人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练第15章分式章末检测卷-原卷版+解析

这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练第15章分式章末检测卷-原卷版+解析，共23页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)(2023·河北·围场满族蒙古族自治县中小学教研室八年级期末）下列各式：，，，，，其中分式共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．(本题4分)（2023·四川乐山·八年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．当x＝2时，的值为零
B．无论x为何值，的值总为正数
C．无论x为何值，不可能得整数值
D．是分式
3．(本题4分)(2023·山东泰安·八年级期末）若代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．且
4．(本题4分)(2023·江苏扬州·八年级期末）下列各式中，最简分式是（ ）
A．B．C．D．
5．(本题4分)(2023·湖南邵阳·八年级期末）若分式中的x和y都扩大3倍，且分式的植不变，则□可以是（ ）
A．2B．yC．D．
6．(本题4分)(2023·湖南衡阳·八年级期中）下列说法正确的是( )
A．形如的式子叫分式B．分式不是最简分式
C．分式与的最简公分母是 D．当x=2时，分式的值不存在
7．(本题4分)(2023·河北承德·八年级期末）化简，正确结果是（ ）
A．B．C．D．
8．(本题4分)(2023·河南许昌·八年级期末）如果a=-3，b= ，那么代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
9．(本题4分)(2023·安徽合肥·八年级期末）元旦期间，庐江某商城生意火爆．元月1日，某商品的售价是m元/千克，元月2日，该商品的售价调整为n元/千克（m≠n），顾客甲1日和2日分别购买2千克的该商品；顾客乙1日与2日分别购买20元的该商品．在这两次购物中，顾客甲、乙购买该商品的平均单价谁划算（ ）
A．甲划算B．乙划算C．一样划算D．无法比较
10．(本题4分)(2023·重庆·西南大学附中七年级期末）若整数使关于的分式方程的解为非负整数，且使关于的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．14B．12C．6D．4
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)(2023·江苏宿迁·七年级阶段练习）石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.000034米，这个数用科学记数法表示________．
12．(本题5分)(2023·江苏盐城·八年级期中）将分式化为最简分式，所得结果是_______．
13．(本题5分)（2023·全国·八年级课时练习）与通分的结果是_______．
14．(本题5分)(2023·江苏无锡·七年级期中）定义一种新运算，例如，
（1）__________ ；
（2）若，则k＝_____．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)(2023·贵州铜仁·八年级期末）计算：
(1)
(2)
16．(本题8分)(2023·江苏无锡·八年级期末）（1）解方程：；
（2）解方程：3x2－6x－1＝0．
17．(本题8分)(2023·黑龙江佳木斯·三模）先化简，再求值：其中a从－1，0，1，2中取一个合适的数代入求值．
18．(本题8分)(2023·福建·三明一中八年级阶段练习）已知关于x的分式方程．
(1)若方程的增根为，求m的值；
(2)若方程无解，求m的值．
19．(本题10分)(2023·浙江金华·七年级期末）通常情况下，不一定等于，观察下列几个式子：
第1个：
第2个：
第3个：……
我们把符合的两个数叫做“和积数对”．
(1)写出第4个式子．
(2)写出第个式子，并检验．
(3)若，是一对“和积数对”，求代数式的值．
20．(本题10分)(2023·河南郑州·八年级期末）请你阅读下面小王同学的解题过程，思考并完成任务：
先化简，再求值：，其中：．
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
………………………………第五步
当时，原式．
(1)任务一：以上解题过程中，第________步是约分，其变形依据是________；
(2)任务二：请你用与小明同学不同的方法，完成化简求值；
(3)任务三：根据平时的学习经验，就分式化简时需要注意的事项给同学们提一条建议．
21．(本题12分)(2023·安徽合肥·七年级期末）【阅读理解】观察下列各等式：
；；；…
(1)以上各等式都有一个共同的特征：某两个实数的______等于______；如果等式左边的第一个实数用m表示，第二个用n表示，那么这些等式的共同特征可用含m、n的等式表示为：______；
(2)【解决问题】将上面的等式变形，用含n的代数式表示出m．
(3)【拓展应用】观察下列各等式：
；；；…请你再写出一个满足上式共同特征的等式：______．
22．(本题12分)(2023·江苏南京·八年级期中）阅读材料．
已知，求的值．
解：由，得．
颠倒分子与分母的位置为．
因为，
所以．
回答问题：
已知，，为非零实数，，，，求代数式的值．
23．(本题14分)(2023·浙江舟山·七年级期末）某药店采购部于7月份和8月份分别用2000元和5000元购两批口罩，在进价相同情况下，8月份的数量是7月份购进数量的2倍多50盒，该药店在7、8月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为30元．
(1)求7、8月各购进口罩多少盒？
(2)已知7月份两店按标价各卖出a盒后，做优惠促销活动：甲店剩余口罩按标价的八折全部出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b（）盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同.
①若，求a、b的值．
②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n盒后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少捐赠50盒口罩，且预计乙店7、8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元，求n的值．
分式章末检测卷
考试范围：第15章；考试时间：120分钟；满分150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)(2023·河北·围场满族蒙古族自治县中小学教研室八年级期末）下列各式：，，，，，其中分式共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：C
分析：根据分式的定义即可求解．形如的式子叫分式，其中A． B都是整式，并且B中含有字母．
【详解】，，，，，其中分式有：，，，共3个，其他都是整式；
故选：C
【点睛】本题考查了分式的定义，理解分式定义是解题的关键．
2．(本题4分)（2023·四川乐山·八年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．当x＝2时，的值为零
B．无论x为何值，的值总为正数
C．无论x为何值，不可能得整数值
D．是分式
答案：B
分析：A、根据分式有意义的条件是分母不等于0；B、分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；C、分式值整数的条件是分母是分子的约数且分母不等于0；D、根据分式的定义（形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式）判断即可．
【详解】解：A．当x＝2时，分式无意义，故本选项不合题意；
B．无论x为何值，的值总为正数，故本选项符合题意；
C．当x＝0或2时，能得整数值，故本选项不合题意；
D．不是分式，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
3．(本题4分)(2023·山东泰安·八年级期末）若代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．且
答案：B
分析：根据二次根式和分式有意义的条件可得出，解之即得出答案．
【详解】根据题意可得，
解得： ，
∴且．
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式和分式有意义的条件．掌握被开方数为非负数，分式的分母不能为0是解题关键．
4．(本题4分)(2023·江苏扬州·八年级期末）下列各式中，最简分式是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据最简分式的定义进行分析判断．
【详解】解：A、该分式的分子与分母没有公因式，是最简分式，符合题意；
B、是整式，不是分式，不符合题意；
C、该分式的分子与分母有公因式( x+1 )，不是最简分式，不符合题意；
D、该分式的分子与分母有公因式( x-y)，不是最简分式，不符合题意．
故选∶A．
【点睛】本题主要考查最简分式，解题的关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫最简分式．
5．(本题4分)(2023·湖南邵阳·八年级期末）若分式中的x和y都扩大3倍，且分式的植不变，则□可以是（ ）
A．2B．yC．D．
答案：C
分析：x和y都扩大3倍，则2xy扩大到原来的9倍，要使分式的值不变，则x2+□也扩大到原来的9倍，所以□可以是y2．
【详解】解：∵x和y都扩大3倍，
∴2xy扩大到原来的：3×3＝9倍，
∵分式的值不变，
∴x2+□也扩大到原来的9倍，
∵x扩大3倍，x2扩大到原来的9（32＝9）倍，
∴□也要扩大到原来的9倍，
∵y扩大3倍，y、3y都扩大到原来的3倍，y2扩大到原来的9（32＝9）倍，
∴□可以是y2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
6．(本题4分)(2023·湖南衡阳·八年级期中）下列说法正确的是( )
A．形如的式子叫分式B．分式不是最简分式
C．分式与的最简公分母是 D．当x=2时，分式的值不存在
答案：D
分析：根据分式的定义，最简分式，最简公分母的计算方法以及分式有意义的条件解答即可．
【详解】A、B中含有字母且的式子才是分式，故本选项不符合题意．
B、分式的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故本选项不符合题意．
C、分式与的最简公分母是，故本选项不符合题意．
D、时，分子，分式有意义，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的定义，最简分式，最简公分母的计算方法以及分式有意义的条件等知识点，难度不大．
7．(本题4分)(2023·河北承德·八年级期末）化简，正确结果是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据分式的除法进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝，
故选D．
【点睛】本题考查了分式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．
8．(本题4分)(2023·河南许昌·八年级期末）如果a=-3，b= ，那么代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：先根据分式的混合运算法则化简所求代数式，再将a，b的值代入化简后式子即可得解．
【详解】解：原式
，
当a=-3，b= 时，原式，
故选D．
【点睛】本题考查分式的混合运算及求代数式的值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
9．(本题4分)(2023·安徽合肥·八年级期末）元旦期间，庐江某商城生意火爆．元月1日，某商品的售价是m元/千克，元月2日，该商品的售价调整为n元/千克（m≠n），顾客甲1日和2日分别购买2千克的该商品；顾客乙1日与2日分别购买20元的该商品．在这两次购物中，顾客甲、乙购买该商品的平均单价谁划算（ ）
A．甲划算B．乙划算C．一样划算D．无法比较
答案：B
分析：分别求出顾客甲、顾客乙购买该商品的平均单价，再利用作差法比较大小即可．
【详解】解：顾客甲购买该商品的平均单价为＝（元/千克），
顾客乙购买该商品的平均单价为＝（元/千克），
∵﹣＝＝＞0，
∴乙划算，
故选：B．
【点睛】本题考查了平均数的应用，分式的混合运算，根据题意表示出顾客甲、顾客乙购买该商品的平均单价是解题的关键．
10．(本题4分)(2023·重庆·西南大学附中七年级期末）若整数使关于的分式方程的解为非负整数，且使关于的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．14B．12C．6D．4
答案：B
分析：先解一元一次不等式组，根据不等式组至多有3个整数解，求出的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定的值即可解答．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组至多有3个整数解，
，解得，
方程，去分母得，解得：，
分式方程有非负整数解，
为非负整数）且，
且，
，取偶数且，
且且为偶数，
符合条件的所有整数的值为：，，0，4，6，8，
符合条件的所有整数的和是：12，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)(2023·江苏宿迁·七年级阶段练习）石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.000034米，这个数用科学记数法表示________．
答案：3.4×10-5
分析：绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000034=3.4×10-5．
故答案为：3.4×10-5．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．(本题5分)(2023·江苏盐城·八年级期中）将分式化为最简分式，所得结果是_______．
答案：
分析：先把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．
【详解】解：

．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是最简分式，掌握分式的约分法则是解题的关键．
13．(本题5分)（2023·全国·八年级课时练习）与通分的结果是_______．
答案：
分析：找到最简公分母，根据分式的结伴行知进行通分即可；
【详解】，，
最简公分母为，
通分后分别为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的通分，准确计算是解题的关键．
14．(本题5分)(2023·江苏无锡·七年级期中）定义一种新运算，例如，
（1）__________ ；
（2）若，则k＝_____．
答案： 9 4
分析：（1）根据新定义运算的运算法则计算即可；
（2）根据新定义运算的运算法则可列出关于k的分式方程，解出k即可．
【详解】（1）由定义的新运算法则可知；
故答案为：9；
（2）由定义的新运算法则可知，
∴，即，
解得：，
经检验是原方程的解．
故答案为：4．
【点睛】本题考查新定义的实数运算，负整数指数幂，含乘方的有理数的混合运算以及解分式方程．掌握新定义运算的运算法则是解题关键．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)(2023·贵州铜仁·八年级期末）计算：
(1)
(2)
答案：(1)
(2)
分析：（1）根据分式的除法计算法则求解即可；
（2）根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值以及二次根式的混合计算法则求解即可．
(1)
解：
；
(2)
解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的除法，二次根式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，绝对值等等，熟知相关计算法则是解题的关键．
16．(本题8分)(2023·江苏无锡·八年级期末）（1）解方程：；
（2）解方程：3x2－6x－1＝0．
答案：（1）x＝5；（2）x1＝1+，x2＝1﹣
分析：（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）方程移项后，利用配方法求出解即可．
【详解】解：（1）去分母得：﹣2＝1﹣x+2x﹣8，
解得：x＝5，
检验：把x＝5代入得：x﹣4≠0，
∴分式方程的解为x＝5；
（2）方程整理得：x2﹣2x＝，
配方得：x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及解分式方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
17．(本题8分)(2023·黑龙江佳木斯·三模）先化简，再求值：其中a从－1，0，1，2中取一个合适的数代入求值．
答案：，
分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式有意义的条件确定x的值代入进行计算即可．
【详解】
，
根据题意有：、、，
则有、、，
则－1，0，1，2这四个数中，只有，
则原式，
即值为：．
【点睛】分式的化简求值以及分式有意义的条件等知识，根据分式有意义的条件确定x的值是解答本题的关键．
18．(本题8分)(2023·福建·三明一中八年级阶段练习）已知关于x的分式方程．
(1)若方程的增根为，求m的值；
(2)若方程无解，求m的值．
答案：(1)－6
(2)−1或−6或
分析：方程去分母转化为整式方程，
（1）根据分式方程的增根为x＝1，求出m的值即可；
（2）分m＋1＝0与m＋1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．
(1)
解：方程两边同时乘以（x＋2）（x−1），
去分母并整理得：2（x＋2）＋mx＝x−1，
移项合并得：（m＋1）x＝−5，
∵x＝1是分式方程的增根，
∴1＋m＝−5，
解得：m＝−6；
(2)
解：方程两边同时乘以（x＋2）（x−1），
去分母并整理得：2（x＋2）＋mx＝x−1，
移项合并得：（m＋1）x＝−5，
当m＋1＝0时，该方程无解，此时m＝−1；
当m＋1≠0时，要使原方程无解，只要所求的解，都是原方程的增根即可，
∴当（x＋2）（x−1）＝0时，
解得：x＝−2或x＝1，
当x＝−2时代入（m＋1）x＝−5，解得m＝；
当x＝1时代入（m＋1）x＝−5，解得，m＝−6；
综上，m的值为−1或−6或．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
19．(本题10分)(2023·浙江金华·七年级期末）通常情况下，不一定等于，观察下列几个式子：
第1个：
第2个：
第3个：……
我们把符合的两个数叫做“和积数对”．
(1)写出第4个式子．
(2)写出第个式子，并检验．
(3)若，是一对“和积数对”，求代数式的值．
答案：(1)
(2)，见解析
(3)
分析：（1）根据已知条件得出的规律，直接写即可．
（2）根据已知条件及题目中的规律，直接写即可．
（3）m，n是一对“和积数对”，所以可设m+n=mn=x，化简式子，代入再化简即可．
（1）
第4个式子为；
（2）
第n个式子：；
检验：左边==右边；
（3）
∵m，n是一对“和积数对”，
∴m+n=mn，
设m+n=mn=x，
原式=；
【点睛】本题考查了新定义和化简求值问题，解题关键是读懂题意，根据新定义的规律解决问题．
20．(本题10分)(2023·河南郑州·八年级期末）请你阅读下面小王同学的解题过程，思考并完成任务：
先化简，再求值：，其中：．
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
………………………………第五步
当时，原式．
(1)任务一：以上解题过程中，第________步是约分，其变形依据是________；
(2)任务二：请你用与小明同学不同的方法，完成化简求值；
(3)任务三：根据平时的学习经验，就分式化简时需要注意的事项给同学们提一条建议．
答案：(1)五；分式的基本性质
(2),
(3)见解析
分析：（1）根据分式的基本性质进行分析即可；
（2）先去括号，再化简即可；
（3）在分式化简求值的过程中需要注意：去括号不要漏乘，要化成最简分式，去括号注意变号，必要时可以适当地运用运算律求解．
（1）
解：第五步为约分，其变形依据是分式的基本性质，
故答案为：五；分式的基本性质；
（2）
原式
．
当时，原式．
（3）
去括号时，要注意符号是否需要改变．（答案不唯一）
【点睛】本题考查分式的化简求值、实数的运算及零指数幂，应充分掌握相关的法则，特别要注意运算的顺序，在分式的化简求值中约分的时候要把分子分母因式分解．
21．(本题12分)(2023·安徽合肥·七年级期末）【阅读理解】观察下列各等式：
；；；…
(1)以上各等式都有一个共同的特征：某两个实数的______等于______；如果等式左边的第一个实数用m表示，第二个用n表示，那么这些等式的共同特征可用含m、n的等式表示为：______；
(2)【解决问题】将上面的等式变形，用含n的代数式表示出m．
(3)【拓展应用】观察下列各等式：
；；；…请你再写出一个满足上式共同特征的等式：______．
答案：(1)差；前一个数乘以后一个数的倒数；
(2)
(3)
分析：（1）观察等式，得到规律：前一个数减去后一个数的差等于前一个数乘以后一个数的倒数，即可．
（2）将变式为含的代数式，即可．
（3）观察等式得：分子等于前一个数的分子加后一个数的分子；分母等于前一个数的分母乘以后一个数的分母，即可．
（1）
观察等式；；，得到规律：某两个实数的差等于前一个数乘以后一个数的倒数
∴用等式左边的第一个实数用m表示，第二个用n表示，得．
（2）
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（3）
观察等式；；，得到规律，分子等于前一个数的分子加后一个数的分子；分母等于前一个数的分母乘以后一个数的分母
∴
【点睛】本题考查有理数、代数式的知识点，解题的关键是观察等式，找到等式的规律．
22．(本题12分)(2023·江苏南京·八年级期中）阅读材料．
已知，求的值．
解：由，得．
颠倒分子与分母的位置为．
因为，
所以．
回答问题：
已知，，为非零实数，，，，求代数式的值．
答案：
分析：根据，，，得出，，，根据，得出，即可得出结果．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，根据，，求出，是解题的关键．
23．(本题14分)(2023·浙江舟山·七年级期末）某药店采购部于7月份和8月份分别用2000元和5000元购两批口罩，在进价相同情况下，8月份的数量是7月份购进数量的2倍多50盒，该药店在7、8月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为30元．
(1)求7、8月各购进口罩多少盒？
(2)已知7月份两店按标价各卖出a盒后，做优惠促销活动：甲店剩余口罩按标价的八折全部出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b（）盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同.
①若，求a、b的值．
②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n盒后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少捐赠50盒口罩，且预计乙店7、8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元，求n的值．
答案：(1)7月购进100盒口罩，8月购进250盒口罩
(2)①，；②n的值为74或72
分析：（1）设7月购进x盒口罩，则8月购进（2x＋50）盒口罩，利用单价＝总价÷数量，结合7，8月进价相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）①根据各数量之间的关系，即可用含a（b）的代数式表示出原价部分的利润及优惠部分的利润，结合两店的销售利润相同，即可列出二元一次方程，结合已知条件求解即可；
②利用总利润＝7月份利润＋8月份利润−进价×赠送数量，即可得出关于a，n的二元一次方程，由至少捐赠50盒口罩，可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，结合a，b，n均为自然数，即可求出a，b，n可能的值．
（1）
解：设7月购进x盒口罩，则8月购进盒口罩，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：7月购进100盒口罩，8月购进250盒口罩；
（2）
①口罩的进价为（元/盒），
7月份两店分到的口罩为（盒），
依题意得，甲、乙店原价部分的利润为（元），甲店优惠部分的总利润为元，乙店优惠部分的总利润为（元），
∵两店的利润相同，
∴，
∴，
又∴，
∴，；
②8月乙店分到口罩（盒），
依题意得：，
∴，
∵，
∴，
又∵a，b，n均为自然数，，，
∴a为10的整数倍，
∴或，
答：n的值为74或72．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）①根据各数量之间的关系，用含a（b）的代数式表示出各数量；②找准等量关系，正确列出二元一次方程．