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人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题07全等三角形的判定(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题07全等三角形的判定(原卷版+解析)，共34页。
◎题型1：全等三角形的判定-SSS
方法技巧：SSS指的是利用边边边证明三角形全等，只要找到对应边分别相等，即可证明！
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
备注：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
例．(2023·江苏苏州·七年级期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，要证，则只需证明，依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
变式1．（2023·广西·灵山县烟墩中学八年级期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点作射线．由此做法得的依据是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·福建省福州第十九中学七年级期末）如图，在平分角的仪器中，AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD分别与这个角的两边重合，能说明AC就是这个角的平分线的数学依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．AAS
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，△ABC≌△AED吗？试证明．
◎题型2：全等三角形的判定-SAS
方法技巧：SAS指的是利用边角边证明两三角形全等，这个角必须是两对应边的夹角，切不可看成是SSA，SSA是不能作为判定三角形全等的方法的。
（1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
备注：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
（2） 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
例．(2023·四川眉山·八年级期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
变式1．(2023·海南海口·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
变式2．(2023·江苏淮安·七年级期末）如图，在和中，，补充一个条件后，能直接应用“SAS”判定的是（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·甘肃兰州·中考真题）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的大小．
◎题型3：全等三角形的判定-ASA或AAS
方法技巧：此类主要是利用两角和一边，注意这个边可以是两角的夹边，也可以是角的对边或邻边！
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
备注：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
备注：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
例．(2023·江西抚州·七年级期末）如图，已知，，若可得，则判定这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．AAS
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点A，再在河的这一边选定点B和F，使AB⊥BF，并在垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上，因此证得△ABC≌△EDC，进而可得AB＝DE，即测得DE的长就是AB的长，则△ABC≌△EDC的理论依据是（ ）
A．SASB．HLC．ASAD．AAA
变式2．(2023·福建三明·七年级期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAA
变式3．(2023·江苏·八年级）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．
◎题型4：全等三角形的判定-HL
方法技巧：HL 只适用于直角三角形的判定，指的是一直角边和一斜边。
（1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
备注：1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
例．(2023·湖北荆州·八年级期末）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．BC=EFB．∠BCA=∠FC．AB∥DED．AD=CF
变式1．(2023·河南洛阳·八年级期末）如图，平分.于，于，则与的大小关系（ ）．
A．不能确定B．C．D．
变式2．(2023·浙江台州·八年级期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·江苏·八年级）如图，、相交于点，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
◎题型5：全等三角形的判定-综合应用
判定方法的选择
1、选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2、如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
例．(2023·辽宁抚顺·八年级期末）如图，AB＝DB，再添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBC的是（ ）
A．AC＝DCB．∠ACB＝∠DCBC．∠A＝∠D＝90°D．∠ABC＝∠DBC
变式1．（2023·河南洛阳·八年级期中）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4D．∠C＝90°，AB＝6
变式2．(2023·河北保定·八年级期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
变式3．（2023·河南郑州·一模）在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
那么小明和小强两位同学作图确定三角形的依据分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
◎题型6：尺规作图-作一个角等于已知角
例．(2023·河南驻马店·七年级期中）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
A．●表示点EB．◎表示PQC．⊙表示OQD．表示射线EF
变式1．(2023·浙江台州·二模）在△ABC中，D是AC上一点，利用尺规在AB上作出一点E，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·河南信阳·二模）图，点C在的边OB上，尺规作图痕迹显示的是（ ）
A．作线段CE的垂直平分线B．作的平分线C．连接EN，则是等边三角形D．作
变式3．(2023·全国·八年级）观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，能得出∠CPD=∠AOB的依据是（ ）
A．由“等边对等角”可得∠CPD=∠AOBB．由SSS可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD∠AOB
C．由SAS可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD∠AOBD．由ASA可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD∠AOB
◎题型7：尺规作图-作三角形
例．(2023·河北保定·一模）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则∠O的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
变式1．(2023·河南南阳·二模）作一个三角形与已知三角形全等：
已知：．
求作：，使得．
作法：如图．
（1）画；
（2）分别以点，为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．
这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是（ ）
A．AASB．ASAC．SASD．SSS
变式2．(2023·山西实验中学七年级期中）如图，点在的边上，利用尺规过点作的平行线，其作图过程如下：在OB上取一点D，以O圆心、OD为半径画弧，弧交OA于点F，再以C圆心、OD为半径画弧，该弧与CB交于点E，再以E为圆心、DF为半径画弧，圆心为C的弧与圆心为E的弧交于点M，作射线CM，则，，可得，进而可以得到，，以上作图过程中的依据不包括（ ）
A．圆的半径相等B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．同位角相等，两直线平行D．全等三角形的对应角相等
变式3．（2023·广东·广州市真光中学八年级期中）如图，用直尺和圆规作一个三角形O1A1B1，使得O1A1B1≌OAB的示意图，依据（ ）定理可以判定两个三角形全等
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作，∠DEF即为所求作的角．
专题06 全等三角形的判定
【思维导图】
◎题型1：全等三角形的判定-SSS
方法技巧：SSS指的是利用边边边证明三角形全等，只要找到对应边分别相等，即可证明！
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
备注：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
例．(2023·江苏苏州·七年级期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，要证，则只需证明，依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
答案：B
【解析】
分析：
根据SSS可以判断△COD≌△C′O′D′，进而得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是SSS．
【详解】
解：由题意可知，OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，
在△COD和△C′O′D′中，
，
∴△COD≌△C′O′D′（SSS），
∴∠AOB=∠A′O′B′．
故选：B．
【点睛】
本题考查基本作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
变式1．（2023·广西·灵山县烟墩中学八年级期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点作射线．由此做法得的依据是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
分析已知条件，找相等的条件进行分析即可作出正确选择．
【详解】
∵OM=ON，CM=CN，OC为公共边，
∴△MOC≌△NOC（SSS）．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
变式2．(2023·福建省福州第十九中学七年级期末）如图，在平分角的仪器中，AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD分别与这个角的两边重合，能说明AC就是这个角的平分线的数学依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．AAS
答案：A
【解析】
分析：
根据全等三角形的判定得出∠DAC=∠BAC，然后利用角平分线的定义即可证明．
【详解】
解：在∆ABC与∆ADC中，
，
∴∆ABC≌∆ADC，
∴∠DAC=∠BAC，
∴AC为∠BAD的角平分线，
故选：A．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键．
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，△ABC≌△AED吗？试证明．
答案：△ABC≌△AED,证明见解析.
【解析】
分析：
由BD=CE，得到BC=ED，根据“边、边、边”判定定理可得△ABC≌△AED．
【详解】
解：△ABC≌△AED.
证明：∵BD＝CE，
∴BC＋CD＝CD＋DE，
即BC＝ED.
在△ABC与△AED中，
∴△ABC≌△AED(SSS)
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，证得BC=ED是解题的关键．
◎题型2：全等三角形的判定-SAS
方法技巧：SAS指的是利用边角边证明两三角形全等，这个角必须是两对应边的夹角，切不可看成是SSA，SSA是不能作为判定三角形全等的方法的。
（1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
备注：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
（2） 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
例．(2023·四川眉山·八年级期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
答案：D
【解析】
分析：
图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】
解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出，
所以，依据是ASA．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
变式1．(2023·海南海口·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
答案：C
【解析】
分析：
利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定定理分析判断即可．
【详解】
解：∵ 平行四边形ABCD，
∴，，，．
∵ ，
∴，
在和中，
，
∴；
同理，在和中，
，
∴；
∵AE=CF，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
在和中，
，
∴；
综上，图中一共有3对全等三角形，
故选C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质定理、全等三角形的判定定理是解题的关键，注意认真观察图形，避免遗漏．
变式2．(2023·江苏淮安·七年级期末）如图，在和中，，补充一个条件后，能直接应用“SAS”判定的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据直接应用“SAS”判定，已知了，补充即可．
【详解】
解：∵，，
∴（SAS）
故选B
【点睛】
本题考查了SAS证明全等三角形，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
变式3．(2023·甘肃兰州·中考真题）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的大小．
答案：
【解析】
分析：
首先根据题意证明，然后根据全等三角形对应角相等即可求出的大小．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴在和中，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查了三角形全等的性质和判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质和判定方法．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
◎题型3：全等三角形的判定-ASA或AAS
方法技巧：此类主要是利用两角和一边，注意这个边可以是两角的夹边，也可以是角的对边或邻边！
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
备注：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
备注：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
例．(2023·江西抚州·七年级期末）如图，已知，，若可得，则判定这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．AAS
答案：B
【解析】
分析：
由得，结合已知条件，满足两组对角相等且夹边相等．
【详解】
解：∵ ，
∴，
∴，
又∵ ，，
∴在和中满足两组对角相等且夹边相等，
∴，
故答案为：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定条件，熟练掌握ASA，AAS，SSS，SAS，HL等全等三角形的判定方法是解题的关键．
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点A，再在河的这一边选定点B和F，使AB⊥BF，并在垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上，因此证得△ABC≌△EDC，进而可得AB＝DE，即测得DE的长就是AB的长，则△ABC≌△EDC的理论依据是（ ）
A．SASB．HLC．ASAD．AAA
答案：C
【解析】
分析：
根据已知条件CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，判断△ABC≌△EDC的依据即可．
【详解】
解：∵证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
变式2．(2023·福建三明·七年级期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAA
答案：C
【解析】
分析：
本题考查的是全等三角形的判定，由已知条件可知利用的是ASA，问题得解．
【详解】
解：在和中，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形判定的实际应用，掌握相关知识是解题关键．
变式3．(2023·江苏·八年级）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．
答案：见解析
【解析】
分析：
先利用平行线的性质得到∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再证明BC＝EF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF．
【详解】
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
◎题型4：全等三角形的判定-HL
方法技巧：HL 只适用于直角三角形的判定，指的是一直角边和一斜边！
（1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
备注：1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
例．(2023·湖北荆州·八年级期末）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．BC=EFB．∠BCA=∠FC．AB∥DED．AD=CF
答案：D
【解析】
分析：
根据题目给的条件可知道直角边和直角，因为需用“HL”的方法判定≌，故只能添上斜边这一条件，即可解答．
【详解】
解：∵，，
∴添加条件，根据“HL”即可判定≌；或添加条件，也可得出，根据“HL”即可判定≌，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了利用“HL”判定三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键．
变式1．(2023·河南洛阳·八年级期末）如图，平分.于，于，则与的大小关系（ ）．
A．不能确定B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据角平分线的性质定理可推出,再利用直角三角形全等的判定定理证明RT△OCP与RT△ODP全等即可．
【详解】
证明：∵ OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，
∴,∠OCP=∠ODP=90°．
在与中，
∴
∴OC＝OD，
故选：D．
【点睛】
本题考查角平分线的性质定理以及用HL证明直角三角形全等的应用，熟练掌握定理并灵活应用是解题的关键．
变式2．(2023·浙江台州·八年级期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
先根据，判断出≌．
【详解】
解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
，
≌，
故选：．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题．
变式3．(2023·江苏·八年级）如图，、相交于点，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
答案：(1)证明见解析
(2)
【解析】
分析：
（1）由可知和都是直角三角形，因为，，所以根据“”可以判定；
（2）先根据“直角三角形的两个锐角互余”求出的度数，再根据全等三角形的对应角相等求出的度数，则由即可求出的度数．
(1)
证明：∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴，
即；
(2)
解：∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴的度数为．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余等知识．根据“有斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”证明是解题的关键．
◎题型5：全等三角形的判定-综合应用
判定方法的选择
1、选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2、如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
例．(2023·辽宁抚顺·八年级期末）如图，AB＝DB，再添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBC的是（ ）
A．AC＝DCB．∠ACB＝∠DCBC．∠A＝∠D＝90°D．∠ABC＝∠DBC
答案：B
【解析】
分析：
由于AB＝DB，BC为公共边，则根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断．
【详解】
解：∵AB＝DB，BC＝BC，
∴当添加AC＝DC时，根据“SSS”可判断△ABC≌△DBC；
当添加∠A＝∠D时，根据“HL”可判断△ABC≌△DBC；
当添加∠ABC＝∠DBC时，根据“SAS”可判断△ABC≌△DBC．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
变式1．（2023·河南洛阳·八年级期中）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4D．∠C＝90°，AB＝6
答案：C
【解析】
分析：
根据全等三角形的判定，三角形的三边关系分别判断即可．
【详解】
解：A，AB＝3，BC＝4，CA＝8，不满足三角形三边关系，故此选项不符合题意．
B，AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，边边角三角形不能唯一确定，故此选项不符合题意．
C，∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4，角角边三角形唯一确定，故此选项符合题意．
D，∠C＝90°，AB＝6，一边一角三角形不能唯一确定，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
变式2．(2023·河北保定·八年级期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
答案：B
【解析】
分析：
认真阅读作法，可得出，结论可得．
【详解】
解：根据题意得：，
∴△ODM≌△CEN的依据是“”，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等．
变式3．（2023·河南郑州·一模）在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
那么小明和小强两位同学作图确定三角形的依据分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
答案：A
【解析】
分析：
分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】
解：∵小明同学先确定的是直角三角形的两条直角边，
∴确定依据是SAS定理；
∵小强同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边，
∴确定依据是HL定理．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是作图-复杂作图，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
◎题型6：尺规作图-作一个角等于已知角
例．(2023·河南驻马店·七年级期中）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
A．●表示点EB．◎表示PQC．⊙表示OQD．表示射线EF
答案：D
【解析】
分析：
根据用尺规作一个角等于已知角的性质分析，即可得到答案．
【详解】
根据题意，●表示点O，故选项A不正确；
◎表示OP或OQ，故选项B不正确；
⊙表示PQ，故选项C不正确；
表示射线EF，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握用尺规作一个角等于已知角的性质，从而完成求解．
变式1．(2023·浙江台州·二模）在△ABC中，D是AC上一点，利用尺规在AB上作出一点E，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AB的交点即为所求作的点．
【详解】
解：∵∠A=∠A，∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠B，
∴只需要作∠ADE=∠B即可满足∠AED=∠C，
∴只有D选项符合题意，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知三角形内角和定理和基本尺规作图方法是解题的关键．
变式2．(2023·河南信阳·二模）图，点C在的边OB上，尺规作图痕迹显示的是（ ）
A．作线段CE的垂直平分线B．作的平分线C．连接EN，则是等边三角形D．作
答案：D
【解析】
分析：
根据作图得出△ODM≌△CEN（SSS），得出∠MAD=∠NCE，得出OM∥CN即可．
【详解】
解：连结EN ,
在△ODM和△CEN中，
，
∴△ODM≌△CEN（SSS），
∴∠MAD=∠NCE，
∴OM∥CN，
故选D．
【点睛】
本题考查尺规作图，掌握基本作图，三角形全等判定与性质，平行线的判定是解题关键．
变式3．(2023·全国·八年级）观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，能得出∠CPD=∠AOB的依据是（ ）
A．由“等边对等角”可得∠CPD=∠AOBB．由SSS可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD∠AOB
C．由SAS可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD∠AOBD．由ASA可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD∠AOB
答案：B
【解析】
分析：
根据作图的步骤得出两个三角形的三条边对应相等，利用SSS可证，从而得出．
【详解】
解：根据作图过程可知：，，，
在和中，
，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了作一个角等于一个已知角，三角形全等的判定和性质，解题的关键是根据作图过程证明三角形全等．
◎题型7：尺规作图-作三角形
例．(2023·河北保定·一模）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则∠O的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
答案：C
【解析】
分析：
根据作图的方法得出△OBC是等边三角形，即可得到答案．
【详解】
解：连接BC， 由题意可得：OB=OC=BC，
则△OBC是等边三角形，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了基本作图：作等边三角形，再利用等边三角形的性质解题是关键．
变式1．(2023·河南南阳·二模）作一个三角形与已知三角形全等：
已知：．
求作：，使得．
作法：如图．
（1）画；
（2）分别以点，为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．
这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是（ ）
A．AASB．ASAC．SASD．SSS
答案：D
【解析】
分析：
根据SSS证明三角形全等即可．
【详解】
解：根据傻得，A′B′=AB，A′C′=AC；
在△A′B′C′和△ABC中，
，
∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．
故选：D．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
变式2．(2023·山西实验中学七年级期中）如图，点在的边上，利用尺规过点作的平行线，其作图过程如下：在OB上取一点D，以O圆心、OD为半径画弧，弧交OA于点F，再以C圆心、OD为半径画弧，该弧与CB交于点E，再以E为圆心、DF为半径画弧，圆心为C的弧与圆心为E的弧交于点M，作射线CM，则，，可得，进而可以得到，，以上作图过程中的依据不包括（ ）
A．圆的半径相等B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．同位角相等，两直线平行D．全等三角形的对应角相等
答案：B
【解析】
分析：
根据作一个角等于已知角的尺规作图法进行判断即可．
【详解】
根据圆的半径相等有：OF=OD=CE=CM，DF=ME，
则有△OFD≌△CME，
根据全等的性质：对应角相等有∠FOD=∠MCE，
根据同位角相等，两直线平行有：，
根据上述证明过程可知：B选项没有作为依据参与证明，
故选：B．
【点睛】
本题考查了作图—复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．
变式3．（2023·广东·广州市真光中学八年级期中）如图，用直尺和圆规作一个三角形O1A1B1，使得O1A1B1≌OAB的示意图，依据（ ）定理可以判定两个三角形全等
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
答案：A
【解析】
分析：
根据尺规作图－作已知三角形以及全等三角形的判定定理可得结论．
【详解】
解：用直尺和圆规作一个三角形O1A1B1，
在一条直线上取一点，以点为圆心，为半径作弧，
与直线交于点，
∴，
以为圆心，为半径作弧，
以为圆心，为半径作弧，
两弧交于点，
∴，，
∴O1A1B1≌OAB依据的是“边边边”，
故选：A．
【点睛】
本题考查了尺规作图－作已知三角形以及全等三角形的判定定理，熟练掌握作图方式以及全等三角形的判定定理是解本题的关键．
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作，∠DEF即为所求作的角．
◎题型1：全等三角形的判定-SSS
方法技巧：SSS指的是利用边边边证明三角形全等，只要找到对应边分别相等，即可证明！
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
备注：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
例．(2023·江苏苏州·七年级期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，要证，则只需证明，依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
变式1．（2023·广西·灵山县烟墩中学八年级期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点作射线．由此做法得的依据是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·福建省福州第十九中学七年级期末）如图，在平分角的仪器中，AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD分别与这个角的两边重合，能说明AC就是这个角的平分线的数学依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．AAS
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，△ABC≌△AED吗？试证明．
◎题型2：全等三角形的判定-SAS
方法技巧：SAS指的是利用边角边证明两三角形全等，这个角必须是两对应边的夹角，切不可看成是SSA，SSA是不能作为判定三角形全等的方法的。
（1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
备注：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
（2） 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
例．(2023·四川眉山·八年级期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
变式1．(2023·海南海口·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
变式2．(2023·江苏淮安·七年级期末）如图，在和中，，补充一个条件后，能直接应用“SAS”判定的是（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·甘肃兰州·中考真题）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的大小．
◎题型3：全等三角形的判定-ASA或AAS
方法技巧：此类主要是利用两角和一边，注意这个边可以是两角的夹边，也可以是角的对边或邻边！
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
备注：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
备注：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
例．(2023·江西抚州·七年级期末）如图，已知，，若可得，则判定这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．AAS
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点A，再在河的这一边选定点B和F，使AB⊥BF，并在垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上，因此证得△ABC≌△EDC，进而可得AB＝DE，即测得DE的长就是AB的长，则△ABC≌△EDC的理论依据是（ ）
A．SASB．HLC．ASAD．AAA
变式2．(2023·福建三明·七年级期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAA
变式3．(2023·江苏·八年级）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．
◎题型4：全等三角形的判定-HL
方法技巧：HL 只适用于直角三角形的判定，指的是一直角边和一斜边。
（1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
备注：1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
例．(2023·湖北荆州·八年级期末）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．BC=EFB．∠BCA=∠FC．AB∥DED．AD=CF
变式1．(2023·河南洛阳·八年级期末）如图，平分.于，于，则与的大小关系（ ）．
A．不能确定B．C．D．
变式2．(2023·浙江台州·八年级期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·江苏·八年级）如图，、相交于点，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
◎题型5：全等三角形的判定-综合应用
判定方法的选择
1、选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2、如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
例．(2023·辽宁抚顺·八年级期末）如图，AB＝DB，再添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBC的是（ ）
A．AC＝DCB．∠ACB＝∠DCBC．∠A＝∠D＝90°D．∠ABC＝∠DBC
变式1．（2023·河南洛阳·八年级期中）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4D．∠C＝90°，AB＝6
变式2．(2023·河北保定·八年级期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
变式3．（2023·河南郑州·一模）在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
那么小明和小强两位同学作图确定三角形的依据分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
◎题型6：尺规作图-作一个角等于已知角
例．(2023·河南驻马店·七年级期中）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
A．●表示点EB．◎表示PQC．⊙表示OQD．表示射线EF
变式1．(2023·浙江台州·二模）在△ABC中，D是AC上一点，利用尺规在AB上作出一点E，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·河南信阳·二模）图，点C在的边OB上，尺规作图痕迹显示的是（ ）
A．作线段CE的垂直平分线B．作的平分线C．连接EN，则是等边三角形D．作
变式3．(2023·全国·八年级）观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，能得出∠CPD=∠AOB的依据是（ ）
A．由“等边对等角”可得∠CPD=∠AOBB．由SSS可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD∠AOB
C．由SAS可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD∠AOBD．由ASA可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD∠AOB
◎题型7：尺规作图-作三角形
例．(2023·河北保定·一模）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则∠O的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
变式1．(2023·河南南阳·二模）作一个三角形与已知三角形全等：
已知：．
求作：，使得．
作法：如图．
（1）画；
（2）分别以点，为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．
这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是（ ）
A．AASB．ASAC．SASD．SSS
变式2．(2023·山西实验中学七年级期中）如图，点在的边上，利用尺规过点作的平行线，其作图过程如下：在OB上取一点D，以O圆心、OD为半径画弧，弧交OA于点F，再以C圆心、OD为半径画弧，该弧与CB交于点E，再以E为圆心、DF为半径画弧，圆心为C的弧与圆心为E的弧交于点M，作射线CM，则，，可得，进而可以得到，，以上作图过程中的依据不包括（ ）
A．圆的半径相等B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．同位角相等，两直线平行D．全等三角形的对应角相等
变式3．（2023·广东·广州市真光中学八年级期中）如图，用直尺和圆规作一个三角形O1A1B1，使得O1A1B1≌OAB的示意图，依据（ ）定理可以判定两个三角形全等
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作，∠DEF即为所求作的角．
专题06 全等三角形的判定
【思维导图】
◎题型1：全等三角形的判定-SSS
方法技巧：SSS指的是利用边边边证明三角形全等，只要找到对应边分别相等，即可证明！
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
备注：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
例．(2023·江苏苏州·七年级期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，要证，则只需证明，依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
答案：B
【解析】
分析：
根据SSS可以判断△COD≌△C′O′D′，进而得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是SSS．
【详解】
解：由题意可知，OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，
在△COD和△C′O′D′中，
，
∴△COD≌△C′O′D′（SSS），
∴∠AOB=∠A′O′B′．
故选：B．
【点睛】
本题考查基本作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
变式1．（2023·广西·灵山县烟墩中学八年级期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点作射线．由此做法得的依据是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
分析已知条件，找相等的条件进行分析即可作出正确选择．
【详解】
∵OM=ON，CM=CN，OC为公共边，
∴△MOC≌△NOC（SSS）．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
变式2．(2023·福建省福州第十九中学七年级期末）如图，在平分角的仪器中，AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD分别与这个角的两边重合，能说明AC就是这个角的平分线的数学依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．AAS
答案：A
【解析】
分析：
根据全等三角形的判定得出∠DAC=∠BAC，然后利用角平分线的定义即可证明．
【详解】
解：在∆ABC与∆ADC中，
，
∴∆ABC≌∆ADC，
∴∠DAC=∠BAC，
∴AC为∠BAD的角平分线，
故选：A．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键．
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，△ABC≌△AED吗？试证明．
答案：△ABC≌△AED,证明见解析.
【解析】
分析：
由BD=CE，得到BC=ED，根据“边、边、边”判定定理可得△ABC≌△AED．
【详解】
解：△ABC≌△AED.
证明：∵BD＝CE，
∴BC＋CD＝CD＋DE，
即BC＝ED.
在△ABC与△AED中，
∴△ABC≌△AED(SSS)
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，证得BC=ED是解题的关键．
◎题型2：全等三角形的判定-SAS
方法技巧：SAS指的是利用边角边证明两三角形全等，这个角必须是两对应边的夹角，切不可看成是SSA，SSA是不能作为判定三角形全等的方法的。
（1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
备注：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
（2） 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
例．(2023·四川眉山·八年级期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
答案：D
【解析】
分析：
图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】
解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出，
所以，依据是ASA．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
变式1．(2023·海南海口·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
答案：C
【解析】
分析：
利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定定理分析判断即可．
【详解】
解：∵ 平行四边形ABCD，
∴，，，．
∵ ，
∴，
在和中，
，
∴；
同理，在和中，
，
∴；
∵AE=CF，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
在和中，
，
∴；
综上，图中一共有3对全等三角形，
故选C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质定理、全等三角形的判定定理是解题的关键，注意认真观察图形，避免遗漏．
变式2．(2023·江苏淮安·七年级期末）如图，在和中，，补充一个条件后，能直接应用“SAS”判定的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据直接应用“SAS”判定，已知了，补充即可．
【详解】
解：∵，，
∴（SAS）
故选B
【点睛】
本题考查了SAS证明全等三角形，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
变式3．(2023·甘肃兰州·中考真题）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的大小．
答案：
【解析】
分析：
首先根据题意证明，然后根据全等三角形对应角相等即可求出的大小．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴在和中，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查了三角形全等的性质和判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质和判定方法．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
◎题型3：全等三角形的判定-ASA或AAS
方法技巧：此类主要是利用两角和一边，注意这个边可以是两角的夹边，也可以是角的对边或邻边！
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
备注：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
备注：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
例．(2023·江西抚州·七年级期末）如图，已知，，若可得，则判定这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．AAS
答案：B
【解析】
分析：
由得，结合已知条件，满足两组对角相等且夹边相等．
【详解】
解：∵ ，
∴，
∴，
又∵ ，，
∴在和中满足两组对角相等且夹边相等，
∴，
故答案为：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定条件，熟练掌握ASA，AAS，SSS，SAS，HL等全等三角形的判定方法是解题的关键．
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点A，再在河的这一边选定点B和F，使AB⊥BF，并在垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上，因此证得△ABC≌△EDC，进而可得AB＝DE，即测得DE的长就是AB的长，则△ABC≌△EDC的理论依据是（ ）
A．SASB．HLC．ASAD．AAA
答案：C
【解析】
分析：
根据已知条件CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，判断△ABC≌△EDC的依据即可．
【详解】
解：∵证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
变式2．(2023·福建三明·七年级期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAA
答案：C
【解析】
分析：
本题考查的是全等三角形的判定，由已知条件可知利用的是ASA，问题得解．
【详解】
解：在和中，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形判定的实际应用，掌握相关知识是解题关键．
变式3．(2023·江苏·八年级）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．
答案：见解析
【解析】
分析：
先利用平行线的性质得到∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再证明BC＝EF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF．
【详解】
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
◎题型4：全等三角形的判定-HL
方法技巧：HL 只适用于直角三角形的判定，指的是一直角边和一斜边！
（1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
备注：1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
例．(2023·湖北荆州·八年级期末）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．BC=EFB．∠BCA=∠FC．AB∥DED．AD=CF
答案：D
【解析】
分析：
根据题目给的条件可知道直角边和直角，因为需用“HL”的方法判定≌，故只能添上斜边这一条件，即可解答．
【详解】
解：∵，，
∴添加条件，根据“HL”即可判定≌；或添加条件，也可得出，根据“HL”即可判定≌，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了利用“HL”判定三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键．
变式1．(2023·河南洛阳·八年级期末）如图，平分.于，于，则与的大小关系（ ）．
A．不能确定B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据角平分线的性质定理可推出,再利用直角三角形全等的判定定理证明RT△OCP与RT△ODP全等即可．
【详解】
证明：∵ OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，
∴,∠OCP=∠ODP=90°．
在与中，
∴
∴OC＝OD，
故选：D．
【点睛】
本题考查角平分线的性质定理以及用HL证明直角三角形全等的应用，熟练掌握定理并灵活应用是解题的关键．
变式2．(2023·浙江台州·八年级期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
先根据，判断出≌．
【详解】
解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
，
≌，
故选：．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题．
变式3．(2023·江苏·八年级）如图，、相交于点，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
答案：(1)证明见解析
(2)
【解析】
分析：
（1）由可知和都是直角三角形，因为，，所以根据“”可以判定；
（2）先根据“直角三角形的两个锐角互余”求出的度数，再根据全等三角形的对应角相等求出的度数，则由即可求出的度数．
(1)
证明：∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴，
即；
(2)
解：∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴的度数为．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余等知识．根据“有斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”证明是解题的关键．
◎题型5：全等三角形的判定-综合应用
判定方法的选择
1、选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2、如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
例．(2023·辽宁抚顺·八年级期末）如图，AB＝DB，再添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBC的是（ ）
A．AC＝DCB．∠ACB＝∠DCBC．∠A＝∠D＝90°D．∠ABC＝∠DBC
答案：B
【解析】
分析：
由于AB＝DB，BC为公共边，则根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断．
【详解】
解：∵AB＝DB，BC＝BC，
∴当添加AC＝DC时，根据“SSS”可判断△ABC≌△DBC；
当添加∠A＝∠D时，根据“HL”可判断△ABC≌△DBC；
当添加∠ABC＝∠DBC时，根据“SAS”可判断△ABC≌△DBC．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
变式1．（2023·河南洛阳·八年级期中）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4D．∠C＝90°，AB＝6
答案：C
【解析】
分析：
根据全等三角形的判定，三角形的三边关系分别判断即可．
【详解】
解：A，AB＝3，BC＝4，CA＝8，不满足三角形三边关系，故此选项不符合题意．
B，AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，边边角三角形不能唯一确定，故此选项不符合题意．
C，∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4，角角边三角形唯一确定，故此选项符合题意．
D，∠C＝90°，AB＝6，一边一角三角形不能唯一确定，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
变式2．(2023·河北保定·八年级期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
答案：B
【解析】
分析：
认真阅读作法，可得出，结论可得．
【详解】
解：根据题意得：，
∴△ODM≌△CEN的依据是“”，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等．
变式3．（2023·河南郑州·一模）在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
那么小明和小强两位同学作图确定三角形的依据分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
答案：A
【解析】
分析：
分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】
解：∵小明同学先确定的是直角三角形的两条直角边，
∴确定依据是SAS定理；
∵小强同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边，
∴确定依据是HL定理．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是作图-复杂作图，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
◎题型6：尺规作图-作一个角等于已知角
例．(2023·河南驻马店·七年级期中）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
A．●表示点EB．◎表示PQC．⊙表示OQD．表示射线EF
答案：D
【解析】
分析：
根据用尺规作一个角等于已知角的性质分析，即可得到答案．
【详解】
根据题意，●表示点O，故选项A不正确；
◎表示OP或OQ，故选项B不正确；
⊙表示PQ，故选项C不正确；
表示射线EF，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握用尺规作一个角等于已知角的性质，从而完成求解．
变式1．(2023·浙江台州·二模）在△ABC中，D是AC上一点，利用尺规在AB上作出一点E，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AB的交点即为所求作的点．
【详解】
解：∵∠A=∠A，∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠B，
∴只需要作∠ADE=∠B即可满足∠AED=∠C，
∴只有D选项符合题意，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知三角形内角和定理和基本尺规作图方法是解题的关键．
变式2．(2023·河南信阳·二模）图，点C在的边OB上，尺规作图痕迹显示的是（ ）
A．作线段CE的垂直平分线B．作的平分线C．连接EN，则是等边三角形D．作
答案：D
【解析】
分析：
根据作图得出△ODM≌△CEN（SSS），得出∠MAD=∠NCE，得出OM∥CN即可．
【详解】
解：连结EN ,
在△ODM和△CEN中，
，
∴△ODM≌△CEN（SSS），
∴∠MAD=∠NCE，
∴OM∥CN，
故选D．
【点睛】
本题考查尺规作图，掌握基本作图，三角形全等判定与性质，平行线的判定是解题关键．
变式3．(2023·全国·八年级）观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，能得出∠CPD=∠AOB的依据是（ ）
A．由“等边对等角”可得∠CPD=∠AOBB．由SSS可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD∠AOB
C．由SAS可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD∠AOBD．由ASA可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD∠AOB
答案：B
【解析】
分析：
根据作图的步骤得出两个三角形的三条边对应相等，利用SSS可证，从而得出．
【详解】
解：根据作图过程可知：，，，
在和中，
，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了作一个角等于一个已知角，三角形全等的判定和性质，解题的关键是根据作图过程证明三角形全等．
◎题型7：尺规作图-作三角形
例．(2023·河北保定·一模）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则∠O的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
答案：C
【解析】
分析：
根据作图的方法得出△OBC是等边三角形，即可得到答案．
【详解】
解：连接BC， 由题意可得：OB=OC=BC，
则△OBC是等边三角形，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了基本作图：作等边三角形，再利用等边三角形的性质解题是关键．
变式1．(2023·河南南阳·二模）作一个三角形与已知三角形全等：
已知：．
求作：，使得．
作法：如图．
（1）画；
（2）分别以点，为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．
这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是（ ）
A．AASB．ASAC．SASD．SSS
答案：D
【解析】
分析：
根据SSS证明三角形全等即可．
【详解】
解：根据傻得，A′B′=AB，A′C′=AC；
在△A′B′C′和△ABC中，
，
∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．
故选：D．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
变式2．(2023·山西实验中学七年级期中）如图，点在的边上，利用尺规过点作的平行线，其作图过程如下：在OB上取一点D，以O圆心、OD为半径画弧，弧交OA于点F，再以C圆心、OD为半径画弧，该弧与CB交于点E，再以E为圆心、DF为半径画弧，圆心为C的弧与圆心为E的弧交于点M，作射线CM，则，，可得，进而可以得到，，以上作图过程中的依据不包括（ ）
A．圆的半径相等B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．同位角相等，两直线平行D．全等三角形的对应角相等
答案：B
【解析】
分析：
根据作一个角等于已知角的尺规作图法进行判断即可．
【详解】
根据圆的半径相等有：OF=OD=CE=CM，DF=ME，
则有△OFD≌△CME，
根据全等的性质：对应角相等有∠FOD=∠MCE，
根据同位角相等，两直线平行有：，
根据上述证明过程可知：B选项没有作为依据参与证明，
故选：B．
【点睛】
本题考查了作图—复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．
变式3．（2023·广东·广州市真光中学八年级期中）如图，用直尺和圆规作一个三角形O1A1B1，使得O1A1B1≌OAB的示意图，依据（ ）定理可以判定两个三角形全等
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
答案：A
【解析】
分析：
根据尺规作图－作已知三角形以及全等三角形的判定定理可得结论．
【详解】
解：用直尺和圆规作一个三角形O1A1B1，
在一条直线上取一点，以点为圆心，为半径作弧，
与直线交于点，
∴，
以为圆心，为半径作弧，
以为圆心，为半径作弧，
两弧交于点，
∴，，
∴O1A1B1≌OAB依据的是“边边边”，
故选：A．
【点睛】
本题考查了尺规作图－作已知三角形以及全等三角形的判定定理，熟练掌握作图方式以及全等三角形的判定定理是解本题的关键．
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作，∠DEF即为所求作的角．
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