中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题12填空题重点出题方向含参方程(组)(原卷版+解析)

这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题12填空题重点出题方向含参方程(组)(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了2022中考真题集训，求含参方程的字母取值范围，求含参不等式的字母取值范围等内容，欢迎下载使用。

类型一 求含参方程（组）的字母取值
1．(2023•巴中）α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为 ．
2．(2023•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 ．
3．(2023•日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22=316，则m＝ ．
4．(2023•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是 ．
5．(2023•安徽）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
6．(2023•内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且x2x1+x1x2=x12+2x2﹣1，则k的值为 ．
7．(2023•雅安）已知x=1y=2是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 ．
类型二 求含参方程（组）的字母取值范围
8．(2023•徐州）若一元二次方程x2+x﹣c＝0没有实数根，则c的取值范围是 ．
9．(2023•东营）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
10．(2023•辽宁）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
11．(2023•宿迁）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是 ．
12．(2023•黄石）已知关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，则a的取值范围是 ．
13．(2023•威海）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
类型三 求含参不等式（组）的字母取值范围
14．(2023•内蒙古）关于x的不等式组5−3x≥−1a−x＜0无解，则a的取值范围是 ．
15．(2023•绵阳）已知关于x的不等式组2x+3≥x+m2x+53−3＜2−x无解，则1m的取值范围是 ．
16．(2023•达州）关于x的不等式组−x+a＜23x−12≤x+1恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
17．(2023•黑龙江）若关于x的一元一次不等式组2x−1＜3x−a＜0的解集为x＜2，则a的取值范围是 ．
18．(2023•攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程13x﹣1＝0是关于x的不等式组x−2≤n2n−2x＜0的关联方程，则n的取值范围是 ．
模块二 2023中考押题预测
19．（2023•沭阳县模拟）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2021﹣2a﹣4b的值为 ．
20．（2023•本溪模拟）如果关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是 ．
21．(2023•淮阴区模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个根为1，则m＝ ．
22．(2023•陇西县校级二模）关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0的一个根为0，则a＝ ．
23．(2023•峄城区校级模拟）若分式方程xx−6−4=mx6−x有增根，则m的值为 ．
24．(2023•海州区校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 ．
25．(2023•湘潭县校级模拟）已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为﹣1，则方程的另一个根为 ．
26．(2023•香洲区校级三模）若关于x的一元二次方程ax2﹣3x+2＝0有两个实数根，那么a的取值范围是 ．
27．(2023•江都区校级模拟）在平面直角坐标系中，若点P（2﹣m，m﹣6）在第三象限，则整数m的值为 ．
28．(2023•香洲区校级三模）关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
29．(2023•巴州区校级模拟）若关于x的一元二次方程2x2﹣mx+2＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
30．(2023•柘城县校级三模）已知关于x不等式组5−2x＞3x−a＜0，其中实数a在数轴上对应的点是如图所示的点A，则不等式组的解集为 ．
31．(2023•新化县模拟）设a，b分别是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是 ．
32．(2023•峄城区校级模拟）已知不等式3x﹣m＜4（x+1）的负整数解有且只有三个，则m的取值范围是 ．
33．(2023•碑林区校级模拟）若方程（a﹣1）x2+ax＝1是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 ．
34．(2023•峄城区校级模拟）若方程x2﹣4＝0的正数根也是关于x的方程x2+mx+6＝0的一个根，则方程x2+mx+6＝0的另一个根为 ．
35．(2023•天河区校级模拟）关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
36．(2023•嘉峪关一模）关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的取值范围是 ．
37．(2023•武江区校级二模）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为 ．
38．(2023•泸县校级一模）已知α，β是方程x2+2x﹣2022＝0的实数根，求α2+αβ+2α的值为 ．
39．(2023•海陵区校级三模）关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的两根是x1、x2，若x1+x2＝x1x2，则m的值等于 ．
40．(2023•呼和浩特模拟）若关于x的不等式组2x+3＞12x−a≤0恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 ．
41．(2023•景德镇模拟）已知x1，x2是一元二次方程x2+bx+4＝0的两根，且x1﹣x1x2+x2＝2，则b＝ ．
42．(2023•宁南县模拟）方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的两个根分别为x1，x2，当m满足 时，x12+x22−x1x2有最小值．
43．(2023•赫章县模拟）已知实数a是一元二次方程x2﹣2022x+1＝0的一实数根，则代数式a2−2021a−a2+12022的值为 ．
44．(2023•金凤区校级二模）若关于x的不等式组x−m＞2x−2m＜−1无解，则m的取值范围 ．
45．(2023•章丘区模拟）当m 时，分式方程7x−1−1=mx−1的解是非负数．
46．(2023•南岗区校级模拟）已知一元二次方程（k﹣3）x2﹣（k﹣3）x+14=0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
47．(2023•红谷滩区校级一模）已知x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣3＝0的两个实数根，x1＝﹣1，则x1x2﹣2m＝ ．
48．(2023•海门市二模）若关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0有两个实数根，则k2+k+3的最小值为 ．
49．(2023•牡丹区三模）已知方程2x2+bx+c＝0的两根为2和﹣2，分解因式2x2+bx+c＝ ．
50．(2023•铁岭模拟）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，请写出一个合适的m的值 ．
51．(2023•夏邑县模拟）已知点P的坐标（x，y）满足方程组x+y=2a−b−4x−y=b−4．
（1）若a＝1，b＝1，则点P的坐标是 ；
（2）若点P在第二象限，且符合要求的整数a只有三个，则b的取值范围是 ．
52．(2023•睢阳区二模）若不等式组x−1＞a1−3x≥x−7无解，则a的取值范围是 ．
53．(2023•黄石模拟）关于x的方程3x−mx+3=4的解是负数，则m的取值范围是 ．
54．(2023•德保县二模）若x=−2y=m是方程nx+6y＝4的一个解，则代数式3m﹣n+1＝ ．
55．(2023•武威模拟）关于x的方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
56．(2023•安徽三模）若关于x的分式方程2x−bx−3=4的解是非负数，则b的取值范围是 ．
57．(2023•武威模拟）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⊗m＞3的解集为x＞﹣1，则m的取值范围是 ．
58．(2023•安顺模拟）若关于x的方程x+mx−4+2m4−x=3的解是非负数，则m的取值范围是 ．
59．(2023•广陵区校级二模）已知关于x的不等式xa＜7的解也是不等式2x−7a5＞a2−1的解，则常数a的取值范围是 ．
60．(2023•江北区模拟）若x＝3是关于x的一元一次不等式组x−a＞01−x＞x−7的解，x＝2不是该不等式组的解，则a的取值范围是 ．
专题12填空题重点出题方向含参方程（组）含参不等式（组）中字母取值及取值范围
模块一 2022中考真题集训
类型一 求含参方程（组）的字母取值
1．(2023•巴中）α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为 ﹣4 ．
思路引领：α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝4，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．
解：∵α、β是方程x2﹣x+k﹣1＝0的根，
∴α2﹣α+k﹣1＝0，α+β＝1，
∴α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝﹣k+1﹣1＝﹣k＝4，
∴k＝﹣4，
故答案是：﹣4．
总结提升：本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
2．(2023•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 6 ．
思路引领：将a代入x2+2x﹣3＝0，即可得出a2+2a＝3，再把a2+2a＝3整体代入2a2+4a，即可得出答案．
解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，
故答案为：6．
总结提升：本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．
3．(2023•日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22=316，则m＝ −18 ．
思路引领：根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2=m2，再由x12+x22=316变形得到（x1+x2）2﹣2x1x2=316，即可得到4m2﹣m=316，然后解此方程即可．
解：根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2=m2，
∵x12+x22=316，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=316，
∴4m2﹣m=316，
∴m1=−18，m2=38，
∵Δ＝16m2﹣8m＞0，
∴m＞12或m＜0，
∴m=38不合题意，
故答案为：−18．
总结提升：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
4．(2023•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是 1 ．
思路引领：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得到m+n﹣1＝0，然后求得m+n的值即可．
解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，
解得m+n＝1．
故答案为：1．
总结提升：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．(2023•安徽）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ 2 ．
思路引领：根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝16﹣8m＝0，解之即可得出结论．
解：∵一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣8m＝0，
解得：m＝2．
∴m＝2．
故答案为：2．
总结提升：本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等实数根”是解题的关键．
6．(2023•内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且x2x1+x1x2=x12+2x2﹣1，则k的值为 2 ．
思路引领：根据x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，可得x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，把x2x1+x1x2=x12+2x2﹣1变形再整体代入可得22−2(k−1)k−1=4﹣k，解出k的值，并检验即可得k＝2．
解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵x2x1+x1x2=x12+2x2﹣1，
∴(x1+x2)2−2x1x2x1x2=2（x1+x2）﹣k，
∴22−2(k−1)k−1=4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
总结提升：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，从而根据已知得到关于k的方程，注意最后要由求得的k值检验原方程是否有实数根．
7．(2023•雅安）已知x=1y=2是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 1 ．
思路引领：把x与y的值代入方程计算得到a+2b的值，原式变形后代入计算即可求出值．
解：把x=1y=2代入ax+by＝3得：a+2b＝3，
则原式＝2（a+2b）﹣5
＝2×3﹣5
＝6﹣5
＝1．
故答案为：1．
总结提升：此题考查了二元一次方程的解，以及代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
类型二 求含参方程（组）的字母取值范围
8．(2023•徐州）若一元二次方程x2+x﹣c＝0没有实数根，则c的取值范围是 c＜−14 ．
思路引领：根据判别式的意义得到＝12+4c＜0，然后解不等式即可．
解：根据题意得Δ＝12+4c＜0，
解得c＜−14．
故答案为：c＜−14．
总结提升：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
9．(2023•东营）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜2且k≠1 ．
思路引领：根据一元二次方程解的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，
解得k＜2且k≠1，
所以k的取值范围是k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
总结提升：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
10．(2023•辽宁）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞2 ．
思路引领：根据题意可得Δ＝b2﹣4ac＞0，从而可求得相应的k的范围．
解：∵一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即22﹣4×1×（﹣k+3）＞0，
解得：k＞2．
故答案为：k＞2．
总结提升：本题主要考查根的判别式，解答的关键是是熟记根的判别式：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
11．(2023•宿迁）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是 k≤1 ．
思路引领：先计算根的判别式，根据一元二次方程解的情况得不等式，求解即可．
解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k
＝4﹣4k．
又∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，
∴4﹣4k≥0．
∴k≤1．
故答案为：k≤1．
总结提升：本题考查了根的判别式，掌握“Δ＝b2﹣4ac”及根的判别式与一元二次方程解的情况是解决本题的关键．
12．(2023•黄石）已知关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，则a的取值范围是 a＜1且a≠0 ．
思路引领：先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．
解：去分母得：x+1+x＝x+a，
解得：x＝a﹣1，
∵分式方程的解为负数，
∴a﹣1＜0且a﹣1≠0且a﹣1≠﹣1，
∴a＜1且a≠0，
∴a的取值范围是a＜1且a≠0，
故答案为：a＜1且a≠0．
总结提升：本题主要考查的是解分式方程、解一元一次不等式，明确分式的分母不为0是解题的关键．
13．(2023•威海）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜5 ．
思路引领：根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得Δ＞0，代入求解即可．
解：由题意可得，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（m﹣1）＝20﹣4m＞0，
解得m＜5．
故答案为：m＜5．
总结提升：本题考查一元二次方程根的判别式，牢记：根的判别式为Δ＝b2﹣4ac，若一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则Δ＞0；若有两个相等的实数根，则Δ＝0，；若无实数根，则Δ＜0．
类型三 求含参不等式（组）的字母取值范围
14．(2023•内蒙古）关于x的不等式组5−3x≥−1a−x＜0无解，则a的取值范围是 a≥2 ．
思路引领：先把a当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
解：5−3x≥−1①a−x＜0②，
由①得：x≤2，
由②得：x＞a，
∵不等式组无解，
∴a≥2，
故答案为：a≥2．
总结提升：此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小解没了．
15．(2023•绵阳）已知关于x的不等式组2x+3≥x+m2x+53−3＜2−x无解，则1m的取值范围是 0＜1m≤15 ．
思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
解：解不等式2x+3≥x+m，得：x≥m﹣3，
解不等式2x+53−3＜2﹣x，得：x＜2，
∵不等式组无解，
∴m﹣3≥2，
∴m≥5，
∴0＜1m≤15，
故答案为：0＜1m≤15．
总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．(2023•达州）关于x的不等式组−x+a＜23x−12≤x+1恰有3个整数解，则a的取值范围是 2≤a＜3 ．
思路引领：首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
解：−x+a＜2①3x−12≤x+1②，
解不等式①得：x＞a﹣2，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集为：a﹣2＜x≤3，
∵恰有3个整数解，
∴0≤a﹣2＜1，
∴2≤a＜3，
故答案为：2≤a＜3．
总结提升：考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果，取出合理的答案．
17．(2023•黑龙江）若关于x的一元一次不等式组2x−1＜3x−a＜0的解集为x＜2，则a的取值范围是 a≥2 ．
思路引领：不等式组整理后，根据已知解集，利用同小取小法则判断即可确定出a的范围．
解：不等式组整理得：x＜2x＜a，
∵不等式组的解集为x＜2，
∴a≥2．
故答案为：a≥2．
总结提升：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
18．(2023•攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程13x﹣1＝0是关于x的不等式组x−2≤n2n−2x＜0的关联方程，则n的取值范围是 1≤n＜3 ．
思路引领：先解方程13x﹣1＝0得x＝3，再利用新定义得到1≤n2n−6＜0，然后解n的不等式组即可．
解：解方程13x﹣1＝0得x＝3，
∵x＝3为不等式组x−2≤n2n−2x＜0的解，
∴1≤n2n−6＜0，
解得1≤n＜3，
即n的取值范围为：1≤n＜3，
故答案为：1≤n＜3．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了解一元一次方程的解．
模块二 2023中考押题预测
19．（2023•沭阳县模拟）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2021﹣2a﹣4b的值为 2023 ．
思路引领：将x＝1代入原方程，可得出a+2b＝﹣1，再将其代入2021﹣2a﹣4b＝2021﹣2（a+2b）中，即可求出结论．
解：将x＝1代入原方程得：1+a+2b＝0，
∴a+2b＝﹣1，
∴2021﹣2a﹣4b＝2021﹣2（a+2b）＝2021﹣2×（﹣1）＝2023．
故答案为：2023．
总结提升：本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入原方程，求出a+2b是解题的关键．
20．（2023•本溪模拟）如果关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是 k≤94且k≠0 ．
思路引领：根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
解：∵关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0且k≠0，
即9﹣4k≥0，
解得k≤94，
∴k的取值范围为k≤94且k≠0．
故答案为：k≤94且k≠0．
总结提升：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
21．(2023•淮阴区模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个根为1，则m＝ 3 ．
思路引领：把x＝1代入方程x2﹣mx+2＝0得12﹣m+2＝0，然后解关于m的方程．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个根为1，
∴12﹣m+2＝0，
解得m＝3，
故答案为：3．
总结提升：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
22．(2023•陇西县校级二模）关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0的一个根为0，则a＝ 1 ．
思路引领：把x＝0代入方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0中得：a2﹣1＝0，从而可得：a＝±1，然后再根据一元二次方程的定义可得a+1≠0，从而可得a≠﹣1，即可解答．
解：把x＝0代入方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0中得：
a2﹣1＝0，
解得：a＝±1，
∵a+1≠0，
∴a≠﹣1，
∴a＝1，
故答案为：1．
总结提升：本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解，以及的一元二次方程的定义是解题的关键．
23．(2023•峄城区校级模拟）若分式方程xx−6−4=mx6−x有增根，则m的值为 ﹣1 ．
思路引领：分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
解：分式方程的最简公分母为x﹣6，
去分母得：x﹣4（x﹣6）＝﹣mx，
x﹣4x+24＝﹣mx，
x=243−m，
由分式方程有增根，得到x﹣6＝0，
解得：x＝6，
则m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
总结提升：本题考查了分式方程的增根，掌握增根的确定步骤是关键．
24．(2023•海州区校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 m＜94 ．
思路引领：根据一元二次方程根的判别式可知Δ＞0，解不等式即可求解．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
即9﹣4m＞0．
解得m＜94．
故答案为：m＜94．
总结提升：本题考查了根的判别式，解决本题的关键是得出Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根．
25．(2023•湘潭县校级模拟）已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为﹣1，则方程的另一个根为 4 ．
思路引领：设方程的另一个根为m，根据两根之和等于−ba，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设方程的另一个根为m，
根据题意得：﹣1+m＝3，
解得：m＝4．
故答案为：4．
总结提升：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于−ba是解题的关键．
26．(2023•香洲区校级三模）若关于x的一元二次方程ax2﹣3x+2＝0有两个实数根，那么a的取值范围是 a≤98且a≠0 ．
思路引领：先根据关于x的一元二次方程ax2﹣3x+2＝0有实数根得出Δ≥0，a≠0，求出a的取值范围即可．
解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x+2＝0有实数根，
∴Δ＝9﹣4a×2≥0且a≠0，
解得a≤98且a≠0．
故答案为：a≤98且a≠0．
总结提升：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
27．(2023•江都区校级模拟）在平面直角坐标系中，若点P（2﹣m，m﹣6）在第三象限，则整数m的值为 3或4或5 ．
思路引领：根据第三象限横纵坐标都为负，确定出m的范围，进而确定出整数m的值即可．
解：∵在平面直角坐标系中，若点M（2﹣m，m﹣6）在第三象限，
∴2−m＜0m−6＜0，
解得：2＜m＜6，
则整数m的值为3或4或5．
故答案为：3或4或5．
总结提升：此题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，以及点的坐标，熟练掌握第三象限点的坐标特征是解本题的关键．
28．(2023•香洲区校级三模）关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞−14且k≠0 ．
思路引领：利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4k•（k﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4k•（k﹣2）＞0，
解得k＞−14且k≠0．
故答案为：k＞−14且k≠0．
总结提升：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
29．(2023•巴州区校级模拟）若关于x的一元二次方程2x2﹣mx+2＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ±4 ．
思路引领：根据“关于x的一元二次方程2x2﹣mx+2＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可．
解：根据题意得：
Δ＝（﹣m）2﹣4×2×2＝0，
整理得：m2﹣16＝0，
解得：m＝±4，
故答案为：±4．
总结提升：本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
30．(2023•柘城县校级三模）已知关于x不等式组5−2x＞3x−a＜0，其中实数a在数轴上对应的点是如图所示的点A，则不等式组的解集为 x＜1 ．
思路引领：根据题意可得：a＞1，然后按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
解：由题意得：a＞1，
5−2x＞3①x−a＜0②，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＜a，
∴原不等式组的解集为：x＜1，
故答案为：x＜1．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
31．(2023•新化县模拟）设a，b分别是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是 2022 ．
思路引领：根据题意得a2+a﹣2023＝0，即a2+a＝2023，利用根与系数的关系得到a+b＝﹣1，代入整理后的代数式求值．
解：a，b分别是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2023＝0，
∴a2+a＝2023，
故a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2023﹣1＝2022．
故答案为：2022．
总结提升：此题主要考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1•x2=ca．
32．(2023•峄城区校级模拟）已知不等式3x﹣m＜4（x+1）的负整数解有且只有三个，则m的取值范围是 ﹣1＜m≤0 ．
思路引领：解不等式得x＞﹣4﹣m，由于只有三个负整数解，故可判断﹣4﹣m的取值范围，再解不等式组求出m的取值范围．
解：去括号，得：3x﹣m＜4x+4，
移项，得：3x﹣4x＜4+m，
合并同类项，得：﹣x＜4+m，
系数化为1，得：x＞﹣4﹣m，
∵不等式的负整数解只有三个，
∴﹣4≤﹣4﹣m＜﹣3，
解得：﹣1＜m≤0．
故答案为：﹣1＜m≤0．
总结提升：本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出负整数是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
33．(2023•碑林区校级模拟）若方程（a﹣1）x2+ax＝1是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 a≥0且a≠1 ．
思路引领：根据一元二次方程的定义得到a﹣1≠0；由二次根式的被开方数是非负数得到a≥0．
解：∵方程（a﹣1）x2+ax＝1是关于x的一元二次方程，
∴a≥0且a﹣1≠0，
解得a≥0且a≠1．
故答案是：a≥0且a≠1．
总结提升：本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不为0，且二次根式的被开方数大于等于0．
34．(2023•峄城区校级模拟）若方程x2﹣4＝0的正数根也是关于x的方程x2+mx+6＝0的一个根，则方程x2+mx+6＝0的另一个根为 3 ．
思路引领：先求出方程2x﹣4＝0的解，再设方程的另一根为x1，可将该方程的已知根2和设的根一起代入两根之积公式列出方程，解方程即可求出方程的另一根．
解：x2﹣4＝0，
解得：x＝±2，
设方程的另一根为x1，
又∵x2＝2，
根据根与系数的关系可得x1•x2＝x1×2＝6，
∴x1＝3．
故答案为：3．
总结提升：本题主要考查了根与系数的关系，一元一次方程的解，此题也可将求出的x＝2代入方程x2+mx+6＝0中求出m的值，再解方程求方程的另一根．
35．(2023•天河区校级模拟）关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜2 ．
思路引领：根据根的判别式即可求出答案．
解：由题意可知：Δ＝4﹣4（2k﹣3）＞0，
∴k＜2，
故答案为：k＜2．
总结提升：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
36．(2023•嘉峪关一模）关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的取值范围是 a≤14且a≠0 ．
思路引领：由方程是一元二次方程得出a≠0，再由方程有实数根得出Δ＝b2﹣4ac≥0，即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，
∴a≠0，Δ＝1﹣4×a×1≥0，
∴a≤14且a≠0，
故答案为：a≤14且a≠0．
总结提升：此题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，利用根的判别式建立不等式是解本题的关键，注意不要漏掉a≠0的情况．
37．(2023•武江区校级二模）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为 2021 ．
思路引领：先根据一元二次方程的解的定义得到a2＝﹣a+2022，则a2+2a+b＝a+b+2022，然后根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，再利用整体代入的方法计算．
解：a是方程x2+x﹣2022＝0的实数根，
∴a2+a﹣2022＝0，
∴a2＝﹣a+2022，
∴a2+2a+b＝a+b+2022，
∵a+b=−11=−1，
∴a2+2a+b＝a+b+2022＝2021，
故答案为：2021．
总结提升：本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．
38．(2023•泸县校级一模）已知α，β是方程x2+2x﹣2022＝0的实数根，求α2+αβ+2α的值为 0 ．
思路引领：由已知中α，β是方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，结合根与系数的关系转化求解即可．
解：α，β是方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，
可得α+β＝﹣2，αβ＝﹣2022，α2+αβ+2α＝α（α+β）+2α＝﹣2α+2α＝0．
所以α2+αβ+2α的值为0．
故答案为：0．
总结提升：本题考查的知识点是一元二次方程根与关系，若α，β是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，α+β=−ba，αβ=ca．
39．(2023•海陵区校级三模）关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的两根是x1、x2，若x1+x2＝x1x2，则m的值等于 ﹣2 ．
思路引领：先根据根与系数的关系得x1+x2＝2m，x1x2＝﹣4，则2m＝4，然后解方程即可．
解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2m，x1x2＝﹣4，
∵x1+x2＝x1x2，
∴2m＝﹣4，
解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
总结提升：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
40．(2023•呼和浩特模拟）若关于x的不等式组2x+3＞12x−a≤0恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 7≤a＜8 ．
思路引领：先解出不等式组的解集，然后根据不等式组2x+3＞12x−a≤0恰有3个整数解，即可得到a的取值范围．
解：2x+3＞12①x−a≤0②，
解不等式①，得：x＞4.5，
解不等式②，得：x≤a，
∵关于x的不等式组2x+3＞12x−a≤0恰有3个整数解，
∴这三个整数解是5，6，7，
∴7≤a＜8，
故答案为：7≤a＜8．
总结提升：本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
41．(2023•景德镇模拟）已知x1，x2是一元二次方程x2+bx+4＝0的两根，且x1﹣x1x2+x2＝2，则b＝ ﹣6 ．
思路引领：利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣b，x1x2＝4，结合x1﹣x1x2+x2＝2，即可求出b的值．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2+bx+4＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝4，
又∵x1﹣x1x2+x2＝2，即﹣b﹣4＝2，
解得：b＝﹣6，
∴b的值为﹣6．
故答案为：﹣6．
总结提升：本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
42．(2023•宁南县模拟）方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的两个根分别为x1，x2，当m满足 −12 时，x12+x22−x1x2有最小值．
思路引领：利用根与系数的关系求出两根之和和两根之积，再把x12+x22﹣x1x2配方即可求出当m满足何条件时，x12+x22﹣x1x2有最小值．
解：∵方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2（m+1），x1•x2＝m2，
∵x12+x22﹣x1x2＝（x1+x2）2﹣3x1x2，
∴4（m+1）2﹣3m2＝（m+4）2﹣12，
∵x2﹣2（m+1）x+m2＝0的两个根分别为x1、x2，
∴Δ＝4（m+1）2﹣4m2≥0，
∴m≥−12，
∴当m+4＝0即m＝﹣4时，代入原方程无解．
∴当m=−12时，有最小值；
故答案为：−12．
总结提升：本题考查了根与系数的关系，若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=−（x1+x2），ca=x1x2．
43．(2023•赫章县模拟）已知实数a是一元二次方程x2﹣2022x+1＝0的一实数根，则代数式a2−2021a−a2+12022的值为 ﹣1 ．
思路引领：把x＝a代入方程，推出a2﹣2022a＝﹣1，a2+1＝2022a，然后整体代入所求的代数式求值即可．
解：∵实数a是一元二次方程x2﹣2022x+1＝0的一实数根，
∴a2﹣2022a+1＝0．
∴a2﹣2022a＝﹣1，a2+1＝2022a．
∴a2−2021a−a2+12022
＝a2﹣2022a+a−2022a2022
＝﹣1+a﹣a
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
总结提升：本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义．
44．(2023•金凤区校级二模）若关于x的不等式组x−m＞2x−2m＜−1无解，则m的取值范围 m≤3 ．
思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于m的取值范围，继而可得答案．
解：由x﹣m＞2，得：x＞m+2，
由x﹣2m＜﹣1，得：x＜2m﹣1，
∵不等式组无解，
∴m+2≥2m﹣1，
解得m≤3，
故答案为：m≤3．
总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
45．(2023•章丘区模拟）当m ≤8且m≠7 时，分式方程7x−1−1=mx−1的解是非负数．
思路引领：表示出分式方程的解，由分式方程的解为非负数确定出m的范围即可．
解：去分母得：7﹣（x﹣1）＝m，
解得：x＝8﹣m，
∵分式方程的解为非负数，且8﹣m≠1，
∴8﹣m≥0且m≠7，
解得：m≤8且m≠7．
故答案为：≤8且m≠7．
总结提升：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，始终注意分母不为0这个条件．
46．(2023•南岗区校级模拟）已知一元二次方程（k﹣3）x2﹣（k﹣3）x+14=0有两个相等的实数根，则k的值是 4 ．
思路引领：由关于一元二次方程（k﹣3）x2﹣（k﹣3）x+14=0有两个相等的实数根，即可得根的判别式Δ＝0且k﹣3≠0，继而可求得k的值．
解：∵一元二次方程（k﹣3）x2﹣（k﹣3）x+14=0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（k﹣3）×14=k2﹣7k+12＝0且k﹣3≠0，
解得：k＝4．
故答案为：4．
总结提升：此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个相等的实数根，即可得Δ＝0．
47．(2023•红谷滩区校级一模）已知x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣3＝0的两个实数根，x1＝﹣1，则x1x2﹣2m＝ 1 ．
思路引领：利用根与系数的关系求出两根之积与两根之和，进而求出m的值，代入原式计算即可求出值．
解：∵x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣3＝0的两个实数根，x1＝﹣1，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣3，
把x1＝﹣1代入得：x2﹣1＝﹣m，﹣x2＝﹣3，
解得：m＝﹣2，x2＝3，
则原式＝﹣3+4＝1．
故答案为：1．
总结提升：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
48．(2023•海门市二模）若关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0有两个实数根，则k2+k+3的最小值为 9 ．
思路引领：根据一元二次方程根的判别式可得Δ＝（2k）2﹣4（k2+k+3）＝﹣4k﹣12≥0，求出k的取值范围，再将k2+k+3配方成(k+12)2+114，根据k的取值范围即可求出代数式的最小值．
解：∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0有两个实数根，
∴Δ＝（2k）2﹣4（k2+k+3）＝﹣4k﹣12≥0，
∴k≤﹣3，
∵k2+k+3=(k+12)2+114，
∵k≤﹣3，
∴当k＝﹣3时，k2+k+3取得最小值为(−3+12)2+114=9，
故答案为：9．
总结提升：本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法等，熟练掌握根的判别式与配方法是解题的关键．
49．(2023•牡丹区三模）已知方程2x2+bx+c＝0的两根为2和﹣2，分解因式2x2+bx+c＝ 2（x+2）（x﹣2） ．
思路引领：根据方程2x2+bx+c＝0的两根为2和﹣2，即可解答．
解：∵方程2x2+bx+c＝0的两根为2和﹣2，
∴2x2+bx+c＝2（x+2）（x﹣2），
故答案为：2（x+2）（x﹣2）．
总结提升：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
50．(2023•铁岭模拟）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，请写出一个合适的m的值 1（答案不唯一） ．
思路引领：先根据判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可．
解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0，
解得m＜9，
所以当m取1时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：1（答案不唯一）．
总结提升：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
51．(2023•夏邑县模拟）已知点P的坐标（x，y）满足方程组x+y=2a−b−4x−y=b−4．
（1）若a＝1，b＝1，则点P的坐标是 （﹣3，0） ；
（2）若点P在第二象限，且符合要求的整数a只有三个，则b的取值范围是 0≤b≤1 ．
思路引领：（1）将a＝1，b＝1代入方程组求解．
（2）用含a，b的代数式表示x，y，通过点P在第二象限求出a的取值范围进而求解．
解：（1）当a＝1，b＝1时方程组为：x+y=−3x−y=−3，
解得：x=−3y=0，
所以P（﹣3，0），
故答案为：（﹣3，0）；
（2）解方程组得：x=a−4y=a−b，
∵点P在第二象限，且符合要求的整数a只有三个，
∴a﹣4＜0，且a﹣b＞0，
∴b＜a＜4，
∴符合要求的整数a为1，2，3，
∴0≤b＜1．
故答案为：0≤b＜1．
总结提升：本题考查二元一次方程组与坐标系及一元一次不等式的综合应用，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组及不等式的方法，通过分类讨论求解．
52．(2023•睢阳区二模）若不等式组x−1＞a1−3x≥x−7无解，则a的取值范围是 a≥1 ．
思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集的情况可得关于a的不等式，解之即可．
解：解不等式x﹣1＞a，得x＞a+1，
解不等式1﹣3x≥x﹣7，得x≤2．
∵不等式组无解，
∴a+1≥2，
∴a≥1，
故答案为：a≥1．
总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
53．(2023•黄石模拟）关于x的方程3x−mx+3=4的解是负数，则m的取值范围是 m＞﹣12且m≠﹣9 ．
思路引领：表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数确定出m的范围即可．
解：去分母得：3x﹣m＝4x+12，
解得：x＝﹣m﹣12，
∵分式方程的解为负数，
∴﹣m﹣12＜0，且﹣m﹣12≠﹣3，
解得：m＞﹣12且m≠﹣9．
故答案为：m＞﹣12且m≠﹣9．
总结提升：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次方程，始终注意分母不为0这个条件．
54．(2023•德保县二模）若x=−2y=m是方程nx+6y＝4的一个解，则代数式3m﹣n+1＝ 3 ．
思路引领：把x=−2y=m代入方程nx+6y＝4得出﹣2n+6m＝4，求出3m﹣n＝2，再代入求出即可．
解：∵x=−2y=m是方程nx+6y＝4的一个解，
∴代入得：﹣2n+6m＝4，
∴3m﹣n＝2，
∴3m﹣n+1＝2+1＝3，
故答案为：3．
总结提升：本题考查了二元一次方程的解和求代数式的值，能求出3m﹣n＝2是解此题的关键．
55．(2023•武威模拟）关于x的方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣2 ．
思路引领：讨论：当k+1＝0时，即k＝﹣1，方程为一元一次方程，有一个解；当k+1≠0时利用根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4（k+1）×（﹣1）≥0，解得k≥﹣2且k≠﹣1，然后综合两种情况得到k的取值范围．
解：当k+1＝0时，即k＝﹣1，方程化为2x﹣1＝0，解得x=12；
当k+1≠0时，Δ＝22﹣4（k+1）×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣2且k≠﹣1，
综上所述，k的取值范围为k≥﹣2．
故答案为：k≥﹣2．
总结提升：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
56．(2023•安徽三模）若关于x的分式方程2x−bx−3=4的解是非负数，则b的取值范围是 b≤12且b≠6 ．
思路引领：分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，再由分式方程的解为非负数确定出m的范围即可．
解：将原式去分母得：2x﹣b＝4（x﹣3），
解得：x＝6−b2，
由分式方程的解为非负数，
得到6−b2≥0，且6−b2≠3，
解得b≤12且b≠6，
故答案为：b≤12且b≠6．
总结提升：此题考查了分式方程的解，关键在于要注意分式方程中分母不为0．
57．(2023•武威模拟）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⊗m＞3的解集为x＞﹣1，则m的取值范围是 ﹣2 ．
思路引领：根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式；根据解集列方程即可．
解∵a⨂b＝a﹣2b，
∴x⨂m＝x﹣2m．
∵x⨂m＞3，
∴x﹣2m＞3，
∴x＞2m+3．
∵关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，
∴2m+3＝﹣1，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
总结提升：本题考查了新定义计算在不等式中的运用，读懂新定义并熟练的解不等式是解题的关键．
58．(2023•安顺模拟）若关于x的方程x+mx−4+2m4−x=3的解是非负数，则m的取值范围是 m≤12且m≠4 ．
思路引领：先解分式方程，再根据分式方程的解的定义解决此题．
解：x+mx−4+2m4−x=3，
去分母，得x+m﹣2m＝3（x﹣4）．
去括号，得x+m﹣2m＝3x﹣12．
移项，得x﹣3x＝﹣12+2m﹣m．
合并同类项，得﹣2x＝﹣12+m．
x的系数化为1，得x＝6−m2．
∵关于x的方程x+mx−4+2m4−x=3的解是非负数，
∴6−m2≥0且6−m2≠4．
∴m≤12且m≠4．
故答案为：m≤12且m≠4．
总结提升：本题主要考查解分式方程、分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法、分式方程的解的定义是解决本题的关键．
59．(2023•广陵区校级二模）已知关于x的不等式xa＜7的解也是不等式2x−7a5＞a2−1的解，则常数a的取值范围是 −109≤a＜0 ．
思路引领：先把a看作常数求出两个不等式的解集，再根据同小取小列出不等式求解即可．
解：关于x的不等式2x−7a5＞a2−1，
解得，x＞194a−52，
∵关于x的不等式xa＜7的解也是不等式2x−7a5＞a2−1的解，故a＜0，
所以不等式xa＜7的解集是x＞7a．
所以7a≥194a−52，
解得，a≥−109，
∵a＜0，
∴−109≤a＜0．
故答案为：−109≤a＜0．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式，分别求出两个不等式的解集，再根据同小取小列出关于a的不等式是解题的关键．
60．(2023•江北区模拟）若x＝3是关于x的一元一次不等式组x−a＞01−x＞x−7的解，x＝2不是该不等式组的解，则a的取值范围是 2≤a＜3 ．
思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解的情况可得答案．
解：由x﹣a＞0，得：x＞a，
由1﹣x＞x﹣7，得：x＜4，
∵x＝3是不等式组的解，而x＝2不是不等式组的解，
∴2≤a＜3，
故答案为：2≤a＜3．
总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．