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人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题15整式的乘法-原卷版+解析
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这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题15整式的乘法-原卷版+解析，共28页。
【思维导图】
◎考点题型1 同底数幂的乘法
1、(其中都是正整数)；即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
【注意】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
2、科学计数法：科学记数法的表示形式为，其中1≤＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
例．(2023·江西抚州·七年级期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·湖南张家界·七年级期中）已知，则等于（ ）
A．12B．13C．7D．11
变式2．(2023·山东聊城·二模）一滴水有个水分子，一个水分子的质量大约为克，则一滴水的质量大约为（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·湖南永州·七年级期中）计算（﹣2）2021×0.52022的结果是（ ）
A．﹣2B．﹣0.5C．0.5D．1
◎考点题型2 幂的乘方
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
【注意】（1）公式的推广： (，均为正整数)
逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些
幂变形，从而解决问题.
例．(2023·江西吉安·七年级期中）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·江苏徐州·七年级期中）下面的计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·广西贵港·七年级期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·浙江宁波·七年级期中）已知，问等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
◎考点题型3 积的乘方
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
【注意】（1）公式的推广： (为正整数).
逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，
计算更简便.如：
【注意事项】
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯
例．(2023·陕西咸阳·七年级期中）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·江苏淮安·七年级期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·广西贵港·七年级期中）计算：（）2021×（）2022的结果是（ ）
A．B．C．1D．－1
变式3．(2023·山东济南·期末）计算：（ ）
A．2B．C．1D．
◎考点题型4单项式的乘法
概念：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
【注意】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
例．(2023·广西贵港·七年级期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·河北·高邑县教育局教研室七年级期末）下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·全国·七年级专题练习）若＝－10，则m－n等于（ ）
A．－3B．－1C．1D．3
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）若，则的值分别为（ ）
A．3 2B．2，3C．3，3D．2，2
◎考点题型5 单项式与多项式相乘的运算法则
概念：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
【注意】
（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式
的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
例．(2023·江苏·九年级专题练习）下列各式运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式1．(2023·山东聊城·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．(2023·四川眉山·中考真题）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2023·湖北宜昌·七年级期中）以下表示图中阴影部分面积的式子，不正确的是（ ）.
A．x（x+5）+15B．x2+5（x+3）
C．（x+3）（x+5）﹣3xD．x2+8x
◎考点题型6 多项式与多项式相乘的运算法则
概念：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
【注意】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并。
特殊的二项式相乘：.
例．(2023·山东泰安·期中）（2x＋p）（x－3）的展开式中，不含x的一次项，则p值是（ ）
A．－6B．6C．－4D．4
变式1．(2023·全国·七年级期末）如果（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，那么m，n的值分别是（ ）
A．5，6B．1，﹣6C．﹣1，6D．5，﹣6
变式2．(2023·湖南怀化·七年级期中）若多项式与的乘积中不含的一次项，则的值（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）如果2（5﹣a）（6+a）＝100，那么a2+a+1的值为（ ）
A．19B．﹣19C．69D．﹣69
◎考点题型7 同底数幂的除法法则
概念：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）
【注意】（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
例．(2023·山东枣庄·七年级期中）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2）0＝2B．a2÷a﹣2＝1C．m6÷m2＝m3D．3﹣2＝
变式1．(2023·江苏徐州·七年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．(2023·浙江宁波·七年级期中）已知，则（ ）
A．B．1C．D．
变式3．(2023·广西贵港·七年级期末）已知，则的值为（ ）
A．72B．54C．17D．12
◎考点题型8零指数幂
概念：任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）
【注意】底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积。
因此常数项也叫0次单项式.
例．(2023·河南三门峡·七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．是无理数B．是有理数C．是无理数D．是有理数
变式1．(2023·山东济南·期末）如果，，，则，，三数的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·山东泰安·期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·山东淄博·期中）若a＝﹣0.32，b＝3﹣2，，，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．a＜b＜d＜cB．b＜a＜d＜cC．a＜d＜c＜bD．c＜a＜d＜b
◎考点题型9单项式除以单项式法则
概念：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
【注意】（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项
式的结果仍为单项式.
例．(2023·重庆八中七年级期末）如果，那么的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
变式1．(2023·山东菏泽·七年级期中）N是一个单项式，且，则N等于（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·山东菏泽·七年级期中）N是一个单项式，且，则N等于（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·河北·围场满族蒙古族自治县中小学教研室八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
◎考点题型10 多项式除以单项式法则
概念：多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
即
【注意】（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.
例．(2023·浙江杭州·七年级阶段练习）若A与的积为，则A为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．(2023·四川成都·七年级期中）面积为的长方形一边长为，则另一边长为（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·江苏南通·八年级期末）计算（15x2y﹣10xy2）÷5xy的结果为（ ）
A．3x﹣2xyB．3xy﹣2yC．3x﹣2yD．3x2﹣2y2
变式3．(2023·河南·驻马店市第二初级中学七年级期中）一个长方形的面积是，若一边长是3a，则它的邻边长是（ ）
A．B．C．D．
专题15 整式的乘法
【思维导图】
◎考点题型1 同底数幂的乘法
1、(其中都是正整数)；即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
【注意】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
2、科学计数法：科学记数法的表示形式为，其中1≤＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
例．(2023·江西抚州·七年级期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据同底数幂相乘的法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘，按照法则—同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算是解题的关键．
变式1．(2023·湖南张家界·七年级期中）已知，则等于（ ）
A．12B．13C．7D．11
答案：A
分析：根据同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算法则是解题的关键．
变式2．(2023·山东聊城·二模）一滴水有个水分子，一个水分子的质量大约为克，则一滴水的质量大约为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：用一个水分子的质量乘以一滴水的分子个数，即可求出这滴水的质量，然后用科学记数法表示出来即可．
【详解】一滴水有个水分子，一个水分子的质量大约为克，则一滴水的质量大约为：
（克），故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示数的乘法，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
变式3．(2023·湖南永州·七年级期中）计算（﹣2）2021×0.52022的结果是（ ）
A．﹣2B．﹣0.5C．0.5D．1
答案：B
分析：利用同底数幂的乘法与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：（﹣2）2021×0.52022
＝（﹣2）2021×0.52021×0.5
＝（﹣2×0.5）2021×0.5
＝（﹣1）2021×0.5
＝﹣0.5，
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．
◎考点题型2 幂的乘方
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
【注意】（1）公式的推广： (，均为正整数)
逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些
幂变形，从而解决问题.
例．(2023·江西吉安·七年级期中）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据同底数幂的乘除法，单项式的乘除法，幂的乘方法则分别分析即可求出答案．
【详解】解：A、，故错误；
B、，故错误；
C、，故正确；
D、，故错误；
故选：C．
【点睛】本题考查整式运算，解题的关键是熟练整式的运算法则．
变式1．(2023·江苏徐州·七年级期中）下面的计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：由同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则、合并同类项等逐一解答．
【详解】解：A. ，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C错误；
D. ，故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则、合并同类项等，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
变式2．(2023·广西贵港·七年级期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据幂的乘方是逆运算将各数的底数变为相同的数字，进而比较即可．
【详解】解：∵=962=3124，=3123，=3122，
∴a>b>c，
故选：A．
【点睛】此题考查了幂的乘方的运算法则，熟记法则是解题的关键．
变式3．(2023·浙江宁波·七年级期中）已知，问等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：A
分析：根据同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
故选：A
【点睛】本题主要考查了同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算法则是解题的关键．
◎考点题型3 积的乘方
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
【注意】（1）公式的推广： (为正整数).
逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，
计算更简便.如：
【注意事项】
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯
例．(2023·陕西咸阳·七年级期中）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据积的乘方、合并同类项及同底数幂的乘除法依次进行判断即可．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、与2x不是同类项，不能计算，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】题目主要考查积的乘方、合并同类项及同底数幂的乘除法，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
变式1．(2023·江苏淮安·七年级期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据积的乘方，幂的乘方计算法则解答．
【详解】解：=m4n6，
故选C．
【点睛】此题考查了积的乘方计算法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的结果相乘；幂的乘方计算法则：幂的乘方底数不变，指数相乘．
变式2．(2023·广西贵港·七年级期中）计算：（）2021×（）2022的结果是（ ）
A．B．C．1D．－1
答案：A
分析：逆用积的乘方和同底数幂的运算法则进行运算即可．
【详解】解：（）2021×（）2022
故选：A．
【点睛】本题主要考查了积的乘方和同底数幂的运算法则，熟练掌握积的乘方和同底数幂的运算公式，是解题的关键．
变式3．(2023·山东济南·期末）计算：（ ）
A．2B．C．1D．
答案：D
分析：逆用同底数幂的乘法和积的乘方，即可求解．
【详解】解：原式＝
，
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
◎考点题型4单项式的乘法
概念：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
【注意】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
例．(2023·广西贵港·七年级期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：先根据积的乘方法则计算第一个括号，再计算单项式乘以单项式即可．
【详解】解：
=
=x8y11，
故选：C．
【点睛】此题考查了积的乘方计算法则，单项式乘以单项式法则，熟记法则是解题的关键．
变式1．(2023·河北·高邑县教育局教研室七年级期末）下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据单项式的乘法、幂的乘方、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的除法计算各项后即可判断
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了单项式的乘法、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的除法等运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
变式2．（2023·全国·七年级专题练习）若＝－10，则m－n等于（ ）
A．－3B．－1C．1D．3
答案：B
分析：首先根据单项式乘单项式的运算法则计算求出m，n的值，然后代入计算即可．
【详解】
∴
∴
解得
∴m－n=1-2=-1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握单项式乘单项式的运算法则是关键．
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）若，则的值分别为（ ）
A．3 2B．2，3C．3，3D．2，2
答案：B
分析：利用同底数幂的乘法法则将原式变形为，从而得到7n=14，2+k=5，可得结果．
【详解】解：∵，
∴7n=14，2+k=5，
∴n=2，k=3，
故选B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握运算法则．
◎考点题型5 单项式与多项式相乘的运算法则
概念：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
【注意】（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式
的符号.
对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
例．(2023·江苏·九年级专题练习）下列各式运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：由完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则逐项判断．
【详解】(x-1)2= x2 - 2x+1，故A错误，不符合题意；
(x+1)2= x2+2x+ 1，故B错误，不符合题意；
2x(x-y)= 2x2-2xy，故C错误，不符合题意；
(x+3)(x-3)=x2-9，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
变式1．(2023·山东聊城·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：A选项根据积的乘方等于乘方的积即可判断；B选项合并同类型：字母和字母的指数比不变，系数相加；C选项利用乘方的分配律；D选项先用幂的乘方化简，在运用整式的除法法则．
【详解】解：A、原式，不合题意；
B、原式，不合题意；
C、原式，不合题意；
D、原式=-1，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查积的乘方、幂的乘方、合并同类型、乘法分配律、整式的除法，掌握相应的运算法则是解题的关键，其中每一项的符号是易错点．
变式2．(2023·四川眉山·中考真题）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则分析选项即可知道答案．
【详解】解：A. 根据同底数幂的乘法法则可知：，故选项计算错误，不符合题意；
B. 和不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
C. 根据完全平方公式可得：，故选项计算错误，不符合题意；
D. ，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则．
变式3．（2023·湖北宜昌·七年级期中）以下表示图中阴影部分面积的式子，不正确的是（ ）.
A．x（x+5）+15B．x2+5（x+3）
C．（x+3）（x+5）﹣3xD．x2+8x
答案：D
分析：根据长方形和正方形的面积公式得出各个部分的面积，再逐个判断即可．
【详解】解：阴影部分的面积为：
或或，
即选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，解题的关键是能用代数式表示出各个部分的面积．
◎考点题型6 多项式与多项式相乘的运算法则
概念：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
【注意】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并。
特殊的二项式相乘：.
例．(2023·山东泰安·期中）（2x＋p）（x－3）的展开式中，不含x的一次项，则p值是（ ）
A．－6B．6C．－4D．4
答案：B
分析：根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn计算，再根据乘积中不含x的一次项，得出它的系数为0，即可求出p的值．
【详解】解：根据题意得：
，
∵（2x+p）与（x-3）的乘积中不含x的一次项，
∴-6+p=0，
∴p=6；
故选：B．
【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项，漏字母．
变式1．(2023·全国·七年级期末）如果（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，那么m，n的值分别是（ ）
A．5，6B．1，﹣6C．﹣1，6D．5，﹣6
答案：B
分析：已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出与的值．
【详解】解：，
，．
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式法则．
变式2．(2023·湖南怀化·七年级期中）若多项式与的乘积中不含的一次项，则的值（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：先根据多项式乘多项式运算法则进行乘法运算，然后找到所有含的一次项，根据题意可知含有的一次项的系数之和为零，可得关于的方程，解方程即可求出的值．
【详解】解：
∵多项式与的乘积中不含的一次项，
∴，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，合并同类项等知识点．解题的关键是熟练运用多项式乘多项式乘法运算法则及正确理解题意．
变式3．(2023·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）如果2（5﹣a）（6+a）＝100，那么a2+a+1的值为（ ）
A．19B．﹣19C．69D．﹣69
答案：B
分析：先根据多项式乘以多项式法则计算2（5﹣a）（6+a）＝100，得a2+a＝﹣20，最后整体代入可得结论．
【详解】解：∵2（5﹣a）（6+a）＝100，
∴﹣a2+5a﹣6a+30＝50，
∴a2+a＝﹣20，
∴a2+a+1＝﹣20+1＝﹣19，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式、求代数式的值，设计整体思想，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
◎考点题型7 同底数幂的除法法则
概念：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）
【注意】（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
例．(2023·山东枣庄·七年级期中）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2）0＝2B．a2÷a﹣2＝1C．m6÷m2＝m3D．3﹣2＝
答案：D
分析：根据零指数幂来计算A，同底数幂除法来计算求解B和C，用负整数指数幂来求解D．
【详解】解：A．，故原选项计算错误，此项不符合题意；
B．，故原选项计算错误，此项不符合题意；
C．，故原选项计算错误，此项不符合题意；
D．，故原选项计算正确，此项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂除法，零指数幂和负整数指数幂，理解相关法则是解答关键．
变式1．(2023·江苏徐州·七年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项逐项分析即可．
【详解】解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项正确；
C. ，故该选项错误；
D. ，故该选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，解题关键是掌握相关的运算法则．
变式2．(2023·浙江宁波·七年级期中）已知，则（ ）
A．B．1C．D．
答案：D
分析：由ax=3，ay=2可得a2x，a3y，再由a2x-3y=a2x÷a3y即可求解．
【详解】解：∵ax=3，ay=2，
∴a2x=（ax）2=（3）2=9，a3y=（ay）3=（2）3=8，
∴a2x-3y=a2x÷a3y=9÷8=，
故选：D．
【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，解题的关键是由ax=3，ay=2得出a2x，a3y的值．
变式3．(2023·广西贵港·七年级期末）已知，则的值为（ ）
A．72B．54C．17D．12
答案：A
分析：根据同底数幂的乘法法则逆运算进行求解即可．
【详解】解：∵
a2m+3n=（a2m）•（a3n）
=（am）2•（an）3
=9×8
=72．
故选A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方和积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
◎考点题型8零指数幂
概念：任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）
【注意】底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积。
因此常数项也叫0次单项式.
例．(2023·河南三门峡·七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．是无理数B．是有理数C．是无理数D．是有理数
答案：D
分析：根据无理数的性质和定义，以及有理数的定义即可判定．
【详解】解：A、是有理数，该选项不符合题意；
B、是无理数，该选项不符合题意；
C、是有理数，该选项不符合题意；
D、是有理数，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数与无理数，弄清有理数与无理数的定义是解本题的关键．
变式1．(2023·山东济南·期末）如果，，，则，，三数的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：∵a=（-2022）0=1，b=（-2022）-1=-，c=（-2）2022=22022，
∴c＞a＞b．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．
变式2．(2023·山东泰安·期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
变式3．(2023·山东淄博·期中）若a＝﹣0.32，b＝3﹣2，，，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．a＜b＜d＜cB．b＜a＜d＜cC．a＜d＜c＜bD．c＜a＜d＜b
答案：A
分析：直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简即可．
【详解】解：∵a＝﹣0.32＝﹣0.09，b＝3﹣2=，，，
∴a、b、c、d的大小关系是：a＜b＜d＜c．
故选：A．
【点睛】本题主要考查负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，解题关键是正确化简各数．
◎考点题型9单项式除以单项式法则
概念：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
【注意】（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项
式的结果仍为单项式.
例．(2023·重庆八中七年级期末）如果，那么的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：C
分析：先根据幂的乘方运算，然后单项式除法列方程计算求得m、n，然后代入计算即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴m-1=1、，解得：m=2，n=3
∴m+n=4+1=5．
故选C．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算、单项式除法等知识点，根据题意求得m、n是解答本题的关键．
变式1．(2023·山东菏泽·七年级期中）N是一个单项式，且，则N等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：利用单项式与单项式除法，把他们的系数，相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进而得出即可．
【详解】解：∵N•（-2x2y）=-3ax2y2，
∴N=-3ax2y2÷（-2x2y）=ay．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．
变式2．(2023·山东菏泽·七年级期中）N是一个单项式，且，则N等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：利用单项式与单项式除法，把他们的系数，相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进而得出即可．
【详解】解：∵N•（-2x2y）=-3ax2y2，
∴N=-3ax2y2÷（-2x2y）=ay．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．
变式3．(2023·河北·围场满族蒙古族自治县中小学教研室八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：根据合并同类项，完全平方公式，单项式除以单项式，积的乘方逐项判断即可．
【详解】解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项正确；
D. ，故该选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查合并同类项，完全平方公式，单项式除以单项式，积的乘方，解题关键是掌握相关的公式及运算法则．
◎考点题型10 多项式除以单项式法则
概念：多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
即
【注意】（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.
例．(2023·浙江杭州·七年级阶段练习）若A与的积为，则A为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：利用多项式除以单项式的运算法则计算即可求解．
【详解】解：则题意得A=() ÷(-ab)
=-4a3b3÷(-ab)+3a2b2÷(-ab)-ab÷(-ab)
=8a2b2-6ab+1，
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
变式1．(2023·四川成都·七年级期中）面积为的长方形一边长为，则另一边长为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：利用长方形的面积公式进行求解即可．
【详解】由题意得：另一边长为：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查整式的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
变式2．(2023·江苏南通·八年级期末）计算（15x2y﹣10xy2）÷5xy的结果为（ ）
A．3x﹣2xyB．3xy﹣2yC．3x﹣2yD．3x2﹣2y2
答案：C
分析：根据多项式除以单项式的运算法则求解即可．
【详解】解：（15x2y﹣10xy2）÷5xy，
，
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
变式3．(2023·河南·驻马店市第二初级中学七年级期中）一个长方形的面积是，若一边长是3a，则它的邻边长是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据长方形的面积计算，则另一边为，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得
．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的除法运算，正确地计算能力是解决问题的关键．
【思维导图】
◎考点题型1 同底数幂的乘法
1、(其中都是正整数)；即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
【注意】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
2、科学计数法：科学记数法的表示形式为，其中1≤＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
例．(2023·江西抚州·七年级期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·湖南张家界·七年级期中）已知，则等于（ ）
A．12B．13C．7D．11
变式2．(2023·山东聊城·二模）一滴水有个水分子，一个水分子的质量大约为克，则一滴水的质量大约为（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·湖南永州·七年级期中）计算（﹣2）2021×0.52022的结果是（ ）
A．﹣2B．﹣0.5C．0.5D．1
◎考点题型2 幂的乘方
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
【注意】（1）公式的推广： (，均为正整数)
逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些
幂变形，从而解决问题.
例．(2023·江西吉安·七年级期中）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·江苏徐州·七年级期中）下面的计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·广西贵港·七年级期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·浙江宁波·七年级期中）已知，问等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
◎考点题型3 积的乘方
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
【注意】（1）公式的推广： (为正整数).
逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，
计算更简便.如：
【注意事项】
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯
例．(2023·陕西咸阳·七年级期中）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·江苏淮安·七年级期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·广西贵港·七年级期中）计算：（）2021×（）2022的结果是（ ）
A．B．C．1D．－1
变式3．(2023·山东济南·期末）计算：（ ）
A．2B．C．1D．
◎考点题型4单项式的乘法
概念：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
【注意】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
例．(2023·广西贵港·七年级期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·河北·高邑县教育局教研室七年级期末）下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·全国·七年级专题练习）若＝－10，则m－n等于（ ）
A．－3B．－1C．1D．3
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）若，则的值分别为（ ）
A．3 2B．2，3C．3，3D．2，2
◎考点题型5 单项式与多项式相乘的运算法则
概念：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
【注意】
（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式
的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
例．(2023·江苏·九年级专题练习）下列各式运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式1．(2023·山东聊城·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．(2023·四川眉山·中考真题）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2023·湖北宜昌·七年级期中）以下表示图中阴影部分面积的式子，不正确的是（ ）.
A．x（x+5）+15B．x2+5（x+3）
C．（x+3）（x+5）﹣3xD．x2+8x
◎考点题型6 多项式与多项式相乘的运算法则
概念：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
【注意】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并。
特殊的二项式相乘：.
例．(2023·山东泰安·期中）（2x＋p）（x－3）的展开式中，不含x的一次项，则p值是（ ）
A．－6B．6C．－4D．4
变式1．(2023·全国·七年级期末）如果（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，那么m，n的值分别是（ ）
A．5，6B．1，﹣6C．﹣1，6D．5，﹣6
变式2．(2023·湖南怀化·七年级期中）若多项式与的乘积中不含的一次项，则的值（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）如果2（5﹣a）（6+a）＝100，那么a2+a+1的值为（ ）
A．19B．﹣19C．69D．﹣69
◎考点题型7 同底数幂的除法法则
概念：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）
【注意】（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
例．(2023·山东枣庄·七年级期中）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2）0＝2B．a2÷a﹣2＝1C．m6÷m2＝m3D．3﹣2＝
变式1．(2023·江苏徐州·七年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．(2023·浙江宁波·七年级期中）已知，则（ ）
A．B．1C．D．
变式3．(2023·广西贵港·七年级期末）已知，则的值为（ ）
A．72B．54C．17D．12
◎考点题型8零指数幂
概念：任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）
【注意】底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积。
因此常数项也叫0次单项式.
例．(2023·河南三门峡·七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．是无理数B．是有理数C．是无理数D．是有理数
变式1．(2023·山东济南·期末）如果，，，则，，三数的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·山东泰安·期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·山东淄博·期中）若a＝﹣0.32，b＝3﹣2，，，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．a＜b＜d＜cB．b＜a＜d＜cC．a＜d＜c＜bD．c＜a＜d＜b
◎考点题型9单项式除以单项式法则
概念：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
【注意】（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项
式的结果仍为单项式.
例．(2023·重庆八中七年级期末）如果，那么的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
变式1．(2023·山东菏泽·七年级期中）N是一个单项式，且，则N等于（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·山东菏泽·七年级期中）N是一个单项式，且，则N等于（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·河北·围场满族蒙古族自治县中小学教研室八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
◎考点题型10 多项式除以单项式法则
概念：多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
即
【注意】（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.
例．(2023·浙江杭州·七年级阶段练习）若A与的积为，则A为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．(2023·四川成都·七年级期中）面积为的长方形一边长为，则另一边长为（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·江苏南通·八年级期末）计算（15x2y﹣10xy2）÷5xy的结果为（ ）
A．3x﹣2xyB．3xy﹣2yC．3x﹣2yD．3x2﹣2y2
变式3．(2023·河南·驻马店市第二初级中学七年级期中）一个长方形的面积是，若一边长是3a，则它的邻边长是（ ）
A．B．C．D．
专题15 整式的乘法
【思维导图】
◎考点题型1 同底数幂的乘法
1、(其中都是正整数)；即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
【注意】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
2、科学计数法：科学记数法的表示形式为，其中1≤＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
例．(2023·江西抚州·七年级期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据同底数幂相乘的法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘，按照法则—同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算是解题的关键．
变式1．(2023·湖南张家界·七年级期中）已知，则等于（ ）
A．12B．13C．7D．11
答案：A
分析：根据同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算法则是解题的关键．
变式2．(2023·山东聊城·二模）一滴水有个水分子，一个水分子的质量大约为克，则一滴水的质量大约为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：用一个水分子的质量乘以一滴水的分子个数，即可求出这滴水的质量，然后用科学记数法表示出来即可．
【详解】一滴水有个水分子，一个水分子的质量大约为克，则一滴水的质量大约为：
（克），故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示数的乘法，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
变式3．(2023·湖南永州·七年级期中）计算（﹣2）2021×0.52022的结果是（ ）
A．﹣2B．﹣0.5C．0.5D．1
答案：B
分析：利用同底数幂的乘法与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：（﹣2）2021×0.52022
＝（﹣2）2021×0.52021×0.5
＝（﹣2×0.5）2021×0.5
＝（﹣1）2021×0.5
＝﹣0.5，
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．
◎考点题型2 幂的乘方
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
【注意】（1）公式的推广： (，均为正整数)
逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些
幂变形，从而解决问题.
例．(2023·江西吉安·七年级期中）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据同底数幂的乘除法，单项式的乘除法，幂的乘方法则分别分析即可求出答案．
【详解】解：A、，故错误；
B、，故错误；
C、，故正确；
D、，故错误；
故选：C．
【点睛】本题考查整式运算，解题的关键是熟练整式的运算法则．
变式1．(2023·江苏徐州·七年级期中）下面的计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：由同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则、合并同类项等逐一解答．
【详解】解：A. ，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C错误；
D. ，故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则、合并同类项等，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
变式2．(2023·广西贵港·七年级期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据幂的乘方是逆运算将各数的底数变为相同的数字，进而比较即可．
【详解】解：∵=962=3124，=3123，=3122，
∴a>b>c，
故选：A．
【点睛】此题考查了幂的乘方的运算法则，熟记法则是解题的关键．
变式3．(2023·浙江宁波·七年级期中）已知，问等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：A
分析：根据同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
故选：A
【点睛】本题主要考查了同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算法则是解题的关键．
◎考点题型3 积的乘方
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
【注意】（1）公式的推广： (为正整数).
逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，
计算更简便.如：
【注意事项】
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯
例．(2023·陕西咸阳·七年级期中）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据积的乘方、合并同类项及同底数幂的乘除法依次进行判断即可．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、与2x不是同类项，不能计算，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】题目主要考查积的乘方、合并同类项及同底数幂的乘除法，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
变式1．(2023·江苏淮安·七年级期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据积的乘方，幂的乘方计算法则解答．
【详解】解：=m4n6，
故选C．
【点睛】此题考查了积的乘方计算法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的结果相乘；幂的乘方计算法则：幂的乘方底数不变，指数相乘．
变式2．(2023·广西贵港·七年级期中）计算：（）2021×（）2022的结果是（ ）
A．B．C．1D．－1
答案：A
分析：逆用积的乘方和同底数幂的运算法则进行运算即可．
【详解】解：（）2021×（）2022
故选：A．
【点睛】本题主要考查了积的乘方和同底数幂的运算法则，熟练掌握积的乘方和同底数幂的运算公式，是解题的关键．
变式3．(2023·山东济南·期末）计算：（ ）
A．2B．C．1D．
答案：D
分析：逆用同底数幂的乘法和积的乘方，即可求解．
【详解】解：原式＝
，
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
◎考点题型4单项式的乘法
概念：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
【注意】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
例．(2023·广西贵港·七年级期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：先根据积的乘方法则计算第一个括号，再计算单项式乘以单项式即可．
【详解】解：
=
=x8y11，
故选：C．
【点睛】此题考查了积的乘方计算法则，单项式乘以单项式法则，熟记法则是解题的关键．
变式1．(2023·河北·高邑县教育局教研室七年级期末）下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据单项式的乘法、幂的乘方、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的除法计算各项后即可判断
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了单项式的乘法、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的除法等运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
变式2．（2023·全国·七年级专题练习）若＝－10，则m－n等于（ ）
A．－3B．－1C．1D．3
答案：B
分析：首先根据单项式乘单项式的运算法则计算求出m，n的值，然后代入计算即可．
【详解】
∴
∴
解得
∴m－n=1-2=-1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握单项式乘单项式的运算法则是关键．
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）若，则的值分别为（ ）
A．3 2B．2，3C．3，3D．2，2
答案：B
分析：利用同底数幂的乘法法则将原式变形为，从而得到7n=14，2+k=5，可得结果．
【详解】解：∵，
∴7n=14，2+k=5，
∴n=2，k=3，
故选B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握运算法则．
◎考点题型5 单项式与多项式相乘的运算法则
概念：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
【注意】（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式
的符号.
对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
例．(2023·江苏·九年级专题练习）下列各式运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：由完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则逐项判断．
【详解】(x-1)2= x2 - 2x+1，故A错误，不符合题意；
(x+1)2= x2+2x+ 1，故B错误，不符合题意；
2x(x-y)= 2x2-2xy，故C错误，不符合题意；
(x+3)(x-3)=x2-9，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
变式1．(2023·山东聊城·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：A选项根据积的乘方等于乘方的积即可判断；B选项合并同类型：字母和字母的指数比不变，系数相加；C选项利用乘方的分配律；D选项先用幂的乘方化简，在运用整式的除法法则．
【详解】解：A、原式，不合题意；
B、原式，不合题意；
C、原式，不合题意；
D、原式=-1，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查积的乘方、幂的乘方、合并同类型、乘法分配律、整式的除法，掌握相应的运算法则是解题的关键，其中每一项的符号是易错点．
变式2．(2023·四川眉山·中考真题）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则分析选项即可知道答案．
【详解】解：A. 根据同底数幂的乘法法则可知：，故选项计算错误，不符合题意；
B. 和不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
C. 根据完全平方公式可得：，故选项计算错误，不符合题意；
D. ，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则．
变式3．（2023·湖北宜昌·七年级期中）以下表示图中阴影部分面积的式子，不正确的是（ ）.
A．x（x+5）+15B．x2+5（x+3）
C．（x+3）（x+5）﹣3xD．x2+8x
答案：D
分析：根据长方形和正方形的面积公式得出各个部分的面积，再逐个判断即可．
【详解】解：阴影部分的面积为：
或或，
即选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，解题的关键是能用代数式表示出各个部分的面积．
◎考点题型6 多项式与多项式相乘的运算法则
概念：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
【注意】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并。
特殊的二项式相乘：.
例．(2023·山东泰安·期中）（2x＋p）（x－3）的展开式中，不含x的一次项，则p值是（ ）
A．－6B．6C．－4D．4
答案：B
分析：根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn计算，再根据乘积中不含x的一次项，得出它的系数为0，即可求出p的值．
【详解】解：根据题意得：
，
∵（2x+p）与（x-3）的乘积中不含x的一次项，
∴-6+p=0，
∴p=6；
故选：B．
【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项，漏字母．
变式1．(2023·全国·七年级期末）如果（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，那么m，n的值分别是（ ）
A．5，6B．1，﹣6C．﹣1，6D．5，﹣6
答案：B
分析：已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出与的值．
【详解】解：，
，．
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式法则．
变式2．(2023·湖南怀化·七年级期中）若多项式与的乘积中不含的一次项，则的值（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：先根据多项式乘多项式运算法则进行乘法运算，然后找到所有含的一次项，根据题意可知含有的一次项的系数之和为零，可得关于的方程，解方程即可求出的值．
【详解】解：
∵多项式与的乘积中不含的一次项，
∴，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，合并同类项等知识点．解题的关键是熟练运用多项式乘多项式乘法运算法则及正确理解题意．
变式3．(2023·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）如果2（5﹣a）（6+a）＝100，那么a2+a+1的值为（ ）
A．19B．﹣19C．69D．﹣69
答案：B
分析：先根据多项式乘以多项式法则计算2（5﹣a）（6+a）＝100，得a2+a＝﹣20，最后整体代入可得结论．
【详解】解：∵2（5﹣a）（6+a）＝100，
∴﹣a2+5a﹣6a+30＝50，
∴a2+a＝﹣20，
∴a2+a+1＝﹣20+1＝﹣19，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式、求代数式的值，设计整体思想，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
◎考点题型7 同底数幂的除法法则
概念：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）
【注意】（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
例．(2023·山东枣庄·七年级期中）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2）0＝2B．a2÷a﹣2＝1C．m6÷m2＝m3D．3﹣2＝
答案：D
分析：根据零指数幂来计算A，同底数幂除法来计算求解B和C，用负整数指数幂来求解D．
【详解】解：A．，故原选项计算错误，此项不符合题意；
B．，故原选项计算错误，此项不符合题意；
C．，故原选项计算错误，此项不符合题意；
D．，故原选项计算正确，此项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂除法，零指数幂和负整数指数幂，理解相关法则是解答关键．
变式1．(2023·江苏徐州·七年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项逐项分析即可．
【详解】解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项正确；
C. ，故该选项错误；
D. ，故该选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，解题关键是掌握相关的运算法则．
变式2．(2023·浙江宁波·七年级期中）已知，则（ ）
A．B．1C．D．
答案：D
分析：由ax=3，ay=2可得a2x，a3y，再由a2x-3y=a2x÷a3y即可求解．
【详解】解：∵ax=3，ay=2，
∴a2x=（ax）2=（3）2=9，a3y=（ay）3=（2）3=8，
∴a2x-3y=a2x÷a3y=9÷8=，
故选：D．
【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，解题的关键是由ax=3，ay=2得出a2x，a3y的值．
变式3．(2023·广西贵港·七年级期末）已知，则的值为（ ）
A．72B．54C．17D．12
答案：A
分析：根据同底数幂的乘法法则逆运算进行求解即可．
【详解】解：∵
a2m+3n=（a2m）•（a3n）
=（am）2•（an）3
=9×8
=72．
故选A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方和积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
◎考点题型8零指数幂
概念：任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）
【注意】底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积。
因此常数项也叫0次单项式.
例．(2023·河南三门峡·七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．是无理数B．是有理数C．是无理数D．是有理数
答案：D
分析：根据无理数的性质和定义，以及有理数的定义即可判定．
【详解】解：A、是有理数，该选项不符合题意；
B、是无理数，该选项不符合题意；
C、是有理数，该选项不符合题意；
D、是有理数，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数与无理数，弄清有理数与无理数的定义是解本题的关键．
变式1．(2023·山东济南·期末）如果，，，则，，三数的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：∵a=（-2022）0=1，b=（-2022）-1=-，c=（-2）2022=22022，
∴c＞a＞b．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．
变式2．(2023·山东泰安·期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
变式3．(2023·山东淄博·期中）若a＝﹣0.32，b＝3﹣2，，，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．a＜b＜d＜cB．b＜a＜d＜cC．a＜d＜c＜bD．c＜a＜d＜b
答案：A
分析：直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简即可．
【详解】解：∵a＝﹣0.32＝﹣0.09，b＝3﹣2=，，，
∴a、b、c、d的大小关系是：a＜b＜d＜c．
故选：A．
【点睛】本题主要考查负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，解题关键是正确化简各数．
◎考点题型9单项式除以单项式法则
概念：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
【注意】（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项
式的结果仍为单项式.
例．(2023·重庆八中七年级期末）如果，那么的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：C
分析：先根据幂的乘方运算，然后单项式除法列方程计算求得m、n，然后代入计算即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴m-1=1、，解得：m=2，n=3
∴m+n=4+1=5．
故选C．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算、单项式除法等知识点，根据题意求得m、n是解答本题的关键．
变式1．(2023·山东菏泽·七年级期中）N是一个单项式，且，则N等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：利用单项式与单项式除法，把他们的系数，相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进而得出即可．
【详解】解：∵N•（-2x2y）=-3ax2y2，
∴N=-3ax2y2÷（-2x2y）=ay．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．
变式2．(2023·山东菏泽·七年级期中）N是一个单项式，且，则N等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：利用单项式与单项式除法，把他们的系数，相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进而得出即可．
【详解】解：∵N•（-2x2y）=-3ax2y2，
∴N=-3ax2y2÷（-2x2y）=ay．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．
变式3．(2023·河北·围场满族蒙古族自治县中小学教研室八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：根据合并同类项，完全平方公式，单项式除以单项式，积的乘方逐项判断即可．
【详解】解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项正确；
D. ，故该选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查合并同类项，完全平方公式，单项式除以单项式，积的乘方，解题关键是掌握相关的公式及运算法则．
◎考点题型10 多项式除以单项式法则
概念：多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
即
【注意】（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.
例．(2023·浙江杭州·七年级阶段练习）若A与的积为，则A为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：利用多项式除以单项式的运算法则计算即可求解．
【详解】解：则题意得A=() ÷(-ab)
=-4a3b3÷(-ab)+3a2b2÷(-ab)-ab÷(-ab)
=8a2b2-6ab+1，
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
变式1．(2023·四川成都·七年级期中）面积为的长方形一边长为，则另一边长为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：利用长方形的面积公式进行求解即可．
【详解】由题意得：另一边长为：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查整式的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
变式2．(2023·江苏南通·八年级期末）计算（15x2y﹣10xy2）÷5xy的结果为（ ）
A．3x﹣2xyB．3xy﹣2yC．3x﹣2yD．3x2﹣2y2
答案：C
分析：根据多项式除以单项式的运算法则求解即可．
【详解】解：（15x2y﹣10xy2）÷5xy，
，
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
变式3．(2023·河南·驻马店市第二初级中学七年级期中）一个长方形的面积是，若一边长是3a，则它的邻边长是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据长方形的面积计算，则另一边为，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得
．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的除法运算，正确地计算能力是解决问题的关键．
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