人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题13最短路径问题(人教版)(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题13最短路径问题(人教版)(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了背景知识，将军饮马问题常见模型等内容，欢迎下载使用。
一、背景知识：
【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
【问题原型】将军饮马 造桥选址 费马点
【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系； 轴对称 ；平移；
【解题思路】找对称点，实现折转直。
二、将军饮马问题常见模型
1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小。
类型1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.
作法：连接AB，与直线l的交点Q，
Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，
PA+PB最小，且最小值等于AB.
原理：两点之间线段最短。
类型2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，
即PA+PB的和最小.
作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.
原理：两点之间，线段最短
2.两动一定型
类型3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’ ，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．
类型4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’ ，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．
3. 两定两动型最值
类型5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移
作法一：将点A向右平移长度d得到点A’， 作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。
作法二：作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2 B，
交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。
类型6：（造桥选址）直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2, 且
AC＋BD＋CD最短．
作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A’B+CD
4. 垂线段最短型
类型7：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．
点A是定点，OM，ON是定线，
点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．
作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，
交OM于点B，B、C即为所求。
类型8：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即|PA-PB |最小.
作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P
此时|PA-PB |=0
类型9：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB |最大
作法：延长BA交l于点C，点C即为所求，
即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。
类型10：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作点B关于l的对称点B，连接AB，
交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。
模型训练
1．（2023·陕西·榆林市第一中学分校九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（ ）
A．4B．4.5C．5.5D．5
2．（2023·四川资阳·八年级期末）已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（ ）．
A．B．C．D．
3．(2023·全国·七年级单元测试）如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是14，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（ ）
A．28B．18C．10D．7
4．(2023·山东枣庄·二模）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．
5．(2023·云南昭通·八年级期末）如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为______．
6．(2023·北京铁路二中八年级期中）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是______．
7．(2023·甘肃庆阳·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．
8．（2023·黑龙江·塔河县第一中学校八年级期中）如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，，点F是线段AD上的动点，则的最小值为______．
9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，点在边上，且，点是上一动点，连接、，则的最小值为______．
10．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，是上一点，且，是上的动点，连接、，则的最小值为______．
11．(2023·上海·七年级期末）在直角坐标系中有和两点，是轴上的任意一点，则长度的最小值是？
12．（2023·山东·烟台市福山区教学研究中心七年级期中）如图，一个牧童在小河的南4华里（长度单位）的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8华里北7华里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少?
13．(2023·江苏南通·一模）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，m＋2），点Q（n，0），点M（1，1），则PQ＋QM最小值为_________．
14．（2023·山东·德州市第五中学八年级期中）已知：如图，在平面直角坐标系中．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（ ），B1（ ），C1（ ）；
（2）直接写出△ABC的面积为 ；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
15．（2023·福建省罗源第二中学八年级期中）如图，在锐角∠AOB的内部有一点P，试在∠AOB的两边上各取一点M，N，使得△PMN的周长最小．（保留作图痕迹）
16．（2023·云南昭通·八年级期中）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若点P为直线上一点，，求周长的最小值．
17．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，、、，点、分别是直线和轴上的动点，求周长的最小值．
18．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，．
（1）如图①，，，．求证：；

（2）如图②，，当周长最小时，求的度数；
（3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度．
专题13 最短路径问题
一、背景知识：
【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
【问题原型】将军饮马 造桥选址 费马点
【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系； 轴对称 ；平移；
【解题思路】找对称点，实现折转直。
二、将军饮马问题常见模型
1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小。
类型1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.
作法：连接AB，与直线l的交点Q，
Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，
PA+PB最小，且最小值等于AB.
原理：两点之间线段最短。
类型2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，
即PA+PB的和最小.
作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.
原理：两点之间，线段最短
2.两动一定型
类型3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’ ，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．
类型4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’ ，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．
3. 两定两动型最值
类型5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移
作法一：将点A向右平移长度d得到点A’， 作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。
作法二：作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2 B，
交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。
类型6：（造桥选址）直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2, 且
AC＋BD＋CD最短．
作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A’B+CD
4. 垂线段最短型
类型7：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．
点A是定点，OM，ON是定线，
点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．
作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，
交OM于点B，B、C即为所求。
类型8：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即|PA-PB |最小.
作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P
此时|PA-PB |=0
类型9：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB |最大
作法：延长BA交l于点C，点C即为所求，
即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。
类型10：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作点B关于l的对称点B，连接AB，
交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。
模型训练
1．（2023·陕西·榆林市第一中学分校九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（ ）
A．4B．4.5C．5.5D．5
答案：D
【解析】
分析：
连接BE，交AC于点N'，连接DN'，N'即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的长即可．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
连接BE，交AC于点N'，连接DN'，
∴DN'=BN'，
DN'+EN'=BN'+ EN'BD，
则BE的长即为DP+PE的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CE=CD-DE=4-1=3，
在Rt△BCE中，
BE2=CE2+BC2=25，
∵BE＞0，
∴BE=5，
即DP+PE的最小值为5，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知识，将PE+PD的最小值转化为BE的长是解题的关键．
2．（2023·四川资阳·八年级期末）已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（ ）．
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题．
【详解】
解：∵点A，B在直线l的同侧，
∴作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P，
∴PA+PB=PB′+PA=AB′为最小
故选：C．
【点睛】
本题考查轴对称求最短距离，掌握两点在直线同侧时，在直线上找一点到两点距离最短的方法是解题的关键．
3．(2023·全国·七年级单元测试）如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是14，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（ ）
A．28B．18C．10D．7
答案：C
【解析】
分析：
根据线段的垂直平分线的性质可知，B和C关于直线DE对称，EB=EC，因此E点就是DE上到A、C距离和最小的点，由△AEC的周长可求．
【详解】
解：∵DE是BC的中垂线，
∴BE=EC，B和C关于直线DE对称
∴E点就是DE上到A、C距离和最小的点，
∵AB=EB+AE=CE+EA，△ACE的周长为14，
∴AB=14﹣4=10，
即直线DE上任意一点到A、C距离和最小为10．
故选C．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题和线段垂直平分线的性质，熟练掌握求最短路线问题的方法和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．(2023·山东枣庄·二模）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．
答案：3
【解析】
分析：
根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到周长的最小的位置，作出图示，充分利用对称性以及，对线段长度进行等量转化即可．
【详解】
解：如图所示，过点P分别作P点关于OB、OA边的对称点、，连接、、、、，其中分别交OB、OA于点N、M，根据“两点之间线段最短”可知，此时点M、N的位置是使得周长的最小的位置．
由对称性可知：，
，
为等边三角形
的周长===3
故答案为：3
【点睛】
本题是典型的的最短路径问题，考查了最短路径中的“将军饮马”模型，能够熟练利用其原理“两点之间线段最短”作出最短路径示意图是解决本题的关键．
5．(2023·云南昭通·八年级期末）如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为______．
答案：30°##30度
【解析】
分析：
连接BP，由等边三角形的性质可知AD为BC的垂直平分线，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE的周长最小，即P点为BE与AD的交点时．最后根据等边三角形三线合一的性质，即得出CP平分，从而可求出．
【详解】
如图连接BP．

∵为等边三角形，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∵△PCE的周长=PE+CP+CE= PE+BP+CE，
∴当PE+BP最小时，△PCE的周长最小，
∵PE+BP最小时为BE的长，即此时BE与AD的交点为P，如图．
又∵点E为中点，AD为高，为等边三角形，
∴P点即为等边角平分线的交点，
∴CP平分，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，两点之间线段最短等知识．理解要使△PCE的周长最小，即P点为BE与AD的交点是解题关键．
6．(2023·北京铁路二中八年级期中）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是______．
答案：10
【解析】
分析：
要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，
∴BN＝ND，
∴DN＋MN＝BN＋MN，
连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，
BN＋MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN＋MN的最小值是10．
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
7．(2023·甘肃庆阳·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．
答案：6
【解析】
分析：
要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，
∴点E关于AD的对应点为点F，
∴CF就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，
∴F是AB的中点，
∴CF=AD=6，
即EP+CP的最小值为6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
8．（2023·黑龙江·塔河县第一中学校八年级期中）如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，，点F是线段AD上的动点，则的最小值为______．
答案：6
【解析】
分析：
过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB≌△CEB得CE=AD=6，即BF+EF=6．
【详解】
解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，
∵等边△ABC中，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF=BF，
即BF+EF=CF+EF=CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE=AD=6，
即BF+EF=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．
9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，点在边上，且，点是上一动点，连接、，则的最小值为______．
答案：5
【解析】
分析：
作点关于的对称点，连接，，则四边形为正方形，连接，交于点，然后利用轴对称的性质将线段PC转化为，然后利用点三点共线和勾股定理求值即可．
【详解】
如解图，作点关于的对称点，连接，，则四边形为正方形，连接，交于点．
点，关于对称，
，
此时，
此时取得最小值．
，，
．
在中，
由勾股定理得，
，
即的最小值为5．
故答案为：5
【点睛】
本题主要考查轴对称的性质，勾股定理和正方形的性质，能够作出辅助线并转化线段PC是解题的关键．
10．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，是上一点，且，是上的动点，连接、，则的最小值为______．
答案：
【解析】
分析：
作点关于的对称点，连接，，连接，与交于点，连接，则，此时取得最小值，求出即可．
【详解】
如图，作点关于的对称点，连接，，
，易得为等边三角形，连接，与交于点，连接，则，
．
此时取得最小值．过点作于点．
，
．
．
，，
．
，
．
．
，．
．
在中，由勾股定理得，即的最小值为．
【点睛】
此题考查了轴对称-最短路线问题，以及等边三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
11．(2023·上海·七年级期末）在直角坐标系中有和两点，是轴上的任意一点，则长度的最小值是？
答案：
【解析】
分析：
先做出P点关于x轴的对称点P＇，连接与x轴的交点就是M点，此时PM+QM的最小值就是的长，根据两点之间的距离公式即可求出的长，即可知PM+QM的最小值．
【详解】
解：如图，

作点关于轴的对称点P＇，
则p＇(-2,-2)
连接
则线段的长就是PM+QM长度的最小值，
∵Q(5,8)
则PM+QM长度的最小值是．
【点睛】
本题主要考查了在坐标轴上找一点使它到已知两点的距离之和最小，实质是将军饮马问题，掌握这一模型并且会用两点之间距离公式计算是解题的关键．
12．（2023·山东·烟台市福山区教学研究中心七年级期中）如图，一个牧童在小河的南4华里（长度单位）的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8华里北7华里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少?
答案：17华里
【解析】
分析：
作出A点关于MN的对称点，连接交MN于点P，则就是最短路线，根据垂直平分线的性质，得出，根据勾股定理得出，即可求出最短路径．
【详解】
解：作出A点关于MN的对称点，连接交MN于点P，则就是最短路线，如图所示：
，，，
∵MN垂直平分，
∴，
∵在中，，
∴，
∴（华里）．
答：牧童所走的最短里程是17华里．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质，勾股定理，根据题意作出最短路径，是解题的关键．
13．(2023·江苏南通·一模）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，m＋2），点Q（n，0），点M（1，1），则PQ＋QM最小值为_________．
答案：
【解析】
分析：
根据点P（m，m＋2）可知，点P在一次函数的图像上移动，作出图示，并作M关于x轴的对称点，过点作于点P，交x轴于点Q，连接，QM，利用“垂线段最短”原理，可知此时PQ＋QM最小，最小值为的长度，利用等腰三角形的性质求解即可得出答案．
【详解】
解：如图所示，由题意可知，点P（m，m＋2）在一次函数的图像上移动, 一次函数分别交x轴、y轴于点A，B，作M关于x轴的对称点，过点作于点P，交x轴于点Q，连接，QM，利用“垂线段最短”原理，可知此时PQ＋QM最小，最小值为的长．
点M（1，1）,
由对称性质可知：点
一次函数的图像分别交x轴、y轴于点
令，解得，即点，令，解得，即点
为等腰三角形，
点P为AB的中点，则点
故答案为：
【点睛】
本题考查了最值问题，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质“三线合一”以及根据两点坐标求点之间的距离，思考问题时参照“将军饮马”模型，根据“垂线段最短”原理，将问题转化为求垂线段的长度是解决本题的关键．
14．（2023·山东·德州市第五中学八年级期中）已知：如图，在平面直角坐标系中．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（ ），B1（ ），C1（ ）；
（2）直接写出△ABC的面积为 ；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
答案：（1）作图见解析，（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；（2）5；（3）见解析
【解析】
分析：
（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用△ABC所在长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（3）先确定A关于轴的对称点，再连接交轴于则此时满足要求．
【详解】
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，
A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；
故答案为：（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；
（2）△ABC的面积为：12﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5；
故答案为：5；
（3）如图所示：点P即为所求．
【点睛】
本题考查的是轴对称的作图，坐标与图形，掌握“利用轴对称确定线段和取最小值时点的位置”是解本题的关键.
15．（2023·福建省罗源第二中学八年级期中）如图，在锐角∠AOB的内部有一点P，试在∠AOB的两边上各取一点M，N，使得△PMN的周长最小．（保留作图痕迹）
答案：见详解
【解析】
分析：
作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于N，连接PM，N，△PMN即为所求求作三角形．
【详解】
解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，△PMN即为所求作三角形．
理由：由轴对称的性质得MP＝ME，NP＝NF，
∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，
根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短．
【点睛】
本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
16．（2023·云南昭通·八年级期中）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若点P为直线上一点，，求周长的最小值．
答案：（1）；（2）
【解析】
分析：
（1）利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求得的度数，继而求得；
（2）利用最短路线模型计算即可；
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（2）当点P与点E重合时，的周长最小，
理由：∵，
∴当点P与点E重合时，，此时最小值等于的长，
∴的周长最小值为．
【点睛】
本题考查了最短路线问题问题以及等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键．
17．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，、、，点、分别是直线和轴上的动点，求周长的最小值．
答案：周长的最小值为．
【解析】
分析：
分别作点关于轴、直线的对称点、，连接，分别交轴、直线于点、，由对称性质可得，，此时的周长为．
【详解】
如图，分别作点关于轴、直线的对称点、，连接，分别交轴、直线于点、，由对称性质可得，，此时的周长为．
此时的周长最小，最小值为的长．
、，
，．
，，．
过点作轴于点，
，．
．
周长的最小值为．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称正确找到点的位置．
18．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，．
（1）如图①，，，．求证：；

（2）如图②，，当周长最小时，求的度数；
（3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度．
答案：（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】
分析：
（1）延长到点G,使，连接，首先证明，则有，，然后利用角度之间的关系得出，进而可证明，则，则结论可证；
（2）分别作点A关于和的对称点，，连接，交于点，交于点，根据轴对称的性质有，，当点、、、在同一条直线上时，即为周长的最小值，然后利用求解即可；
（3）旋转至的位置，首先证明，则有，最后利用求解即可．
【详解】
（1）证明：如解图①，延长到点，使，连接，
在和中，
．
，，
，，
．
，
在和中，
．
，；
（2）解：如解图，分别作点A关于和的对称点，，连接，交于点，交于点．
由对称的性质可得，，
此时的周长为．
当点、、、在同一条直线上时，即为周长的最小值．
，
．
，，
；
（3）解：如解图，旋转至的位置，
，
，．
在和中，
．
．
．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．