中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题5选择题重点出题方向二次函数的图象与性质专项训练(原卷版+解析)

这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题5选择题重点出题方向二次函数的图象与性质专项训练(原卷版+解析)，共57页。试卷主要包含了2022中考真题集训，二次函数的字母系数相关问题，抛物线的旋转、平移，抛物线与方程之间的关系，二次函数与几何、代数的综合运用等内容，欢迎下载使用。

类型一 二次函数的图象和性质
1．(2023•淄博）若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．(2023•阜新）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点（0，2）在函数图象上B．开口方向向上
C．对称轴是直线x＝1D．与直线y＝3x有两个交点
3．(2023•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．12或4B．43或−12C．−43或4D．−12或4
类型二 二次函数的字母系数相关问题
4．(2023•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=−12，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②④C．③④D．②③
5．(2023•郴州）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
6．(2023•梧州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P（x1，y1），Q（x2，y2），下列结论错误的是（ ）
A．b2＞﹣8aB．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm
C．3a﹣2＞0D．当y＞﹣2时，x1•x2＜0
7．(2023•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0
B．a+b＝3
C．抛物线经过点（﹣1，0）
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根
8．(2023•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−2，−2），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
类型三 抛物线的旋转、平移
9．(2023•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1
类型四 抛物线与方程（组）、不等式（组）之间的关系
10．(2023•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2.其中结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．(2023•青岛）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（﹣3，0），则下列结论正确的是（ ）
A．b＞0B．c＜0C．a+b+c＞0D．3a+c＝0
12．(2023•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（12，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
13．(2023•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：
①2a+b＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
类型五 二次函数与几何、代数的综合运用
14．(2023•自贡）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=12．
其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．①③④
模块二 2023中考压题预测
15．（2023•徐汇区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，下列选项中正确的是（ ）
A．a＞0B．c＜0C．a+b+c＞0D．b＜0
16．(2023•巴州区校级模拟）已知二次函数y＝（x+a﹣2）（x+a+2）﹣5a+3（其中x是自变量）的图象与x轴有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a＞−15C．−15≤a＜2D．−15≤a≤2
17．(2023•凤泉区校级一模）关于抛物线y＝﹣2x2+4x+1，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是直线x＝2
C．顶点坐标是（1，3）D．x＞2时，y随x增大而减小
18．(2023•宁波模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标为x1，x2与y轴正半轴的交点为C，一1＜x1＜0，x2＝2，则下列结论正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＜0．B．9a+3b+c＞0C．abc＞0D．a+b＞0
19．(2023•新兴县校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，m），（3，m）两点，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②抛物线在x＝1处取得最值；③无论m取何值，均满足3a+c＝m；④若（x0，y0）为该抛物线上的点，当x＜﹣1时，y0＜m一定成立．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
20．(2023•大名县校级四模）若抛物线y＝（x+1）（x﹣1）与x轴围成封闭区域（包含边界）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则函数y＝kx（x＞0）的图象是如图所示的（ ）
A．L4B．L3C．L2D．L1
21．(2023•威县校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的位置如图所示．甲、乙、丙三人关于x的一元二次方程ax2+bx+c+m＝0（a≠0）的根的情况判断如下，其中正确的有（ ）
甲：当m＝1时，该方程没有实数根；乙：当m＝3时，该方程有两个相等实数根；
丙：当m＝5时，该方程有两个不相等实数根
A．0个B．1个C．2个D．3个
22．(2023•峄城区模拟）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣4x2﹣24x+a上的三点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2
23．(2023•新昌县校级模拟）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
24．(2023•东宝区校级模拟）设O为坐标原点，点 A、B为抛物线y＝4x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点 A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为（ ）
A．14B．18C．28D．1
25．(2023•珙县模拟）抛物线y＝x2+4x﹣1的顶点坐标向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（ ）
A．（4，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）
26．(2023•海陵区校级三模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；②b+c=12m．其中正确的是（ ）
A．①B．②C．都对D．都不对
27．(2023•周至县一模）二次函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ）
A．8B．16C．﹣8D．﹣16
28．(2023•济南一模）在抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＞0）上，若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，则t的取值范围是（ ）
A．t≥1B．t≥1或t≤0C．t≤0D．t≥1或t≤﹣1
29．(2023•泸县校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是（ ）
A．x≤2B．x≤0C．﹣3≤x≤0D．x≤﹣3或x≥0
30．(2023•莲池区二模）如图，过点M（﹣2，0）的抛物线L：y＝﹣tx2+2（1﹣t）x+4（常数t＞0）与x轴和y轴分别交于点N，点P，点Q是抛物线L上一点，且PQ∥x轴，作直线MP和OQ．甲、乙、丙三人的说法如下：甲：用t表示点Q的坐标为（2t−2，4）乙：当S△PQO＝a时，t的值有2个，则0＜a＜4；丙：若OQ∥MP，点Q'是直线OQ上的一点，点M到直线PQ′的最大距离为25．下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙和丙错 B．乙对，甲和丙错 C．甲和丙对，乙错 D．甲、乙、丙都对
31．(2023•包头三模）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥﹣2；②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；③当四边形ABCD为平行四边形时．a=12；④若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3．其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．①②④D．①③④
32．(2023•固安县模拟）如图，矩形OABC中，A（﹣4，0），C（0，2），抛物线y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1的顶点为M，下列说法正确的结论有（ ）
①当M在矩形OABC内部或其边上时，m的取值范围是﹣4≤m≤﹣1；②抛物线顶点在直线y＝﹣x+1上；③如果顶点在矩形OABC内（不包含边界），m的取值范围是−23＜m＜0．
A．0个B．1个C．2个D．3个
33．（2023•徐汇区一模）将抛物线y=−12x2经过下列平移能得到抛物线y=−12(x+1)2−3的是（ ）
A．向右平移1个单位，向下平移3个单位B．向左平移1个单位，向下平移3个单位
C．向右平移1个单位，向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，向上平移3个单位
34．（2023•奉贤区一模）已知抛物线y＝x2﹣3，如果点A（1，﹣2）与点B关于该抛物线的对称轴对称，那么点B的坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）
35．（2023•崇明区一模）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，下列结论中正确的是（ ）
A．开口方向不变B．顶点不变
C．对称轴不变D．与y轴的交点不变
36．(2023•雁塔区二模）为了探索二次函数y＝ax2+bx+c的系数a、b、c与图象的关系，同学们在如图所示的平面直角坐标系xOy中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）中选取其中的三个点，探索经过这三点的函数图象，发现了的这些图象对应的函数表达式各不相同，以下说法正确的是（ ）
A．其中a＜0的抛物线有3条B．其中a＞0的抛物线有3条
C．A，B，D三点的抛物线的a值最大D．A，C，D三点的抛物线的a值最小
37．(2023•珠海二模）如图，已知点A（3，2），B（0，1），射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y＝ax2+bx+1中a，b的值分别为（ ）
A．a＝2，b=−533B．a=12，b=−36
C．a＝3，b=−833D．a=−13，b=233
38．(2023•长安区模拟）抛物线的形状、开口方向与y=12x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则关系式为（ ）
A．y=12（x﹣2）2+1B．y=12（x+2）2﹣1
C．y=12（x+2）2+1D．y=−12（x+2）2+1
39．(2023•新河县一模）如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），P为AC上的一个动点，则有以下结论：
①抛物线的对称轴为直线x=32；
②抛物线的最大值为98；
③∠ACB＝90°；
④OP的最小值为455．
则正确的结论为（ ）
A．①②④B．①②C．①②③D．①③④
40．(2023•东阳市模拟）如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝x2+bx+c的图象相交于P、Q两点，则函数y＝x2+（b﹣1）x+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
41．(2023•泰安模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y=a+b+cx在同一坐标系的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
42．(2023•石家庄模拟）若关于二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+2的图象和x轴有交点，则a的取值范围为（ ）
A．a≤32B．a≠1C．a＜32，且a≠1D．a≤32，且a≠1
43．(2023•雁塔区校级三模）二次函数y＝x2+bx的对称轴为x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＜8B．t＜3C．﹣1≤t＜8D．﹣1≤t＜3
44．(2023•襄州区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．下列说法正确的个数是（ ）
①ac＞0；②b2﹣4ac＜0；③9a﹣3b+c＞0；④am2+bm＜a﹣b（其中m≠﹣1）
A．0B．1C．2D．3
45．(2023•槐荫区一模）二次函数y＝ax2+2ax+3（a为常数，a≠0），当a﹣1≤x≤2时二次函数的函数值y恒小于4，则a的取值范围为（ ）
A．a＜18 B．a＞﹣1 C．0＜a＜18或a＜0 D．0＜a＜18或﹣1＜a＜0
46．(2023•碑林区校级模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x=−12，且经过点（﹣2，0），（x1，y1），（x2，y2），下列说法正确的是（ ）
A．bc＞0 B．当x1＞x2≥−12时，y1＞y2C．a＝2bD．不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜32
47．(2023•两江新区模拟）从﹣1、0、3、5、7五个数中任意选取一个数，记为m，则使二次函数y＝mx2+6x+2与x轴有交点时的m的值有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
48．(2023•邗江区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−49x2+83x与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（ ）
A．24B．25C．30D．36
49．(2023•云安区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③a+b＞am2+bm（m为任意实数）；④若点Q（m，n）是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大时，m＝1，n＝a+b+c，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
50．(2023•新化县模拟）如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，1），若抛物线y＝x2+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是（ ）
A．﹣1≤c≤0B．﹣1≤c≤12C．﹣1≤c≤916D．0≤c≤916
专题5 选择题重点出题方向二次函数的图象与性质专项训练
模块一 2022中考真题集训
类型一 二次函数的图象和性质
1．(2023•淄博）若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
思路引领：利用非负数的性质，利用配方法解决问题即可．
解：∵二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），
∴3＝a+2，
∴a＝1，
∴y＝x2+2，
∵Q（m，n）在y＝x2+2上，
∴n＝m2+2，
∴n2﹣4m2﹣4n+9＝（m2+2）2﹣4m2﹣4（m2+2）+9＝m4﹣4m2+5＝（m2﹣2）2+1，
∵（m2﹣2）2≥0，
∴n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为1．
故选：A．
总结提升：本题考查二次函数图像上的点的坐标特征，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用配方法解决问题．
2．(2023•阜新）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点（0，2）在函数图象上B．开口方向向上
C．对称轴是直线x＝1D．与直线y＝3x有两个交点
思路引领：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；
C、根据对称轴公式计算；
D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x=−b2a
=12，
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
总结提升：此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
3．(2023•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．12或4B．43或−12C．−43或4D．−12或4
思路引领：分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a=−12．
解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a=−12；
综上所述：a的值为4或−12，
故选：D．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
类型二 二次函数的字母系数相关问题
4．(2023•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=−12，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②④C．③④D．②③
思路引领：根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对称轴可知a＝b．图象过（﹣2，0）代入二次函数中可得4a﹣2b+c＝0．再由二次函数最小值小于0，从而可判断ax2+bx+c＝1有两个不相同的解．
解：①由图可知：a＞0，c＜0，−b2a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由题意可知：−b2a=−12，
∴b＝a，故②符合题意．
③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．
故选：D．
总结提升：本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型．
5．(2023•郴州）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
思路引领：通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．
解：y＝（x﹣1）2+5中，
x2的系数为1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是（1，5），B错误；
函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；
函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，D正确．
故选：D．
总结提升：本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．
6．(2023•梧州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P（x1，y1），Q（x2，y2），下列结论错误的是（ ）
A．b2＞﹣8a
B．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm
C．3a﹣2＞0
D．当y＞﹣2时，x1•x2＜0
思路引领：根据函数图象可知a＞0，由此可判断出A；根据抛物线的对称轴可得出b＝2a，也可得出函数的最小值，在x＝﹣1处取到，由此可判断B；令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2），根据函数图象可直接判断D；C没有直接条件判断．
解：根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得x=−b2a=−1，
∴b＝2a，
∴b2＞0，﹣8a＜0，
∴b2＞﹣8a．故A正确，不符合题意；
∵函数的最小值在x＝﹣1处取到，
∴若实数m≠﹣1，则a﹣b﹣2＜am2+bm﹣2，即若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm．故B正确，不符合题意；
∵l∥x轴，
∴y1＝y2，
令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2），
∴当y1＝y2＞﹣2时，x1＜0，x2＞0．
∴当y1＝y2＞﹣2时，x1•x2＜0．故D正确，不符合题意；
∵a＞0，
∴3a＞0，没有条件可以证明3a＞2．故C错误，符合题意；
故选：C．
总结提升：本题主要考查二次函数图象的性质，数形结合思想等知识，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
7．(2023•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0
B．a+b＝3
C．抛物线经过点（﹣1，0）
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根
思路引领：根据题意做出抛物线y＝ax2+bx+c的示意图，根据图象的性质做出解答即可．
解：由题意作图如下：
由图知，a＞0，
故A选项说法正确，不符合题意，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），
∴a+b+c＝0，c＝﹣3，
∴a+b＝3，
故B选项说法正确，不符合题意，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴抛物线不经过（﹣1，0），
故C选项说法错误，符合题意，
由图知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点，故关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，
故D选项说法正确，不符合题意，
故选：C．
总结提升：本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8．(2023•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−2，−2），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
思路引领：（1）设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；
（2）将点（52，52）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac＝0，两个方程联立即可求a、c的值；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，则3≤m≤5时满足题意．
解：（1）存在和谐点，理由如下，
设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），
∴2x+1＝x，
解得x＝﹣1，
∴和谐点为（﹣1，﹣1）；
（2）①∵点（52，52）是二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的和谐点，
∴52=254a+15+c，
∴c=−254a−252，
∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，
∴Δ＝25﹣4ac＝0，
∴a＝﹣1，c=−254；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
当x＝1时，y＝﹣1，
当x＝3时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣1，
∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；
当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合解题是关键．
类型三 抛物线的旋转、平移
9．(2023•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1
思路引领：根据图象的平移规律，可得答案．
解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．
故选：D．
总结提升：主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
类型四 抛物线与方程（组）、不等式（组）之间的关系
10．(2023•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2.其中结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
思路引领：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为（3，0）；
①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c已经修改＞0，故abc＜0，
故①正确，符合题意；
②∵x=−b2a=1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴②正确，符合题意；
③由图象知，当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，
∴③错误，不符合题意；
④从图象看，当x＝﹣2时，y1＜0，
当x＝2时，y2＞0，
∴有y1＜0＜y2，
故④正确，符合题意；
故选：C．
总结提升：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
11．(2023•青岛）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（﹣3，0），则下列结论正确的是（ ）
A．b＞0B．c＜0C．a+b+c＞0D．3a+c＝0
思路引领：根据抛物线的开口方向及对称轴位置判断选项A；根据对称轴x＝﹣1及过点（﹣3，0）求出抛物线与x轴的另一个交点，据此来判断选项B；当x＝1时，二次函数的值y＝a+b+c，据此判断选项C；根据对称轴得出a，b之间的关系，并代入y＝a+b+c中，据此判断选项D．
解：选项A：∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴−b2a=−1．
∴b＝2a．
∴b＜0．故选项A错误；
选项B：设抛物线与x轴的另一个交点为（x1，0），
则抛物线的对称轴可表示为x=12（x1﹣3），
∴﹣1=12（x1﹣3），解得x1＝1，
∴抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（﹣3，0）．
又∵抛物线开口向下，
∴抛物线与y轴交于正半轴．
∴c＞0．故选项B错误．
选项C：∵抛物线过点（1，0）．
∴a+b+c＝0．故选项C错误；
选项D：∵b＝2a，且a+b+c＝0，
∴3a+c＝0．故选项D正确．
故选：D．
总结提升：本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象的位置与有关系数的关系是解题的关键．
12．(2023•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（12，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
思路引领：利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴−b2a=−1，
∴b＝2a，b＜0．
∵a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴①的结论正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∴9a﹣3×2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴4a+c＝a＜0，
∴②的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），
∵a＜0，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
∵12＞0＞﹣1，
∴y1＞y2．
∴③的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），
∴抛物线一定经过点（1，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，
∴④的结论正确；
∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），
∴﹣3k+c＝0，
∴c＝3k．
∵3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴3k＝﹣3a，
∴k＝﹣a．
∴函数y＝ax2+（b﹣k）x
＝ax2+（2a+a）x
＝ax2+3ax
＝a(x+32)2−94a，
∵a＜0，
∴当x=−32时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，
∴⑤的结论不正确．
综上，结论正确的有：①④，
故选：A．
总结提升：本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式是解题的关键．
13．(2023•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：
①2a+b＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
思路引领：根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）、结合题意判断①；根据抛物线的对称性判断②；根据一元二次方程根的判别式判断③．
解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵a＜c，
∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；
②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，
∴b＜0，
∴对称轴x=−b2a＞1，
∴当1＜x＜−b2a时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；
③∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，
对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，
∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；
故选：C．
总结提升：本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与x轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
类型五 二次函数与几何、代数的综合运用
14．(2023•自贡）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=12．
其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．①③④
思路引领：根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①正确；当顶点运动到y轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；当顶点在A点时，D能取到最小值，当顶点在B点时，C能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③正确；令y＝0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB＝CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．
解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，
∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，
∴点C的横坐标最大值为3，故③正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
CD2＝（−ba）2﹣4×ca=b2−4aca2，
根据顶点坐标公式，4ac−b24a=−2，
∴4ac−b2a=−8，即b2−4aca=8，
∴CD2=1a×8=8a，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴8a=42＝16，
解得a=12，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
总结提升：本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上的情况．
模块二 2023中考压题预测
15．（2023•徐汇区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，下列选项中正确的是（ ）
A．a＞0B．c＜0C．a+b+c＞0D．b＜0
思路引领：由二次函数的图像和性质，即可判断．
解：A、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像开口向下，a＜0，故A不符合题意；
B、当x＝0时，y＝c＞0，故B不符合题意；
C、当x＝1时y＝a+b+c＜0，故C不符合题意；
D、抛物线的对称轴是直线x=−b2a＜0，由a＜0，得到b＜0，故D符合题意．
故选：D．
总结提升：本题考查二次函数的图像与系数的关系，关键是掌握：二次函数的性质．
16．(2023•巴州区校级模拟）已知二次函数y＝（x+a﹣2）（x+a+2）﹣5a+3（其中x是自变量）的图象与x轴有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a＞−15C．−15≤a＜2D．−15≤a≤2
思路引领：先将所给的二次函数整理，再根据图象与x轴有公共点，得出判别式Δ≥0，从而解得a＜2；然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，可得a≥−15，从而得出选项．
解：y＝（x+a﹣2）（x+a+2）﹣5a+3＝x2+2ax+a2﹣5a﹣1，
∵图象与x轴有公共点，
∴Δ＝（2a）2﹣4（a2﹣5a﹣1）≥0，
解得a≥−15；
∵抛物线的对称轴为直线x=−2a2=−a，抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∴a＜2，
∴实数a的取值范围是−15≤a＜2．
故选：C．
总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
17．(2023•凤泉区校级一模）关于抛物线y＝﹣2x2+4x+1，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是直线x＝2
C．顶点坐标是（1，3）D．x＞2时，y随x增大而减小
思路引领：利用二次函数的图象与性质判断．
解：抛物线y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
﹣2＜0，开口向下，对称轴x=−b2a=−4−4=1，
顶点坐标（1，3），当x＞1时，y随x增大而减小，
∴只有C选项正确．
故选：C．
总结提升：本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
18．(2023•宁波模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标为x1，x2与y轴正半轴的交点为C，一1＜x1＜0，x2＝2，则下列结论正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＜0．B．9a+3b+c＞0C．abc＞0D．a+b＞0
思路引领：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故A错误，不符合题意；
由图象可知当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，
故B错误，不符合题意；
∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0．
∵抛物线与x轴的交点是（x1，0）和（2，0），其中﹣1＜x1＜0，
∴对称轴x=−b2a＞0，
∴b＞0．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故C错误，不符合题意；
∵﹣1＜x1＜0，x2＝2，
∴1＜x1+x2＜2，
∴12＜x1+x22＜1，
∴−b2a＞12，
∴b＞﹣a，
即a+b＞0，
故D正确，符合题意．
故选：D．
总结提升：本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生根据图形进行推理和辨析的能力，用了数形结合思想，题目比较好，但是难度偏大．
19．(2023•新兴县校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，m），（3，m）两点，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②抛物线在x＝1处取得最值；③无论m取何值，均满足3a+c＝m；④若（x0，y0）为该抛物线上的点，当x＜﹣1时，y0＜m一定成立．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
思路引领：由于m的值不确定，无法判断抛物线与x轴有没有交点，故可以判断①；根据抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，m），（3，m）两点，可以求出抛物线对称轴为x＝1，故可以判断②；根据抛物经过（﹣1，m），（3，m）两点线③；根据a＞0和a＜0时，由函数的性质可以判断④．
解：当m＝0时，抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∵m的值不确定，
∴b2﹣4ac＞0不一定成立，
故①错误；
∵抛物线过（﹣1，m），（3，m）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1+32=1，
∴当x＝1时，抛物线取得最值，
故②正确；
∵（﹣l，m），（3，m）两点均在抛物线上，
∴a−b+c=m9a+3b+c=m，
解得3a+c＝m，
故无论m取何值，均满足3a+c＝m，
故③正确；
当a＞0时，抛物线开口向上，
∴在直线x＝1的左侧，y随x的增大而减小，
∴当x0＜﹣1时，y0＞m；
当a＜0时，抛物线开口向下，
∴在直线x＝1的左侧，y随x的增大而增大，
当x0＜﹣1时，此时y0＜m，
故④错误．
故选B．
总结提升：本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，关键是对二次函数性质的掌握和运用．
20．(2023•大名县校级四模）若抛物线y＝（x+1）（x﹣1）与x轴围成封闭区域（包含边界）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则函数y＝kx（x＞0）的图象是如图所示的（ ）
A．L4B．L3C．L2D．L1
思路引领：找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出k＝4，即可得出答案．
解：抛物线y＝（x+1）（x﹣1）当x＝0时，y＝﹣1，
当y＝0时，x＝﹣1或x＝1，
则抛物线y＝（x+1）（x﹣1）与x轴围成封闭区域（包括边界）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（﹣1，0）（0，0）（0，﹣1），（1，0）共有4个，
∴k＝4，
∴正比例函数的解析式为y＝4x，
故选：C．
总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数图象和性质、正比例函数的图象和性质，解决本题的关键是求出k的值．
21．(2023•威县校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的位置如图所示．甲、乙、丙三人关于x的一元二次方程ax2+bx+c+m＝0（a≠0）的根的情况判断如下，其中正确的有（ ）
甲：当m＝1时，该方程没有实数根；
乙：当m＝3时，该方程有两个相等实数根；
丙：当m＝5时，该方程有两个不相等实数根
A．0个B．1个C．2个D．3个
思路引领：先把一元二次方程ax2+bx+c+m＝0（a≠0）的根的情况转化为直线y＝﹣m与抛物线y＝ax2+bx+c的交点问题，再根据抛物线的最大值为﹣2，然后结合图形分类讨论即可．
解：∵ax2+bx+c+m＝0，
∴ax2+bx+c＝﹣m，
由图象可知，y＝ax2+bx+c的最大值为﹣2，
当m＝1时，
∵﹣1＞﹣2，
∴直线y＝﹣m与抛物线y＝ax2+bx+c没有公共点，
∴方程ax2+bx+c+m＝0无实数根，
故甲正确；
当m＝3时，
∵﹣3＜﹣2，
∴直线y＝﹣m与抛物线y＝ax2+bx+c有两个公共点，
∴方程ax2+bx+c+m＝0有两个不等实数根，
故乙错误；
当m＝5时，
∵﹣5＜﹣2，
∴直线y＝﹣m与抛物线y＝ax2+bx+c有两个公共点，
∴方程ax2+bx+c+m＝0有两个不等实数根，
故丙正确；
故选：C．
总结提升：本题考查了抛物线与直线的交点问题，关键是把方程的解转化为抛物线与直线的交点问题．
22．(2023•峄城区校级模拟）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣4x2﹣24x+a上的三点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2
思路引领：由于抛物线开口向下，当x＝﹣3时，函数有最大值，再由抛物线上点与对称轴的距离越远，对应的y轴就越小，即可求解．
解：∵y＝﹣4x2﹣24x+a的对称轴为直线x＝﹣3，
∴当x＝﹣3时，函数有最大值，
∵|﹣2﹣（﹣3）|＝1，|1﹣（﹣3）|＝4，
∴y3＜y2，
∴y3＜y2＜y1，
故选：A．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，抛物线上点与对称轴的关系是解题的关键．
23．(2023•新昌县校级模拟）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：利用一次函数的图象位置与系数的的关系，二次函数的图象位置与系数的关系判断．
解：A选项，根据一次函数的位置可知，a＞0，抛物线应该开口向上，A选项不符合题意；
B选项，根据一次函数的位置可知，a＜0，抛物线开口向下，一次函数y＝0时，x＜0，即−ba＜0，抛物线的对称轴−b2a＜0，B选项符合题意；
C选项，根据一次函数的位置可知，a＞0，抛物线应该开口向上，一次函数y＝0时，x＜0，即−ba＜0，抛物线的对称轴−b2a＜0，C选项不符合题意；
D选项，根据一次函数的位置可知，a＜0，抛物线应该开口向下，一次函数y＝0时，x＞0，即−ba＞0，抛物线的对称轴−b2a＞0，D选项不符合题意；
故选：B．
总结提升：本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象，解题的关键是掌握一次函数的图象位置与系数的的关系，二次函数的图象位置与系数的关系．
24．(2023•东宝区校级模拟）设O为坐标原点，点 A、B为抛物线y＝4x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点 A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为（ ）
A．14B．18C．28D．1
思路引领：分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b则AE＝4a2，BF＝4b2，作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），可证明△ADG∽△ABH，则m＝4ab．再证明△AEO∽△OFB，可得ab=116，则m＝4ab=14，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，14），点C是在以DO为直径的圆上运动，当点C到y轴距离为12DO=18时，点C到y轴的距离最大．
解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，
设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝4x2，
则AE＝4a2，BF＝4b2，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴DGBH=AGH，即 m−4a24b2−4a2=aa+b，
化简得：m＝4ab．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴AEOF=EOBF，即4a2b=a4b2，
化简得ab=116，
则m＝4ab=14，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，14），
∵∠DCO＝90°，DO=14，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为12DO=18时，点C到y轴的距离最大，
故选：B．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，确定C点的轨迹是解题的关键．
25．(2023•珙县模拟）抛物线y＝x2+4x﹣1的顶点坐标向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（ ）
A．（4，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）
思路引领：先把y＝x2+4x﹣1配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），再把点（﹣2，﹣5）向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度得到点的坐标为（﹣1，﹣4）．
解：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，即抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），
把点（﹣2，﹣5）向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（﹣1，﹣4）．
故选：C．
总结提升：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
26．(2023•海陵区校级三模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；②b+c=12m．其中正确的是（ ）
A．①B．②C．都对D．都不对
思路引领：由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，即−b2a，得b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c并化简得：x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可判断出结论①正确；把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c并计算可得b=−12m，由对称轴可得b＝2a，从而得出a=−14m，由a+b+c＝0可得c=34m，再计算b+c的值，可判断②错误．
解：由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，
∴x=−b2a=−1，
∴b＝2a，
把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：
ax2+2ax+c＝c，
∴x2+2x＝0，
解得x＝0或﹣2，
∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，
故结论①正确；
把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：
a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，
∴b=−12m，
∵b＝2a，
∴a=−14m，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴c=34m，
∴b+c=−12m+34m=14m，
故结论②不正确．
故选：A．
总结提升：本题考查了二次函数图形与系数关系、抛物线与x轴的交点以及特殊值对函数值的影响等知识点，观察函数图象结合二次函数图形与系数关系，逐一分析两条结论的正误是解题的关键．
27．(2023•周至县一模）二次函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ）
A．8B．16C．﹣8D．﹣16
思路引领：对于二次函数解析式，令y＝0得到关于x的一元二次方程，由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出m的值．
解：对于二次函数y＝﹣2x2﹣8x+m，
令y＝0，得到﹣2x2﹣8x+m＝0，
∵二次函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象与x轴只有一个交点
∴Δ＝64+8m＝0，
解得：m＝﹣8．
故选：C．
总结提升：此题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
28．(2023•济南一模）在抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＞0）上，若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，则t的取值范围是（ ）
A．t≥1B．t≥1或t≤0C．t≤0D．t≥1或t≤﹣1
思路引领：分两种情况讨论：①当t+1＜2时，需满足x＝t+3时的函数值不大于x＝t+1时的函数值，②当t+1＞2时，需满足x＝t+2的函数值不小于x＝t的函数值，分别列出不等式即可得到答案．
解：∵y＝ax2﹣4ax+2＝a（x2﹣4x+4）+2﹣4a＝a（x﹣2）2+2﹣4a，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝2；
对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，分两种情况：
①当t+1＜2时，需满足x＝t+3时的函数值不大于x＝t+1时的函数值，如图：
∴a（t+3）2﹣4a（t+3）+2≤a（t+1）2﹣4a（t+1）+2，
解得t≤0；
②当t+1＞2时，需满足x＝t+2的函数值不小于x＝t的函数值，如图：
∴a（t+2）2﹣4a（t+2）+2≥at2﹣4at+2，
解得t≥1，
综上所述，对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，则t≤0或t≥1．
故选：B．
总结提升：本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是分类画出图形，根据二次函数性质列不等式．
29．(2023•泸县校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是（ ）
A．x≤2B．x≤0C．﹣3≤x≤0D．x≤﹣3或x≥0
思路引领：根据图象可知，函数的对称轴为直线x=−32，当y＝2时，x＝0或x＝﹣3，再观察图象可得不等式的解集．
解：由图象可知函数的对称轴为直线x=−32，
当x＝0时，y＝2，
∴当y＝2时，x＝0或x＝﹣3，
∴ax2+bx+c≥2的解集是﹣3≤x≤0，
故选：C．
总结提升：本题考查二次函数与不等式的关系，能够根据函数的图象，利用函数的对称性确定y＝2时，x的对应值是解题的关键．
30．(2023•莲池区二模）如图，过点M（﹣2，0）的抛物线L：y＝﹣tx2+2（1﹣t）x+4（常数t＞0）与x轴和y轴分别交于点N，点P，点Q是抛物线L上一点，且PQ∥x轴，作直线MP和OQ．甲、乙、丙三人的说法如下：甲：用t表示点Q的坐标为（2t−2，4）乙：当S△PQO＝a时，t的值有2个，则0＜a＜4；丙：若OQ∥MP，点Q'是直线OQ上的一点，点M到直线PQ′的最大距离为25．下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙和丙错B．乙对，甲和丙错
C．甲和丙对，乙错D．甲、乙、丙都对
思路引领：甲：先求出P点坐标（0，4）得出Q的纵坐标为4，再把y＝4代入y＝﹣tx2+2（1﹣t）x+4求出x即可判断；
乙：根据S△PQO＝a可以求出Q点的横坐标为a2，在根据二次函数y＝﹣tx2+2（1﹣t）x+4求出二次函数的对称轴，然后由P，Q关于对称轴对称轴，得出a，t的关系，从而判断乙；
丙：根据OQ∥MP，PQ∥OM，得出四边形PQOM是平行四边形，从而求出Q坐标，然后用待定系数法求出OQ的解析式，由点Q'是直线OQ上的一点，点M到直线PQ′的最大距离就是PM⊥PQ′时，即最大距离为MP，从而判断丙．
解：甲：当x＝0时，y＝4，
∴P的坐标为（0，4），
∵PQ∥x轴，
∴Q的纵坐标为4，
∴4＝﹣tx2+2（1﹣t）x+4，
∴x=2t−2，
∴Q的坐标为（2t−2，4），
故甲正确；
乙：∵S△PQO＝a，
∴S△PQO=12OP•PQ=12×4xQ＝a，
∴xQ=a2，
Q（a2，4），
对于二次函数y＝﹣tx2+2（1﹣t）x+4，
对称轴直线为x=−2(1−t)−2t=1t−1，
∴a2+0＝2（1t−1），
∴a＝4（1t−1），
∴a与t是一一对应关系，
故乙错误；
丙：∵OQ∥MP，PQ∥OM，
∴四边形PQOM是平行四边形，
PQ＝MO＝2，
∴Q（2，4），
设直线OQ的解析式y＝kx，
∴4＝2k，
∴k＝2，
∴直线OQ的解析式：y＝2x，
∵点Q′是直线OQ上的一点，
∴点M到直线PQ′的最大距离为PM，
∵OM＝2，OP＝4，∠MOP＝90°，
∴PM=42+22=25，
.点M到直线PO的最大距离为25．
故丙正确．
故选：C．
总结提升：本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，平行四边形的性质，关键是对二次函数性质的掌握和运用．
31．(2023•包头三模）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥﹣2；②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；③当四边形ABCD为平行四边形时．a=12；④若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3．其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．①②④D．①③④
思路引领：根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①正确；当顶点运动到y轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；令y＝0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB＝CD，然后列出方程求出a的值，即可判断③正确；当顶点在A点时，D能取到最小值，当顶点在B点时，C能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，判断出④正确．
解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
CD2＝（−ba）2﹣4×ca=b2−4aca2，
根据顶点坐标公式，4ac−b24a=−2，
∴4ac−b2a=−8，即b2−4aca=8，
∴CD2=1a×8=8a，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴8a=42＝16，
解得a=12，故③正确；
若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，
∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，
∴点C的横坐标最大值为3，故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
总结提升：本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况．
32．(2023•固安县模拟）如图，矩形OABC中，A（﹣4，0），C（0，2），抛物线y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1的顶点为M，下列说法正确的结论有（ ）
①当M在矩形OABC内部或其边上时，m的取值范围是﹣4≤m≤﹣1；
②抛物线顶点在直线y＝﹣x+1上；
③如果顶点在矩形OABC内（不包含边界），m的取值范围是−23＜m＜0．
A．0个B．1个C．2个D．3个
思路引领：由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而可得顶点M所在图象解析式，结合图象求解．
解：∵y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1，
∴抛物线顶点坐标为（m，﹣m+1），
∴抛物线顶点再直线y＝﹣x+1上，②正确．
如图，
将y＝2代入y＝﹣x+1得2＝﹣x+1，
解得x＝﹣1，
∴﹣1≤m≤0时，抛物线顶点在矩形OABC内部或其边上，①③不正确．
故选：B．
总结提升：本题考查二次函数的性质，解题是掌握二次函数图象与系数的关系，通过数形结合求解．
33．（2023•徐汇区一模）将抛物线y=−12x2经过下列平移能得到抛物线y=−12(x+1)2−3的是（ ）
A．向右平移1个单位，向下平移3个单位
B．向左平移1个单位，向下平移3个单位
C．向右平移1个单位，向上平移3个单位
D．向左平移1个单位，向上平移3个单位
思路引领：由图象平移的，上加下减，左加右减的法则，即可得到答案．
解：将抛物线y=−12x2向左平移1个单位，向下3个单位得到抛物线y=−12(x+1)2−3．
故选：B．
总结提升：本题考查二次函数图象与几何变换，关键是掌握函数图象平移的方法：上加下减，左加右减．
34．（2023•奉贤区一模）已知抛物线y＝x2﹣3，如果点A（1，﹣2）与点B关于该抛物线的对称轴对称，那么点B的坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）
思路引领：首先确定抛物线的对称轴，然后根据对称点的性质解题即可．
解：∵y＝x2﹣3的对称轴为x＝0，
∴点A（1，﹣2）关于该抛物线的对称轴对称点B的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：D．
总结提升：本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是了解对称点的性质．
35．（2023•崇明区一模）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，下列结论中正确的是（ ）
A．开口方向不变B．顶点不变
C．对称轴不变D．与y轴的交点不变
思路引领：由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．
解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，a不变，开口方向不变，故正确；
B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，顶点的横坐标改变，纵坐标不变，故错误；
C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，形状不变，顶点改变，对称轴改变，故错误；
D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，与y轴的交点也改变，故错误．
故选：A．
总结提升：本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．
36．(2023•雁塔区校级二模）为了探索二次函数y＝ax2+bx+c的系数a、b、c与图象的关系，同学们在如图所示的平面直角坐标系xOy中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）中选取其中的三个点，探索经过这三点的函数图象，发现了的这些图象对应的函数表达式各不相同，以下说法正确的是（ ）
A．其中a＜0的抛物线有3条
B．其中a＞0的抛物线有3条
C．A，B，D三点的抛物线的a值最大
D．A，C，D三点的抛物线的a值最小
思路引领：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，用待定系数法分别求出经过A，B，C三点，A，B，D三点，A，C，D三点，B，C，D三点的函数解析式即可求解．
解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
当抛物线经过A（0，2），B（1，0），C（3，1）三点时，
得c=2a+b+c=09a+3b+c=1，
解得a=23b=−83c=2，
∴y=23x2−83x+2，
∴抛物线开口向上；
当抛物线经过A（0，2），B（1，0），D（2，3）三点时，
得c=2a+b+c=04a+2b+c=3，
解得a=52b=−92c=2，
∴y=52x2−92x+2，
∴抛物线开口向上；
当抛物线经过A（0，2），C（3，1），D（2，3）三点时，
得c=29a+3b+c=14a+2b+c=3，
解得a=−56b=136c=2，
∴y=−56x2+136x+2，
∴抛物线开口向下；
当抛物线经过B（1，0），C（3，1），D（2，3）三点时，
得a+b+c=09a+3b+c=14a+2b+c=3，
解得a=−52b=212c=−8，
∴y=−52x2+212x﹣8，
∴抛物线开口向下；
∴开口向下的有2个，开口向上的有2个，其中A，B，D三点的抛物线的a值最大，B，C，D三点的抛物线的a值最小，
故选：C．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
37．(2023•珠海二模）如图，已知点A（3，2），B（0，1），射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y＝ax2+bx+1中a，b的值分别为（ ）
A．a＝2，b=−533B．a=12，b=−36
C．a＝3，b=−833D．a=−13，b=233
思路引领：作辅助线，根据平行相似可证明△BOD∽△AED，列比例式可得点C的坐标，列方程组可得结论．
解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点A（3，2），
∴AE＝2，OE=3，
∵B（0，1），
∴OB＝1，
∵OB∥AE，
∴△BOD∽△AED，
∴OBAE=ODDE=12，
∴DE＝23，
∴∠ADE＝30°，
∵∠DAC＝30°，
∴∠CAE＝30°，
∴CE=AE3=23=233，
∴C（33，0），
把A（3，2）和C（33，0）代入二次函数y＝ax2+bx+1中得：3a+3b+1=213a+33b+1=0，
解得：a=2b=−533．
故选：A．
总结提升：本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，此题正确构建直角三角形利用含30°角的直角三角形的性质确定点C的坐标是解本题的关键．
38．(2023•长安区模拟）抛物线的形状、开口方向与y=12x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则关系式为（ ）
A．y=12（x﹣2）2+1B．y=12（x+2）2﹣1
C．y=12（x+2）2+1D．y=−12（x+2）2+1
思路引领：抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向，形状只与a有关；y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．据此作答．
解：抛物线的形状、开口方向与y=12x2﹣4x+3相同，所以a=12．
顶点在（﹣2，1），所以是y=12（x+2）2+1．
故选：C．
总结提升：本题考查抛物线顶点坐标式表达时的顶点坐标．抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向，形状只与a有关．y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．
39．(2023•新河县一模）如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），P为AC上的一个动点，则有以下结论：
①抛物线的对称轴为直线x=32；
②抛物线的最大值为98；
③∠ACB＝90°；
④OP的最小值为455．
则正确的结论为（ ）
A．①②④B．①②C．①②③D．①③④
思路引领：用待定系数法求出函数的解析式即可对①②进行判断；利用勾股定理对③进行判断即可；求出直线AC的解析式，设P（t，−12t+2），再利用两点间距离公式求出OP的最大值即可．
解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2）代入，
∴a−b+c=016a+4b+c=0c=2，
解得a=−12b=32c=2，
∴y=−12x2+32x+2，
∵y=−12x2+32x+2=−12（x−32）2+258，
∴抛物线的对称轴为直线x=32，
故①正确；
当x=32时，抛物线有最大值258，
故②不正确；
∵B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2），
∴AB＝5，AC＝25，BC=5，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
故③正确；
设直线AC的解析式为y＝kx+m，
∴m=24k+m=0，
解得k=−12m=2，
∴y=−12x+2，
设P（t，−12t+2），
∴OP=54(t−45)2+165，
∴当t=45时，OP有最小值为455，
故④正确；
故选：D．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数求函数的解析式是解题的关键．
40．(2023•东阳市模拟）如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝x2+bx+c的图象相交于P、Q两点，则函数y＝x2+（b﹣1）x+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：从图中可看出，两个方程联列方程组，有两个正实数根，从而函数有两个正实数解，又开口方向向上，即可推出答案．
解：∵图象可知一次函数y1＝x与二次函数y2＝x2+bx+c的图象交于第一象限的P、Q两点，
∴方程x2+bx+c＝x，即x2+（b﹣1）x+c＝0有两个不相等的正实数根，
∴函数y＝x2+（b﹣1）x+c与x轴正半轴有两个交点，
∴A符合题意，
故选：A．
总结提升：本题考查了二次函数与一次函数的综合题，解题的关键是两个函数联列后的解的情况，就是函数成x轴交点情况．
41．(2023•泰安模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y=a+b+cx在同一坐标系的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
思路引领：本题需要根据抛物线的位置，反馈数据的信息，即a+b+c，b，b2﹣4ac的符号，从而确定反比例函数、一次函数的图象位置．
解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c＜0；
∴双曲线y=a+b+cx的图象在第二、四象限；
由于抛物线开口向上，所以a＞0；
对称轴x＝−b2a＞0，所以b＜0；
抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0；
∴直线y＝bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限．
故选：D．
总结提升：本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与各系数的关系，同学们要细心解答．
42．(2023•石家庄模拟）若关于二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+2的图象和x轴有交点，则a的取值范围为（ ）
A．a≤32B．a≠1C．a＜32，且a≠1D．a≤32，且a≠1
思路引领：将交点问题转化为方程的解的问题即可．
解：∵若关于二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+2的图象和x轴有交点，
∴a−1≠0△=(−2)2−4(a−1)×2≥0，
∴a≤32且a≠1．
故选：D．
总结提升：本题考查二次函数的图象与x轴d的交点问题，将交点问题转化为一元二次方程的解的问题是求解本题的关键．
43．(2023•雁塔区校级三模）二次函数y＝x2+bx的对称轴为x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＜8B．t＜3C．﹣1≤t＜8D．﹣1≤t＜3
思路引领：先由对称轴为x＝1求得b的值，然后结合函数与方程间的关系求得t的取值范围．
解：∵函数的对称轴为x＝1，
∴b＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x，
当x＝﹣1时，y＝3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝4时，y＝8，
∵函数图象开口向上，
∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围为﹣1≤y＜8，
∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，
∴﹣1≤t＜8，
故选：C．
总结提升：本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是会用函数的观点看一元二次方程．
44．(2023•襄州区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．下列说法正确的个数是（ ）
①ac＞0；②b2﹣4ac＜0；③9a﹣3b+c＞0；④am2+bm＜a﹣b（其中m≠﹣1）
A．0B．1C．2D．3
思路引领：根据抛物线的开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，从而判断①；根据抛物线与x轴的交点个数判断②；当x＝﹣3时，确定函数值y与0的关系，据此判断③；根据当x＝m与x＝﹣1时y的值，判断④．
解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0．
∴ac＜0，故①错误；
②∵由题图可以看出，抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0．故②错误．
③设抛物线与x轴的另一个交点为（x，0）．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且交x轴于点（1，0），
∴﹣1=x+12，解得x＝﹣3．
把x＝﹣3代入抛物线解析式得：
9a﹣3b+c＝0，故③错误；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且开口向上，
∴当x＝﹣1时，y最大值＝a﹣b+c．
∵当x＝m（m≠﹣1）时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c＜a﹣b+c，即am2+bm＜a﹣b．故④正确．
综上所述，只有④正确．
故选：B．
总结提升：本题考查了二次函数的图像与性质，若抛物线与x轴两个交点的坐标为（x1，0）（x2，0）则其对称轴为x=12（x1+x2）．
45．(2023•槐荫区一模）二次函数y＝ax2+2ax+3（a为常数，a≠0），当a﹣1≤x≤2时二次函数的函数值y恒小于4，则a的取值范围为（ ）
A．a＜18B．a＞﹣1
C．0＜a＜18或a＜0D．0＜a＜18或﹣1＜a＜0
思路引领：分a＞0，a＜0两种情况讨论，当a＞0时，抛物线开口向上，再根据二次函数y＝ax2+2ax+3的对称轴为x＝﹣1，且与y轴交于（0，3）这个点，可得当﹣4≤x≤2时，y＜4，代入二次函数解析式，形成关于a的不等式，解之即可；当a＜0时，抛物线开口下，其顶点坐标为（﹣1，﹣a+3），根据题意可得，当﹣a+3＜4时，函数值恒小于4，解关于a的不等式即可．
解：①当a＞0时，抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=−b2a=−1，
∴根据抛物线的对称性可得，点（﹣4，y1）与（2，y1）关于对称轴对称．
∵a﹣1≤x≤2时，y＜4．
∴a﹣1＝﹣4，
∴a＝﹣3（不合题意）．
∵﹣4≤x≤2时，y＜4，
∴把x＝2，代入抛物线解析式得，
4a+4a+3＜4，解得a＜18．
∴a的取值范围为0＜a＜18．
②当a＜0时，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线的顶点为最高点，其坐标为（﹣1，﹣a+3）．
∵a﹣1＜﹣1＜2，
∴﹣a+3＜4，解得a＞﹣1．
∴a的取值范围为﹣1＜a＜0．
综上所述，a的取值范围为0＜a＜18或﹣1＜a＜0．
故选：D．
总结提升：本题考查了二次函数的图像与性质，掌握抛物线开口向上，有最小值，最小值就是顶点坐标的纵坐标；抛物线开口向下，有最大值，最大值就是顶点坐标的纵坐标是解题的关键．
46．(2023•碑林区校级模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x=−12，且经过点（﹣2，0），（x1，y1），（x2，y2），下列说法正确的是（ ）
A．bc＞0
B．当x1＞x2≥−12时，y1＞y2
C．a＝2b
D．不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜32
思路引领：根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：由图象可得，
b＞0，c＜0，则bc＜0，故选项A错误；
∵该函数图象开口向上，该函数的对称轴为x=−12，
∴x≥−12时，y随x的增大而增大，
当x1＞x2≥−12时，y1＞y2，故选项B正确；
∵该函数的对称轴为x=−12，
∴−b2a=−12，
化简得b＝a，故选项C错误；
∵图象的对称轴为x=−12，且经过点（﹣2，0），
∴图象与x轴另一个交点为（1，0），
不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜1，故选项D错误；
故选：B．
总结提升：本题考查二次函数与不等式、二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
47．(2023•两江新区模拟）从﹣1、0、3、5、7五个数中任意选取一个数，记为m，则使二次函数y＝mx2+6x+2与x轴有交点时的m的值有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
思路引领：讨论函数关于x的二次函数y＝mx2+6x+2的图象与x轴有交点的情况，再结合不等式组的解求解．
解：关于x的函数y＝mx2+6x+2的图象与x轴有交点，
当函数为二次函数时m≠0，Δ＝b2﹣4ac＝62﹣8m≥0，
即：m≤92．
又从﹣1、0、3、5、7五个数中任意选取，
∴m＝﹣1，3，
∴m的值有2个．
故选：B．
总结提升：本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，不等式求解，解题关键是分情况讨论m的取值，进而求解．
48．(2023•邗江区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−49x2+83x与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（ ）
A．24B．25C．30D．36
思路引领：连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出BD、OA、OD，再证明△OBD∽△CBM，△OBD∽△OAN，进而可得3BC+5AC＝5MC+5AC＝5（AC+CM），当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，根据ANOA=BDOB求出AN，AC+CM最小值即为AN，则问题得解．
解：连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，如图，
令y＝0，得方程−49x2+83x=0，
解得：x1＝0，x2＝6，
∴A点坐标为（6，0），即OA＝6，
将y=−49x2+83x配成顶点式得：y=−49(x−3)2+4，
∴B点坐标为（3，4），
∴BD＝4，OD＝3，
∵CM⊥OB，AN⊥OB，
∴∠BMC＝∠ANO＝90°，
根据抛物线对称轴的性质可知BD⊥OA，
∴∠BDO＝90°，
在Rt△BDO中，
利用勾股定理得OB=OD2+BD2=32+42=5，
∵∠OBD＝∠CBM，∠BDO＝∠BMC＝90°，
∴△OBD∽△CBM，
同理可证得△OBD∽△OAN，
∴BCMC=BOOD，ANOA=BDOB，
∴BCMC=BOOD=53，即3BC＝5MC，
∴3BC+5AC＝5MC+5AC＝5（AC+CM），
∵当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，
∴AC+CM最小值为AN，如图所示，
∵ANOA=BDOB，
∴AN=BDOB×OA=45×6=245，
∴AC+CM最小值245，
∴即3BC+5AC＝5（AC+CM）＝24．
故选：A．
总结提升：本题考查了求抛物线与坐标轴的交点和抛物线顶点的坐标、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，利用三角形相似得出3BC＝5MC，进而得出3BC+5AC＝5（AC+CM）是解答本题的关键．
49．(2023•云安区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③a+b＞am2+bm（m为任意实数）；④若点Q（m，n）是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大时，m＝1，n＝a+b+c，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
思路引领：根据已知点的特点可求对称轴为直线x＝1，则b＝﹣2a；由函数的图象可知，a＜0，c＞0，再由b＝﹣2a可知b＞0；当x＝1时，函数有最大值a+b+c；再由铅锤法求△BCQ的面积，从而确定当m＝2时，三角形面积有最大值．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），
∴对称轴为直线x=−2+42=1，
∴−b2a=1，
∴2a＝﹣b，
∴2a+b＝0，故①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴x＝1，开口向下，
∴x＝1时，y有最大值，最大值＝a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
∴a+b≥am2+bm（m为任意实数），故③错误，不符合题意；
④∵C（0，c），
设直线BC的解析式为y＝kx+t，
∴t=c4k+t=0，
解得t=ck=−c4，
∴y=−c4x+c，
将点A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax+c，
∴c＝﹣8a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣8a，
过点Q作QN∥y轴交BC于点P，
∵Q（m，n），
∴P（m，2am﹣8a），
∴PQ＝n﹣2am+8a，
∴S△QBC=12×4×（n﹣2am+8a）＝2（n﹣2am+8a），
∵n＝am2﹣2am﹣8a，
∴S△QBC＝2（am2﹣4am）＝2a（m﹣2）2﹣8a，
∴当m＝2时，△QBC的面积最大，
故④不正确，不符合题意；
故选：A．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
50．(2023•新化县模拟）如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，1），若抛物线y＝x2+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是（ ）
A．﹣1≤c≤0B．﹣1≤c≤12C．﹣1≤c≤916D．0≤c≤916
思路引领：先通过待定系数法将AB所在直线解析式求出，然后通过数形结合方法，求出抛物线与直线相切及抛物线经过点A时c的值求解．
解：设AB所在直线为y＝kx+b，
将（﹣1，0），（1，1）代入y＝kx+b得k=12b=12，
∴y=12x+12，
如图，当抛物线与线段AB相切时，
令12x+12=x2+c，整理得x2−12x−12+c＝0，
∴Δ＝（−12）2﹣4（−12+c）＝0，
解得c=916，
c减小，抛物线向下移动，
当抛物线经过点A（﹣1，0）时，
将（﹣1，0）代入y＝x2+c得0＝1+c，
解得c＝﹣1，
∴﹣1≤c≤916满足题意．
故选：C．
总结提升：本题考查二次函数图象与线段交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数平移的规律，通过数形结合方法求解