（8，6）．
∵y=1.5x-6，y=-6，
∴1.5x-6=-6，
解得x=0，
∴P2（0，-6）
综上所述，P1（8，6）或P2（0，-6）．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，与坐标轴的交点坐标，两个一次函数图象的交点，三角形面积的计算等有关知识，难度中等．
1．已知O为坐标原点，过点A（1，2）的直线y=kx+b与x轴交于点B，且S△ABO=4，求k的值．
2．已知直线y=﹣3x+6与x轴交于A点，与y轴交于B点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线y=﹣3x+6与坐标轴围成的三角形的面积．
3．已知动点P以每秒2 cm的速度沿图(1)的边框按从B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图(2)中的图象表示．若AB=6 cm，试回答下列问题∶
（1）图（1）中的BC长是多少？
（2）图（2）中的a是多少？
（3）图（1）中的图形面积是多少？
（4）图（2）中的b是多少？
4．如图，已知一次函数 的图象经过A（－2，－1）， B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
5．如图，已知一次函数与正比例函数图像相交于点A ，与轴交于点B．
（1）求出m、n的值；
（2）求出的面积．
6．如图，一次函数y=kx+b的图象为直线l1，经过A（0，4）和D（4，0）两点；一次函数y=x+1的图象为直线l2，与x轴交于点C；两直线l1，l2相交于点B．
（1）求k、b的值；
（2）求点B的坐标；
（3）求△ABC的面积．
7．如图，一条直线经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线与直线AB相交于点C（3，），与轴相交于点D，求、的值以及△ACD的面积．
8．在平面直角坐标系中，O为原点，点，，，点D是y轴正半轴上的动点，连接交x轴于点E．
(1)如图①，若点D的坐标为，求的面积；
(2)如图②，若，求点D的坐标．
(3)如图③，若，请直接写出点D的坐标．
9．如图，在直角坐标系中，已知直线与x轴相交于点A与y轴交于点B．
(1)A、B两点坐标分别为________，________；
(2)点在x轴上，若点P是直线上的一个动点，当时，求点P的坐标．
10．已知，一次函数与的图像相交于点P，分别与y轴相交于点A、B．其中t为常数，且．
(1)求线段的长；
(2)试探索的面积是否是一个定值？若是，求出的面积；若不是，请说明理由；
(3)当t为何值时，的周长最小，并求出周长的最小值．
11．在平面直角坐标系中，原点为O，点P（m，n），已知一次函数的图象过点A（0，5），点B（﹣1，4）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当n＝0时，求PA+PB距离最短时m的值．
（3）当点P经过直线AB时，且△OAP的面积等于△OAB的面积的2倍时，求n的值．
12．在平面直角坐标系中，原点为O，已知一次函数的图象过点A（0，5），点B（-1，4）和点P（m，n）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当n=2时，求直线 AB，直线 OP与 x轴围成的图形的面积；
（3）当的面积等于的面积的2倍时，求n的值．
13．如图，已知直线y=x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
（1）求A，B两点的坐标；
（2）已知点C是线段AB上的一点，当S△AOC= S△AOB时，求直线OC的解析式．
14．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，过点B（4，0）的直线AB与直线OA相交于点A（3，1），动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）直线AB交y轴于点C，求△OAC的面积；
（3）当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，求出这时点M的坐标．
16．在平面直角坐标系中，为原点，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，如图①．
（1）点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________，直线的解析式为________．
（2）点是轴上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线，交直线于点．交直线于点（图②）．
①如图②，当点在轴的正半轴上时，若的面积为，求点的坐标；
②连接，若，求点的坐标．
17．如图，直线的解析表达式为：y=－3x＋3，且与x轴交于点D，直线经过点A，B，直线，交于点C．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）在直线上存在一点P，使得△ADP的面积是△ADC面积的2倍，请直接写出点P的坐标．
专题33 一次函数与面积结合
1．已知O为坐标原点，过点A（1，2）的直线y=kx+b与x轴交于点B，且S△ABO=4，求k的值．
答案：或−
分析：先表示出B点坐标为（− ，0）；再把A（1，2）代入y＝kx＋b得k＋b＝2，则b＝2−k，然后根据三角形面积公式得到×|−|×2＝4，即||＝4，所以||＝4，然后解方程即可．
【详解】把y＝0代入y＝kx＋b得kx＋b＝0，解得x＝−，
所以B点坐标为（−，0）；
把A（1，2）代入y＝kx＋b得k＋b＝2，则b＝2−k，
∵S△AOB＝4，
∴×|−|×2＝4，即||＝4，
∴||＝4，
解得k＝或−．
经检验，k的值都是原方程的解，且符合题意，
∴k＝或−．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
2．已知直线y=﹣3x+6与x轴交于A点，与y轴交于B点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线y=﹣3x+6与坐标轴围成的三角形的面积．
答案：（1）A（2，0），B（0，6）；（2）6．
【详解】试题分析：（1）分别令x=0、y=0求解即可得到与坐标轴的交点；
（2）根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：（1）当x=0时，y=﹣3x+6=6，
当y=0时，0=﹣3x+6，x=2．
所以A（2，0），B（0，6）；
（2）直线与坐标轴围成的三角形的面积=S△ABO=×2×6=6．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
3．已知动点P以每秒2 cm的速度沿图(1)的边框按从B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图(2)中的图象表示．若AB=6 cm，试回答下列问题∶
（1）图（1）中的BC长是多少？
（2）图（2）中的a是多少？
（3）图（1）中的图形面积是多少？
（4）图（2）中的b是多少？
答案：（1）8cm；（2）24cm2；（3）60cm2；（4）17
分析：（1）根据题意得：动点P在BC上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得BC的长；
（2）由（1）可得BC的长，又由AB=6cm，可以计算出△ABP的面积，计算可得a的值；
（3）分析图形可得，甲中的图形面积等于AB×AF-CD×DE，根据图象求出CD和DE的长，代入数据计算可得答案；
（4）计算BC+CD+DE+EF+FA的长度，又由P的速度，计算可得b的值．
【详解】（1）由图象知，当t由0增大到4时，点P由B C，∴BC==4×2=8(cm) ；
（2）a=S△ABC=×6×8=24(cm 2) ；
（3）同理，由图象知 CD=4cm，DE=6cm，则EF=2cm，AF=14 cm
∴图（1）中的图象面积为6×14-4×6=60cm 2 ；
（4）图（1）中的多边形的周长为(14+6)×2=40cm b=(40－6)÷2=17秒．
4．如图，已知一次函数 的图象经过A（－2，－1）， B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
答案：(1)；
(2)
分析：（1）先把A点和B点坐标代入y＝kx＋b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）令y＝0，即可确定D点坐标，根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOD＋S△BOD进行计算即可．
【详解】（1）解：把A（－2，－1），B（1，3）代入y＝kx＋b，得
，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：把x＝0代入得，
所以D点坐标为（0，），
所以△AOB的面积＝S△AOD＋S△BOD．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：①先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx＋b；②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
5．如图，已知一次函数与正比例函数图像相交于点A ，与轴交于点B．
（1）求出m、n的值；
（2）求出的面积．
答案：（1）n=4，m=2；（2）4．
【详解】试题分析：（1）把A（2，n）代入可求得n的值，再把A点的坐标代入求得m的值即可；（2）求得与轴的交点B的坐标，利用即可求得的面积．
试题解析：解：（1）∵点A（2，n）在函数的图象上，
∴
∴A（2，4）
∵点A（2，4）也在函数的图象上，
∴
解得：
（2）∵与轴交于点B，
∴令，则
∴B（－2，0）
∴
考点：一次函数．
6．如图，一次函数y=kx+b的图象为直线l1，经过A（0，4）和D（4，0）两点；一次函数y=x+1的图象为直线l2，与x轴交于点C；两直线l1，l2相交于点B．
（1）求k、b的值；
（2）求点B的坐标；
（3）求△ABC的面积．
答案：（1）k=-1,b=4; （2）B( ,);（3）△ABC的面积为3.75.
分析：（1）将A点和D点的坐标代入到一次函数的一般形式，求得k、b的值即可；
（2）两函数联立组成方程组求得方程组的解后即可求得点B的坐标；
（3）首先求得点C的坐标，然后利用S△ABC=S△ACD-S△BCD求解即可．
【详解】解：（1）把A（0，4）和D（4，0）代入y=kx+b得：
解得 ;
（2）由（1）得y=-x+4，联立
解得 ,
所以B（ ,);
（3）由y=x+1，当y=0时，x+1=0，解得x=-1，
所以点C（-1，0）
所以S△ABC=S△ACD-S△BCD=×5×4-×5×=3.75；
【点睛】本题考查两条直线平行或相交的问题，求两条直线的交点坐标时通常联立后组成方程组求解．
7．如图，一条直线经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线与直线AB相交于点C（3，），与轴相交于点D，求、的值以及△ACD的面积．
答案：（1）；（2）a=2，b=-4，S△ACD=3
分析：（1）通过待定系数法即可解答；
（2）将C（3，）代入确定C的坐标，然后再确定直线CD的解析式，再确定D的坐标，进而确定AD的长，然后运用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）设直线AB的解析式为
∵直线经过点A（5，0），B（1，4）
∴解得
∴直线AB的解析式为
（2）∵C（3，）在直线上
∴，即C（3，2）
把C（3，2）代入直线，得
∴
∴直线CD的解析式是．
当时，，，即D（2，0）
∴AD=5-2=3
∴．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及求三角形的面积，根据所给定点的坐标确定函数解析式是解答本题的关键．
8．在平面直角坐标系中，O为原点，点，，，点D是y轴正半轴上的动点，连接交x轴于点E．
(1)如图①，若点D的坐标为，求的面积；
(2)如图②，若，求点D的坐标．
(3)如图③，若，请直接写出点D的坐标．
答案：(1)5；
(2)；
(3)．
分析：（1）如图，连接，依据，结合各点坐标和三角形面积公式计算即可；
（2）结合已知求出，然后根据面积求出高，即可解决问题；
（3）设，直线的解析式为：代入法求得，
根据解析式求得，根据三角形面积公式分别求出、，结合解方程即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，连接，
，，，，
；
（2）解：，
，
；
（3）解：设，
直线的解析式为：，
则有：，
解得：，
，
令，解得，
，
，
，
，
，
整理得，
解得或（不符合题意，舍去），
．
【点睛】本题考查了三角形面积公式、代入法求一次函数解析式以及函数与坐标轴的交点坐标；解题的关键是掌握三角形面积公式，会求一次函数解析式及它与坐标轴的交点坐标．
9．如图，在直角坐标系中，已知直线与x轴相交于点A与y轴交于点B．
(1)A、B两点坐标分别为________，________；
(2)点在x轴上，若点P是直线上的一个动点，当时，求点P的坐标．
答案：(1)，；
(2)或
分析：（1）根据直线，令求出的值，令求出的值，即可得点、的坐标；
（2）分类讨论：点在轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点的坐标即可．
【详解】（1）解：对于直线，
当时，．
∴，
当时，，
∴，
∴．
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
①当点P在x轴下方时，
，
∴，
∵点P在x轴下方，
∴，
当时，代入得，，
解得．
∴；
②当点P在x轴上方时，
，
∴，
∵点P在x轴上方，
∴．
当时，代入得，，
解得．
∴，
综上所述，满足条件的点P的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积等知识，题中运用点的坐标与图形的知识求出相关线段的长度，注意分类讨论和“数形结合”数学思想的应用是解决问题的关键．
10．已知，一次函数与的图像相交于点P，分别与y轴相交于点A、B．其中t为常数，且．
(1)求线段的长；
(2)试探索的面积是否是一个定值？若是，求出的面积；若不是，请说明理由；
(3)当t为何值时，的周长最小，并求出周长的最小值．
答案：(1)6
(2)是，6
(3)，周长最小值为
分析：（1）分别令，求出y值，得到A和B的坐标，从而可得的长；
（2）求出点P坐标，利用三角形面积公式求出的面积即可；
（3）画出图形，分析得出要的周长最小，则要最小，作点A关于直线对称的点，连接，找到此时点P的位置，求出直线的表达式，可得点P坐标，可得t值，再根据点的坐标求出周长的最小值．
【详解】（1）解：在中，
令，则，
在中，
令，则，
∴，，
∴；
（2）∵图像相交于点P，
∴令，
解得：，代入中，
，
∴，
∴；
（3）如图，∵，
∴点P在直线上，
若要的周长最小，而，
∴当最小即可，
作点A关于直线对称的点，连接，与直线交于点P，
此时，设直线的表达式为，
则，解得：，
∴直线的表达式为，
令，则，即，
则，解得：，
此时，，
∴的周长最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数综合，最短路径问题，勾股定理，解题的关键是注意（3）中分析出要的周长最小，则要最小．
11．在平面直角坐标系中，原点为O，点P（m，n），已知一次函数的图象过点A（0，5），点B（﹣1，4）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当n＝0时，求PA+PB距离最短时m的值．
（3）当点P经过直线AB时，且△OAP的面积等于△OAB的面积的2倍时，求n的值．
答案：（1）y=x+5；（2）；（3）7或3
分析：（1）利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，此时PA+PB取最小值，根据点A的坐标可得出点A′的坐标，根据点A′、B的坐标利用待定系数法可求出直线A′B的表达式，再代入y=0求出x值即可得出结论．
（3）利用三角形面积公式得到 ，解得m=2或m=-2，然后利用一次函数解析式计算出对应的纵坐标即可．
【详解】解：（1）设这个一次函数的解析式是y=kx+b，把点A（0，5），点B（-1，4）的坐标代入得，
解得：
所以这个一次函数的解析式是y=x+5；
（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，此时PA+ PB取最小值，如图1所示．
∵点A的坐标为（0，5），
∴点A′的坐标为（0，-5）．
设直线A′B的表达式为y=ax+c，
将（-1，4）、（0，-5）代入y=ax+c，得
解得：
∴直线A′B的表达式为y=-9x-5．
当y=0时，-9x-5=0，
解得：x=，
∴PA+PB距离最短时m的值为．
（3）如图2，
∵当△OAP的面积等于△OAB的面积的2倍，
∴
∴m=2或m=-2，
即P点的横坐标为2或-2，
当x=2时，y=x+5=7，此时P（2，7）；
当x=-2时，y=x+5=3，此时P（-2，3）；
综上所述，n的值为7或3．
【点睛】本题考查了轴对称中最短路线问题以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出一次函数表达式；（2）找出PA+PB取最小值时点P的位置；（3）列出关于m的方程．
12．在平面直角坐标系中，原点为O，已知一次函数的图象过点A（0，5），点B（-1，4）和点P（m，n）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当n=2时，求直线 AB，直线 OP与 x轴围成的图形的面积；
（3）当的面积等于的面积的2倍时，求n的值．
答案：（1）；（2）；（3）n的值为7或3．
分析：（1）利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）设直线AB交x轴于C，如图，则C（-5，0），然后根据三角形面积公式计算即可；
（3）利用三角形面积公式得到 ，解得m=2或m=-2，然后利用一次函数解析式计算出对应的纵坐标即可．
【详解】解：（1）设这个一次函数的解析式是y=kx+b，
把点A（0，5），点B（-1，4）的坐标代入得：
，
解得：,
所以这个一次函数的解析式是y=x+5；
（2）设直线AB交x轴于C，
如图， 当y=0时，x+5=0，解得x=-5，
则C（-5，0），
当n=2时，，
即直线AB，直线OP与x轴围成的图形的面积为5；
（3）∵当的面积等于的面积的2倍，
∴，
∴m=2或m=-2，
即P点的横坐标为2或-2，
当x=2时，y=x+5=7，此时P（2，7）；
当x=-2时，y=x+5=3，此时P（-2，3）；
综上所述，n的值为7或3．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：考查了直线与坐标轴围成的图形的面积，掌握以上知识是解题的关键．
13．如图，已知直线y=x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
（1）求A，B两点的坐标；
（2）已知点C是线段AB上的一点，当S△AOC= S△AOB时，求直线OC的解析式．
答案：（1）点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为(0，2)；（2）y=-x
分析：（1）分别令y=0, x=0, 代入一次函数式，即可求出A、B点的坐标；
（2）先由OA和OB的长求出△AOB的面积，设C点坐标为（m,n），△AOC和△AOB等底不同高， 由 S△AOC= S△AOB 列式，求出C点的纵坐标n，把n代入一次函数式求出m, 从而得出C点坐标， 设直线OC的解析式为y=kx ，根据C点坐标用待定系数法求出k, 即可确定直线OC的函数解析式.
【详解】（1）解：∵直线y= x+2，
∴当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4
∵直线y= x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为(0，2)
（2）解：由(1)知，点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为(0，2)，
∴OA=4，OB=2，
∴S△AOB= =4
S△AOC= S△AOB ，
∴S△AOC=2
设点C的坐标为(m，n)
∴ =2，得n=1，
∵点C在线段AB上，
∴1= m+2，得m=-2
∴点C的坐标为(-2，1)
设直线OC的解析式为y=kx
-2k=1，得k=- ，
即直线OC的函数解析式为y=-x
【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质及三角形的面积公式.
14．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）C（﹣3，1），y＝x+2；（2）见解析；（3）存在，点N（﹣，0）或（，0）
分析：（1）过点C作CH⊥x轴于点H，根据直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，可得点A、B的坐标分别为：（0，2）、（﹣1，0），再证得△CHB≌△BOA，可得BH＝OA＝2，CH＝OB，即可求解；
（2）过点C作CH⊥x轴于点H，DF⊥x轴于点F，DG⊥y轴于点G，可先证明△BCH≌△BDF，得到BF=BH，再由B（-1，0），C（﹣3，1），可得到OF=OB=1，从而得到 DG=OB=1，进而证得△BOE≌△DGE，即可求证；
（3）先求出直线BC的表达式为，可得k＝ ，再求出点M（﹣6，0），从而得到S△BMC，S△BPN，即可求解．
【详解】解：（1）过点C作CH⊥x轴于点H，
令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（﹣1，0），
∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BCH，
∵∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，
∴△CHB≌△BOA（AAS），
∴BH＝OA＝2，CH＝OB，则点C（﹣3，1），
设直线AC的表达式为y＝mx+b ，
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+b得：
，解得：，
故直线AC的表达式为：y＝x+2；
（2）如图，过点C作CH⊥x轴于点H，DF⊥x轴于点F，DG⊥y轴于点G，
∵AC=AD，AB⊥CB，
∴BC=BD，
∵∠CBH=∠FBD，
∴△BCH≌△BDF，
∴BF=BH，
∵C（﹣3，1），
∴OH=3，
∵B（-1，0），
∴OB=1， BF=BH=2，
∴OF=OB=1，
∴DG=OB=1，
∵∠OEB=∠DEG，
∴△BOE≌△DGE，
∴BE=DE；
（3）设直线BC的解析式为 ，
把点C（﹣3，1），B（﹣1，0），代入，得：
，解得： ，
∴直线BC的表达式为：，
将点P坐标代入直线BC的表达式得：k＝ ，
∵直线AC的表达式为：y＝x+2，
∴点M（﹣6，0），
∴S△BMC＝MB×yC＝×5×1＝，
∴S△BPN＝S△BCM＝＝NB×＝NB，
解得：NB＝，
故点N（﹣，0）或（，0）．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，等腰三角形的性质，一次函数的性质和图象，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，一次函数的性质和图象是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，过点B（4，0）的直线AB与直线OA相交于点A（3，1），动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）直线AB交y轴于点C，求△OAC的面积；
（3）当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，求出这时点M的坐标．
答案：（1）y＝﹣x+4；（2）6；（3）M的坐标是：M1（1，）或M2（1，3）或M3（﹣1，5）
分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求得C的坐标，即OC的长，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．
【详解】解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：y＝﹣x+4；
（2）在y＝﹣x+4中，令x＝0，解得：y＝4，则OC=4，
S△OAC＝×4×3＝6；
（3）当M在线段OA时，
设OA的解析式是y＝mx，
把A（3，1）代入得：3m＝1，
解得：m＝，
则直线的解析式是：y＝x，
∵△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，
∴当M的横坐标是×3＝1，
在y＝x中，当x＝1时，y＝，
则M的坐标是（1，）；
当M在射线AC上时，
在y＝﹣x+4中，x＝1时，
则y＝3，
则M的坐标是（1，3）；
当M的横坐标是﹣1时，
在y＝﹣x+4中，当x＝﹣1时，y＝5，
则M的坐标是（﹣1，5）；
综上所述：M的坐标是：M1（1，）或M2（1，3）或M3（﹣1，5）．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，掌握待定系数法和一次函数的性质是解题的关键．
16．在平面直角坐标系中，为原点，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，如图①．
（1）点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________，直线的解析式为________．
（2）点是轴上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线，交直线于点．交直线于点（图②）．
①如图②，当点在轴的正半轴上时，若的面积为，求点的坐标；
②连接，若，求点的坐标．
答案：（1），；（2）①；②点P的坐标为或(
分析：（1）依据坐标轴上点的坐标特点可求得A、B的坐标，然后利用对称性可得到点C的坐标，接下来，利用待定系数法可求得BC的解析式；
（2）过点B作BD⊥PQ，垂足为D，先用含x的式子表示出PQ、BD的长，再用三角形面积公式进行计算即可；
（3）分情况讨论：①当点在轴的正半轴上时，先证明∠BAO＝∠OBM，可得，根据相似三角形的性质求出OM的长，即可得点P的横坐标，然后将点P的横坐标代入函数解析式可求得点P的坐标；②当点在轴的负半轴上时，同理求解即可．
【详解】解：（1）对于，由得：，
∴，
由得：，解得，
∴，
∵点与点关于轴对称，
∴，
设直线的函数解析式为，
则：，解得
∴直线BC的函数解析式为，
故答案为：；
（2）如图所示：过点作，垂足为，
设，则，，，
∴，
∵的面积为，
∴，
解得：（负值舍去)，
∴；
（3）分情况讨论：
①如图所示：当点在轴的正半轴上时．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
将代入得：，
∴；
②如图所示：当点在轴的负半轴上时，
同理可得：，
将代入得：，
∴，
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质等；其中用含x的式子表示BD和PQ的长是解答问题（2）的关键，证得，从而求得点P的横坐标是解答问题（3）的关键．
17．如图，直线的解析表达式为：y=－3x＋3，且与x轴交于点D，直线经过点A，B，直线，交于点C．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）在直线上存在一点P，使得△ADP的面积是△ADC面积的2倍，请直接写出点P的坐标．
答案：（1）D（1，0）；（2）；（3） ；（4）P1（8，6）或P2（0，-6）．
分析：（1）已知l1的解析式，令y＝0求出x的值即可；
（2）设l2的解析式为y＝kx+b，由图联立方程组求出k，b的值；
（3）联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出S△ADC；
（4）△ADP与△ADC底边都是AD，根据△ADP的面积是△ADC面积的2倍，可得点P的坐标．．
【详解】解：（1）由y＝﹣3x+3，令y＝0，得﹣3x+3＝0，
∴x＝1，
∴D（1，0）；
（2）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，
由图象知：x＝4，y＝0；x＝3，y=-，代入表达式y＝kx+b，
∴ ，
∴，
∴直线l2的解析表达式为；
（3）由，
解得，
∴C（2，﹣3），
∵AD＝3，
∴S△ADC＝×3×|﹣3|＝；
（4）∵△ADP与△ADC底边都是AD，△ADP的面积是△ADC面积的2倍，
∴△ADP高就是点C到直线AD的距离的2倍，
即C纵坐标的绝对值=6，则P到AD距离=6，
∴点P纵坐标是±6，
∵y=1.5x-6，y=6，
∴1.5x-6=6，
解得x=8，
∴P1（8，6）．
∵y=1.5x-6，y=-6，
∴1.5x-6=-6，
解得x=0，
∴P2（0，-6）
综上所述，P1（8，6）或P2（0，-6）．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，与坐标轴的交点坐标，两个一次函数图象的交点，三角形面积的计算等有关知识，难度中等．
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