人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题17因式分解-原卷版+解析

这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题17因式分解-原卷版+解析，共25页。

◎考点题型1 因式分解的概念
概念：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【注意】（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是
一种运算.
例．（2023·河南南阳·八年级期中）下列各式从左到右是分解因式的是（ ）
A．B．
C．D．
变式1．(2023·江苏淮安·七年级期中）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．(2023·湖南岳阳·七年级期中）将多项式进行因式分解，得到，则，分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
变式3．(2023·广西贵港·七年级期中）已知多项式因式分解后得到一个因式为，则m的值为（ ）
A．B．5C．D．6
◎考点题型2 提取公因式法
1、公因式
概念：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
【注意】（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母
是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
2、提公因式法
概念：把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
【注意】（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式
后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
例．(2023·广西贵港·七年级期中）多项式与 的公因式是（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·湖南·耒阳市教育研究室八年级期末）下列各式，可以分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·全国·八年级期末）将多项式﹣5a2bc+3ab2﹣abc各项提公因式后，另一个因式是（ ）
A．5ac﹣3b+cB．5bc﹣3b+cC．﹣5ac+3b+cD．﹣5bc+3b+c
变式3．(2023·浙江绍兴·七年级期中）计算的结果为（ ）
A．2021B．20210C．202100D．2021000
◎考点题型3 公式法——平方差公式
1、概念：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，
即：
【注意】（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的
和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
2、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
3、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
例．（2023·四川·成都七中七年级阶段练习）若，，那么的值是（ ）
A．－2B．－4C．2D．4
变式1．(2023·山东济南·七年级期末）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·山东济南·八年级期末）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023·吉林长春·八年级期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
◎考点题型4 公式法——完全平方公式
1、概念：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方。
即，
形如，的式子叫做完全平方式。
【注意】（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2。右
边是两数的和（或差）的平方。
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件。
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式。
2、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
3、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
例．（2023·湖南娄底·二模）若x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（ ）
A．﹣3B．1C．﹣3，1D．﹣1，3
变式1．(2023·山东济南·八年级期末）下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·北京石景山·七年级期末）若多项式可以分解因式为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·福建宁德·八年级期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
◎考点题型5 十字相乘法
1、概念：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
【注意】（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
2、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
【注意】（1）分解思路为“看两端，凑中间”
二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
例．(2023·安徽宿州·八年级期中）如果多项式能因式分解为，则的值是（ ）
A．-7B．7C．-13D．13
变式1．(2023·安徽宿州·八年级期中）如果多项式能因式分解为，则的值是（ ）
A．-7B．7C．-13D．13
变式2．(2023·山东·潍坊市寒亭区教学研究室一模）将多项式因式分解，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式3．(2023·广东广州·八年级期末）若，则p，q的值分别为（ ）
A．p＝3，q＝4B．p＝－3，q＝4C．p＝3，q＝－4D．p＝－3，q＝－4
◎考点题型6分组分解法
概念：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
【注意】分组分解法分解因式常用的思路有：
例．（2023·四川凉山·一模）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·福建·南靖县城关中学八年级阶段练习）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）
A．±1B．1或11C．±11D．±1或±11
变式2．（2023·全国·九年级专题练习）能使分式的值为正整数的所有的值的和为（ ）
A．10B．0C．D．
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）用分组分解的因式，分组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
◎考点题型7 因式分解的应用
例．(2023·福建宁德·八年级期中）已知a、b、c分别为三角形的三条边，则的值（ ）
A．可能为零B．一定为负数C．一定为正数D．无法确定
变式1(2023·四川达州·八年级期末）一位密码编译爱好者的密码手册中有这样一条信息：a-1，x-y，2，a2+1，x，a+1分别对应下列六个字：县，爱，我，数，学，渠．现将2x（a2-1）-2y（a²-1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱渠县B．爱渠县C．我爱学D．渠县
变式2．(2023·河北唐山·七年级期末）如图，边长为、的长方形周长为16，面积为12，则的值为（ ）
A．28B．96C．192D．200
变式3．(2023·广东清远·八年级期中）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若，，则△ABC的周长是（ ）
A．3B．6C．8D．12
◎考点题型8 因式分解在有理数简算中的应用
例．（2023·全国·八年级单元测试）2 0152-2 015一定能被（ ）整除
A．2 010B．2 012C．2 013D．2 014
变式1．（2023·全国·八年级课时练习）计算：752-252=（ ）
A．50B．500C．5000D．7100
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）计算：2-(-2)的结果是( )
A．2B．3×2C．-2D．()
变式3．(2023·全国·八年级单元测试）化简：（﹣2）2003+（﹣2）2002所得的结果为（ ）
A．22002B．﹣22002C．﹣22003D．2
方法
分类
分组方法
特点
分组分解法
四项
二项、二项
①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
三项、一项
先完全平方公式后平方差公式
五项
三项、二项
各组之间有公因式
六项
三项、三项
二项、二项、二项
各组之间有公因式
三项、二项、一项
可化为二次三项式
专题17 因式分解
【思维导图】
◎考点题型1 因式分解的概念
概念：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【注意】（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是
一种运算.
例．（2023·河南南阳·八年级期中）下列各式从左到右是分解因式的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：根据分解因式的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A．等式右边不是整式的积，由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
B．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C．等式右边的因式不是整式，即等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，注意：把多项式化成几个整式乘积的形式，叫因式分解，也叫分解因式，准确把握定义是解题关键．
变式1．(2023·江苏淮安·七年级期中）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义进行判断即可．
【详解】解：A．a（x﹣y）＝ax﹣ay是单项式乘多项式，故不符合题意；
B．是多项式乘多项式，故不符合题意；
C．x2+2x+1＝（x+1）2，是因式分解，符合题意；
D．，因式分解错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解的意义，牢固掌握因式分解的定义，能够根据定义对所给的式子进行判断是解题的关键．
变式2．(2023·湖南岳阳·七年级期中）将多项式进行因式分解，得到，则，分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
答案：B
分析：先利用多项式乘多项式法则计算（x-9）（2x-n），根据乘法与因式分解的关系得到关于m、n的方程，求解即可．
【详解】解：∵（x-9）（2x-n）
=2x2-18x-nx+9n
=2x2-（18+n）x+9n，
又∵2x2+mx-18因式分解得到（x-9）（2x-n），
∴2x2+mx-18=2x2-（18+n）x+9n，
∴m=-（18+n），9n=-18，
∴n=-2，m=-16．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的因式分解，掌握乘法与因式分解的关系是解决本题的关键．
变式3．(2023·广西贵港·七年级期中）已知多项式因式分解后得到一个因式为，则m的值为（ ）
A．B．5C．D．6
答案：C
分析：令，求出x的值，代入多项式计算求出m的值即可．
【详解】解：令，即
把代入多项式得：
解得
故选C．
【点睛】此题考查了因式分解的概念，特殊值法是本题的关键．
◎考点题型2 提取公因式法
1、公因式
概念：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
【注意】（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母
是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
2、提公因式法
概念：把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
【注意】（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式
后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
例．(2023·广西贵港·七年级期中）多项式与 的公因式是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：先对多项式 与进行因式分解，再根据公因式的定义解决此题．
【详解】解：∵，
，
∴ 与 的公因式为 ；
故选：D．
【点睛】本题主要考查运用公式法进行因式分解以及公因式的定义，熟练掌握运用公式法进行因式分解以及公因式的定义是解决本题的关键．
变式1．(2023·湖南·耒阳市教育研究室八年级期末）下列各式，可以分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据因式分解的定义进行逐项分析即可．
【详解】解：A. 不可以进行因式分解，故该选项不符合题意；
B. 不可以进行因式分解，故该选项不符合题意；
C. 不可以进行因式分解，故该选项不符合题意；
D. 可分解因式，故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的概念，把一个多项式化成几个整式乘积的形式叫做因式分解．
变式2．(2023·全国·八年级期末）将多项式﹣5a2bc+3ab2﹣abc各项提公因式后，另一个因式是（ ）
A．5ac﹣3b+cB．5bc﹣3b+cC．﹣5ac+3b+cD．﹣5bc+3b+c
答案：A
分析：根据题意，提取公因式，即可求解．
【详解】解：﹣5a2bc+3ab2﹣abc
故选A．
【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，正确的计算是解题的关键．
变式3．(2023·浙江绍兴·七年级期中）计算的结果为（ ）
A．2021B．20210C．202100D．2021000
答案：C
分析：首先提取公因式，再进行计算即可．
【详解】解：原式＝2021×（32+42+72）
＝2021×（9+42+49）
＝2021×100
＝202100．
故选：C．
【点睛】此题考查的是因式分解的应用及有理数的混合运算，掌握因式分解的方法是解决此题的关键．
◎考点题型3 公式法——平方差公式
1、概念：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，
即：
【注意】（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的
和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
2、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
3、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
例．（2023·四川·成都七中七年级阶段练习）若，，那么的值是（ ）
A．－2B．－4C．2D．4
答案：C
分析：根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】∵，，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了利用平方差公式因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．
变式1．(2023·山东济南·七年级期末）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据平方差公式的特点直接可得到答案．
【详解】解：（-x+y）（x-y）=-（x-y）（x-y）=-（x-y）2不能用平方差公式计算，故选项A不符合题意；
（-x-y）（x-y）=（-y）2-x2=y2-x2，能用平方差公式计算，故选项B符合题意；
（x+2）（2+x）=（x+2）2不能用平方差公式计算，故选项C不符合题意；
（2x+3）（3x-2）没有相同项，不能用平方差公式，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式的应用，解题的关键是掌握平方差公式的特点．
变式2．(2023·山东济南·八年级期末）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：利用提公因式与平方差公式进行分解因式，再约分化简即可．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查分式的约分，涉及提公因式、平方差公式进行分解因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
变式3．（2023·吉林长春·八年级期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：直接利用平方差公式:,分解因式判断即可．
【详解】解：A、x2+4，无法分解因式，故此选项不符合题意；
B、，无法运用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
C、，能运用平方差公式分解因式，故此选项符合题意；
D、，指数不是2，无法运用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
故选：C
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
◎考点题型4 公式法——完全平方公式
1、概念：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方。
即，
形如，的式子叫做完全平方式。
【注意】（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2。右
边是两数的和（或差）的平方。
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件。
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式。
2、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
3、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
例．（2023·湖南娄底·二模）若x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（ ）
A．﹣3B．1C．﹣3，1D．﹣1，3
答案：D
分析：利用完全平方公式的运算判断即可．
【详解】∵ x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，
∴ m﹣1＝±2，
解得：m＝﹣1或m＝3．
故选：D．
【点睛】此题考查使用完全平方公式的条件，属于基础题．
变式1．(2023·山东济南·八年级期末）下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据完全平方式的特征：a2±2ab+b2，判断即可．
【详解】解：A．x2+1，缺少积的2倍项，不能用完全平方公式进行分解因式，故A不符合题意；
B．x2+2x-1，缺少两数的平方的和，不能用完全平方公式进行分解因式，故B不符合题意；
C．x2+3x+9，积的2倍项的系数不符，不能用完全平方公式进行分解因式，故C不符合题意；
D．，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
变式2．(2023·北京石景山·七年级期末）若多项式可以分解因式为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【详解】解∶由题意得∶
，
4-ax+x2=4-4x +x2，
∴a=4，
故选∶C．
【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法， 熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
变式3．(2023·福建宁德·八年级期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数( 或式)的平方和的形式，另-项是这两个数( 或式)的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解∶A、，不符合完全平方公式，故此选项错误；
B、，不符合完全平方公式，故此选项错误；
C、，不符合完全平方公式，故此选项错误；
D、，符合完全平方公式，故此选项正确；
故选∶D．
【点睛】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．
◎考点题型5 十字相乘法
1、概念：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
【注意】（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
2、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
【注意】（1）分解思路为“看两端，凑中间”
二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
例．(2023·安徽宿州·八年级期中）如果多项式能因式分解为，则的值是（ ）
A．-7B．7C．-13D．13
答案：A
分析：根据多项式乘以多项式可得m、n的值，再代入计算即可．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解—十字相乘法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
变式1．(2023·安徽宿州·八年级期中）如果多项式能因式分解为，则的值是（ ）
A．-7B．7C．-13D．13
答案：A
分析：根据多项式乘以多项式可得m、n的值，再代入计算即可．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解—十字相乘法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
变式2．(2023·山东·潍坊市寒亭区教学研究室一模）将多项式因式分解，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：先运用完全平方公式展开，然后再合并，最后运用十字相乘法因式分解即可．
【详解】解：
=
=
=．
故选B．
【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式计算、十字相乘法因式分解等知识点，掌握运用十字相乘法进行因式分解是解答本题的关键．
变式3．(2023·广东广州·八年级期末）若，则p，q的值分别为（ ）
A．p＝3，q＝4B．p＝－3，q＝4C．p＝3，q＝－4D．p＝－3，q＝－4
答案：B
分析：根据因式分解，进而即可求得的值
【详解】解：，
p，q的值分别为
故选：B
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
◎考点题型6分组分解法
概念：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
【注意】分组分解法分解因式常用的思路有：
例．（2023·四川凉山·一模）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据因式分解的方法与步骤进行判断即可
【详解】解：A．原式不能分解，符合题意；
B．原式，不符合题意；
C．原式，不符合题意；
D．原式，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解答的关键，注意实数范围内分解因式时2要写成．
变式1．（2023·福建·南靖县城关中学八年级阶段练习）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）
A．±1B．1或11C．±11D．±1或±11
答案：B
分析：根据因式分解的分组分解法即可求解．
【详解】解：a2-ab-ac+bc=11，
（a2-ab）-（ac-bc）=11，
a（a-b）-c（a-b）=11，
（a-b）（a-c）=11，
∵a＞b，
∴a-b＞0，a，b，c是正整数，
∴a-b=1或11，a-c=11或1．
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式．
变式2．（2023·全国·九年级专题练习）能使分式的值为正整数的所有的值的和为（ ）
A．10B．0C．D．
答案：D
分析：先把分式进行化简，再根据分式的值为正整数求出x的值，再将所有符合条件的x的值相加即可．
【详解】∵，
∴，
，若
分式的值为正整数，则，，，，所以，1，0，，所以.故选D.
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，能利用分组分解法对原分式的分母因式分解是解决此题的关键.
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）用分组分解的因式，分组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可.
【详解】
=
=
=.
故选D.
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键.
◎考点题型7 因式分解的应用
例．(2023·福建宁德·八年级期中）已知a、b、c分别为三角形的三条边，则的值（ ）
A．可能为零B．一定为负数C．一定为正数D．无法确定
答案：B
分析：根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合平方差公式即可求解．
【详解】解：∵a、b、c分别为三角形的三条边，
∴， ，
∴．
∵，
∴，即的值一定为负数，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系．掌握平方差公式及三角形三边的关系是解题的关键．
变式1(2023·四川达州·八年级期末）一位密码编译爱好者的密码手册中有这样一条信息：a-1，x-y，2，a2+1，x，a+1分别对应下列六个字：县，爱，我，数，学，渠．现将2x（a2-1）-2y（a²-1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱渠县B．爱渠县C．我爱学D．渠县
答案：A
分析：先提取公因式，再根据平方差公式对这个多项式进行因式分解，从而得到呈现的密码信息．
【详解】解：2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）
＝2（a2﹣1）（x﹣y）
＝2（a﹣1）（a+1）（x﹣y）
＝2（x﹣y）（a+1）（a﹣1），
结果呈现的密码信息可能是：我爱渠县，
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解﹣分组分解法，一定要注意把每一个多项式分解到不能再分解为止．
变式2．(2023·河北唐山·七年级期末）如图，边长为、的长方形周长为16，面积为12，则的值为（ ）
A．28B．96C．192D．200
答案：B
分析：根据题意得出a+b=8，ab=12，然后将整式因式分解化简整体带入求解即可
【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12，
∴a+b=8，ab=12，
则a2b+ab2=ab(a+b)=12×8=96．
故选：B．
【点睛】题目主要考查利用整体代入法求代数式的值，理解题意是解题关键．
变式3．(2023·广东清远·八年级期中）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若，，则△ABC的周长是（ ）
A．3B．6C．8D．12
答案：B
分析：先把因式分解可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ABC的周长是6．
故选：B
【点睛】本题考查因式分解的应用，将已知等式移项后因式分解是求解本题的关键．
◎考点题型8 因式分解在有理数简算中的应用
例．（2023·全国·八年级单元测试）2 0152-2 015一定能被（ ）整除
A．2 010B．2 012C．2 013D．2 014
答案：D
【详解】解析：2 0152-2 015=2 015×（2 015-1）=2 015×2 014，所以一定能被2 014整除.故选D.
变式1．（2023·全国·八年级课时练习）计算：752-252=（ ）
A．50B．500C．5000D．7100
答案：C
【详解】原式=（75+25）×（75-25）=100×50=5000，
故选C．
考点：因式分解的运用．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）计算：2-(-2)的结果是( )
A．2B．3×2C．-2D．()
答案：B
【详解】22014-(-2)2015=22014+22015=22014(1+2)=3×22014.
故选B.
变式3．(2023·全国·八年级单元测试）化简：（﹣2）2003+（﹣2）2002所得的结果为（ ）
A．22002B．﹣22002C．﹣22003D．2
答案：B
【详解】试题解析：原式
故选B.
方法
分类
分组方法
特点
分组分解法
四项
二项、二项
①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
三项、一项
先完全平方公式后平方差公式
五项
三项、二项
各组之间有公因式
六项
三项、三项
二项、二项、二项
各组之间有公因式
三项、二项、一项
可化为二次三项式