人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题10全等三角形的辅助线问题(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题10全等三角形的辅助线问题(原卷版+解析)，共33页。
倍长中线：
解题技巧：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形
【例】．(2023·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积．
【跟踪训练】．(2023·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．
【变式训练】
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
二：垂线模型：
【例】．（2023·河南·鹤壁市外国语中学八年级阶段练习）阅读理解：
(1)如图1，在中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE（或将绕着点D逆时针旋转180°得到），把AB，AC，2AD集中在中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是______；
问题解决：
(2)如图2，在中，D是BC边上的中点，于点D，DM交AB于点M，DN交AC于点N，连结MN．求证：．
【跟踪训练】．(2023·全国·八年级）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【变式训练】．
变式1.（2023·内蒙古·乌兰浩特市第十三中学八年级期末）已知如图，在正方形中，为的中点，，平分并交于.求证：
变式2．（2012·安徽阜阳·七年级期末）如图，已知：，，，，那么AC与CE有什么关系？写出你的猜想并说明理由．
三．旋转模型
【例】．(2023·全国·八年级课时练习）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE＝AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；
(3)当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）．
【跟踪训练】．（2023·辽宁·抚顺市顺城区长春学校九年级期中）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系．
(2)如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，画出图形．（1）的结论还成立吗?若成立，请证明； 若不成立，说明理由．
【变式训练】．
变式1.(2023·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
变式2．(2023·全国·八年级）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
四：用“截长法”或“补短法”：
解题技巧：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，
【例】．(2023·陕西延安·八年级期末）【问题提出】
（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由.
【跟踪训练】．(2023·全国·八年级课时练习）如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．2 求证：．
【变式训练】．
变式1.（2023·安徽淮南·八年级期中）利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半动倍．
（1）尺规作图：作的平分线．
【模型构造】
（2）填空：
①如图．在中，，是的角平分线，则______．（填“”、“”或“”）
方法一：巧翻折，造全等
在上截取，连接，
则．
②如图，在四边形中，，，和的平分线，交于点．若，则点到的距离是______．
方法二：构距离，造全等
过点作，垂足为点，
则．
【模型应用】
（3）如图，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．
①请直接写出______；
②试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
变式2．（2023·广东广州·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C= 90°，AB>CD，AD=AB+CD．
(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE． (保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，求证:AE⊥DE．
专题10 全等三角形的辅助线问题
倍长中线：
解题技巧：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形
【例】．(2023·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积．
答案：6
【解析】
分析：
延长AD至E，使ED＝AD＝2，连接BE，证明，则的面积等于的面积，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而计算其面积．
【详解】
解：延长AD至E，使ED＝AD＝2，连接BE，则AE＝4．
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝3，，
．
∵AE＝4，AB＝5，BE＝3，
∴，
∴△ABE是直角三角形，且．
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，解题的关键是作出正确的辅助线，将问题转化．
【跟踪训练】．(2023·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．
答案：(1)见解析
(2)AC=BF，理由见解析
【解析】
(1)
解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中
∵，
∴△ADC≌△EDB（SAS）．
∴BE=AC=3．
∵AB-BE