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人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题03多边形及其内角和(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题03多边形及其内角和(原卷版+解析)，共19页。
◎考点1：多边形的概念与分类
多边形概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
凸多边形 概念：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形 概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）
例．(2023·河南周口·八年级期末）下列长度的三条线段与长度为4的线段首尾依次相连能组成四边形的是（ ）．
A．1，1，2，B．1，1，1C．1，2，2D．1，1，6
变式1．(2023·全国·八年级）下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各内角分别相等的多边形是正多边形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形
D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形
变式2．（2023·湖北·襄阳阳光学校八年级阶段练习）下列说法正确的是( )
A．一个多边形外角的个数与边数相同B．一个多边形外角的个数是边数的二倍
C．每个角都相等的多边形是正多边形D．每条边都相等的多边形是正多边形
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）如图，下面四边形的表示方法：①四边形ABCD；②四边形ACBD；③四边形ABDC；④四边形ADCB．其中正确的有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
◎考点2：多边形的对角线
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
【对角线条数】一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为
例．(2023·全国·八年级课时练习）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有3条对角线，则它的内角和是（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
变式1．(2023·湖北武汉·八年级期末）一个多边形的内角和等于1260°，从它的一个顶点出发，可以作对角线的条数是（ ）
A．4B．6C．7D．9
变式2．（2023·重庆巫溪·八年级期末）一个n边形的内角和为1080°，从这个n边形的一个顶点可画对角线的条数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
变式3．(2023·全国·八年级）下列说法正确的是（ ）
A．五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形是正五边形
B．正六边形各内角都相等，所以各内角都相等的六边形是正六边形
C．从n边形的一个顶点出发可以引（n-2）条对角线
D．n边形共有条对角线
◎考点3：多边形的内角和
n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°
例．(2023·全国·八年级）若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
变式1．(2023·全国·八年级）湖南革命烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志性建筑，塔于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业献身的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是（ ）
A．720°B．900°C．1080°D．1440°
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2000°，则这个内角是（ ）．
A．160°B．140°C．200°D．20°
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，小明从正八边形（各边相等，各内角也相等）草地的一边AB上一点S出发，步行一周回到原处在步行的过程中，小明转过的角度的和是（ ）
A．B．C．D．
◎考点4：多边形的外角和
n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
例．(2023·全国·八年级课时练习）若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10B．9C．8D．6
变式1.(2023·全国·八年级课时练习）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
变式2．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在六边形ABCDEF中，若，则（ ）
A．200°B．40°C．160°D．220°
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3等于（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
◎考点5：平面镶嵌
例．(2023·全国·八年级课时练习）下列正多边形的组合中，能够铺满地面不留缝隙的是（ ）.
A．正六边形和正五边形B．正八边形和正三角形
C．正五边形和正八边形D．正六边形和正三角形
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（ ）
A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正十二边形
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）在数学活动课中，我们学习过平面镶嵌，若给出如图所示的一些边长均为1的正三角形、正六边形卡片，要求必须同时使用这两种卡片，不重叠、无缝隙地围绕某一个顶点拼在一起，形成一个平面图案，则可拼出的不同图案共有（ ）．
A．2种B．3种C．4种
D．5种
变式3．（2023·河北·献县教育体育局教研室八年级期末）李刚同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是（ ）
A．（1）（2）（4）B．（2）（3）（4）
C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）
专题03 多边形及其内角和
【思维导图】
◎考点1：多边形的概念与分类
多边形概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
凸多边形 概念：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形 概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）
例．(2023·河南周口·八年级期末）下列长度的三条线段与长度为4的线段首尾依次相连能组成四边形的是（ ）．
A．1，1，2，B．1，1，1C．1，2，2D．1，1，6
答案：C
【解析】
分析：
将每个选项中的四条线段进行比较，任意三条线段的和都需大于另一条线段的长度，由此可组成四边形，据此解答．
【详解】
解：A、因为1+1+2=4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；
B、因为1+1+1<4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；
C、因为1+2+2>4，所以能构成四边形，故该项符合题意；
D、因为1+1+4=6，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查了多边形的构成特点：任意几条边的和大于另一条边长，正确理解多边形的构成特点是解题的关键．
变式1．(2023·全国·八年级）下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各内角分别相等的多边形是正多边形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形
D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形
答案：D
【解析】
分析：
正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，据此即可逐一判断.
【详解】
解：A、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；
B、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；
C、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；
D、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项正确；
故选：D
【点睛】
本题主要考查正多边形的定义，解题的关键是掌握正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.
变式2．（2023·湖北·襄阳阳光学校八年级阶段练习）下列说法正确的是( )
A．一个多边形外角的个数与边数相同B．一个多边形外角的个数是边数的二倍
C．每个角都相等的多边形是正多边形D．每条边都相等的多边形是正多边形
答案：B
【解析】
分析：
根据多边形外角的定义及正多边形的定义作答．
【详解】
A．由于任何一个多边形在每一个顶点处都有两个外角，所以一个多边形外角的个数是顶点个数的2倍，也是边数的2倍，故A错误；
B．正确；
C．如矩形，每个角都相等，但矩形不是正多边形，故C错误；
D．如菱形，每条边都相等，但菱形不是多边形，故D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形外角的定义及正多边形的定义．
多边形的边与它相邻的边的延长线组成的角叫做多边形的外角．一个n边形在每一个顶点处都有两个外角，因此，n边形有2n个外角．
每个角都相等，每条边也都相等的多边形是正多边形．
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）如图，下面四边形的表示方法：①四边形ABCD；②四边形ACBD；③四边形ABDC；④四边形ADCB．其中正确的有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
答案：B
【解析】
【详解】
根据题意，结合图形，
所给四边形的表示方法正确的有：
①四边形ABCD；④四边形ADCB.
故选B.
点睛：本题主要考查的是四边形的定义，熟练掌握四边形的表示方法是解题的关键.
◎考点2：多边形的对角线
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
【对角线条数】一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为
例．(2023·全国·八年级课时练习）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有3条对角线，则它的内角和是（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
答案：C
【解析】
分析：
根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，得到边数可得内角和．
【详解】
解：设这个多边形是n边形，
依题意，得n-3=3，
解得n=6，
故这个多边形的边数是6，
∴内角和是（6-2）×180°=720°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线和内角和公式，如果一个多边形有n条边，那么从多边形的一个顶点出发，可引对角线（n-3）条．
变式1．(2023·湖北武汉·八年级期末）一个多边形的内角和等于1260°，从它的一个顶点出发，可以作对角线的条数是（ ）
A．4B．6C．7D．9
答案：B
【解析】
分析：
先根据多边形内角和公式求出这个多边形的边数，再根据多边形一个顶点出发的对角线条数公式求解即可．
【详解】
解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，
∴，
∴从这个多边形一个顶点出发可以引9-3=6条对角线，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和公式，多边形一个顶点出发的对角线条数，正确求出这个多边形的边数是解题的关键．
变式2．（2023·重庆巫溪·八年级期末）一个n边形的内角和为1080°，从这个n边形的一个顶点可画对角线的条数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
答案：A
【解析】
分析：
根据n边形的内角和为1080°，求出n边形的边数，即可得出从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．
【详解】
解：∵n边形的内角和为1080°，
∴（n-2）×180°=1080°，
解得n=8，
∴8-3=5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理及多边形的对角线，熟记多边形的内角和计算公式是正确解答本题的基础，掌握从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键．
变式3．(2023·全国·八年级）下列说法正确的是（ ）
A．五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形是正五边形
B．正六边形各内角都相等，所以各内角都相等的六边形是正六边形
C．从n边形的一个顶点出发可以引（n-2）条对角线
D．n边形共有条对角线
答案：D
【解析】
分析：
根据正多边形的定义即可判断A、B两项，根据多边形对角线的性质和条数公式即可判断C、D两项，进而可得答案．
【详解】
解：A、五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形不一定是正五边形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、正六边形各内角都相等，但各内角都相等的六边形不一定是正六边形，故本选项说法错误，不符合题意；
C、从n边形的一个顶点出发可以引（n－3）条对角线，本选项说法错误，不符合题意；
D、n边形共有条对角线，故本选项说法正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的相关知识，属于基本题型，熟练掌握多边形的定义及其相关知识是解题的关键．
◎考点3：多边形的内角和
n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°
例．(2023·全国·八年级）若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
答案：C
【解析】
分析：
设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．
【详解】
解：（n−2）×180°＝720°，
∴n−2＝4，
∴n＝6．
∴这个多边形的边数为6．
故选：C．
【点睛】
设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解得n=6.故选C.本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键.
变式1．(2023·全国·八年级）湖南革命烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志性建筑，塔于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业献身的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是（ ）
A．720°B．900°C．1080°D．1440°
答案：C
【解析】
【详解】
解：（n﹣2）•180＝（8﹣2）×180°＝1080°．
故这个八边形的内角和是1080°．故选：C．
【点睛】
本题考查正多边的内角和公式，熟练掌握公式运算是解题的关键．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2000°，则这个内角是（ ）．
A．160°B．140°C．200°D．20°
答案：A
【解析】
分析：
设多边形的边数是n，没加的内角为x，根据多边形的内角和公式，进行计算即可得解．
【详解】
解：设多边形的边数是n，没加的内角为x，
根据题意得：，
∵，
∴，．
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式可得多边形的内角和是180°整数倍是解题的关键．
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，小明从正八边形（各边相等，各内角也相等）草地的一边AB上一点S出发，步行一周回到原处在步行的过程中，小明转过的角度的和是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据正八边形的内角和求出每个内角，再求出每次转过的角度45°，一共转8次，利用45°×8计算即可.
【详解】
解：∵ABCDEFGH为正八边形，
∴每个内角为（8-2）×180°÷8=135°，
小明每转一次转过的角为180°-135°=45°，
步行一周回到原处，小明一共转八次所有转过的角度之和为45°×8=360°，
故选:D．
【点睛】
本题考查正八边形的内角和、每个内角、外角与外角和，掌握正多边形相关知识是解题关键．
◎考点4：多边形的外角和
n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
例．(2023·全国·八年级课时练习）若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10B．9C．8D．6
答案：D
【解析】
分析：
根据多边形的外角和等于360°计算即可．
【详解】
解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．
变式1.(2023·全国·八年级课时练习）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
答案：A
【解析】
分析：
根据多边形内角和公式和任意多边形外角和为定值360°列方程求解即可．
【详解】
解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，
，
，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点多边形的内角和与外角和，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
变式2．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在六边形ABCDEF中，若，则（ ）
A．200°B．40°C．160°D．220°
答案：D
【解析】
分析：
根据多边形外角和定理进行求解即可．
【详解】
解：∵正六边形外角和为 ，
，
，
．
故选D．
【点睛】
本题考查了多边形外角和，牢记多边形的外角和等于是解题关键．
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3等于（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
答案：B
【解析】
分析：
先算出三个图形的内角是多少，再根据三个平角的和即可求出∠3的值．
【详解】
如图所示：
∵等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，
正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，
∴∠3+108°+∠BAC+∠1+60°+∠BCA+∠2+90°+∠ABC=540°（三个平角的为540°）
∠3＝540°-180°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2
＝10°．
故选：B．
【点睛】
本题考查多边形的内角和和外角和．找出图中的△ABC利用内角和是180°是解决本题的关键．
◎考点5：平面镶嵌
例．(2023·全国·八年级课时练习）下列正多边形的组合中，能够铺满地面不留缝隙的是（ ）.
A．正六边形和正五边形B．正八边形和正三角形
C．正五边形和正八边形D．正六边形和正三角形
答案：D
【解析】
分析：
正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【详解】
解：A.正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，120m+108n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
B.正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，正三角形的每个内角60°．135m+60n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
C.正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，108m+135n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
D.正六边形的每个内角是180°-360°÷6=120°，正三角形的每个内角是60°，2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360度，能铺满；
故选：D.
【点睛】
几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（ ）
A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正十二边形
答案：B
【解析】
分析：
判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
【详解】
A选项，2个正方形与3个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×90°+3×60°＝360°，不符合题意；
B选项，正五边形不能与正三角形进行平面镶嵌，因为正五边形的内角和108°．108°的整数倍与60°的整数倍的和不等于360°，符合题意；
C选项，2个正六边形与2个三角形能进行平面镶嵌，因为2×120°+2×60°＝360°，不符合题意；
D选项，2个正十二边形与1个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×150°+1×60°＝360°，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）在数学活动课中，我们学习过平面镶嵌，若给出如图所示的一些边长均为1的正三角形、正六边形卡片，要求必须同时使用这两种卡片，不重叠、无缝隙地围绕某一个顶点拼在一起，形成一个平面图案，则可拼出的不同图案共有（ ）．
A．2种B．3种C．4种
D．5种
答案：B
【解析】
分析：
正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°，若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【详解】
解：∵正三角形的内角为60°，正六边形的内角为120°，
设围绕某一个顶点拼在一起，成一个平面图案，用个正三角形、个正六边形，则
；采用列举法求解，从来讨论求值：
∴①当时，有两种图案，具体是或；
②当时，有一种图案，具体是；
故选：B．
【点睛】
考查了平面镶嵌（铺满）问题，记住几个常用正多边形的内角并能够用两种正多边形镶嵌的几个组合是解决问题的关键．
变式3．（2023·河北·献县教育体育局教研室八年级期末）李刚同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是（ ）
A．（1）（2）（4）B．（2）（3）（4）
C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）
答案：A
【解析】
分析：
分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】
解：（1）正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
（2）正方形的每个内角是90°，4个能密铺；
（3）正五边形每个内角是180°−360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺；
（4）正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．
◎考点1：多边形的概念与分类
多边形概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
凸多边形 概念：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形 概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）
例．(2023·河南周口·八年级期末）下列长度的三条线段与长度为4的线段首尾依次相连能组成四边形的是（ ）．
A．1，1，2，B．1，1，1C．1，2，2D．1，1，6
变式1．(2023·全国·八年级）下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各内角分别相等的多边形是正多边形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形
D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形
变式2．（2023·湖北·襄阳阳光学校八年级阶段练习）下列说法正确的是( )
A．一个多边形外角的个数与边数相同B．一个多边形外角的个数是边数的二倍
C．每个角都相等的多边形是正多边形D．每条边都相等的多边形是正多边形
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）如图，下面四边形的表示方法：①四边形ABCD；②四边形ACBD；③四边形ABDC；④四边形ADCB．其中正确的有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
◎考点2：多边形的对角线
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
【对角线条数】一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为
例．(2023·全国·八年级课时练习）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有3条对角线，则它的内角和是（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
变式1．(2023·湖北武汉·八年级期末）一个多边形的内角和等于1260°，从它的一个顶点出发，可以作对角线的条数是（ ）
A．4B．6C．7D．9
变式2．（2023·重庆巫溪·八年级期末）一个n边形的内角和为1080°，从这个n边形的一个顶点可画对角线的条数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
变式3．(2023·全国·八年级）下列说法正确的是（ ）
A．五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形是正五边形
B．正六边形各内角都相等，所以各内角都相等的六边形是正六边形
C．从n边形的一个顶点出发可以引（n-2）条对角线
D．n边形共有条对角线
◎考点3：多边形的内角和
n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°
例．(2023·全国·八年级）若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
变式1．(2023·全国·八年级）湖南革命烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志性建筑，塔于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业献身的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是（ ）
A．720°B．900°C．1080°D．1440°
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2000°，则这个内角是（ ）．
A．160°B．140°C．200°D．20°
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，小明从正八边形（各边相等，各内角也相等）草地的一边AB上一点S出发，步行一周回到原处在步行的过程中，小明转过的角度的和是（ ）
A．B．C．D．
◎考点4：多边形的外角和
n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
例．(2023·全国·八年级课时练习）若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10B．9C．8D．6
变式1.(2023·全国·八年级课时练习）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
变式2．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在六边形ABCDEF中，若，则（ ）
A．200°B．40°C．160°D．220°
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3等于（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
◎考点5：平面镶嵌
例．(2023·全国·八年级课时练习）下列正多边形的组合中，能够铺满地面不留缝隙的是（ ）.
A．正六边形和正五边形B．正八边形和正三角形
C．正五边形和正八边形D．正六边形和正三角形
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（ ）
A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正十二边形
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）在数学活动课中，我们学习过平面镶嵌，若给出如图所示的一些边长均为1的正三角形、正六边形卡片，要求必须同时使用这两种卡片，不重叠、无缝隙地围绕某一个顶点拼在一起，形成一个平面图案，则可拼出的不同图案共有（ ）．
A．2种B．3种C．4种
D．5种
变式3．（2023·河北·献县教育体育局教研室八年级期末）李刚同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是（ ）
A．（1）（2）（4）B．（2）（3）（4）
C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）
专题03 多边形及其内角和
【思维导图】
◎考点1：多边形的概念与分类
多边形概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
凸多边形 概念：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形 概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）
例．(2023·河南周口·八年级期末）下列长度的三条线段与长度为4的线段首尾依次相连能组成四边形的是（ ）．
A．1，1，2，B．1，1，1C．1，2，2D．1，1，6
答案：C
【解析】
分析：
将每个选项中的四条线段进行比较，任意三条线段的和都需大于另一条线段的长度，由此可组成四边形，据此解答．
【详解】
解：A、因为1+1+2=4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；
B、因为1+1+1<4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；
C、因为1+2+2>4，所以能构成四边形，故该项符合题意；
D、因为1+1+4=6，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查了多边形的构成特点：任意几条边的和大于另一条边长，正确理解多边形的构成特点是解题的关键．
变式1．(2023·全国·八年级）下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各内角分别相等的多边形是正多边形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形
D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形
答案：D
【解析】
分析：
正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，据此即可逐一判断.
【详解】
解：A、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；
B、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；
C、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；
D、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项正确；
故选：D
【点睛】
本题主要考查正多边形的定义，解题的关键是掌握正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.
变式2．（2023·湖北·襄阳阳光学校八年级阶段练习）下列说法正确的是( )
A．一个多边形外角的个数与边数相同B．一个多边形外角的个数是边数的二倍
C．每个角都相等的多边形是正多边形D．每条边都相等的多边形是正多边形
答案：B
【解析】
分析：
根据多边形外角的定义及正多边形的定义作答．
【详解】
A．由于任何一个多边形在每一个顶点处都有两个外角，所以一个多边形外角的个数是顶点个数的2倍，也是边数的2倍，故A错误；
B．正确；
C．如矩形，每个角都相等，但矩形不是正多边形，故C错误；
D．如菱形，每条边都相等，但菱形不是多边形，故D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形外角的定义及正多边形的定义．
多边形的边与它相邻的边的延长线组成的角叫做多边形的外角．一个n边形在每一个顶点处都有两个外角，因此，n边形有2n个外角．
每个角都相等，每条边也都相等的多边形是正多边形．
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）如图，下面四边形的表示方法：①四边形ABCD；②四边形ACBD；③四边形ABDC；④四边形ADCB．其中正确的有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
答案：B
【解析】
【详解】
根据题意，结合图形，
所给四边形的表示方法正确的有：
①四边形ABCD；④四边形ADCB.
故选B.
点睛：本题主要考查的是四边形的定义，熟练掌握四边形的表示方法是解题的关键.
◎考点2：多边形的对角线
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
【对角线条数】一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为
例．(2023·全国·八年级课时练习）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有3条对角线，则它的内角和是（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
答案：C
【解析】
分析：
根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，得到边数可得内角和．
【详解】
解：设这个多边形是n边形，
依题意，得n-3=3，
解得n=6，
故这个多边形的边数是6，
∴内角和是（6-2）×180°=720°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线和内角和公式，如果一个多边形有n条边，那么从多边形的一个顶点出发，可引对角线（n-3）条．
变式1．(2023·湖北武汉·八年级期末）一个多边形的内角和等于1260°，从它的一个顶点出发，可以作对角线的条数是（ ）
A．4B．6C．7D．9
答案：B
【解析】
分析：
先根据多边形内角和公式求出这个多边形的边数，再根据多边形一个顶点出发的对角线条数公式求解即可．
【详解】
解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，
∴，
∴从这个多边形一个顶点出发可以引9-3=6条对角线，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和公式，多边形一个顶点出发的对角线条数，正确求出这个多边形的边数是解题的关键．
变式2．（2023·重庆巫溪·八年级期末）一个n边形的内角和为1080°，从这个n边形的一个顶点可画对角线的条数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
答案：A
【解析】
分析：
根据n边形的内角和为1080°，求出n边形的边数，即可得出从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．
【详解】
解：∵n边形的内角和为1080°，
∴（n-2）×180°=1080°，
解得n=8，
∴8-3=5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理及多边形的对角线，熟记多边形的内角和计算公式是正确解答本题的基础，掌握从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键．
变式3．(2023·全国·八年级）下列说法正确的是（ ）
A．五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形是正五边形
B．正六边形各内角都相等，所以各内角都相等的六边形是正六边形
C．从n边形的一个顶点出发可以引（n-2）条对角线
D．n边形共有条对角线
答案：D
【解析】
分析：
根据正多边形的定义即可判断A、B两项，根据多边形对角线的性质和条数公式即可判断C、D两项，进而可得答案．
【详解】
解：A、五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形不一定是正五边形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、正六边形各内角都相等，但各内角都相等的六边形不一定是正六边形，故本选项说法错误，不符合题意；
C、从n边形的一个顶点出发可以引（n－3）条对角线，本选项说法错误，不符合题意；
D、n边形共有条对角线，故本选项说法正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的相关知识，属于基本题型，熟练掌握多边形的定义及其相关知识是解题的关键．
◎考点3：多边形的内角和
n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°
例．(2023·全国·八年级）若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
答案：C
【解析】
分析：
设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．
【详解】
解：（n−2）×180°＝720°，
∴n−2＝4，
∴n＝6．
∴这个多边形的边数为6．
故选：C．
【点睛】
设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解得n=6.故选C.本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键.
变式1．(2023·全国·八年级）湖南革命烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志性建筑，塔于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业献身的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是（ ）
A．720°B．900°C．1080°D．1440°
答案：C
【解析】
【详解】
解：（n﹣2）•180＝（8﹣2）×180°＝1080°．
故这个八边形的内角和是1080°．故选：C．
【点睛】
本题考查正多边的内角和公式，熟练掌握公式运算是解题的关键．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2000°，则这个内角是（ ）．
A．160°B．140°C．200°D．20°
答案：A
【解析】
分析：
设多边形的边数是n，没加的内角为x，根据多边形的内角和公式，进行计算即可得解．
【详解】
解：设多边形的边数是n，没加的内角为x，
根据题意得：，
∵，
∴，．
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式可得多边形的内角和是180°整数倍是解题的关键．
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，小明从正八边形（各边相等，各内角也相等）草地的一边AB上一点S出发，步行一周回到原处在步行的过程中，小明转过的角度的和是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据正八边形的内角和求出每个内角，再求出每次转过的角度45°，一共转8次，利用45°×8计算即可.
【详解】
解：∵ABCDEFGH为正八边形，
∴每个内角为（8-2）×180°÷8=135°，
小明每转一次转过的角为180°-135°=45°，
步行一周回到原处，小明一共转八次所有转过的角度之和为45°×8=360°，
故选:D．
【点睛】
本题考查正八边形的内角和、每个内角、外角与外角和，掌握正多边形相关知识是解题关键．
◎考点4：多边形的外角和
n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
例．(2023·全国·八年级课时练习）若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10B．9C．8D．6
答案：D
【解析】
分析：
根据多边形的外角和等于360°计算即可．
【详解】
解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．
变式1.(2023·全国·八年级课时练习）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
答案：A
【解析】
分析：
根据多边形内角和公式和任意多边形外角和为定值360°列方程求解即可．
【详解】
解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，
，
，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点多边形的内角和与外角和，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
变式2．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在六边形ABCDEF中，若，则（ ）
A．200°B．40°C．160°D．220°
答案：D
【解析】
分析：
根据多边形外角和定理进行求解即可．
【详解】
解：∵正六边形外角和为 ，
，
，
．
故选D．
【点睛】
本题考查了多边形外角和，牢记多边形的外角和等于是解题关键．
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3等于（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
答案：B
【解析】
分析：
先算出三个图形的内角是多少，再根据三个平角的和即可求出∠3的值．
【详解】
如图所示：
∵等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，
正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，
∴∠3+108°+∠BAC+∠1+60°+∠BCA+∠2+90°+∠ABC=540°（三个平角的为540°）
∠3＝540°-180°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2
＝10°．
故选：B．
【点睛】
本题考查多边形的内角和和外角和．找出图中的△ABC利用内角和是180°是解决本题的关键．
◎考点5：平面镶嵌
例．(2023·全国·八年级课时练习）下列正多边形的组合中，能够铺满地面不留缝隙的是（ ）.
A．正六边形和正五边形B．正八边形和正三角形
C．正五边形和正八边形D．正六边形和正三角形
答案：D
【解析】
分析：
正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【详解】
解：A.正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，120m+108n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
B.正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，正三角形的每个内角60°．135m+60n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
C.正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，108m+135n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
D.正六边形的每个内角是180°-360°÷6=120°，正三角形的每个内角是60°，2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360度，能铺满；
故选：D.
【点睛】
几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（ ）
A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正十二边形
答案：B
【解析】
分析：
判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
【详解】
A选项，2个正方形与3个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×90°+3×60°＝360°，不符合题意；
B选项，正五边形不能与正三角形进行平面镶嵌，因为正五边形的内角和108°．108°的整数倍与60°的整数倍的和不等于360°，符合题意；
C选项，2个正六边形与2个三角形能进行平面镶嵌，因为2×120°+2×60°＝360°，不符合题意；
D选项，2个正十二边形与1个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×150°+1×60°＝360°，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）在数学活动课中，我们学习过平面镶嵌，若给出如图所示的一些边长均为1的正三角形、正六边形卡片，要求必须同时使用这两种卡片，不重叠、无缝隙地围绕某一个顶点拼在一起，形成一个平面图案，则可拼出的不同图案共有（ ）．
A．2种B．3种C．4种
D．5种
答案：B
【解析】
分析：
正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°，若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【详解】
解：∵正三角形的内角为60°，正六边形的内角为120°，
设围绕某一个顶点拼在一起，成一个平面图案，用个正三角形、个正六边形，则
；采用列举法求解，从来讨论求值：
∴①当时，有两种图案，具体是或；
②当时，有一种图案，具体是；
故选：B．
【点睛】
考查了平面镶嵌（铺满）问题，记住几个常用正多边形的内角并能够用两种正多边形镶嵌的几个组合是解决问题的关键．
变式3．（2023·河北·献县教育体育局教研室八年级期末）李刚同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是（ ）
A．（1）（2）（4）B．（2）（3）（4）
C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）
答案：A
【解析】
分析：
分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】
解：（1）正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
（2）正方形的每个内角是90°，4个能密铺；
（3）正五边形每个内角是180°−360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺；
（4）正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．
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人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题19分式的运算-原卷版+解析： 这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题19分式的运算-原卷版+解析，共29页。
