还剩73页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题3选择题重点出题方向四边形中的计算专项训练(原卷版+解析)
展开
这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题3选择题重点出题方向四边形中的计算专项训练(原卷版+解析)，共76页。试卷主要包含了2022中考真题训练，2023中考押题预测等内容，欢迎下载使用。
1．(2023•朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（ ）
A．100°B．80°C．70°D．60°
2．(2023•绵阳）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°，若AH＝2，AD＝5+3，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．4（2+6）B．4（2+3+1）C．8（2+3）D．4（2+6+2）
3．(2023•日照）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF∥BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ）
A．4＜m＜3+2B．3−2＜m＜4C．2−2＜m＜3D．4＜m＜4+2
4．(2023•益阳）如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．(2023•湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为323，则CD的长为（ ）
A．4B．43C．8D．83
6．(2023•日照）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ）
A．27°B．53°C．57°D．63°
7．(2023•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝43，则OE＝（ ）
A．4B．23C．2D．3
8．(2023•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（ ）
A．6B．3C．1.5D．1
9．(2023•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．6D．8
10．(2023•广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A．62B．32C．2−3D．6−22
11．(2023•河池）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（ ）
A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠DAC＝∠BAC
12．(2023•贵港）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，动点E在AB边上（与点A，B均不重合），点F在对角线AC上，CE与BF相交于点G，连接AG，DF，若AF＝BE，下列结论错误的是（ ）
A．DF＝CEB．∠BGC＝120°
C．AF2＝EG•ECD．AG的最小值为223
13．(2023•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为（ ）
A．62B．6C．22D．23
14．(2023•呼和浩特）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF＝45°，则AF：FC的值是（ ）
A．3B．5+1C．22+1D．2+3
15．(2023•包头）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（ ）
A．2OC=5EFB．5OC＝2EFC．2OC=3EFD．OC＝EF
16．(2023•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（ ）
A．2B．2C．22D．4
17．(2023•无锡）如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则EDCD的值是（ ）
A．23B．12C．32D．22
18．(2023•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（ ）
A．23+2B．5−33C．3−3D．3+1
19．(2023•安徽）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（ ）
A．α﹣90°B．α﹣45°C．180°﹣αD．270°﹣α
20．(2023•舟山）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8．点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（ ）
A．32B．24C．16D．8
21．(2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（ ）
A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°
22．(2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
23．(2023•泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交BC于点N，则MN的长为（ ）
A．23B．56C．67D．1
模块二 2023中考押题预测
24．（2023•雁塔区一模）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB，连接AE、BE，若CD＝4，AE＝5，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
25．(2023•槐荫区二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是边长为2的正方形，点A在y轴上运动，点B在x轴上运动，点E为对角线的交点，在运动过程中点E到y轴的最大距离是（ ）
A．22B．1C．2D．2
26．(2023•市南区校级二模）如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E．连接EC，若CE＝CD，则△CDE的面积是（ ）
A．18B．413C．14.4D．63
27．(2023•定安县一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（ ）
A．83B．8C．43D．6
28．(2023•丛台区校级模拟）观察如图，判断哪条线段的长度不能表示平行四边形ABCD的高的是（ ）
A．BFB．GHC．DED．BD
29．(2023•礼县校级模拟）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
30．(2023•武江区校级一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，连接BG．若∠DAF＝n°，则∠ABG的度数为（ ）
A．2n°B．90°﹣n°C．45°+n°D．135°﹣3n°
31．(2023•都安县校级一模）在矩形ABCD中，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于E，交AD于F，连接AE、CF．若AB=3，∠DCF=30°，则EF的长为（ ）
A．2B．3C．23D．3
32．(2023•东方校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，若EF+CH＝8，则AB的值为（ ）
A．6B．7.5C．8D．10
33．(2023•大渡口区校级模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若BM=22，则线段AB的长为（ ）
A．42+4B．42+2C．42+6D．42
34．(2023•丛台区校级模拟）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和6，B、C、G三点在同一条直线上，且∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．83B．93C．43D．63
35．(2023•博望区校级一模）△ABC为等边三角形，D、E分别是边AB、BC上的动点，且满足AD＝BE，M是DE的中点，若AB＝2，则BM的最小值为（ ）
A．32B．13C．12D．1
36．(2023•赫章县模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（4，0），（0，3），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．16B．20C．24D．26
37．(2023•定安县二模）如图，在边长为22的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF交于点O，点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，则GH的长度为（ ）
A．1B．22C．102D．105
38．(2023•惠水县模拟）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，CE平分∠BCD，交AB于点E，AD＝6，AB＝7，则EF长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
39．(2023•绵竹市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为（ ）
A．25B．4+255C．1+455D．8﹣25
40．(2023•昭平县二模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是边BC和CD的中点，连接AE，在AE上取点G，连接GF，若∠EGF＝45°，则GF的长为（ ）
A．35B．37C．9105D．210
41．(2023•黔东南州一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是（ ）
A．322B．432C．22D．542
42．(2023•梁园区二模）如图，在正方形ABCD中，M，N分别为CD，BC上一点，且DM＝CN，连接AM，DN，交于点P，Q，R分别为AN，AD的中点，连接PQ，PR，若PQ=52，PR＝2，则MP的长为（ ）
A．21717B．1717C．1313D．21313
43．(2023•渝北区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AE＝FE，∠BEC＝56°，则∠DEF的度数为（ ）
A．16°B．15°C．14°D．13°
44．(2023•新乐市校级模拟）四边形当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1B．12C．22D．32
45．(2023•蜀山区校级三模）如图，平行四边形ABCD中，G、H分别是AD，BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，四边形GEFH是矩形，若AB＝5，AD＝8，则BD的长为（ ）
A．395B．152C．8D．223
46．(2023•景县校级模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，M为对角线AC上的一动点，ME⊥CD于点E，MF⊥AD于点F，连接EF．若BC：AC＝3：11，则EF的最小值为（ ）
A．2B．22C．31111D．61111
47．(2023•大名县三模）如图，正方形ABCD的边长是10，在正方形外有E、F两点，满足AE＝CF＝6，BE＝DF＝8，则EF的长是（ ）
A．143B．142C．14D．102
48．(2023•包头模拟）如图，在正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使得∠BAE＝15°，连接CE并延长到F，连接BF，使得BC＝BF．若AB＝1，则有下面四个结论：①AE＝EC；②BE+EC＝EF；③F到BC的距离为22；④S△AED=14+212．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
49．(2023•邯郸二模）两个相同的菱形如图4所示拼接在一起，若∠ABD＝15°，则∠BCF的度数为（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
50．(2023•琼海二模）如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD上的点，连接CE、CF、EF，AC与EF相交于点G，若BE＝AF＝1，∠BAD＝120°，则S△AGF：S△AGE的值为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
51．(2023•榆阳区一模）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，连接BE，CE，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，连接AF，GH，若AF＝6，则GH的长为（ ）
A．3B．6C．9D．12
52．(2023•政和县模拟）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD．已知，DG⊥DF，垂足为D，BE的延长线交CG于点H．若AE＝2BE，则CGBH的值为（ ）
A．32B．2C．3107D．355
53．(2023•禹州市二模）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OB的中点，连接AE，若AB＝4，则线段AE的长为（ ）
A．22B．3C．10D．13
54．(2023•乐清市三模）如图，在正方形ABCD内有一点E，∠AEB＝90°，以CE，DE为邻边作▱CEDF，连结EF，若A，E，F三点共线，且△ADF的面积为10，则CF的长为（ ）
A．2B．5C．22D．10
55．(2023•张店区二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则EFAC的值为（ ）
A．12B．35C．34D．45
56．(2023•盘锦模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，A，B两点的坐标分别是（2，23），（﹣1，−3），点D在第一象限，则点D的坐标是（ ）
A．（6，23）B．（8，23）C．（6，3）D．（8，3）
57．(2023•昭平县一模）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG．若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，则线段BG的长为（ ）
A．1B．23+326C．32+66D．33+26
58．(2023•沙坪坝区校级二模）如图，点E是正方形对角线AC上一点，过E作EF∥AD交CD于F，连接BE，若BE＝7，DF＝6，则AC的长为（ ）
A．92B．62+22C．62+26D．62+26
59．(2023•馆陶县一模）如图，两个完全相同的菱形如图所示叠放在一起，若重叠部分是正八边形，则∠1的度数为（ ）
A．60°B．55°C．45°D．30°
60．(2023•宁津县模拟）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，延长AH交CD于点P，若AP⊥HF，AP＝10，则小正方形边长GF的长是（ ）
A．52B．32C．3D．10
专题3 选择题重点出题方向四边形中的计算专项训练（解析版）
模块一 2022中考真题训练
一．试题（共60小题）
1．(2023•朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（ ）
A．100°B．80°C．70°D．60°
思路引领：由平行四边形的性质可得AB∥DC，再根据三角形内角和定理，即可得到∠GEF的度数，依据平行线的性质，即可得到∠EGC的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠AEG＝∠EGC，
∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，
∴∠GEF＝30°，
∴∠GEA＝80°，
∴∠EGC＝80°．
故选：B．
总结提升：此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
2．(2023•绵阳）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°，若AH＝2，AD＝5+3，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．4（2+6）B．4（2+3+1）C．8（2+3）D．4（2+6+2）
思路引领：先构造15° 的直角三角形，求得15° 的余弦和正切值；作EK⊥FH，可求得EH：EF＝2：6；作∠ARH＝∠BFT＝15°，分别交直线AB于R和T，构造“一线三等角”，先求得FT的长，进而根据相似三角形求得ER，进而求得AE，于是得出∠AEH＝30°，进一步求得结果．
解：如图1，
Rt△PMN中，∠P＝15°，NQ＝PQ，∠MQN＝30°，
设MN＝1，则PQ＝NQ＝2，MQ=3，PN=6+2，
∴cs15°=6+24，tan15°＝2−3，
如图2，
作EK⊥FH于K，作∠AHR＝∠BFT＝15°，分别交直线AB于R和T，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C，
在△AEH与△CGF中，
AE=CG∠A=∠CAH=CF，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH＝GF，
同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
设HK＝a，则EH＝2a，EK=3a，
∴EF=2EK=6a，
∵∠EAH＝∠EBF＝90°，
∴∠R＝∠T＝75°，
∴∠R＝∠T＝∠HEF＝75°，
可得：FT=BFcs15°=3+36+24=26，AR＝AH•tan15°＝4﹣23，△FTE∽△ERH，
∴FTER=EFEH，
∴26ER=62，
∴ER＝4，
∴AE＝ER﹣AR＝23，
∴tan∠AEH=223=33，
∴∠AEH＝30°，
∴HG＝2AH＝4，
∵∠BEF＝180°﹣∠AEH﹣∠HEF＝75°，
∴∠BEF＝∠T，
∴EF＝FT＝26，
∴EH+EF＝4+26=2（2+6），
∴2（EH+EF）＝4（2+6），
∴四边形EFGH的周长为：4（2+6），
故答案为：A．
总结提升：本题考查了矩形性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，构造15°特殊角的图形及其求15°的函数值，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“一线三等角”及构造15°直角三角形求其三角函数值．
3．(2023•日照）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF∥BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ）
A．4＜m＜3+2B．3−2＜m＜4C．2−2＜m＜3D．4＜m＜4+2
思路引领：先求得点A，C，B三个点坐标，然后求得AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，根据不等式的性质求得结果．
解：可得C（2，2），A（4，0），B（4+2，2），
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣4，
∴x＝y+4，
直线AC的解析式为：y=22−4x−422−4，
∴x＝4+y﹣22y，
∴点F的横坐标为：y+4，点E的横坐标为：4+y﹣22y，
∴EF＝（y+4）﹣（4+y﹣22y）＝22y，
∵EP＝3PF，
∴PF=14EF=22y，
∴点P的横坐标为：y+4−22y，
∵0＜y＜2，
∴4＜y+4−22y＜3+2，
故答案为：A．
总结提升：本题考查了等腰直角三角形性质，求一次函数的解析式，不等式性质等知识，解决问题的关键是表示出点P的横坐标．
4．(2023•益阳）如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
思路引领：根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，已知AE＝3，则BE＝5，再判定四边形DEFC是平行四边形，则DC＝EF＝8，BF＝EF﹣BE，即可求出BF．
解：在▱ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故选：C．
总结提升：本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键，平行四边形的判定；（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5．(2023•湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为323，则CD的长为（ ）
A．4B．43C．8D．83
思路引领：在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长．
解：∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OC＝OA=12AC，AC⊥BD，
∴OH＝OB＝OD=12BD（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴OD＝4，BD＝8，
由12AC⋅BD=323得，
12×8⋅AC=323，
∴AC＝83，
∴OC=12AC=43，
∴CD=OC2+OD2=8，
故选C．
总结提升：本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD的长．
6．(2023•日照）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ）
A．27°B．53°C．57°D．63°
思路引领：根据题意可知AE∥BF，∠EAB＝∠ABF，∠ABF+27°＝90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED．
解：如图，
∵AE∥BF，
∴∠EAB＝∠ABF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠ABF+27°＝90°，
∴∠ABF＝63°，
∴∠EAB＝63°，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠EAB＝63°．
故选：D．
总结提升：本题结合矩形考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质得出角的相等或互补关系是解题的关键．
7．(2023•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝43，则OE＝（ ）
A．4B．23C．2D．3
思路引领：根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝23，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，
∴BO＝23，
∴AO=33BO=2，
∴AB＝2AO＝4，
∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，
∴OE=12AD＝2，
故选：C．
总结提升：本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
8．(2023•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（ ）
A．6B．3C．1.5D．1
思路引领：根据题意可知：MN是线段AC的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点D为AB的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到CD的长．
解：由已知可得，
MN是线段AC的垂直平分线，
设AC与MN的交点为E，
∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，
∴ED∥CB，
∴△AED∽△ACB，
∴AEAC=ADAB，
∴12=ADAB，
∴AD=12AB，
∴点D为AB的中点，
∵AB＝3，∠ACB＝90°，
∴CD=12AB＝1.5，
故选：C．
总结提升：本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．(2023•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．6D．8
思路引领：利用勾股定理求得AB＝20；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=12CD．
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴AB=AC2+BC2=20．
∵CD为中线，
∴CD=12AB＝10．
∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，
则BF=12CD＝5．
故选：A．
总结提升：本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．
10．(2023•广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A．62B．32C．2−3D．6−22
思路引领：连接EF，由正方形ABCD的面积为3，CE＝1，可得DE=3−1，tan∠EBC=CEBC=13=33，即得∠EBC＝30°，又AF平分∠ABE，可得∠ABF=12∠ABE＝30°，故AF=AB3=1，DF＝AD﹣AF=3−1，可知EF=2DE=2×（3−1）=6−2，而M，N分别是BE，BF的中点，即得MN=12EF=6−22．
解：连接EF，如图：
∵正方形ABCD的面积为3，
∴AB＝BC＝CD＝AD=3，
∵CE＝1，
∴DE=3−1，tan∠EBC=CEBC=13=33，
∴∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，
∵AF平分∠ABE，
∴∠ABF=12∠ABE＝30°，
在Rt△ABF中，AF=AB3=1，
∴DF＝AD﹣AF=3−1，
∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，
∴EF=2DE=2×（3−1）=6−2，
∵M，N分别是BE，BF的中点，
∴MN是△BEF的中位线，
∴MN=12EF=6−22．
故选：D．
总结提升：本题考查正方形性质及应用，涉及含30°角的直角三角形三边关系，等腰直角三角形三边关系，解题的关键是根据已知求得∠EBC＝30°．
11．(2023•河池）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（ ）
A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠DAC＝∠BAC
思路引领：根据菱形的性质即可一一判断．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，AC⊥BD，
故A、B、D正确，无法得出AC＝BD，
故选：C．
总结提升：本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
12．(2023•贵港）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，动点E在AB边上（与点A，B均不重合），点F在对角线AC上，CE与BF相交于点G，连接AG，DF，若AF＝BE，则下列结论错误的是（ ）
A．DF＝CEB．∠BGC＝120°
C．AF2＝EG•ECD．AG的最小值为223
思路引领：根据菱形的性质，利用SAS证明△ADF≌△BCE，可得DF＝CE，故A正确；利用菱形的轴对称知，△BAF≌△DAF，得∠ADF＝∠ABF，则∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣∠CBE＝120°，故B正确，利用△BEG∽△CEB，得BECE=EGBE，且AF＝BE，可得C正确，利用定角对定边可得点G在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，连接AO，交⊙O于G，此时AG最小，AO是BC的垂直平分线，利用含30°角的直角三角形的性质可得AG的最小值，从而解决问题．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，BC＝AD，∠DAC=12∠BAD＝60°，
∴∠DAF＝∠CBE，
∵BE＝AF，
∴△ADF≌△BCE（SAS），
∴DF＝CE，∠BCE＝∠ADF，故A正确，不符合题意；
∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠BCE，
∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣∠CBE＝120°，故B正确，不符合题意；
∵∠EBG＝∠ECB，∠BEG＝∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴BECE=EGBE，
∴BE2＝CE×EG，
∵BE＝AF，
∴AF2＝EG•EC，故C正确，不符合题意；
以BC为底边，在BC的下方作等腰△OBC，使∠OBC＝∠OCB＝30°，
∵∠BGC＝120°，BC＝1，
∴点G在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，
连接AO，交⊙O于G，此时AG最小，AO是BC的垂直平分线，
∵OB＝OC，∠BOC＝120°，
∴∠BCO＝30°，
∴∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝30°，
∴OC=33，
∴AO＝2OC=233，
∴AG的最小值为AO﹣OC=33，故D错误，符合题意．
故选：D．
总结提升：本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用定边对定角确定点G的运动路径是解题的关键．
13．(2023•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为（ ）
A．62B．6C．22D．23
思路引领：首先利用正方形的性质可以求出AC，然后利用等边三角形的性质可求出OE．
解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，
∴AC＝22，
∵O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形，
∴∠AOE＝90°，
∴AC＝AE＝22，AO=2，
∴OE=2×3=6．
故选：B．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了等边三角形的性质，有一定的综合性．
14．(2023•呼和浩特）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF＝45°，则AF：FC的值是（ ）
A．3B．5+1C．22+1D．2+3
思路引领：连接DB，交AC于点O，连接OE，根据菱形的性质可得∠DAC=12∠DAB＝30°，AC⊥BD，OD=12BD，AC＝2AO，AB＝AD，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得DB＝AD，再根据直角三角形斜边上的中线可得OE＝AE＝DE=12AD，然后设OE＝AE＝DE＝a，则AD＝BD＝2a，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，最后利用等腰三角形的性质，以及三角形的外角求出∠OEF＝∠EFO＝15°，从而可得OE＝OF＝a，即可求出AF，CF的长，进行计算即可解答．
解：连接DB，交AC于点O，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=12∠DAB＝30°，AC⊥BD，OD=12BD，AC＝2AO，AB＝AD，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴DB＝AD，
∵∠AOD＝90°，点E是DA中点，
∴OE＝AE＝DE=12AD，
∴设OE＝AE＝DE＝a，
∴AD＝BD＝2a，
∴OD=12BD＝a，
在Rt△AOD中，AO=AD2−DO2=(2a)2−a2=3a，
∴AC＝2AO＝23a，
∵EA＝EO，
∴∠EAO＝∠EOA＝30°，
∴∠DEO＝∠EAO+∠EOA＝60°，
∵∠DEF＝45°，
∴∠OEF＝∠DEO﹣∠DEF＝15°，
∴∠EFO＝∠EOA﹣∠OEF＝15°，
∴∠OEF＝∠EFO＝15°，
∴OE＝OF＝a，
∴AF＝AO+OF=3a+a，
∴CF＝AC﹣AF=3a﹣a，
∴AFCF=3a+a3a−a=3+13−1=2+3，
故选：D．
总结提升：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．(2023•包头）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（ ）
A．2OC=5EFB．5OC＝2EFC．2OC=3EFD．OC＝EF
思路引领：过点O作OH⊥BC于点H，得出四边形ABFE是正方形，再根据线段等量关系得出CF＝EF＝2OH，根据勾股定理得出OC=5OH，即可得出结论．
解：过点O作OH⊥BC于点H，
∵在矩形ABCD中，EF∥AB，AE＝AB，
∴四边形ABFE是正方形，
∴OH=12EF=12BF＝BH＝HF，
∵BF＝2CF，
∴CH＝EF＝2OH，
∴OC=OH2+CH2=OH2+(2OH)2=5OH，
即2OC=5EF，
故选：A．
总结提升：本题主要考查矩形和正方形的判定和性质，熟练掌握矩形和正方形的判定和性质及勾股定理等知识是解题的关键．
16．(2023•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（ ）
A．2B．2C．22D．4
思路引领：连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．
解：如图，连接AE，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，
∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，
连接AC，
∴d1+d2+d3最小值为AC，
在Rt△ABC中，AC=2AB＝22，
∴d1+d2+d3最小＝AC＝22，
故选：C．
总结提升：此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
17．(2023•无锡）如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则EDCD的值是（ ）
A．23B．12C．32D．22
思路引领：由等腰三角形的性质可求∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，由直角三角形的性质和勾股定理可求CD，DE的长，即可求解．
解：如图，过点B作BH⊥AD于H，
设∠ADB＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝∠ADB＝x，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠DAB=180°−x2，
∴x+180°−x2=105°，
∴x＝30°，
∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，
∵BH⊥AD，
∴BD＝2BH，DH=3BH，
∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，
∴∠AEB＝45°，
∴∠AEB＝∠EBH＝45°，
∴EH＝BH，
∴DE=3BH﹣BH＝（3−1）BH，
∵AB=BH2+AH2=BH2+(2BH−3BH)2=（6−2）BH＝CD，
∴DECD=22，
故选：D．
总结提升：本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，求出∠ADB＝30°是解题的关键．
18．(2023•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（ ）
A．23+2B．5−33C．3−3D．3+1
思路引领：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，利用正方形性质和等边三角形性质可得：∠BAG＝90°，AB＝2，∠ABC＝60°，运用解直角三角形可得AG＝23，DG＝2+23，再求得∠G＝30°，根据直角三角形性质得出答案．
方法二：过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，利用解直角三角形可得EH＝1，BH=3，再证明△BEH≌△DEG，可得DG＝BH=3，即可求得答案．
解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，
∵四边形ABED是正方形，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝2，∠ABC＝60°，
∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝23，
∴DG＝AD+AG＝2+23，
∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，
∴DF=12DG=12×（2+23）＝1+3，
故选D．
方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，
则∠BHE＝∠DGE＝90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝2，∠ABC＝60°，
∵四边形ABED是正方形，
∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，
∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×12=1，BH＝BE•cs∠EBH＝2cs30°=3，
∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，
∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，
∴四边形EGFH是矩形，
∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，
∵∠DEG+∠BEG＝90°，
∴∠BEH＝∠DEG，
在△BEH和△DEG中，
∠BHE=∠DGE∠BEH=∠DEGBE=DE，
∴△BEH≌△DEG（AAS），
∴DG＝BH=3，
∴DF＝DG+FG=3+1，
故选：D．
总结提升：本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形，题目的综合性很好，难度不大．
19．(2023•安徽）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（ ）
A．α﹣90°B．α﹣45°C．180°﹣αD．270°﹣α
思路引领：根据矩形的性质和三角形外角的性质，可以用含α的式子表示出∠2．
解：由图可得，
∠1＝90°+∠3，
∵∠1＝α，
∴∠3＝α﹣90°，
∵∠3+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α，
故选：C．
总结提升：本题考查矩形的性质、三角形外角的性质，解答本题的关键是明确题意，用含α的代数式表示出∠2．
20．(2023•舟山）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8．点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（ ）
A．32B．24C．16D．8
思路引领：根据EF∥AC，GF∥AB，可以得到四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，再根据AB＝AC＝8和等量代换，即可求得四边形AEFG的周长．
解：∵EF∥AC，GF∥AB，
∴四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，
∴EB＝EF，FG＝GC，
∵四边形AEFG的周长是AE+EF+FG+AG，
∴四边形AEFG的周长是AE+EB+GC+AG＝AB+AC，
∵AB＝AC＝8，
∴四边形AEFG的周长是AB+AC＝8+8＝16，
故选：C．
总结提升：本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，将平行四边形的周长转化为AB和AC的关系．
21．(2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（ ）
A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°
思路引领：根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF的度数．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，
在△DAF和△ABE中，
AD=BA∠DAF=∠ABEAF=BE，
△DAF≌△ABE（SAS），
∠ADF＝∠BAE，
∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=12∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝22.5°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
故选：C．
总结提升：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出∠ADF的度数．
22．(2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
思路引领：利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．
∵OE＝OF，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∵∠AFE＝25°，
∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，
∴∠FAO＝20°．
在△AOF和△BOE中，
OA=OB∠AOF=∠BOE=90°OF=OE，
∴△AOF≌△BOE（SAS）．
∴∠FAO＝∠EBO＝20°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠CBE＝∠EBO+∠OBC＝65°．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
模块二 2023中考押题预测
23．(2023•泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（ ）
A．23B．56C．67D．1
思路引领：根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得CN和BN的长，然后根据BC＝3，即可求得MN的长．
解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，
∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，
∴四边形BHFK是正方形，
∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，
∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，
∴∠DEA＝∠EFH，
∵∠A＝∠EHF＝90°，
∴△DAE∽△EHF，
∴ADHE=AEHF，
∵正方形ABCD的边长为3，BE＝2AE，
∴AE＝1，BE＝2，
设FH＝a，则BH＝a，
∴32+a=1a，
解得a＝1；
∵FK⊥CB，DC⊥CB，
∴△DCN∽△FKN，
∴DCFK=CNKN，
∵BC＝3，BK＝1，
∴CK＝2，
设CN＝b，则NK＝2﹣b，
∴31=b2−b，
解得b=32，
即CN=32，
∵∠A＝∠EBM，∠AED＝∠BME，
∴△ADE∽△BEM，
∴ADBE=AEBM，
∴32=1BM，
解得BM=23，
∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝3−32−23=56，
故选：B．
总结提升：本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（2023•雁塔区一模）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB，连接AE、BE，若CD＝4，AE＝5，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
思路引领：先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AD＝4，再利用勾股定理求出DE的长即可．
解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，CD＝4，
∴AD=CD=BD=12AB=4，
∵DE⊥AB，AE＝5，
∴DE=AE2−AD2=3，
故选：B．
总结提升：本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，正确求出AD＝4是解题的关键．
25．(2023•槐荫区二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是边长为2的正方形，点A在y轴上运动，点B在x轴上运动，点E为对角线的交点，在运动过程中点E到y轴的最大距离是（ ）
A．22B．1C．2D．2
思路引领：过E作EF⊥y轴于F，根据四边形ABCD是边长为2的正方形，可得AE=2，由垂线段最短可得EF＜2，即得A与F重合时，E到y轴距离最大，最大为2．
解：过E作EF⊥y轴于F，如图：
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AC＝22，AE=2，
若A、E、F构成三角形，则直角边EF小于AE，即EF＜2，
∴当A与F重合，即EA⊥y轴时，EF＝AE=2，如图：
此时E到y轴距离最大，最大为2；
故选：C．
总结提升：本题考查正方形性质及应用，解题的关键是垂线段最短．
26．(2023•市南区校级二模）如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E．连接EC，若CE＝CD，则△CDE的面积是（ ）
A．18B．413C．14.4D．63
思路引领：根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到△ADE和△DCF全等，然后即可得到CF和DE的关系，根据等腰三角形的性质可以得到DF和DE的关系，再根据勾股定理可以得到DF2的值，然后即可计算出△CDE的面积．
解：作CF⊥ED于点F，如右图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠CDA＝90°，
∴∠ADE+∠FDC＝90°，
∵CF⊥DE，CD＝CE，
∴EF＝DF=12DE，∠CFD＝90°，
∴∠FDC+∠DCF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
在△ADE和△DCF中，
∠AED=∠DFC∠ADE=∠DCFAD=DC，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴DE＝CF，
∴DF=12CF，
∵∠CFD＝90°，CD＝6，
∴DF2+CF2＝CD2，
即DF2+（2DF）2＝62，
解得DF2＝7.2，
∴S△CDE=DE⋅CF2=2DF⋅2DF2=2DF2＝2×7.2＝14.4，
故选：C．
总结提升：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是求出DF2的值．
27．(2023•定安县一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（ ）
A．83B．8C．43D．6
思路引领：连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA＝OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC＝∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO＝30°，即∠BAC＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．
解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB＝90°
∴∠FCO＝∠EAO，
在△AOE和△COF中，
∠AOE=∠FOC∠FCO=∠EAOAE=CF，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，OA＝OC，
∵BF＝BE，
∴BO⊥EF，∠BOF＝90°，
∵∠FEB＝2∠CAB＝∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO＝∠EOA，
∴EA＝EO＝OF＝FC＝2，
在RT△BFO和RT△BFC中，
BF=BFFO=FC，
∴RT△BFO≌RT△BFC，
∴BO＝BC，
在RT△ABC中，∵AO＝OC，
∴BO＝AO＝OC＝BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠FEB＝2∠CAB＝60°，∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB＝EF＝4，
∴AB＝AE+EB＝2+4＝6．
故选：D．
总结提升：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC＝30°是解题的关键．
28．(2023•丛台区校级模拟）观察如图，判断哪条线段的长度不能表示平行四边形ABCD的高的是（ ）
A．BFB．GHC．DED．BD
思路引领：根据平行四边形的性质得到AD∥BC，则DE、GH表示AD边上的高或BC边上的高，由于BF⊥CD，BD不垂直CD，所以BF表示CD边上的高，BD不能表示平行四边形ABCD的高．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴GH和DE的长为AD和BC之间的距离，
∴DE、GH表示AD边上的高或BC边上的高，
∵BF⊥CD，
∴BF表示CD边上的高，
∵BD为平行四边形的对角线，而BD与CD不垂直，
∴BD不能表示平行四边形ABCD的高．
故选：D．
总结提升：本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和平行四边形的高的定义是解决问题的关键．
29．(2023•礼县校级模拟）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
思路引领：先根据正方形的性质得出∠B＝90°，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理得出BC2，即可得出正方形的面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，
∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．
故选：A．
总结提升：本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．也考查了正方形的性质．
30．(2023•武江区校级一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，连接BG．若∠DAF＝n°，则∠ABG的度数为（ ）
A．2n°B．90°﹣n°C．45°+n°D．135°﹣3n°
思路引领：根据正方形性质得出AD＝BC＝DC，根据中点的定义得到CE＝DF，可证得△ADF≌△DCE（SAS），可得∠AFD＝∠DEC，可证得AF⊥DE；延长DE交AB的延长线于H，可证得△HBE∽△HAD，BH＝AB，再根据直角三角形的性质可得GB＝HB，再根据等腰三角形的性质和同角的余角相等，以及三角形外角的性质即可求解．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝DC，
∵点E、F分别是BC、CD的中点，
∴EC＝DF，
在△ADF和△DCE中，
AD=DC∠ADF=∠DCEDF=CE，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD＝∠DEC，
∵∠DEC+∠CDE＝90°，
∴∠AFD+∠CDE＝90°＝∠DGF，
∴AF⊥DE．
如图：延长DE交AB的延长线于H，
∵BE=12BC=12AD，BE∥AD，
∴△HBE∽△HAD，
∴BEAD=HBHA=12，
∴BH＝AB，点B是AH的中点，
∵AF⊥DE，
∴∠AGH＝90°，
∴GB＝HB，
∴∠H＝∠BGH，
∵∠H+∠ADH＝∠DAG+∠ADG＝90°，
∴∠H＝∠DAG＝n°，
∴∠ABG＝∠H+∠BGH＝2∠H＝2n°，
故选：A．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键．
31．(2023•都安县校级一模）在矩形ABCD中，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于E，交AD于F，连接AE、CF．若AB=3，∠DCF=30°，则EF的长为（ ）
A．2B．3C．23D．3
思路引领：求出∠ACB＝∠DAC，然后利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE＝OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，再求出∠ECF＝60°，然后判断出△CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF＝CF，根据矩形的对边相等可得CD＝AB，然后求出CF，从而得解．
解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵O是AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOF和△COE中，
∠ACB=∠DACAO=CO∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∵∠DCF＝30°，
∴∠ECF＝90°﹣30°＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CF，
∵AB=3，
∴CD＝AB=3，
∵∠DCF＝30°，
∴CF=3÷32=2，
∴EF＝2．
故选：A．
总结提升：本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点在于判断出△CEF是等边三角形．
32．(2023•东方校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，若EF+CH＝8，则AB的值为（ ）
A．6B．7.5C．8D．10
思路引领：根据直角三角形斜边上的中线的性质得到CH=12AB，根据三角形中位线定理得到EF=12AB，根据题意计算，得到答案．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H是边AB的中点，
则CH=12AB，
∵点E、F分别是边BC、CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12AB，
∵EF+CH＝8，
∴12AB+12AB＝8，
∴AB＝8，
故选：C．
总结提升：本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
33．(2023•大渡口区校级模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若BM=22，则线段AB的长为（ ）
A．42+4B．42+2C．42+6D．42
思路引领：过点M作MF⊥AC于点F，根据角平分线的性质可知FM＝BM，再由四边形ABCD为正方形，可得出∠FAM＝45°，在直角三角形中用∠FAM的正弦值即可求出AM的长度，结合边的关系即可得出结论．
解：过点M作MF⊥AC于点F，如图所示．
∵MC平分∠ACB，四边形ABCD为正方形，
∴∠CAB＝45°，FM＝BM＝22．
在Rt△AFM中，∠AFM＝90°，∠FAM＝45°，FM＝22，
∴AM=2FM＝22×2=4．
∴AB＝AM+MB＝4+22．
故选：A．
总结提升：本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是在直角三角形中求出FM的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据角平分的性质及正方形的特点找出边角关系，再利用解直角三角形的方法即可得以解决．
34．(2023•丛台区校级模拟）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和6，B、C、G三点在同一条直线上，且∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．83B．93C．43D．63
思路引领：过E作EM⊥BG于M，过D作DN⊥BG于N，根据菱形的性质得出AD＝DC＝BC＝AB＝4，CE＝EF＝FG＝CG＝6，∠BCD＝∠A＝120°，解直角三角形求出EM和CN，再根据图形得出阴影部分的面积S＝S菱形ABCD+S菱形CGFE﹣S△BGF﹣S△ADB﹣S△DEF，再求出答案即可．
解：过E作EM⊥BG于M，过D作DN⊥BG于N，则∠EMC＝∠DNC＝90°，
∵四边形ABCD和四边形ECGF都是菱形，∠A＝120°，
∴AD＝DC＝BC＝AB＝4，CE＝EF＝FG＝CG＝6，∠BCD＝∠A＝120°，
∴∠ECG＝60°，
∴∠CDN＝∠CEM＝30°，
∴CN=12CD＝2，CM=12CE＝3，
∴DN=DC2−CN2=42−22=23，EM=EC2−CM2=62−32=33，
∴阴影部分的面积S＝S菱形ABCD+S菱形CGFE﹣S△BGF﹣S△ADB﹣S△DEF
＝4×23+6×33−12×（4+6）×33−12×4×23−12×6×（33−23）
＝83+183−153−43−33
＝43，
故选：C．
总结提升：本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质，能熟记菱形的性质是解此题的关键，菱形的四条边都相等．
35．(2023•博望区校级一模）△ABC为等边三角形，D、E分别是边AB、BC上的动点，且满足AD＝BE，M是DE的中点，若AB＝2，则BM的最小值为（ ）
A．32B．13C．12D．1
思路引领：根据垂线最短可知当BM⊥DE时最短，根据AD＝BE可知BD＝CE，据此可得知当DE是△ABC的中位线时BM最短，再由直角三角形及等边三角形的性质即可得出结论．
解：如图，
∵垂线最短，
∴BM⊥DE时最短，
∵M是DE的中点，
∴当BD＝BE时，BM⊥DE．
∵AB＝BC，AD＝BE，
∴BE＝CE，AD＝BD，
∴DE是△ABC的中位线．
∵△ABC为等边三角形，AB＝2，
∴∠ABM＝30°，BD=12AB＝1，
∴BM＝BD•cs30°=32．
故选：A．
总结提升：本题考查的是三角形中位线定理及等边三角形的性质，根据题意判断出DE是△ABC的中位线时BM最短是解题的关键．
36．(2023•赫章县模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（4，0），（0，3），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．16B．20C．24D．26
思路引领：根据题意和勾股定理可得AB长，再根据菱形的四条边都相等，即可求出菱形的周长．
解：∵点A，B的坐标分别为（4，0），（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB=OA2+OB2=5，
∴菱形ABCD的周长等于4AB＝20．
故选：B．
总结提升：本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
37．(2023•定安县二模）如图，在边长为22的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF交于点O，点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，则GH的长度为（ ）
A．1B．22C．102D．105
思路引领：利用正方形的性质和勾股定理求得CE＝DF=10，利用全等三角形的判定与性质和在直角三角形的性质得到CE⊥DF，利用相似三角形的判定与性质求出OF，OC，在Rt△OHG中，利用勾股定理即可求得结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD＝22，
∵点E、F分别是边AB、BC的中点，
∴BE=12AB，CF=12BC，
∴BE＝CF=2，
∴CE＝DF=(22)2+(2)2=10．
∵点G、H分别是EC、FD的中点，
∴HF＝CG=102．
在△BEC和△CFD中，
BE=CF∠B=∠BCD=90°BC=CD，
∴△BEC≌△CFD（SAS），
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠CFD+∠BCE＝90°，
∴∠FOC＝90°，
∴CE⊥DF．
∵∠FCD＝90°，
∴△FOC∽△FCD，
∴OFFC=OCCD=FCFD，
∴OF2=OC22=210，
∴OF=105，OC=2105，
∴OG＝GC﹣OC=1010，OH＝HF﹣OF=31010，
∴GH=OG2+OH2=(1010)2+(31010)2=1．
故选：A．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理得到△BEC≌△CFD是解题的关键．
38．(2023•惠水县模拟）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，CE平分∠BCD，交AB于点E，AD＝6，AB＝7，则EF长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
思路引领：首先根据平行四边形的性质可得CD∥AB，再根据角平分线的性质可得∠ECB＝∠DCE，然后证明BC＝BE，AD＝AF，进而可得AE＝BF，进而求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，AB＝DC＝7，
∴∠DCE＝∠BEC，
∵CE平分∠BCD交AB于E，DF平分∠ADC，交AB于点F，
∴∠ECB＝∠DCE，∠ADF＝∠CDB，
∵CD∥AB，
∴∠CDB＝∠EFD，∠DCE＝∠BEC，
∴∠ADF＝∠EFD，∠BCE＝∠BEC，
∴AF＝AD＝6，BE＝BC＝6，
∴AE＝BF＝7﹣6＝1，
∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝7﹣1﹣1＝5．
故选：B．
总结提升：本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．
39．(2023•绵竹市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为（ ）
A．25B．4+255C．1+455D．8﹣25
思路引领：过点E作EH⊥AC于H，由四边形DEFB是正方形，得∠BDE＝90°＝∠C，DE＝BD，可证明△BDC≌△DEH（AAS），即有EH＝CD，DH＝BC＝4，从而AH＝AC﹣DH﹣CD＝4﹣CD，而AE2＝AH2+EH2＝（4﹣CD）2+CD2＝2（CD﹣2）2+8，根据二次函数性质可得AE取得最小值时，CD＝2，即可得到答案．
解：过点E作EH⊥AC于H，如图：
∵四边形DEFB是正方形，
∴∠BDE＝90°＝∠C，DE＝BD，
∴∠EDA+∠BDC＝90°，∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝∠EDA，且DE＝BD，∠DHE＝∠C＝90°，
∴△BDC≌△DEH（AAS），
∴EH＝CD，DH＝BC＝4，
∴AH＝AC﹣DH﹣CD＝8﹣4﹣CD＝4﹣CD，
∵AE2＝AH2+EH2＝（4﹣CD）2+CD2＝2（CD﹣2）2+8，
∵2＞0，
∴当CD＝2时，AE2最小，AE也最小，
此时BD=CD2+BC2=22+42=25，
故选：A．
总结提升：本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是用含CD的代数式表示AE2，利用二次函数性质解答．
40．(2023•昭平县二模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是边BC和CD的中点，连接AE，在AE上取点G，连接GF，若∠EGF＝45°，则GF的长为（ ）
A．35B．37C．9105D．210
思路引领：连接BF交AE于H，根据正方形的性质得到AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°，根据全等三角形的性质得到∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，推出△FGH是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
解：连接BF交AE于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°，
∵点E、F分别是边BC，CD的中点，
∴BE＝CF，
在△ABE与△BCF中，
AB=BC∠ABE=∠BCFBE=CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠AEB+∠EBH＝90°，
∴∠BHE＝90°，
∴∠GHF＝90°，
∵∠FGH＝45°，
∴△FGH是等腰直角三角形，
∵AB＝BC＝6，
∴AE＝BF=62+33=35，
∵S△ABE=12AB•BE=12AE•BH，
∴BH=AB⋅BEAE=655，
∴HF＝HG＝BF﹣BH＝35−655=955，
∴GF=2HF=9105，
故选：C．
总结提升：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
41．(2023•黔东南州一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是（ ）
A．322B．432C．22D．542
思路引领：根据正方形的性质可得四边形CMNB是矩形，易证△MFE≌△NBF（ASA），可得ME＝FN，设ME＝FN＝x，根据MN＝BC＝4列方程，求出FN的长度，进一步可得AN的长度，根据勾股定理，可得AF的长．
解：过点F作FN⊥AB于点N，FM⊥CD于点M，如图所示：
则∠FNB＝90°，∠FMC＝90°，
在正方形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形CMNB是矩形，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴MN＝BC＝4，CM＝BN，
∵BF⊥EF，
∴∠EFB＝90°，
∴∠EFM+∠NFB＝90°，
∵∠FBN+∠BFN＝90°，
∴∠FBN＝∠EFM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠MFC＝∠MCF＝45°，
∴MF＝MC＝BN，
在△MEF与△NBF中，
∠EMF=∠FNBMF=NB∠EFM=∠FBN，
∴△MFE≌△NBF（ASA），
∴ME＝FN，
设ME＝FN＝x，
∵CE＝1，
则MC＝MF＝BN＝1+x，
∵MN＝BC＝4，
∴1+x+x＝4，
∴x=32，
∴FN=32，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAB＝45°，
∵MN⊥AB，
∴∠NFA＝45°，
∴AN＝FN=32，
根据勾股定理，得AF=322，
故选：A．
总结提升：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
42．(2023•梁园区校级二模）如图，在正方形ABCD中，M，N分别为CD，BC上一点，且DM＝CN，连接AM，DN，交于点P，Q，R分别为AN，AD的中点，连接PQ，PR，若PQ=52，PR＝2，则MP的长为（ ）
A．21717B．1717C．1313D．21313
思路引领：根据正方形的性质以及全等三角形的判定和性质可得AM⊥DN，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可求出AD，AN，再根据勾股定理求出BN，进而求出CN，再求出DN，由相似三角形的判定和性质进行计算即可．
解：∵正方形ABCD，
∴AD＝CD，∠ADM＝∠DCN＝90°，
又∵DM＝CN，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，
∵∠DAM+∠AMD＝90°，
∴∠CDN+∠AMD＝90°，
∴∠DPM＝90°，
即AM⊥DN，
∵Q，R分别为AN，AD的中点，
∴AD＝2PR＝4，AN＝2PQ＝5，
在Rt△ABN中，AN＝5，AB＝AD＝4，
∴BN=AN2−AB2=3，
∴CN＝4﹣3＝1＝DM，
在Rt△CDN中，DN=CD2+CN2=17，
∵∠DPM＝∠DCN＝90°，∠PDM＝∠CDN，
∴△PDM∽△CDN，
∴DMDN=PMCN，
即117=PM1，
∴PM=1717，
故选：B．
总结提升：本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
43．(2023•渝北区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AE＝FE，∠BEC＝56°，则∠DEF的度数为（ ）
A．16°B．15°C．14°D．13°
思路引领：根据菱形的对角线平分一组对角可得：∠ABE＝∠CBE＝20°，证明△BCE≌△BAE，得∠AEB＝56°，由三角形的内角和定理可得∠BAE＝104°，最后由等腰三角形的性质和平角的定义可得结论．
证明：∵四边形ABCD是菱形，E点在对角线BD上，
∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC＝20°，AB＝CB，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝EC，∠BEA＝∠BEC＝56°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠BAD＝140°，
△ABE中，∵∠ABE＝20°，∠AEB＝56°，
∴∠BAE＝180°﹣20°﹣56°＝104°，
∴∠EAF＝140°﹣104°＝36°，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE＝36°，
∴∠AEF＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∴∠DEF＝180°﹣56°﹣108°＝16°．
故选：A．
总结提升：本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ABE≌△CBE．
44．(2023•新乐市校级模拟）四边形当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1B．12C．22D．32
思路引领：根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，再根据正方形的面积公式和平行四边形的面积公式即可得解．
解：根据题意可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，
∴菱形ABC′D′的面积为12AB2，正方形ABCD的面积为AB2．
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是12．
故选：B．
总结提升：本题主要考查了正方形与菱形的面积，熟知30°角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键．
45．(2023•蜀山区校级三模）如图，平行四边形ABCD中，G、H分别是AD，BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，四边形GEFH是矩形，若AB＝5，AD＝8，则BD的长为（ ）
A．395B．152C．8D．223
思路引领：根据矩形的性质得出∠EHF＝∠BFC＝90°，证△EFH∽△CBF，根据相似得出58=4BF，求出BE，证△ABE≌△CDF，求出BE＝DF，即可得出答案．
解：连接GH，
当四边形GEHF是矩形时，∠EHF＝∠BFC＝90°，
∵∠FBH＝∠BFH，
∴△EFH∽△CBF，
∴EFCB=FHBF，
由（1）可得：GA∥HB，GA＝HB，
∴四边形GABH是平行四边形，
∴GH＝AB＝5，
∵在矩形GEHF中，EF＝GH，且AB＝5，AD＝8，
∴58=4BF，
解得：BF=325，
∴BE＝BF﹣EF=325−5=75，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF=75，
∴BD＝BF+DF=325+75=395．
故选：A．
总结提升：本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
46．(2023•景县校级模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，M为对角线AC上的一动点，ME⊥CD于点E，MF⊥AD于点F，连接EF．若BC：AC＝3：11，则EF的最小值为（ ）
A．2B．22C．31111D．61111
思路引领：首先利用已知条件和勾股定理求出BC＝AD＝32，CA=22，如图，连接DM，证明四边形MEDF为矩形，然后利用矩形的性质推出若EF最小，则DM最小，当DM⊥AC时DM最小，最后利用三角形的面积公式即可解决问题．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠ADC＝90°，BC＝AD，AB＝CD＝2，
∵BC：AC＝3：11，AB＝2，
设BC＝3x，AC=11x，
根据勾股定理得22+（3x）2=(11x)2，
∴x=2（负值舍去），
∴BC＝AD＝32，CA=22，
如图，连接DM，
∵ME⊥CD于点E，MF⊥AD于点F，
∴∠MED＝∠MFD＝90°，
∴四边形MEDF为矩形，
∴DM＝EF，
若EF最小，则DM最小，
当DM⊥AC时DM最小，
此时根据三角形的面积公式得DM×AC＝AD×CD，
∴DM=AD×CDAC=61111．
∴EF的最小值为=61111．
故选：D．
总结提升：此题考查了矩形的判定和性质的综合应用，是一开放型试题，是中考命题的热点．
47．(2023•大名县三模）如图，正方形ABCD的边长是10，在正方形外有E、F两点，满足AE＝CF＝6，BE＝DF＝8，则EF的长是（ ）
A．143B．142C．14D．102
思路引领：延长EA交FD的延长线于点M，可证明△EMF是等腰直角三角形，而EM＝MF＝AE+DF＝14，所以利用勾股定理即可求出EF的长．
解：延长EA交FD的延长线于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝10，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵AE＝6，BE＝8，
∴AE2+BE2＝AB2＝100，
∴△AEB是直角三角形，
同理可证△CDF是直角三角形，
在△ABE和△CDF中，
AE=CFBE=DFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠EAB＝∠DCF，∠EBA＝∠CDF，∠EAB+∠EBA＝90°，∠CDF+∠FDC＝90°，
∴∠EAB+∠CDF＝90°
又∵∠EAB+∠MAD＝90°，∠MDA+∠CDF＝90°，
∴∠MAD+∠MDA＝90°，
∴∠M＝90°
∴△EMF是直角三角形，
∵∠EAB+∠MAD＝90°，
∴∠EAB＝∠MDA，
在△AEB和△DMA中，
∠AEB=∠M=90°∠EAB=∠MDAAB=AD，
∴△AEB≌△DMA（AAS），
∴AM＝BE＝8，MD＝AE＝6，
∴EM＝MF＝14，
∴EF=ME2+MF2=142，
故选：B．
总结提升：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等，证明出三角形△EMF是等腰直角三角形是解题的关键．
48．(2023•包头模拟）如图，在正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使得∠BAE＝15°，连接CE并延长到F，连接BF，使得BC＝BF．若AB＝1，则有下面四个结论：①AE＝EC；②BE+EC＝EF；③F到BC的距离为22；④S△AED=14+212．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
思路引领：利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理和三角形的面积公式对每个选项进行逐一判断 即可得出结论．
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD是以对角线BD所在直线为对称轴的轴对称图形，
∴点A，C关于直线BD对称，
∵点E在对称轴上，
∴AE＝CE，
∴①的结论正确；
②在 EF上取一点G，使EG＝EB，连接BG，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC．
在△ABE和△CBE中，
AB=CB∠ABE=∠CBEBE=BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BAE＝∠BCE＝15°．
∴∠BEF＝∠CBE+∠BCE＝60°，
∴△BEG为等边三角形，
∴BG＝BE，∠BGE＝60°．
∵BC＝BF，
∴∠F＝∠BCE＝15°．
∵∠BGE＝∠GBF+∠F，
∴∠GBF＝60°﹣15°＝45°，
∴∠GBF＝∠EBC＝45°．
在△BGF和△BEC中，
BG=BE∠GBF=∠EBCBF=BC，
∴△BGF≌△BEC（SAS），
∴GF＝EC．
∴EF＝GF+GE＝BE+EC，
∴②的结论正确；
③过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于点H，如图，
由②知：∠F＝∠BCE＝15°，
∴∠FBC＝150°，
∴∠FBH＝30°，
∵FH⊥CB，
∴FH=12BF．
∵BC＝BF，AB＝BC＝1，
∴FH=12．
∴F到BC的距离为12，
∴③的结论错误；
④过点A作AM⊥BD于点M，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝AB＝1，
∴AM＝MD=22AD=22，
∵AM⊥BD，
∴△ABM为等腰直角三角形，
∴∠BAM＝45°，
∵∠BAE＝15°，
∴∠EAM＝30°．
∴EM＝AM•tan∠EAM=22×33=66，
∴S△ADE＝S△AEM+S△ADM=12×22×22+12×66×22=14+312，
∴④的结论错误，
综上，正确的结论有：①②，
故选：B．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
49．(2023•邯郸二模）两个相同的菱形如图4所示拼接在一起，若∠ABD＝15°，则∠BCF的度数为（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
思路引领：由菱形的性质可得∠ABC＝2∠ABD＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，可求∠BCD的度数，即可求解．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝2∠ABD＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝150°，
∴∠BCD＝∠DCF＝150°，
∴∠BCF＝60°，
故选：B．
总结提升：本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线平分每一组对角是解题的关键．
50．(2023•琼海二模）如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD上的点，连接CE、CF、EF，AC与EF相交于点G，若BE＝AF＝1，∠BAD＝120°，则S△AGF：S△AGE的值为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
思路引领：由菱形的性质可得∠BAC＝∠DAC，由角平分线的性质可得GN＝GH，即可求解．
解：过点G作GH⊥AD于H，GN⊥AB于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BAC＝∠DAC，
∵BE＝AF＝1，
∴AE＝3，
∵∠BAC＝∠DAC，GH⊥AD，GN⊥AB，
∴GN＝GH，
∴S△AGF：S△AGE=12×AF×GH：12×AE×GN＝1：3，
故选：B．
总结提升：本题考查了菱形的性质，角平分线的性质，掌握菱形的对角线平分每一组对角是解题的关键．
51．(2023•榆阳区一模）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，连接BE，CE，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，连接AF，GH，若AF＝6，则GH的长为（ ）
A．3B．6C．9D．12
思路引领：由三角形中位线定理可得GH=12BE，由直角三角形的性质可得AF=12BE＝GF，即可求解．
解：∵G，H分别是BC，CE的中点，
∴GH=12BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵点F是BE的中点，
∴AF=12BE，
∴GH＝AF＝6，
故选：B．
总结提升：本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
52．(2023•政和县模拟）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD．已知，DG⊥DF，垂足为D，BE的延长线交CG于点H．若AE＝2BE，则CGBH的值为（ ）
A．32B．2C．3107D．355
思路引领：过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE＝AN＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，想办法求出BH，CG，可得结论．
解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE＝AN＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，
∴EN＝EM＝MF＝FN＝a，
∵四边形ENFM是正方形，
∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，
∵GT⊥TF，DF⊥DG，
∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，
∴TG＝FT＝DF＝DG＝a，
∴CT＝3a，CG=(3a)2+a2=10a，
∵MH∥TG，
∴△CMH∽△CTG，
∴CM：CT＝MH：TG＝1：3，
∴MH=13a，
∴BH＝2a+13a=73a，
∴CGBH=10a77a3=3107，
故选：C．
总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
53．(2023•禹州市二模）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OB的中点，连接AE，若AB＝4，则线段AE的长为（ ）
A．22B．3C．10D．13
思路引领：根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，根据勾股定理求出AC的长，进一步可得OA和OE的长，再根据勾股定理可得AE的长．
解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，
∵AB＝4，
根据勾股定理，得AC=42，
∴OA＝OB=22，
∵点E是OB的中点，
∴OE=2，
∵∠AOE＝90°，
根据勾股定理，得AE=10，
故选：C．
总结提升：本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
54．(2023•乐清市三模）如图，在正方形ABCD内有一点E，∠AEB＝90°，以CE，DE为邻边作▱CEDF，连结EF，若A，E，F三点共线，且△ADF的面积为10，则CF的长为（ ）
A．2B．5C．22D．10
思路引领：设EF、CD的交点为G，过E作EH⊥AD交于H，设正方形的边长为2x，则AD＝AB＝CD＝2x，DG＝CG＝x，通过证明△ABE∽△GAD，求出AE=255x，则EGAG=35，可得S△ADGS△DEG=53，设S△ADG＝5m，则S△ECG＝S△DEG＝3m，可求S▱ECFD＝12m，S△ADF＝8m＝10，能求出m=54，再由S△ADG＝5m=254=x2，可求AD＝5，EA=5，再由S△ADE=12×5×HE=52，求出HE＝1，在Rt△AHE中，AH＝2，HD＝3，在Rt△HED中，ED=10．
解：设EF、CD的交点为G，过E作EH⊥AD交于H，
∵四边形ECFD是平行四边形，
∴DG＝CG=12DG，
设正方形的边长为2x，则AD＝AB＝CD＝2x，DG＝CG＝x，
在Rt△ADG中，AG=5x，
∵∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝90°，
∵∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴△ABE∽△GAD，
∴ABAG=AEDG，即2x5x=AEx，
∴AE=255x，
∴EG=355x，
∴EGAG=35，
∴S△ADGS△DEG=53，
设S△ADG＝5m，则S△DEG＝3m，
∵G点是CD的中点，
∴S△ECG＝S△DEG＝3m，
∴S△DEC＝6m，
∵S△DEC＝S△CDF＝6m，
∴S▱ECFD＝12m，
∴S△EDF＝6m，
∴S△ADF＝6m+2m＝8m，
∵S△ADF＝10，
∴8m＝10，
∴m=54，
∴S△ADG＝5m=254=x2，
∴x=52，
∴AD＝5，EA=5，
∵S△ADE=12×5×HE=52，
∴HE＝1，
在Rt△AHE中，AH＝2，
∴HD＝3，
在Rt△HED中，ED=10，
故选：D．
总结提升：本题考查正方形的综合题，熟练掌握正方形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，利用三角形面积的关系，求出正方形的边长是解题的关键．
55．(2023•张店区二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则EFAC的值为（ ）
A．12B．35C．34D．45
思路引领：连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE得出AF＝CE＝5，得出AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出AB＝4，再由勾股定理求出AC，再求得EF的长即可．
解：设AC与EF交于点O，连接AE，如图：
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
∠AOF=∠COEOA=OC∠OAF=∠OCE，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，
∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，
∴AB=AE2−BE2=52−32=4，
∴AC=AB2+BC2=42+82=45，
∴AO＝25，
∴EO=AE2−AO2=52−(25)2=5，
∴EF＝25，
∴EFAC=2545=12．
故选：A．
总结提升：本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
56．(2023•盘锦模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，A，B两点的坐标分别是（2，23），（﹣1，−3），点D在第一象限，则点D的坐标是（ ）
A．（6，23）B．（8，23）C．（6，3）D．（8，3）
思路引领：由A，B两点的坐标可得AB的长，即AD的长，进而可得点D的横坐标，点D的纵坐标则与点A的纵坐标相等，可得点D的坐标．
解：∵A，B两点的坐标分别是（2，23），（﹣1，−3），
∴AB=(2+1)2+(23+3)2=6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
当D（6，23）时，AD＝6﹣2＝4，故A不符合题意；
当D（8，23）时，AD＝8﹣2＝6，故B符合题意；
当D（6，3）时，AD=(2−6)2+(23−3)2=19，故C不符合题意；
当D（8，3）时，AD=(2−8)2+(23−3)2=39，故D不符合题意．
故选：B．
总结提升：本题主要考查菱形的性质，坐标与图形的性质，关键是能够熟练求解坐标与图形的结合问题．
57．(2023•昭平县一模）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG．若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，则线段BG的长为（ ）
A．1B．23+326C．32+66D．33+26
思路引领：过A作AH⊥BD于H，由四边形ABCD是正方形，可得∠ABD＝∠CBD＝45°，即知△ABH，△BDG是等腰直角三角形，故AH＝BH=AB2=22，∠BGF＝45°，根据∠AGF＝105°，可得∠GAH＝30°，GH=AH3=66，从而BG＝BH+GH=32+66．
解：过A作AH⊥BD于H，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵GF⊥BC，AH⊥BD，
∴△ABH，△BDG是等腰直角三角形，
∴AH＝BH=AB2=22，∠BGF＝45°，
∵∠AGF＝105°，
∴∠AGH＝∠AGF﹣∠BGF＝60°，
∴∠GAH＝30°，
∴GH=AH3=66，
∴BG＝BH+GH=22+66=32+66，
故选：C．
总结提升：本题考查正方形性质及应用，解题的关键是掌握含30°，45°角的直角三角形三边的关系．
58．(2023•沙坪坝区校级二模）如图，点E是正方形对角线AC上一点，过E作EF∥AD交CD于F，连接BE，若BE＝7，DF＝6，则AC的长为（ ）
A．92B．62+22C．62+26D．62+26
思路引领：过点E作EH⊥BC于点H，证明四边形EFCH是正方形，得BH＝DF，在Rt△BEH中，由勾股定理求得EH，进而求得正方形ABCD的边长，最后根据正方形的对角线与边长的数量关系求得AC．
解：过点E作EH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，AB＝BC＝CD＝AD，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝180°﹣∠BCD＝90°，
∵∠EHC＝90°，
∴四边形EFCH是矩形，
∵∠EHC＝90°，∠ECH＝45°，
∴EH＝CH，
∴四边形EFCH是正方形，
∴EH＝CH＝CF，
∴BC﹣CH＝DC﹣CF，
∴BH＝DF，
∵BE＝7，DF＝6，
∴CF＝EH=BE2−BH2=72−62=13，
∴CD＝DF+CF＝6+13，
∴AC=2CD＝62+26，
故选：D．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，关键在于作辅助线，证明BH＝DF．
59．(2023•馆陶县一模）如图，两个完全相同的菱形如图所示叠放在一起，若重叠部分是正八边形，则∠1的度数为（ ）
A．60°B．55°C．45°D．30°
思路引领：由正八边形的性质可得∠A＝135°，即可求解．
解：如图，
∵重叠部分是正八边形，
∴∠A＝135°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠1+∠A＝180°，
∴∠1＝45°，
故选：C．
总结提升：本题考查了菱形的性质，正多边形的性质，求出∠A的度数是解题的关键．
60．(2023•宁津县模拟）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，延长AH交CD于点P，若AP⊥HF，AP＝10，则小正方形边长GF的长是（ ）
A．52B．32C．3D．10
思路引领：过点H作HM⊥AD于M，通过证明△AED∽△HMD，可得DHAD=MHAE，可得MH=55a，DM=255a，由平行线分线段成比例可得AHHP=AMDM=32，即可求解．
解：∵△ADE≌△DCH≌△CBG≌△BAF，
∴AE＝DH，DE＝CH，
∵四边形GFEH是正方形，
∴EH＝EF＝HG＝GF，∠HFA＝45°＝∠EHF，
∵AP⊥HF，
∴∠FAH＝∠AFH＝45°＝∠AHE，
∴AH＝FH，AE＝HE，
∴AF＝2AE，
设AE＝a，则AF＝DE＝2a，
如图过点H作HM⊥AD于M，
∴AD=AE2+DE2=5a，
∵∠DMH＝∠AED＝90°，∠ADE＝∠MDH，
∴△AED∽△HMD，
∴DHAD=MHAE，
∴MH=55a，DM=255a，
∴AM＝AD﹣DM=355a，
∵AD⊥CD，
∴MH∥DP，
∴AHHP=AMDM=32，
∵AP＝10，
∴AH＝6，
∴EH＝32=GF，
故选：B．
总结提升：本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
1．(2023•朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（ ）
A．100°B．80°C．70°D．60°
2．(2023•绵阳）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°，若AH＝2，AD＝5+3，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．4（2+6）B．4（2+3+1）C．8（2+3）D．4（2+6+2）
3．(2023•日照）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF∥BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ）
A．4＜m＜3+2B．3−2＜m＜4C．2−2＜m＜3D．4＜m＜4+2
4．(2023•益阳）如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．(2023•湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为323，则CD的长为（ ）
A．4B．43C．8D．83
6．(2023•日照）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ）
A．27°B．53°C．57°D．63°
7．(2023•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝43，则OE＝（ ）
A．4B．23C．2D．3
8．(2023•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（ ）
A．6B．3C．1.5D．1
9．(2023•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．6D．8
10．(2023•广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A．62B．32C．2−3D．6−22
11．(2023•河池）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（ ）
A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠DAC＝∠BAC
12．(2023•贵港）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，动点E在AB边上（与点A，B均不重合），点F在对角线AC上，CE与BF相交于点G，连接AG，DF，若AF＝BE，下列结论错误的是（ ）
A．DF＝CEB．∠BGC＝120°
C．AF2＝EG•ECD．AG的最小值为223
13．(2023•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为（ ）
A．62B．6C．22D．23
14．(2023•呼和浩特）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF＝45°，则AF：FC的值是（ ）
A．3B．5+1C．22+1D．2+3
15．(2023•包头）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（ ）
A．2OC=5EFB．5OC＝2EFC．2OC=3EFD．OC＝EF
16．(2023•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（ ）
A．2B．2C．22D．4
17．(2023•无锡）如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则EDCD的值是（ ）
A．23B．12C．32D．22
18．(2023•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（ ）
A．23+2B．5−33C．3−3D．3+1
19．(2023•安徽）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（ ）
A．α﹣90°B．α﹣45°C．180°﹣αD．270°﹣α
20．(2023•舟山）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8．点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（ ）
A．32B．24C．16D．8
21．(2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（ ）
A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°
22．(2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
23．(2023•泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交BC于点N，则MN的长为（ ）
A．23B．56C．67D．1
模块二 2023中考押题预测
24．（2023•雁塔区一模）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB，连接AE、BE，若CD＝4，AE＝5，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
25．(2023•槐荫区二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是边长为2的正方形，点A在y轴上运动，点B在x轴上运动，点E为对角线的交点，在运动过程中点E到y轴的最大距离是（ ）
A．22B．1C．2D．2
26．(2023•市南区校级二模）如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E．连接EC，若CE＝CD，则△CDE的面积是（ ）
A．18B．413C．14.4D．63
27．(2023•定安县一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（ ）
A．83B．8C．43D．6
28．(2023•丛台区校级模拟）观察如图，判断哪条线段的长度不能表示平行四边形ABCD的高的是（ ）
A．BFB．GHC．DED．BD
29．(2023•礼县校级模拟）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
30．(2023•武江区校级一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，连接BG．若∠DAF＝n°，则∠ABG的度数为（ ）
A．2n°B．90°﹣n°C．45°+n°D．135°﹣3n°
31．(2023•都安县校级一模）在矩形ABCD中，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于E，交AD于F，连接AE、CF．若AB=3，∠DCF=30°，则EF的长为（ ）
A．2B．3C．23D．3
32．(2023•东方校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，若EF+CH＝8，则AB的值为（ ）
A．6B．7.5C．8D．10
33．(2023•大渡口区校级模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若BM=22，则线段AB的长为（ ）
A．42+4B．42+2C．42+6D．42
34．(2023•丛台区校级模拟）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和6，B、C、G三点在同一条直线上，且∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．83B．93C．43D．63
35．(2023•博望区校级一模）△ABC为等边三角形，D、E分别是边AB、BC上的动点，且满足AD＝BE，M是DE的中点，若AB＝2，则BM的最小值为（ ）
A．32B．13C．12D．1
36．(2023•赫章县模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（4，0），（0，3），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．16B．20C．24D．26
37．(2023•定安县二模）如图，在边长为22的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF交于点O，点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，则GH的长度为（ ）
A．1B．22C．102D．105
38．(2023•惠水县模拟）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，CE平分∠BCD，交AB于点E，AD＝6，AB＝7，则EF长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
39．(2023•绵竹市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为（ ）
A．25B．4+255C．1+455D．8﹣25
40．(2023•昭平县二模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是边BC和CD的中点，连接AE，在AE上取点G，连接GF，若∠EGF＝45°，则GF的长为（ ）
A．35B．37C．9105D．210
41．(2023•黔东南州一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是（ ）
A．322B．432C．22D．542
42．(2023•梁园区二模）如图，在正方形ABCD中，M，N分别为CD，BC上一点，且DM＝CN，连接AM，DN，交于点P，Q，R分别为AN，AD的中点，连接PQ，PR，若PQ=52，PR＝2，则MP的长为（ ）
A．21717B．1717C．1313D．21313
43．(2023•渝北区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AE＝FE，∠BEC＝56°，则∠DEF的度数为（ ）
A．16°B．15°C．14°D．13°
44．(2023•新乐市校级模拟）四边形当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1B．12C．22D．32
45．(2023•蜀山区校级三模）如图，平行四边形ABCD中，G、H分别是AD，BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，四边形GEFH是矩形，若AB＝5，AD＝8，则BD的长为（ ）
A．395B．152C．8D．223
46．(2023•景县校级模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，M为对角线AC上的一动点，ME⊥CD于点E，MF⊥AD于点F，连接EF．若BC：AC＝3：11，则EF的最小值为（ ）
A．2B．22C．31111D．61111
47．(2023•大名县三模）如图，正方形ABCD的边长是10，在正方形外有E、F两点，满足AE＝CF＝6，BE＝DF＝8，则EF的长是（ ）
A．143B．142C．14D．102
48．(2023•包头模拟）如图，在正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使得∠BAE＝15°，连接CE并延长到F，连接BF，使得BC＝BF．若AB＝1，则有下面四个结论：①AE＝EC；②BE+EC＝EF；③F到BC的距离为22；④S△AED=14+212．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
49．(2023•邯郸二模）两个相同的菱形如图4所示拼接在一起，若∠ABD＝15°，则∠BCF的度数为（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
50．(2023•琼海二模）如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD上的点，连接CE、CF、EF，AC与EF相交于点G，若BE＝AF＝1，∠BAD＝120°，则S△AGF：S△AGE的值为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
51．(2023•榆阳区一模）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，连接BE，CE，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，连接AF，GH，若AF＝6，则GH的长为（ ）
A．3B．6C．9D．12
52．(2023•政和县模拟）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD．已知，DG⊥DF，垂足为D，BE的延长线交CG于点H．若AE＝2BE，则CGBH的值为（ ）
A．32B．2C．3107D．355
53．(2023•禹州市二模）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OB的中点，连接AE，若AB＝4，则线段AE的长为（ ）
A．22B．3C．10D．13
54．(2023•乐清市三模）如图，在正方形ABCD内有一点E，∠AEB＝90°，以CE，DE为邻边作▱CEDF，连结EF，若A，E，F三点共线，且△ADF的面积为10，则CF的长为（ ）
A．2B．5C．22D．10
55．(2023•张店区二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则EFAC的值为（ ）
A．12B．35C．34D．45
56．(2023•盘锦模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，A，B两点的坐标分别是（2，23），（﹣1，−3），点D在第一象限，则点D的坐标是（ ）
A．（6，23）B．（8，23）C．（6，3）D．（8，3）
57．(2023•昭平县一模）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG．若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，则线段BG的长为（ ）
A．1B．23+326C．32+66D．33+26
58．(2023•沙坪坝区校级二模）如图，点E是正方形对角线AC上一点，过E作EF∥AD交CD于F，连接BE，若BE＝7，DF＝6，则AC的长为（ ）
A．92B．62+22C．62+26D．62+26
59．(2023•馆陶县一模）如图，两个完全相同的菱形如图所示叠放在一起，若重叠部分是正八边形，则∠1的度数为（ ）
A．60°B．55°C．45°D．30°
60．(2023•宁津县模拟）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，延长AH交CD于点P，若AP⊥HF，AP＝10，则小正方形边长GF的长是（ ）
A．52B．32C．3D．10
专题3 选择题重点出题方向四边形中的计算专项训练（解析版）
模块一 2022中考真题训练
一．试题（共60小题）
1．(2023•朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（ ）
A．100°B．80°C．70°D．60°
思路引领：由平行四边形的性质可得AB∥DC，再根据三角形内角和定理，即可得到∠GEF的度数，依据平行线的性质，即可得到∠EGC的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠AEG＝∠EGC，
∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，
∴∠GEF＝30°，
∴∠GEA＝80°，
∴∠EGC＝80°．
故选：B．
总结提升：此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
2．(2023•绵阳）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°，若AH＝2，AD＝5+3，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．4（2+6）B．4（2+3+1）C．8（2+3）D．4（2+6+2）
思路引领：先构造15° 的直角三角形，求得15° 的余弦和正切值；作EK⊥FH，可求得EH：EF＝2：6；作∠ARH＝∠BFT＝15°，分别交直线AB于R和T，构造“一线三等角”，先求得FT的长，进而根据相似三角形求得ER，进而求得AE，于是得出∠AEH＝30°，进一步求得结果．
解：如图1，
Rt△PMN中，∠P＝15°，NQ＝PQ，∠MQN＝30°，
设MN＝1，则PQ＝NQ＝2，MQ=3，PN=6+2，
∴cs15°=6+24，tan15°＝2−3，
如图2，
作EK⊥FH于K，作∠AHR＝∠BFT＝15°，分别交直线AB于R和T，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C，
在△AEH与△CGF中，
AE=CG∠A=∠CAH=CF，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH＝GF，
同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
设HK＝a，则EH＝2a，EK=3a，
∴EF=2EK=6a，
∵∠EAH＝∠EBF＝90°，
∴∠R＝∠T＝75°，
∴∠R＝∠T＝∠HEF＝75°，
可得：FT=BFcs15°=3+36+24=26，AR＝AH•tan15°＝4﹣23，△FTE∽△ERH，
∴FTER=EFEH，
∴26ER=62，
∴ER＝4，
∴AE＝ER﹣AR＝23，
∴tan∠AEH=223=33，
∴∠AEH＝30°，
∴HG＝2AH＝4，
∵∠BEF＝180°﹣∠AEH﹣∠HEF＝75°，
∴∠BEF＝∠T，
∴EF＝FT＝26，
∴EH+EF＝4+26=2（2+6），
∴2（EH+EF）＝4（2+6），
∴四边形EFGH的周长为：4（2+6），
故答案为：A．
总结提升：本题考查了矩形性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，构造15°特殊角的图形及其求15°的函数值，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“一线三等角”及构造15°直角三角形求其三角函数值．
3．(2023•日照）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF∥BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ）
A．4＜m＜3+2B．3−2＜m＜4C．2−2＜m＜3D．4＜m＜4+2
思路引领：先求得点A，C，B三个点坐标，然后求得AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，根据不等式的性质求得结果．
解：可得C（2，2），A（4，0），B（4+2，2），
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣4，
∴x＝y+4，
直线AC的解析式为：y=22−4x−422−4，
∴x＝4+y﹣22y，
∴点F的横坐标为：y+4，点E的横坐标为：4+y﹣22y，
∴EF＝（y+4）﹣（4+y﹣22y）＝22y，
∵EP＝3PF，
∴PF=14EF=22y，
∴点P的横坐标为：y+4−22y，
∵0＜y＜2，
∴4＜y+4−22y＜3+2，
故答案为：A．
总结提升：本题考查了等腰直角三角形性质，求一次函数的解析式，不等式性质等知识，解决问题的关键是表示出点P的横坐标．
4．(2023•益阳）如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
思路引领：根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，已知AE＝3，则BE＝5，再判定四边形DEFC是平行四边形，则DC＝EF＝8，BF＝EF﹣BE，即可求出BF．
解：在▱ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故选：C．
总结提升：本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键，平行四边形的判定；（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5．(2023•湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为323，则CD的长为（ ）
A．4B．43C．8D．83
思路引领：在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长．
解：∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OC＝OA=12AC，AC⊥BD，
∴OH＝OB＝OD=12BD（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴OD＝4，BD＝8，
由12AC⋅BD=323得，
12×8⋅AC=323，
∴AC＝83，
∴OC=12AC=43，
∴CD=OC2+OD2=8，
故选C．
总结提升：本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD的长．
6．(2023•日照）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ）
A．27°B．53°C．57°D．63°
思路引领：根据题意可知AE∥BF，∠EAB＝∠ABF，∠ABF+27°＝90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED．
解：如图，
∵AE∥BF，
∴∠EAB＝∠ABF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠ABF+27°＝90°，
∴∠ABF＝63°，
∴∠EAB＝63°，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠EAB＝63°．
故选：D．
总结提升：本题结合矩形考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质得出角的相等或互补关系是解题的关键．
7．(2023•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝43，则OE＝（ ）
A．4B．23C．2D．3
思路引领：根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝23，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，
∴BO＝23，
∴AO=33BO=2，
∴AB＝2AO＝4，
∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，
∴OE=12AD＝2，
故选：C．
总结提升：本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
8．(2023•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（ ）
A．6B．3C．1.5D．1
思路引领：根据题意可知：MN是线段AC的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点D为AB的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到CD的长．
解：由已知可得，
MN是线段AC的垂直平分线，
设AC与MN的交点为E，
∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，
∴ED∥CB，
∴△AED∽△ACB，
∴AEAC=ADAB，
∴12=ADAB，
∴AD=12AB，
∴点D为AB的中点，
∵AB＝3，∠ACB＝90°，
∴CD=12AB＝1.5，
故选：C．
总结提升：本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．(2023•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．6D．8
思路引领：利用勾股定理求得AB＝20；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=12CD．
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴AB=AC2+BC2=20．
∵CD为中线，
∴CD=12AB＝10．
∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，
则BF=12CD＝5．
故选：A．
总结提升：本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．
10．(2023•广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A．62B．32C．2−3D．6−22
思路引领：连接EF，由正方形ABCD的面积为3，CE＝1，可得DE=3−1，tan∠EBC=CEBC=13=33，即得∠EBC＝30°，又AF平分∠ABE，可得∠ABF=12∠ABE＝30°，故AF=AB3=1，DF＝AD﹣AF=3−1，可知EF=2DE=2×（3−1）=6−2，而M，N分别是BE，BF的中点，即得MN=12EF=6−22．
解：连接EF，如图：
∵正方形ABCD的面积为3，
∴AB＝BC＝CD＝AD=3，
∵CE＝1，
∴DE=3−1，tan∠EBC=CEBC=13=33，
∴∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，
∵AF平分∠ABE，
∴∠ABF=12∠ABE＝30°，
在Rt△ABF中，AF=AB3=1，
∴DF＝AD﹣AF=3−1，
∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，
∴EF=2DE=2×（3−1）=6−2，
∵M，N分别是BE，BF的中点，
∴MN是△BEF的中位线，
∴MN=12EF=6−22．
故选：D．
总结提升：本题考查正方形性质及应用，涉及含30°角的直角三角形三边关系，等腰直角三角形三边关系，解题的关键是根据已知求得∠EBC＝30°．
11．(2023•河池）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（ ）
A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠DAC＝∠BAC
思路引领：根据菱形的性质即可一一判断．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，AC⊥BD，
故A、B、D正确，无法得出AC＝BD，
故选：C．
总结提升：本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
12．(2023•贵港）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，动点E在AB边上（与点A，B均不重合），点F在对角线AC上，CE与BF相交于点G，连接AG，DF，若AF＝BE，则下列结论错误的是（ ）
A．DF＝CEB．∠BGC＝120°
C．AF2＝EG•ECD．AG的最小值为223
思路引领：根据菱形的性质，利用SAS证明△ADF≌△BCE，可得DF＝CE，故A正确；利用菱形的轴对称知，△BAF≌△DAF，得∠ADF＝∠ABF，则∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣∠CBE＝120°，故B正确，利用△BEG∽△CEB，得BECE=EGBE，且AF＝BE，可得C正确，利用定角对定边可得点G在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，连接AO，交⊙O于G，此时AG最小，AO是BC的垂直平分线，利用含30°角的直角三角形的性质可得AG的最小值，从而解决问题．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，BC＝AD，∠DAC=12∠BAD＝60°，
∴∠DAF＝∠CBE，
∵BE＝AF，
∴△ADF≌△BCE（SAS），
∴DF＝CE，∠BCE＝∠ADF，故A正确，不符合题意；
∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠BCE，
∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣∠CBE＝120°，故B正确，不符合题意；
∵∠EBG＝∠ECB，∠BEG＝∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴BECE=EGBE，
∴BE2＝CE×EG，
∵BE＝AF，
∴AF2＝EG•EC，故C正确，不符合题意；
以BC为底边，在BC的下方作等腰△OBC，使∠OBC＝∠OCB＝30°，
∵∠BGC＝120°，BC＝1，
∴点G在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，
连接AO，交⊙O于G，此时AG最小，AO是BC的垂直平分线，
∵OB＝OC，∠BOC＝120°，
∴∠BCO＝30°，
∴∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝30°，
∴OC=33，
∴AO＝2OC=233，
∴AG的最小值为AO﹣OC=33，故D错误，符合题意．
故选：D．
总结提升：本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用定边对定角确定点G的运动路径是解题的关键．
13．(2023•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为（ ）
A．62B．6C．22D．23
思路引领：首先利用正方形的性质可以求出AC，然后利用等边三角形的性质可求出OE．
解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，
∴AC＝22，
∵O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形，
∴∠AOE＝90°，
∴AC＝AE＝22，AO=2，
∴OE=2×3=6．
故选：B．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了等边三角形的性质，有一定的综合性．
14．(2023•呼和浩特）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF＝45°，则AF：FC的值是（ ）
A．3B．5+1C．22+1D．2+3
思路引领：连接DB，交AC于点O，连接OE，根据菱形的性质可得∠DAC=12∠DAB＝30°，AC⊥BD，OD=12BD，AC＝2AO，AB＝AD，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得DB＝AD，再根据直角三角形斜边上的中线可得OE＝AE＝DE=12AD，然后设OE＝AE＝DE＝a，则AD＝BD＝2a，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，最后利用等腰三角形的性质，以及三角形的外角求出∠OEF＝∠EFO＝15°，从而可得OE＝OF＝a，即可求出AF，CF的长，进行计算即可解答．
解：连接DB，交AC于点O，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=12∠DAB＝30°，AC⊥BD，OD=12BD，AC＝2AO，AB＝AD，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴DB＝AD，
∵∠AOD＝90°，点E是DA中点，
∴OE＝AE＝DE=12AD，
∴设OE＝AE＝DE＝a，
∴AD＝BD＝2a，
∴OD=12BD＝a，
在Rt△AOD中，AO=AD2−DO2=(2a)2−a2=3a，
∴AC＝2AO＝23a，
∵EA＝EO，
∴∠EAO＝∠EOA＝30°，
∴∠DEO＝∠EAO+∠EOA＝60°，
∵∠DEF＝45°，
∴∠OEF＝∠DEO﹣∠DEF＝15°，
∴∠EFO＝∠EOA﹣∠OEF＝15°，
∴∠OEF＝∠EFO＝15°，
∴OE＝OF＝a，
∴AF＝AO+OF=3a+a，
∴CF＝AC﹣AF=3a﹣a，
∴AFCF=3a+a3a−a=3+13−1=2+3，
故选：D．
总结提升：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．(2023•包头）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（ ）
A．2OC=5EFB．5OC＝2EFC．2OC=3EFD．OC＝EF
思路引领：过点O作OH⊥BC于点H，得出四边形ABFE是正方形，再根据线段等量关系得出CF＝EF＝2OH，根据勾股定理得出OC=5OH，即可得出结论．
解：过点O作OH⊥BC于点H，
∵在矩形ABCD中，EF∥AB，AE＝AB，
∴四边形ABFE是正方形，
∴OH=12EF=12BF＝BH＝HF，
∵BF＝2CF，
∴CH＝EF＝2OH，
∴OC=OH2+CH2=OH2+(2OH)2=5OH，
即2OC=5EF，
故选：A．
总结提升：本题主要考查矩形和正方形的判定和性质，熟练掌握矩形和正方形的判定和性质及勾股定理等知识是解题的关键．
16．(2023•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（ ）
A．2B．2C．22D．4
思路引领：连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．
解：如图，连接AE，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，
∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，
连接AC，
∴d1+d2+d3最小值为AC，
在Rt△ABC中，AC=2AB＝22，
∴d1+d2+d3最小＝AC＝22，
故选：C．
总结提升：此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
17．(2023•无锡）如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则EDCD的值是（ ）
A．23B．12C．32D．22
思路引领：由等腰三角形的性质可求∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，由直角三角形的性质和勾股定理可求CD，DE的长，即可求解．
解：如图，过点B作BH⊥AD于H，
设∠ADB＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝∠ADB＝x，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠DAB=180°−x2，
∴x+180°−x2=105°，
∴x＝30°，
∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，
∵BH⊥AD，
∴BD＝2BH，DH=3BH，
∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，
∴∠AEB＝45°，
∴∠AEB＝∠EBH＝45°，
∴EH＝BH，
∴DE=3BH﹣BH＝（3−1）BH，
∵AB=BH2+AH2=BH2+(2BH−3BH)2=（6−2）BH＝CD，
∴DECD=22，
故选：D．
总结提升：本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，求出∠ADB＝30°是解题的关键．
18．(2023•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（ ）
A．23+2B．5−33C．3−3D．3+1
思路引领：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，利用正方形性质和等边三角形性质可得：∠BAG＝90°，AB＝2，∠ABC＝60°，运用解直角三角形可得AG＝23，DG＝2+23，再求得∠G＝30°，根据直角三角形性质得出答案．
方法二：过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，利用解直角三角形可得EH＝1，BH=3，再证明△BEH≌△DEG，可得DG＝BH=3，即可求得答案．
解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，
∵四边形ABED是正方形，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝2，∠ABC＝60°，
∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝23，
∴DG＝AD+AG＝2+23，
∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，
∴DF=12DG=12×（2+23）＝1+3，
故选D．
方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，
则∠BHE＝∠DGE＝90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝2，∠ABC＝60°，
∵四边形ABED是正方形，
∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，
∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×12=1，BH＝BE•cs∠EBH＝2cs30°=3，
∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，
∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，
∴四边形EGFH是矩形，
∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，
∵∠DEG+∠BEG＝90°，
∴∠BEH＝∠DEG，
在△BEH和△DEG中，
∠BHE=∠DGE∠BEH=∠DEGBE=DE，
∴△BEH≌△DEG（AAS），
∴DG＝BH=3，
∴DF＝DG+FG=3+1，
故选：D．
总结提升：本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形，题目的综合性很好，难度不大．
19．(2023•安徽）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（ ）
A．α﹣90°B．α﹣45°C．180°﹣αD．270°﹣α
思路引领：根据矩形的性质和三角形外角的性质，可以用含α的式子表示出∠2．
解：由图可得，
∠1＝90°+∠3，
∵∠1＝α，
∴∠3＝α﹣90°，
∵∠3+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α，
故选：C．
总结提升：本题考查矩形的性质、三角形外角的性质，解答本题的关键是明确题意，用含α的代数式表示出∠2．
20．(2023•舟山）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8．点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（ ）
A．32B．24C．16D．8
思路引领：根据EF∥AC，GF∥AB，可以得到四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，再根据AB＝AC＝8和等量代换，即可求得四边形AEFG的周长．
解：∵EF∥AC，GF∥AB，
∴四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，
∴EB＝EF，FG＝GC，
∵四边形AEFG的周长是AE+EF+FG+AG，
∴四边形AEFG的周长是AE+EB+GC+AG＝AB+AC，
∵AB＝AC＝8，
∴四边形AEFG的周长是AB+AC＝8+8＝16，
故选：C．
总结提升：本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，将平行四边形的周长转化为AB和AC的关系．
21．(2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（ ）
A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°
思路引领：根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF的度数．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，
在△DAF和△ABE中，
AD=BA∠DAF=∠ABEAF=BE，
△DAF≌△ABE（SAS），
∠ADF＝∠BAE，
∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=12∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝22.5°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
故选：C．
总结提升：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出∠ADF的度数．
22．(2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
思路引领：利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．
∵OE＝OF，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∵∠AFE＝25°，
∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，
∴∠FAO＝20°．
在△AOF和△BOE中，
OA=OB∠AOF=∠BOE=90°OF=OE，
∴△AOF≌△BOE（SAS）．
∴∠FAO＝∠EBO＝20°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠CBE＝∠EBO+∠OBC＝65°．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
模块二 2023中考押题预测
23．(2023•泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（ ）
A．23B．56C．67D．1
思路引领：根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得CN和BN的长，然后根据BC＝3，即可求得MN的长．
解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，
∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，
∴四边形BHFK是正方形，
∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，
∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，
∴∠DEA＝∠EFH，
∵∠A＝∠EHF＝90°，
∴△DAE∽△EHF，
∴ADHE=AEHF，
∵正方形ABCD的边长为3，BE＝2AE，
∴AE＝1，BE＝2，
设FH＝a，则BH＝a，
∴32+a=1a，
解得a＝1；
∵FK⊥CB，DC⊥CB，
∴△DCN∽△FKN，
∴DCFK=CNKN，
∵BC＝3，BK＝1，
∴CK＝2，
设CN＝b，则NK＝2﹣b，
∴31=b2−b，
解得b=32，
即CN=32，
∵∠A＝∠EBM，∠AED＝∠BME，
∴△ADE∽△BEM，
∴ADBE=AEBM，
∴32=1BM，
解得BM=23，
∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝3−32−23=56，
故选：B．
总结提升：本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（2023•雁塔区一模）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB，连接AE、BE，若CD＝4，AE＝5，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
思路引领：先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AD＝4，再利用勾股定理求出DE的长即可．
解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，CD＝4，
∴AD=CD=BD=12AB=4，
∵DE⊥AB，AE＝5，
∴DE=AE2−AD2=3，
故选：B．
总结提升：本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，正确求出AD＝4是解题的关键．
25．(2023•槐荫区二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是边长为2的正方形，点A在y轴上运动，点B在x轴上运动，点E为对角线的交点，在运动过程中点E到y轴的最大距离是（ ）
A．22B．1C．2D．2
思路引领：过E作EF⊥y轴于F，根据四边形ABCD是边长为2的正方形，可得AE=2，由垂线段最短可得EF＜2，即得A与F重合时，E到y轴距离最大，最大为2．
解：过E作EF⊥y轴于F，如图：
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AC＝22，AE=2，
若A、E、F构成三角形，则直角边EF小于AE，即EF＜2，
∴当A与F重合，即EA⊥y轴时，EF＝AE=2，如图：
此时E到y轴距离最大，最大为2；
故选：C．
总结提升：本题考查正方形性质及应用，解题的关键是垂线段最短．
26．(2023•市南区校级二模）如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E．连接EC，若CE＝CD，则△CDE的面积是（ ）
A．18B．413C．14.4D．63
思路引领：根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到△ADE和△DCF全等，然后即可得到CF和DE的关系，根据等腰三角形的性质可以得到DF和DE的关系，再根据勾股定理可以得到DF2的值，然后即可计算出△CDE的面积．
解：作CF⊥ED于点F，如右图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠CDA＝90°，
∴∠ADE+∠FDC＝90°，
∵CF⊥DE，CD＝CE，
∴EF＝DF=12DE，∠CFD＝90°，
∴∠FDC+∠DCF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
在△ADE和△DCF中，
∠AED=∠DFC∠ADE=∠DCFAD=DC，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴DE＝CF，
∴DF=12CF，
∵∠CFD＝90°，CD＝6，
∴DF2+CF2＝CD2，
即DF2+（2DF）2＝62，
解得DF2＝7.2，
∴S△CDE=DE⋅CF2=2DF⋅2DF2=2DF2＝2×7.2＝14.4，
故选：C．
总结提升：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是求出DF2的值．
27．(2023•定安县一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（ ）
A．83B．8C．43D．6
思路引领：连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA＝OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC＝∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO＝30°，即∠BAC＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．
解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB＝90°
∴∠FCO＝∠EAO，
在△AOE和△COF中，
∠AOE=∠FOC∠FCO=∠EAOAE=CF，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，OA＝OC，
∵BF＝BE，
∴BO⊥EF，∠BOF＝90°，
∵∠FEB＝2∠CAB＝∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO＝∠EOA，
∴EA＝EO＝OF＝FC＝2，
在RT△BFO和RT△BFC中，
BF=BFFO=FC，
∴RT△BFO≌RT△BFC，
∴BO＝BC，
在RT△ABC中，∵AO＝OC，
∴BO＝AO＝OC＝BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠FEB＝2∠CAB＝60°，∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB＝EF＝4，
∴AB＝AE+EB＝2+4＝6．
故选：D．
总结提升：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC＝30°是解题的关键．
28．(2023•丛台区校级模拟）观察如图，判断哪条线段的长度不能表示平行四边形ABCD的高的是（ ）
A．BFB．GHC．DED．BD
思路引领：根据平行四边形的性质得到AD∥BC，则DE、GH表示AD边上的高或BC边上的高，由于BF⊥CD，BD不垂直CD，所以BF表示CD边上的高，BD不能表示平行四边形ABCD的高．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴GH和DE的长为AD和BC之间的距离，
∴DE、GH表示AD边上的高或BC边上的高，
∵BF⊥CD，
∴BF表示CD边上的高，
∵BD为平行四边形的对角线，而BD与CD不垂直，
∴BD不能表示平行四边形ABCD的高．
故选：D．
总结提升：本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和平行四边形的高的定义是解决问题的关键．
29．(2023•礼县校级模拟）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
思路引领：先根据正方形的性质得出∠B＝90°，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理得出BC2，即可得出正方形的面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，
∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．
故选：A．
总结提升：本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．也考查了正方形的性质．
30．(2023•武江区校级一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，连接BG．若∠DAF＝n°，则∠ABG的度数为（ ）
A．2n°B．90°﹣n°C．45°+n°D．135°﹣3n°
思路引领：根据正方形性质得出AD＝BC＝DC，根据中点的定义得到CE＝DF，可证得△ADF≌△DCE（SAS），可得∠AFD＝∠DEC，可证得AF⊥DE；延长DE交AB的延长线于H，可证得△HBE∽△HAD，BH＝AB，再根据直角三角形的性质可得GB＝HB，再根据等腰三角形的性质和同角的余角相等，以及三角形外角的性质即可求解．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝DC，
∵点E、F分别是BC、CD的中点，
∴EC＝DF，
在△ADF和△DCE中，
AD=DC∠ADF=∠DCEDF=CE，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD＝∠DEC，
∵∠DEC+∠CDE＝90°，
∴∠AFD+∠CDE＝90°＝∠DGF，
∴AF⊥DE．
如图：延长DE交AB的延长线于H，
∵BE=12BC=12AD，BE∥AD，
∴△HBE∽△HAD，
∴BEAD=HBHA=12，
∴BH＝AB，点B是AH的中点，
∵AF⊥DE，
∴∠AGH＝90°，
∴GB＝HB，
∴∠H＝∠BGH，
∵∠H+∠ADH＝∠DAG+∠ADG＝90°，
∴∠H＝∠DAG＝n°，
∴∠ABG＝∠H+∠BGH＝2∠H＝2n°，
故选：A．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键．
31．(2023•都安县校级一模）在矩形ABCD中，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于E，交AD于F，连接AE、CF．若AB=3，∠DCF=30°，则EF的长为（ ）
A．2B．3C．23D．3
思路引领：求出∠ACB＝∠DAC，然后利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE＝OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，再求出∠ECF＝60°，然后判断出△CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF＝CF，根据矩形的对边相等可得CD＝AB，然后求出CF，从而得解．
解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵O是AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOF和△COE中，
∠ACB=∠DACAO=CO∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∵∠DCF＝30°，
∴∠ECF＝90°﹣30°＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CF，
∵AB=3，
∴CD＝AB=3，
∵∠DCF＝30°，
∴CF=3÷32=2，
∴EF＝2．
故选：A．
总结提升：本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点在于判断出△CEF是等边三角形．
32．(2023•东方校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，若EF+CH＝8，则AB的值为（ ）
A．6B．7.5C．8D．10
思路引领：根据直角三角形斜边上的中线的性质得到CH=12AB，根据三角形中位线定理得到EF=12AB，根据题意计算，得到答案．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H是边AB的中点，
则CH=12AB，
∵点E、F分别是边BC、CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12AB，
∵EF+CH＝8，
∴12AB+12AB＝8，
∴AB＝8，
故选：C．
总结提升：本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
33．(2023•大渡口区校级模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若BM=22，则线段AB的长为（ ）
A．42+4B．42+2C．42+6D．42
思路引领：过点M作MF⊥AC于点F，根据角平分线的性质可知FM＝BM，再由四边形ABCD为正方形，可得出∠FAM＝45°，在直角三角形中用∠FAM的正弦值即可求出AM的长度，结合边的关系即可得出结论．
解：过点M作MF⊥AC于点F，如图所示．
∵MC平分∠ACB，四边形ABCD为正方形，
∴∠CAB＝45°，FM＝BM＝22．
在Rt△AFM中，∠AFM＝90°，∠FAM＝45°，FM＝22，
∴AM=2FM＝22×2=4．
∴AB＝AM+MB＝4+22．
故选：A．
总结提升：本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是在直角三角形中求出FM的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据角平分的性质及正方形的特点找出边角关系，再利用解直角三角形的方法即可得以解决．
34．(2023•丛台区校级模拟）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和6，B、C、G三点在同一条直线上，且∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．83B．93C．43D．63
思路引领：过E作EM⊥BG于M，过D作DN⊥BG于N，根据菱形的性质得出AD＝DC＝BC＝AB＝4，CE＝EF＝FG＝CG＝6，∠BCD＝∠A＝120°，解直角三角形求出EM和CN，再根据图形得出阴影部分的面积S＝S菱形ABCD+S菱形CGFE﹣S△BGF﹣S△ADB﹣S△DEF，再求出答案即可．
解：过E作EM⊥BG于M，过D作DN⊥BG于N，则∠EMC＝∠DNC＝90°，
∵四边形ABCD和四边形ECGF都是菱形，∠A＝120°，
∴AD＝DC＝BC＝AB＝4，CE＝EF＝FG＝CG＝6，∠BCD＝∠A＝120°，
∴∠ECG＝60°，
∴∠CDN＝∠CEM＝30°，
∴CN=12CD＝2，CM=12CE＝3，
∴DN=DC2−CN2=42−22=23，EM=EC2−CM2=62−32=33，
∴阴影部分的面积S＝S菱形ABCD+S菱形CGFE﹣S△BGF﹣S△ADB﹣S△DEF
＝4×23+6×33−12×（4+6）×33−12×4×23−12×6×（33−23）
＝83+183−153−43−33
＝43，
故选：C．
总结提升：本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质，能熟记菱形的性质是解此题的关键，菱形的四条边都相等．
35．(2023•博望区校级一模）△ABC为等边三角形，D、E分别是边AB、BC上的动点，且满足AD＝BE，M是DE的中点，若AB＝2，则BM的最小值为（ ）
A．32B．13C．12D．1
思路引领：根据垂线最短可知当BM⊥DE时最短，根据AD＝BE可知BD＝CE，据此可得知当DE是△ABC的中位线时BM最短，再由直角三角形及等边三角形的性质即可得出结论．
解：如图，
∵垂线最短，
∴BM⊥DE时最短，
∵M是DE的中点，
∴当BD＝BE时，BM⊥DE．
∵AB＝BC，AD＝BE，
∴BE＝CE，AD＝BD，
∴DE是△ABC的中位线．
∵△ABC为等边三角形，AB＝2，
∴∠ABM＝30°，BD=12AB＝1，
∴BM＝BD•cs30°=32．
故选：A．
总结提升：本题考查的是三角形中位线定理及等边三角形的性质，根据题意判断出DE是△ABC的中位线时BM最短是解题的关键．
36．(2023•赫章县模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（4，0），（0，3），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．16B．20C．24D．26
思路引领：根据题意和勾股定理可得AB长，再根据菱形的四条边都相等，即可求出菱形的周长．
解：∵点A，B的坐标分别为（4，0），（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB=OA2+OB2=5，
∴菱形ABCD的周长等于4AB＝20．
故选：B．
总结提升：本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
37．(2023•定安县二模）如图，在边长为22的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF交于点O，点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，则GH的长度为（ ）
A．1B．22C．102D．105
思路引领：利用正方形的性质和勾股定理求得CE＝DF=10，利用全等三角形的判定与性质和在直角三角形的性质得到CE⊥DF，利用相似三角形的判定与性质求出OF，OC，在Rt△OHG中，利用勾股定理即可求得结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD＝22，
∵点E、F分别是边AB、BC的中点，
∴BE=12AB，CF=12BC，
∴BE＝CF=2，
∴CE＝DF=(22)2+(2)2=10．
∵点G、H分别是EC、FD的中点，
∴HF＝CG=102．
在△BEC和△CFD中，
BE=CF∠B=∠BCD=90°BC=CD，
∴△BEC≌△CFD（SAS），
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠CFD+∠BCE＝90°，
∴∠FOC＝90°，
∴CE⊥DF．
∵∠FCD＝90°，
∴△FOC∽△FCD，
∴OFFC=OCCD=FCFD，
∴OF2=OC22=210，
∴OF=105，OC=2105，
∴OG＝GC﹣OC=1010，OH＝HF﹣OF=31010，
∴GH=OG2+OH2=(1010)2+(31010)2=1．
故选：A．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理得到△BEC≌△CFD是解题的关键．
38．(2023•惠水县模拟）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，CE平分∠BCD，交AB于点E，AD＝6，AB＝7，则EF长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
思路引领：首先根据平行四边形的性质可得CD∥AB，再根据角平分线的性质可得∠ECB＝∠DCE，然后证明BC＝BE，AD＝AF，进而可得AE＝BF，进而求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，AB＝DC＝7，
∴∠DCE＝∠BEC，
∵CE平分∠BCD交AB于E，DF平分∠ADC，交AB于点F，
∴∠ECB＝∠DCE，∠ADF＝∠CDB，
∵CD∥AB，
∴∠CDB＝∠EFD，∠DCE＝∠BEC，
∴∠ADF＝∠EFD，∠BCE＝∠BEC，
∴AF＝AD＝6，BE＝BC＝6，
∴AE＝BF＝7﹣6＝1，
∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝7﹣1﹣1＝5．
故选：B．
总结提升：本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．
39．(2023•绵竹市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为（ ）
A．25B．4+255C．1+455D．8﹣25
思路引领：过点E作EH⊥AC于H，由四边形DEFB是正方形，得∠BDE＝90°＝∠C，DE＝BD，可证明△BDC≌△DEH（AAS），即有EH＝CD，DH＝BC＝4，从而AH＝AC﹣DH﹣CD＝4﹣CD，而AE2＝AH2+EH2＝（4﹣CD）2+CD2＝2（CD﹣2）2+8，根据二次函数性质可得AE取得最小值时，CD＝2，即可得到答案．
解：过点E作EH⊥AC于H，如图：
∵四边形DEFB是正方形，
∴∠BDE＝90°＝∠C，DE＝BD，
∴∠EDA+∠BDC＝90°，∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝∠EDA，且DE＝BD，∠DHE＝∠C＝90°，
∴△BDC≌△DEH（AAS），
∴EH＝CD，DH＝BC＝4，
∴AH＝AC﹣DH﹣CD＝8﹣4﹣CD＝4﹣CD，
∵AE2＝AH2+EH2＝（4﹣CD）2+CD2＝2（CD﹣2）2+8，
∵2＞0，
∴当CD＝2时，AE2最小，AE也最小，
此时BD=CD2+BC2=22+42=25，
故选：A．
总结提升：本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是用含CD的代数式表示AE2，利用二次函数性质解答．
40．(2023•昭平县二模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是边BC和CD的中点，连接AE，在AE上取点G，连接GF，若∠EGF＝45°，则GF的长为（ ）
A．35B．37C．9105D．210
思路引领：连接BF交AE于H，根据正方形的性质得到AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°，根据全等三角形的性质得到∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，推出△FGH是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
解：连接BF交AE于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°，
∵点E、F分别是边BC，CD的中点，
∴BE＝CF，
在△ABE与△BCF中，
AB=BC∠ABE=∠BCFBE=CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠AEB+∠EBH＝90°，
∴∠BHE＝90°，
∴∠GHF＝90°，
∵∠FGH＝45°，
∴△FGH是等腰直角三角形，
∵AB＝BC＝6，
∴AE＝BF=62+33=35，
∵S△ABE=12AB•BE=12AE•BH，
∴BH=AB⋅BEAE=655，
∴HF＝HG＝BF﹣BH＝35−655=955，
∴GF=2HF=9105，
故选：C．
总结提升：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
41．(2023•黔东南州一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是（ ）
A．322B．432C．22D．542
思路引领：根据正方形的性质可得四边形CMNB是矩形，易证△MFE≌△NBF（ASA），可得ME＝FN，设ME＝FN＝x，根据MN＝BC＝4列方程，求出FN的长度，进一步可得AN的长度，根据勾股定理，可得AF的长．
解：过点F作FN⊥AB于点N，FM⊥CD于点M，如图所示：
则∠FNB＝90°，∠FMC＝90°，
在正方形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形CMNB是矩形，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴MN＝BC＝4，CM＝BN，
∵BF⊥EF，
∴∠EFB＝90°，
∴∠EFM+∠NFB＝90°，
∵∠FBN+∠BFN＝90°，
∴∠FBN＝∠EFM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠MFC＝∠MCF＝45°，
∴MF＝MC＝BN，
在△MEF与△NBF中，
∠EMF=∠FNBMF=NB∠EFM=∠FBN，
∴△MFE≌△NBF（ASA），
∴ME＝FN，
设ME＝FN＝x，
∵CE＝1，
则MC＝MF＝BN＝1+x，
∵MN＝BC＝4，
∴1+x+x＝4，
∴x=32，
∴FN=32，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAB＝45°，
∵MN⊥AB，
∴∠NFA＝45°，
∴AN＝FN=32，
根据勾股定理，得AF=322，
故选：A．
总结提升：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
42．(2023•梁园区校级二模）如图，在正方形ABCD中，M，N分别为CD，BC上一点，且DM＝CN，连接AM，DN，交于点P，Q，R分别为AN，AD的中点，连接PQ，PR，若PQ=52，PR＝2，则MP的长为（ ）
A．21717B．1717C．1313D．21313
思路引领：根据正方形的性质以及全等三角形的判定和性质可得AM⊥DN，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可求出AD，AN，再根据勾股定理求出BN，进而求出CN，再求出DN，由相似三角形的判定和性质进行计算即可．
解：∵正方形ABCD，
∴AD＝CD，∠ADM＝∠DCN＝90°，
又∵DM＝CN，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，
∵∠DAM+∠AMD＝90°，
∴∠CDN+∠AMD＝90°，
∴∠DPM＝90°，
即AM⊥DN，
∵Q，R分别为AN，AD的中点，
∴AD＝2PR＝4，AN＝2PQ＝5，
在Rt△ABN中，AN＝5，AB＝AD＝4，
∴BN=AN2−AB2=3，
∴CN＝4﹣3＝1＝DM，
在Rt△CDN中，DN=CD2+CN2=17，
∵∠DPM＝∠DCN＝90°，∠PDM＝∠CDN，
∴△PDM∽△CDN，
∴DMDN=PMCN，
即117=PM1，
∴PM=1717，
故选：B．
总结提升：本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
43．(2023•渝北区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AE＝FE，∠BEC＝56°，则∠DEF的度数为（ ）
A．16°B．15°C．14°D．13°
思路引领：根据菱形的对角线平分一组对角可得：∠ABE＝∠CBE＝20°，证明△BCE≌△BAE，得∠AEB＝56°，由三角形的内角和定理可得∠BAE＝104°，最后由等腰三角形的性质和平角的定义可得结论．
证明：∵四边形ABCD是菱形，E点在对角线BD上，
∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC＝20°，AB＝CB，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝EC，∠BEA＝∠BEC＝56°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠BAD＝140°，
△ABE中，∵∠ABE＝20°，∠AEB＝56°，
∴∠BAE＝180°﹣20°﹣56°＝104°，
∴∠EAF＝140°﹣104°＝36°，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE＝36°，
∴∠AEF＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∴∠DEF＝180°﹣56°﹣108°＝16°．
故选：A．
总结提升：本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ABE≌△CBE．
44．(2023•新乐市校级模拟）四边形当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1B．12C．22D．32
思路引领：根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，再根据正方形的面积公式和平行四边形的面积公式即可得解．
解：根据题意可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，
∴菱形ABC′D′的面积为12AB2，正方形ABCD的面积为AB2．
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是12．
故选：B．
总结提升：本题主要考查了正方形与菱形的面积，熟知30°角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键．
45．(2023•蜀山区校级三模）如图，平行四边形ABCD中，G、H分别是AD，BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，四边形GEFH是矩形，若AB＝5，AD＝8，则BD的长为（ ）
A．395B．152C．8D．223
思路引领：根据矩形的性质得出∠EHF＝∠BFC＝90°，证△EFH∽△CBF，根据相似得出58=4BF，求出BE，证△ABE≌△CDF，求出BE＝DF，即可得出答案．
解：连接GH，
当四边形GEHF是矩形时，∠EHF＝∠BFC＝90°，
∵∠FBH＝∠BFH，
∴△EFH∽△CBF，
∴EFCB=FHBF，
由（1）可得：GA∥HB，GA＝HB，
∴四边形GABH是平行四边形，
∴GH＝AB＝5，
∵在矩形GEHF中，EF＝GH，且AB＝5，AD＝8，
∴58=4BF，
解得：BF=325，
∴BE＝BF﹣EF=325−5=75，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF=75，
∴BD＝BF+DF=325+75=395．
故选：A．
总结提升：本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
46．(2023•景县校级模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，M为对角线AC上的一动点，ME⊥CD于点E，MF⊥AD于点F，连接EF．若BC：AC＝3：11，则EF的最小值为（ ）
A．2B．22C．31111D．61111
思路引领：首先利用已知条件和勾股定理求出BC＝AD＝32，CA=22，如图，连接DM，证明四边形MEDF为矩形，然后利用矩形的性质推出若EF最小，则DM最小，当DM⊥AC时DM最小，最后利用三角形的面积公式即可解决问题．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠ADC＝90°，BC＝AD，AB＝CD＝2，
∵BC：AC＝3：11，AB＝2，
设BC＝3x，AC=11x，
根据勾股定理得22+（3x）2=(11x)2，
∴x=2（负值舍去），
∴BC＝AD＝32，CA=22，
如图，连接DM，
∵ME⊥CD于点E，MF⊥AD于点F，
∴∠MED＝∠MFD＝90°，
∴四边形MEDF为矩形，
∴DM＝EF，
若EF最小，则DM最小，
当DM⊥AC时DM最小，
此时根据三角形的面积公式得DM×AC＝AD×CD，
∴DM=AD×CDAC=61111．
∴EF的最小值为=61111．
故选：D．
总结提升：此题考查了矩形的判定和性质的综合应用，是一开放型试题，是中考命题的热点．
47．(2023•大名县三模）如图，正方形ABCD的边长是10，在正方形外有E、F两点，满足AE＝CF＝6，BE＝DF＝8，则EF的长是（ ）
A．143B．142C．14D．102
思路引领：延长EA交FD的延长线于点M，可证明△EMF是等腰直角三角形，而EM＝MF＝AE+DF＝14，所以利用勾股定理即可求出EF的长．
解：延长EA交FD的延长线于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝10，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵AE＝6，BE＝8，
∴AE2+BE2＝AB2＝100，
∴△AEB是直角三角形，
同理可证△CDF是直角三角形，
在△ABE和△CDF中，
AE=CFBE=DFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠EAB＝∠DCF，∠EBA＝∠CDF，∠EAB+∠EBA＝90°，∠CDF+∠FDC＝90°，
∴∠EAB+∠CDF＝90°
又∵∠EAB+∠MAD＝90°，∠MDA+∠CDF＝90°，
∴∠MAD+∠MDA＝90°，
∴∠M＝90°
∴△EMF是直角三角形，
∵∠EAB+∠MAD＝90°，
∴∠EAB＝∠MDA，
在△AEB和△DMA中，
∠AEB=∠M=90°∠EAB=∠MDAAB=AD，
∴△AEB≌△DMA（AAS），
∴AM＝BE＝8，MD＝AE＝6，
∴EM＝MF＝14，
∴EF=ME2+MF2=142，
故选：B．
总结提升：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等，证明出三角形△EMF是等腰直角三角形是解题的关键．
48．(2023•包头模拟）如图，在正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使得∠BAE＝15°，连接CE并延长到F，连接BF，使得BC＝BF．若AB＝1，则有下面四个结论：①AE＝EC；②BE+EC＝EF；③F到BC的距离为22；④S△AED=14+212．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
思路引领：利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理和三角形的面积公式对每个选项进行逐一判断 即可得出结论．
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD是以对角线BD所在直线为对称轴的轴对称图形，
∴点A，C关于直线BD对称，
∵点E在对称轴上，
∴AE＝CE，
∴①的结论正确；
②在 EF上取一点G，使EG＝EB，连接BG，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC．
在△ABE和△CBE中，
AB=CB∠ABE=∠CBEBE=BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BAE＝∠BCE＝15°．
∴∠BEF＝∠CBE+∠BCE＝60°，
∴△BEG为等边三角形，
∴BG＝BE，∠BGE＝60°．
∵BC＝BF，
∴∠F＝∠BCE＝15°．
∵∠BGE＝∠GBF+∠F，
∴∠GBF＝60°﹣15°＝45°，
∴∠GBF＝∠EBC＝45°．
在△BGF和△BEC中，
BG=BE∠GBF=∠EBCBF=BC，
∴△BGF≌△BEC（SAS），
∴GF＝EC．
∴EF＝GF+GE＝BE+EC，
∴②的结论正确；
③过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于点H，如图，
由②知：∠F＝∠BCE＝15°，
∴∠FBC＝150°，
∴∠FBH＝30°，
∵FH⊥CB，
∴FH=12BF．
∵BC＝BF，AB＝BC＝1，
∴FH=12．
∴F到BC的距离为12，
∴③的结论错误；
④过点A作AM⊥BD于点M，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝AB＝1，
∴AM＝MD=22AD=22，
∵AM⊥BD，
∴△ABM为等腰直角三角形，
∴∠BAM＝45°，
∵∠BAE＝15°，
∴∠EAM＝30°．
∴EM＝AM•tan∠EAM=22×33=66，
∴S△ADE＝S△AEM+S△ADM=12×22×22+12×66×22=14+312，
∴④的结论错误，
综上，正确的结论有：①②，
故选：B．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
49．(2023•邯郸二模）两个相同的菱形如图4所示拼接在一起，若∠ABD＝15°，则∠BCF的度数为（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
思路引领：由菱形的性质可得∠ABC＝2∠ABD＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，可求∠BCD的度数，即可求解．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝2∠ABD＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝150°，
∴∠BCD＝∠DCF＝150°，
∴∠BCF＝60°，
故选：B．
总结提升：本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线平分每一组对角是解题的关键．
50．(2023•琼海二模）如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD上的点，连接CE、CF、EF，AC与EF相交于点G，若BE＝AF＝1，∠BAD＝120°，则S△AGF：S△AGE的值为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
思路引领：由菱形的性质可得∠BAC＝∠DAC，由角平分线的性质可得GN＝GH，即可求解．
解：过点G作GH⊥AD于H，GN⊥AB于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BAC＝∠DAC，
∵BE＝AF＝1，
∴AE＝3，
∵∠BAC＝∠DAC，GH⊥AD，GN⊥AB，
∴GN＝GH，
∴S△AGF：S△AGE=12×AF×GH：12×AE×GN＝1：3，
故选：B．
总结提升：本题考查了菱形的性质，角平分线的性质，掌握菱形的对角线平分每一组对角是解题的关键．
51．(2023•榆阳区一模）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，连接BE，CE，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，连接AF，GH，若AF＝6，则GH的长为（ ）
A．3B．6C．9D．12
思路引领：由三角形中位线定理可得GH=12BE，由直角三角形的性质可得AF=12BE＝GF，即可求解．
解：∵G，H分别是BC，CE的中点，
∴GH=12BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵点F是BE的中点，
∴AF=12BE，
∴GH＝AF＝6，
故选：B．
总结提升：本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
52．(2023•政和县模拟）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD．已知，DG⊥DF，垂足为D，BE的延长线交CG于点H．若AE＝2BE，则CGBH的值为（ ）
A．32B．2C．3107D．355
思路引领：过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE＝AN＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，想办法求出BH，CG，可得结论．
解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE＝AN＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，
∴EN＝EM＝MF＝FN＝a，
∵四边形ENFM是正方形，
∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，
∵GT⊥TF，DF⊥DG，
∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，
∴TG＝FT＝DF＝DG＝a，
∴CT＝3a，CG=(3a)2+a2=10a，
∵MH∥TG，
∴△CMH∽△CTG，
∴CM：CT＝MH：TG＝1：3，
∴MH=13a，
∴BH＝2a+13a=73a，
∴CGBH=10a77a3=3107，
故选：C．
总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
53．(2023•禹州市二模）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OB的中点，连接AE，若AB＝4，则线段AE的长为（ ）
A．22B．3C．10D．13
思路引领：根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，根据勾股定理求出AC的长，进一步可得OA和OE的长，再根据勾股定理可得AE的长．
解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，
∵AB＝4，
根据勾股定理，得AC=42，
∴OA＝OB=22，
∵点E是OB的中点，
∴OE=2，
∵∠AOE＝90°，
根据勾股定理，得AE=10，
故选：C．
总结提升：本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
54．(2023•乐清市三模）如图，在正方形ABCD内有一点E，∠AEB＝90°，以CE，DE为邻边作▱CEDF，连结EF，若A，E，F三点共线，且△ADF的面积为10，则CF的长为（ ）
A．2B．5C．22D．10
思路引领：设EF、CD的交点为G，过E作EH⊥AD交于H，设正方形的边长为2x，则AD＝AB＝CD＝2x，DG＝CG＝x，通过证明△ABE∽△GAD，求出AE=255x，则EGAG=35，可得S△ADGS△DEG=53，设S△ADG＝5m，则S△ECG＝S△DEG＝3m，可求S▱ECFD＝12m，S△ADF＝8m＝10，能求出m=54，再由S△ADG＝5m=254=x2，可求AD＝5，EA=5，再由S△ADE=12×5×HE=52，求出HE＝1，在Rt△AHE中，AH＝2，HD＝3，在Rt△HED中，ED=10．
解：设EF、CD的交点为G，过E作EH⊥AD交于H，
∵四边形ECFD是平行四边形，
∴DG＝CG=12DG，
设正方形的边长为2x，则AD＝AB＝CD＝2x，DG＝CG＝x，
在Rt△ADG中，AG=5x，
∵∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝90°，
∵∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴△ABE∽△GAD，
∴ABAG=AEDG，即2x5x=AEx，
∴AE=255x，
∴EG=355x，
∴EGAG=35，
∴S△ADGS△DEG=53，
设S△ADG＝5m，则S△DEG＝3m，
∵G点是CD的中点，
∴S△ECG＝S△DEG＝3m，
∴S△DEC＝6m，
∵S△DEC＝S△CDF＝6m，
∴S▱ECFD＝12m，
∴S△EDF＝6m，
∴S△ADF＝6m+2m＝8m，
∵S△ADF＝10，
∴8m＝10，
∴m=54，
∴S△ADG＝5m=254=x2，
∴x=52，
∴AD＝5，EA=5，
∵S△ADE=12×5×HE=52，
∴HE＝1，
在Rt△AHE中，AH＝2，
∴HD＝3，
在Rt△HED中，ED=10，
故选：D．
总结提升：本题考查正方形的综合题，熟练掌握正方形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，利用三角形面积的关系，求出正方形的边长是解题的关键．
55．(2023•张店区二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则EFAC的值为（ ）
A．12B．35C．34D．45
思路引领：连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE得出AF＝CE＝5，得出AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出AB＝4，再由勾股定理求出AC，再求得EF的长即可．
解：设AC与EF交于点O，连接AE，如图：
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
∠AOF=∠COEOA=OC∠OAF=∠OCE，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，
∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，
∴AB=AE2−BE2=52−32=4，
∴AC=AB2+BC2=42+82=45，
∴AO＝25，
∴EO=AE2−AO2=52−(25)2=5，
∴EF＝25，
∴EFAC=2545=12．
故选：A．
总结提升：本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
56．(2023•盘锦模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，A，B两点的坐标分别是（2，23），（﹣1，−3），点D在第一象限，则点D的坐标是（ ）
A．（6，23）B．（8，23）C．（6，3）D．（8，3）
思路引领：由A，B两点的坐标可得AB的长，即AD的长，进而可得点D的横坐标，点D的纵坐标则与点A的纵坐标相等，可得点D的坐标．
解：∵A，B两点的坐标分别是（2，23），（﹣1，−3），
∴AB=(2+1)2+(23+3)2=6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
当D（6，23）时，AD＝6﹣2＝4，故A不符合题意；
当D（8，23）时，AD＝8﹣2＝6，故B符合题意；
当D（6，3）时，AD=(2−6)2+(23−3)2=19，故C不符合题意；
当D（8，3）时，AD=(2−8)2+(23−3)2=39，故D不符合题意．
故选：B．
总结提升：本题主要考查菱形的性质，坐标与图形的性质，关键是能够熟练求解坐标与图形的结合问题．
57．(2023•昭平县一模）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG．若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，则线段BG的长为（ ）
A．1B．23+326C．32+66D．33+26
思路引领：过A作AH⊥BD于H，由四边形ABCD是正方形，可得∠ABD＝∠CBD＝45°，即知△ABH，△BDG是等腰直角三角形，故AH＝BH=AB2=22，∠BGF＝45°，根据∠AGF＝105°，可得∠GAH＝30°，GH=AH3=66，从而BG＝BH+GH=32+66．
解：过A作AH⊥BD于H，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵GF⊥BC，AH⊥BD，
∴△ABH，△BDG是等腰直角三角形，
∴AH＝BH=AB2=22，∠BGF＝45°，
∵∠AGF＝105°，
∴∠AGH＝∠AGF﹣∠BGF＝60°，
∴∠GAH＝30°，
∴GH=AH3=66，
∴BG＝BH+GH=22+66=32+66，
故选：C．
总结提升：本题考查正方形性质及应用，解题的关键是掌握含30°，45°角的直角三角形三边的关系．
58．(2023•沙坪坝区校级二模）如图，点E是正方形对角线AC上一点，过E作EF∥AD交CD于F，连接BE，若BE＝7，DF＝6，则AC的长为（ ）
A．92B．62+22C．62+26D．62+26
思路引领：过点E作EH⊥BC于点H，证明四边形EFCH是正方形，得BH＝DF，在Rt△BEH中，由勾股定理求得EH，进而求得正方形ABCD的边长，最后根据正方形的对角线与边长的数量关系求得AC．
解：过点E作EH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，AB＝BC＝CD＝AD，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝180°﹣∠BCD＝90°，
∵∠EHC＝90°，
∴四边形EFCH是矩形，
∵∠EHC＝90°，∠ECH＝45°，
∴EH＝CH，
∴四边形EFCH是正方形，
∴EH＝CH＝CF，
∴BC﹣CH＝DC﹣CF，
∴BH＝DF，
∵BE＝7，DF＝6，
∴CF＝EH=BE2−BH2=72−62=13，
∴CD＝DF+CF＝6+13，
∴AC=2CD＝62+26，
故选：D．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，关键在于作辅助线，证明BH＝DF．
59．(2023•馆陶县一模）如图，两个完全相同的菱形如图所示叠放在一起，若重叠部分是正八边形，则∠1的度数为（ ）
A．60°B．55°C．45°D．30°
思路引领：由正八边形的性质可得∠A＝135°，即可求解．
解：如图，
∵重叠部分是正八边形，
∴∠A＝135°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠1+∠A＝180°，
∴∠1＝45°，
故选：C．
总结提升：本题考查了菱形的性质，正多边形的性质，求出∠A的度数是解题的关键．
60．(2023•宁津县模拟）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，延长AH交CD于点P，若AP⊥HF，AP＝10，则小正方形边长GF的长是（ ）
A．52B．32C．3D．10
思路引领：过点H作HM⊥AD于M，通过证明△AED∽△HMD，可得DHAD=MHAE，可得MH=55a，DM=255a，由平行线分线段成比例可得AHHP=AMDM=32，即可求解．
解：∵△ADE≌△DCH≌△CBG≌△BAF，
∴AE＝DH，DE＝CH，
∵四边形GFEH是正方形，
∴EH＝EF＝HG＝GF，∠HFA＝45°＝∠EHF，
∵AP⊥HF，
∴∠FAH＝∠AFH＝45°＝∠AHE，
∴AH＝FH，AE＝HE，
∴AF＝2AE，
设AE＝a，则AF＝DE＝2a，
如图过点H作HM⊥AD于M，
∴AD=AE2+DE2=5a，
∵∠DMH＝∠AED＝90°，∠ADE＝∠MDH，
∴△AED∽△HMD，
∴DHAD=MHAE，
∴MH=55a，DM=255a，
∴AM＝AD﹣DM=355a，
∵AD⊥CD，
∴MH∥DP，
∴AHHP=AMDM=32，
∵AP＝10，
∴AH＝6，
∴EH＝32=GF，
故选：B．
总结提升：本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
相关试卷
专题14 动点在四边形中的分类讨论(提升训练)-中考数学重难点专项突破（全国通用）： 这是一份专题14 动点在四边形中的分类讨论(提升训练)-中考数学重难点专项突破（全国通用），文件包含专题14动点在四边形中的分类讨论提升训练原卷版docx、专题14动点在四边形中的分类讨论提升训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
2024年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）专题01 二次函数压轴题-线段周长面积最大值（专项训练）（原卷版+解析）： 这是一份2024年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）专题01 二次函数压轴题-线段周长面积最大值（专项训练）（原卷版+解析），共22页。
2024年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）专题08 二次函数与平行四边形有关问题（专项训练）（原卷版+解析）： 这是一份2024年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）专题08 二次函数与平行四边形有关问题（专项训练）（原卷版+解析），共31页。
