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中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题21解答题及填空题压轴题动点运动轨迹问题(原卷版+解析)
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这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题21解答题及填空题压轴题动点运动轨迹问题(原卷版+解析)，共32页。
【模型解读】 (1)定距离判断直线型路径：当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的路径为直线．(2)定角度判断直线型路径：当某一动点与定线段的一个端点连接后所成的角度不变时，该动点的路径为直线．
基本图形：
典例1（2023秋•遂川县期末）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的一动点（不与端点A，D重合），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E．
（1）当E为AB的中点，且AP＞AE时，求证：PE＝PC；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中BE的取值范围．
变式练习
1．(2023•呼和浩特模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为 ．
3．（2023•无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝8，OC＝4．点P从点O出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）填空：当t＝ 时，点D恰好落在AB上，即△DPA成为直角三角形；
（2）若以点D为圆心，DP为半径的圆与CB相切，求t的值；
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为等腰三角形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；
（4）填空：在点P从点O向点A运动的过程中，点D运动路线的长为 ．
4．（2023秋•牡丹区期末）（1）问题发现：如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．
①写出线段CF与DG的数量关系 ；
②写出直线CF与DG所夹锐角的度数 ．
（2）拓展探究：
如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？请利用图②进行说明．
（3）问题解决
如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC的中点．点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，求线段OE的长的最小值．（直接写出结果）
模型二 动点运动轨迹——圆或圆弧型
【模型解读】 (1)“一中同长”：到定点的距离等于定长的点的集合是圆．(2)用定弦对定角定圆：当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的路径是圆弧．见直角→找斜边(定长)→想直径→定外心→现“圆”形；见定角→找对边(定长)→想圆周角→转圆心角→现“圆”形．
基本图形：
典例2 （2023•红花岗区二模）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，52），点E在边AB上，且AE＝1．已知点P是边CO上的一个动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点C运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为 ．
变式训练
1．（2023•岑溪市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（2，0），直线y=33x+3与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长为 ．
2．（2023秋•宝应县期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E与点F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF，BE相交于点P，则线段DP的最小值为 ．
模型三 动点轨迹为其他曲线，构造三角形
【模型解读】 (1)当动点轨迹不是“定线”或“定圆”，是两条线段时，可以考虑三角形的三边关系，最大值为其他两线段长之和，最小值为其他两线段长之差．(2)在转化较难进行时，可以借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线．(3)这类问题归属为滑竿问题．
基本图形：
8．(2023•青秀区校级开学）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝3．运动过程中点D到点O的最大距离是 ．
变式训练
1．(2023秋•锡山区校级月考）如图，∠MON＝90°，已知△ABC的面积为60，且AC＝BC，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 ．
2．（2023•昆山市一模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连接AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连接DH．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 ．
模型四 双动点型
【模型解读】 (1)对于不关联的双动点问题，采用“控制变量法”，先控制其中一个点不动，分析另一个点的运动轨迹，再让这个点运动起来，可以使问题更直观，思路更清晰；(2)对于多个点运动并且是联动的问题，一般采用相对运动法，可以让一些点静止，减少动点的个数，使问题简单化．
典例4(2023秋•青秀区校级期末）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是 ．
变式训练
1．（陕西中考）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是 ．
2．（惠山区期末）如图，正方形OABC的边长为4，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是（ ）
A．22πB．83πC．45D．62
3．（启东市一模）阅读并解答下列问题：
问题一．如图1，在▱ABCD中，AD＝20，AB＝30，∠A＝60°，点P是线段AD上的动点，连PB，当AP＝ 时，PB最小值为 ．
问题二．如图2，四边形ABCD是边长为20的菱形，且∠DAB＝60°，P是线段AC上的动点，E在AB上，且AE=14AB，连PE，PB，问当AP长为多少时，PE+PB的值最小，并求这个最小值．
问题三．如图3，在矩形ABCD中，AB＝20，CB＝10，P，Q分别是线段AC，AB上的动点，问当AP长为多少时，PQ+PB的值最小，并求这个最小值．
模型四 动点在函数图象上运动类型
典例5（2023•浙江自主招生）如图，点A是双曲线y=−6x在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=kx上运动，则k的值为 ．
变式训练
1．（2023春•亭湖区校级期末）如图，已知点A是双曲线y=2x在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，则三角形ABC面积最小值等于 ．
2．（黔西南州•中考）如图，点A是反比例函数y=1x（x＞0）上的一个动点，连接OA，过点O作OB⊥OA，并且使OB＝2OA，连接AB，当点A在反比例函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数y=kx图象上移动，则k的值为
专题21 解答题及填空题压轴题动点运动轨迹问题（解析版）
模型一 动点运动轨迹——直线型
【模型解读】 (1)定距离判断直线型路径：当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的路径为直线．(2)定角度判断直线型路径：当某一动点与定线段的一个端点连接后所成的角度不变时，该动点的路径为直线．
基本图形：
典例1（2023秋•遂川县期末）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的一动点（不与端点A，D重合），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E．
（1）当E为AB的中点，且AP＞AE时，求证：PE＝PC；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中BE的取值范围．
思路引领：（1）设AP＝x，证明△APE∽△DCP，根据相似三角形的性质得到比例式，解一元二次方程求出x的值，证明△APE≌△DCP即可；
（2）设AP＝x，AE＝y，证明△APE∽△DCP，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．
（1）证明：∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠DPC＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠DCP+∠DPC＝90°，
∴∠APE＝∠DCP，又∠A＝∠D＝90°，
∴△APE∽△DCP，
∴APDC=AEDP，
设AP＝x，则DP＝3﹣x，又AE＝BE＝1，
∴x（3﹣x）＝1×2，
整理得x2﹣3x+2＝0，
解得，x1＝2，x2＝1，
∵AP＞AE，
∴AP＝2，AE＝PD＝1，
∴△APE≌△DCP（ASA），
∴PE＝PC；
（2）解：设AP＝x，AE＝y，
∵△APE∽△DCP，
∴APDC=AEDP，即x（3﹣x）＝2y，
∴y=12x（3﹣x）=−12x2+32x=−12（x−32）2+98，
∴当x=32时，y的最大值为98，
∵AE＝y取最大值时，BE取最小值为2−98=78，
∴BE的取值范围为78≤BE＜2．
总结提升：本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的解析式的确定以及二次函数的性质，掌握相关的性质定理以及判定定理是解题的关键．
变式练习
1．(2023•呼和浩特模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为 9 ．
思路引领：过点M作GH⊥AD交AD于G，交BC于H，证明△EGM≌△FHM，得到MG＝MH，从而可知：点M的轨迹是一条平行于BC的线段，然后证明△EF1B∽△∠EF1F2，求得F1F2＝18，最后根据三角形中位线定理可求得答案．
解：如图所示：过点M作GH⊥AD，交AD于G，交BC于H．
∵AD∥CB，GH⊥AD，
∴GH⊥BC．
在△EGM和△FHM中，
∠MGE=∠MHF=90°∠GME=∠FMHEM=MF
∴△EGM≌△FHM（AAS）．
∴MG＝MH．
∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段．
当点P与A重合时，BF1＝AE＝2，
当点P与点B重合时，∠F2+∠EBF1＝90°，∠BEF1+∠EBF1＝90°，
∴∠F2＝∠BEF1．
∵∠EF1B＝∠EF1F2，
∴△EF1B∽△∠EF1F2．
∴BF1EF1=EF1F1F2，即：26=6F1F2，
∴F1F2＝18，
∵M1M2是△EF1F2的中位线，
∴M1M2=12F1F2＝9．
故答案为：9．
总结提升：本题主要考查的是点的轨迹问题，题目涉及了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，探究出动点经过的路径是解题的关键．
3．（2023•无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝8，OC＝4．点P从点O出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）填空：当t＝ 3 时，点D恰好落在AB上，即△DPA成为直角三角形；
（2）若以点D为圆心，DP为半径的圆与CB相切，求t的值；
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为等腰三角形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；
（4）填空：在点P从点O向点A运动的过程中，点D运动路线的长为 45 ．
思路引领：（1）根据题意证明△COP∽△PAD，利用相似三角形的性质，求出t；
（2）利用圆心到直线的距离等于半径，那么直线与圆相切，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，延长ED交CB于F，根据DF＝DP，列出方程，求出t；
（3）分三种情况进行讨论，求出t；
（4）根据点P在点O时，点D的位置和点P在点A时，点D的位置，求出两点间的距离即可．
解：（1）如图1，
∵∠COP＝90°，∠CPD＝90°，∠PAD＝90°，
∴△COP∽△PAD，
∴CPPD=COPA，PC＝2PD，OC＝4
∴PA＝2，
2t+2＝8，
解得t＝3；
（2）如图2，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，延长ED交CB于F，则DF⊥CB，F为切点
则△PED∽△COP，
∴PEOC=DEPO，
∴PE＝2，DE＝t，
∵DF＝DP即DF2＝DP2，
得出t2+22＝（4﹣t）2，
t=32；
（3）△DPA是等腰三角形，有下列3种情况：
①若DP＝DA时，则 EA＝EP＝2，8﹣2t＝4，t＝2；
②若PA＝PD时，t=16−2193；
③若AP＝AD时，t＝211−4；
综上所述，△DPA是等腰三角形时，t的值是2或16−2193或211−4．
（4）如图3，
当点P在点O位置时，PD＝2，
当点P在点A位置时，作DE⊥OA交OA的延长线于E，
∵△AED∽△COA，CA＝2AD，
∴AE＝2，DE＝4，
∴点D运动路线的长为82+42=45．
总结提升：本题综合考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、三角形相似的知识，综合性较强，要求学生有综合运用知识的能力和严谨的思维能力，能够用运动的观点思考问题．
4．（2023秋•牡丹区期末）（1）问题发现：如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．
①写出线段CF与DG的数量关系 CF=2DG ；
②写出直线CF与DG所夹锐角的度数 45° ．
（2）拓展探究：
如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？请利用图②进行说明．
（3）问题解决
如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC的中点．点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，求线段OE的长的最小值．（直接写出结果）
思路引领：【问题发现】连接AF．易证A，F，C三点共线．易知AF=2AG．AC=2AD，推出CF＝AC﹣AF=2（AD﹣AG）=2DG．
【拓展探究】连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O．证明△CAF∽△DAG即可解决问题．
【解决问题】证明△BAD≌△CAE，推出∠ACE＝∠ABC＝45°，可得∠BCE＝90°，推出点E的运动轨迹是在射线OCE上，当OE⊥CE时，OE的长最短．
解：（1）连接AF，
∵四边形AEFG、ABCD是正方形，
∴∠GAF＝45°，
∴点A、F、C三点共线，
∴AC=2AD，AF=2AG，
∴CF=2GD，
故答案为：CF=2GD，45°；
（2）仍然成立，连接AF，AC，
∵∠CAD＝∠FAG＝45°，
∴∠CAF＝∠DAG，ACAD=AFAG=2，
∴△CAF∽△DAG，
∴CF=2DG，∠ACF＝∠ADG，
（3）连接CE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∴当OE⊥CE时，OE最小，
∵AC＝4，O为AC的中点．
∴OC＝2，
∵∠OCE＝45°，
∴OE=22OC=2，
故答案为：2．
总结提升：本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
模型二 动点运动轨迹——圆或圆弧型
【模型解读】 (1)“一中同长”：到定点的距离等于定长的点的集合是圆．(2)用定弦对定角定圆：当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的路径是圆弧．见直角→找斜边(定长)→想直径→定外心→现“圆”形；见定角→找对边(定长)→想圆周角→转圆心角→现“圆”形．
基本图形：
典例2 （2023•红花岗区二模）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，52），点E在边AB上，且AE＝1．已知点P是边CO上的一个动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点C运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为 10π4 ．
思路引领：H经过的路径是以OE为直径的弧，当点P与点C重合时，连接CE，首先求得△OPE的面积，然后利用三角形面积公式求得OH的长，然后在直角△OEH中，利用三角函数求得∠OEH的度数，然后利用弧长公式即可求解．
解：∵矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，52），
∴OA＝BC＝3，OC＝AB=52，
当点P与点C重合时，
S△OPE=12×OC×OA=12×52×3=154，
在Rt△OAE中，AE＝1，OA＝3，
∴OE=OA2+AE2=10，
在Rt△PBE中，BE=32，BC＝3，
∴PE=BE2+BC2=352，
∴S△OPE=12×PE×OH，
即12×352×OH=154
∴OH=5，
∴在Rt△OEH中，sin∠OEH=OHOE=510=22，
∴∠OEH＝45°，
∴点H的运动路径为以OE为直径，从点H到点O的四分之一的圆弧，
所以点H的运动路径长是：90π×102180=10π4．
故答案为：10π4．
总结提升：本题考查了轨迹、坐标与图形性质、矩形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
变式训练
1．（2023•岑溪市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（2，0），直线y=33x+3与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长为 7 ．
思路引领：根据直线y=33x+3可知直线与两坐标轴的夹角分别为30°、60°，于是可根据勾股定理求出O到CB的距离，再根据垂径定理即可求出BC的长．
解：设直线y=33x+3与两坐标轴分别交于D、E点，过O点作OM⊥BC于点M，连接OB，如下图
由直线y=33x+3可知点D坐标为（0，3），点E的坐标为（﹣3，0）
∴ODOE=33
∴∠DEA＝30°
∴OM=12OE=32
在Rt△OMB中，OM=32，OB＝OA＝2
∴BM=OB2−OM2=72
由垂径定理可知BC＝2BM=72×2=7
故答案为7．
总结提升：本题考查的是一次函数的性质与垂径定理的运用，将一次函数与几何知识的有机结合是解决本题的关键．
2．（2023秋•宝应县期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E与点F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF，BE相交于点P，则线段DP的最小值为 25−2 ．
思路引领：先由点E与点F的速度相同得到AE＝DF，然后结合正方形的性质得证△ABE≌△DAF，从而得到∠APB＝90°，进而得到点P在以AB为直径的圆O上运动，最后连接OD交圆O于点P即为所求．
解：∵点E与点F的速度相同，
∴AE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠ADF，AB＝AD，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠DAF+∠PAB＝90°，
∴∠ABE+∠PAB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，圆心为点O，
如图，连接OD，与圆O的交点即为所求，
∵AB＝4，
∴AD＝4，AO＝2，
∴OD=AO2+AD2=22+42=25，
∴DP的最小值为OD﹣2＝25−2，
故答案为：25−2．
总结提升：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形得到∠APB＝90°，进而得到点P的运动轨迹．
模型三 动点轨迹为其他曲线，构造三角形
【模型解读】 (1)当动点轨迹不是“定线”或“定圆”，是两条线段时，可以考虑三角形的三边关系，最大值为其他两线段长之和，最小值为其他两线段长之差．(2)在转化较难进行时，可以借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线．(3)这类问题归属为滑竿问题．
基本图形：
8．(2023•青秀区校级开学）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝3．运动过程中点D到点O的最大距离是 32+3 ．
思路引领：取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=12AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．
解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，
∵∠MON＝90°，AB＝6，
∴OE＝AE=12AB＝3，
∵BC＝3，四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，
∴DE=AD2+AE2=32+32=32，
根据三角形的三边关系得，OD≤OE+DE，
∴当OD过点E时，等号成立，DO的值最大，最大值为32+3．
故答案为：32+3．
总结提升：本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．
变式训练
1．(2023秋•锡山区校级月考）如图，∠MON＝90°，已知△ABC的面积为60，且AC＝BC，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 7 ．
思路引领：作CD⊥AB于点D，连接OD、OC，由AC＝BC，得AD＝BD，因为∠AOB＝90°，所以OD=12AB＝5，由S△ABC=12×10CD＝60，得CD＝12，所以OC+5≥12，则OC≥7，即可求得点C到点O的最小距离为7．
解：如图，作CD⊥AB于点D，连接OD、OC，
∵AC＝BC，AB＝10，
∴AD＝BD，
∵∠MON＝90°，点A、B分别在边OM、ON上，
∴∠AOB＝90°，
∴OD=12AB＝5，
∵S△ABC＝60，
∴12AB•CD＝60，
∴12×10CD＝60，
∴CD＝12，
∵OC+OD≥CD，
∴OC+5≥12，
∴OC≥7，
∴OC的最小值为7，
∴点C到点O的最小距离为7，
故答案为：7．
总结提升：此题重点考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
2．（2023•昆山市一模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连接AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连接DH．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 25−2 ．
思路引领：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取AB的中点O，连接OH、OD，然后求出OH=12AB＝2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
解：如图，取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO=12AB＝2，
在Rt△AOD中，OD=OA2+AD2=22+42=25，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
DH的最小值＝OD﹣OH＝25−2．
故答案为：25−2．
总结提升：本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键．
模型四 双动点型
【模型解读】 (1)对于不关联的双动点问题，采用“控制变量法”，先控制其中一个点不动，分析另一个点的运动轨迹，再让这个点运动起来，可以使问题更直观，思路更清晰；(2)对于多个点运动并且是联动的问题，一般采用相对运动法，可以让一些点静止，减少动点的个数，使问题简单化．
典例4(2023秋•青秀区校级期末）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是 3 ．
思路引领：作BH⊥AC交AD于点E，作EF⊥AB于F，根据角平分线的性质可得EH＝EF，即可求得BE+EF＝BH，根据H是与B点的距离最短的点，即为BH最短即可解题．
解：作BH⊥AC交AD于点E，作EF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，EH⊥AC，EF⊥AB，
∴EF＝EH，
∴BE+EF＝BE+EH＝BH，
∵H是与B点的距离最短的点，即为BH最短，
∴BE+EF最短为BH，
∵AB＝6，∠BAC＝30°，
∴BH=12AB＝3，
故答案为 3．
总结提升：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，角平分线的性质，30°角所对直角边是斜边一半的性质，证得H是与B点的距离最短的点是解题的关键．
变式训练
1．（陕西中考）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是 42 ．
思路引领：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得∠AOB＝2∠AMB＝90°，则△OAB为等腰直角三角形，所以AB=2OA＝22，由于S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，而当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EAB=12AB•CD+12AB•CE=12AB（CD+CE）=12AB•DE=12×22×4＝42．
解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB＝45°，
∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=2OA＝22，
∵S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EAB=12AB•CD+12AB•CE=12AB（CD+CE）=12AB•DE=12×22×4＝42．
故答案为：42．
总结提升：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
2．(2023秋•惠山区期末）如图，正方形OABC的边长为4，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是（ ）
A．22πB．83πC．45D．62
思路引领：如图点P运动的路径是以G为圆心的弧EF，在⊙G上取一点H，连接EH、FH，只要证明∠EGF＝90°，求出GE的长即可解决问题．
解：如图，
点P运动的路径是以G为圆心的弧EF，在⊙G上取一点H，连接EH、FH．
∵四边形AOCB是正方形，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AFP=12∠AOC＝45°，
∵EF是⊙O直径，
∴∠EAF＝90°，
∴∠APF＝∠AFP＝45°，
∴∠H＝∠APF＝45°，
∴∠EGF＝2∠H＝90°，
∵EF＝8，GE＝GF，
∴EG＝GF＝42，
∴EF的长=90π⋅42180=22π．
故选：A．
总结提升：本题考查正方形的性质、旋转的性质、轨迹、圆等知识，解题的关键是正确发现轨迹的位置，学会添加辅助线，利用圆的有关性质解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3．(2023•启东市一模）阅读并解答下列问题：
问题一．如图1，在▱ABCD中，AD＝20，AB＝30，∠A＝60°，点P是线段AD上的动点，连PB，当AP＝ 15 时，PB最小值为 153 ．
问题二．如图2，四边形ABCD是边长为20的菱形，且∠DAB＝60°，P是线段AC上的动点，E在AB上，且AE=14AB，连PE，PB，问当AP长为多少时，PE+PB的值最小，并求这个最小值．
问题三．如图3，在矩形ABCD中，AB＝20，CB＝10，P，Q分别是线段AC，AB上的动点，问当AP长为多少时，PQ+PB的值最小，并求这个最小值．
思路引领：（1）如图1，过点B作BP⊥AD于P，根据直角三角形的性质和勾股定理就可以求出结论；
（2）如图2，连接BD、ED交AC于点P，作DF⊥AB于F．由菱形的性质可以得出AC的值，再由△APE∽△CPD就根据相似三角形的性质就可以得出结论；
（3）作B关于AC的对称点B′，连接AB′，则N点关于AC的对称点N′在AB′上，这时，B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值，等于B到AB′的距离BH′，连接B与AB′和DC的交点P，再由三角形的面积公式可求出S△ABP的值，根据对称的性质可知∠PAC＝∠BAC＝∠PCA，利用勾股定理可求出PA的值，再由S△ABP=12PA•BH′即可求解．
解：（1）如图1，过点B作BP⊥AD于P，
∴∠APB＝90°．
∵∠A＝60°，
∴∠ABP＝30°，
∴AP=12AB．
∵AB＝30，
∴AP＝15．
在Rt△ABP中，由勾股定理，得
BP=302−152=153．
故答案为：15，153．
（2）如图2，连接BD，连接DE交AC于点P，作DF⊥AB于F．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD．AC⊥BD，DO＝BO=12DB，AO＝CO=12AC，∠OAB=12∠DAB．
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD和△CDB是等边三角形，
∴AF=12AB＝10，
在Rt△ADF中，由勾股定理，得
DF＝103．
∵AE=14AB，且AB＝20，
∴AE＝5．
∴EF＝5．
在Rt△EFD中，由勾股定理，得
DE=300+25=513，
∴BP+PE的最小值为513．
在Rt△ABO中，由勾股定理，得
AO＝103．
∴AC＝203
∴△AEP∽△CDP，
∴AEDC=APPC．
∴520=AP203−AP，
∴AP＝43．
答：当AP长为43时，PE+PB的值最小为513；
（3）如图3，作B关于AC的对称点B′，作B′Q⊥QB于Q，交AC于P．
连接AB′，则Q点关于AC的对称点H′在AB′上，
∴∠AHB＝∠AHB′＝90°，BH＝B′H，
∴AB′＝AB，
∴∠AB′H＝∠ABH．
这时，B到P到Q的最小值等于B→P→H′的最小值，
等于B到AB′的距离BH′，
连接AB′和DC的交点E，
则S△ABE=12×20×10＝100，
由对称知识，∠EAC＝∠BAC＝∠ECA，
所以EA＝EC，令EA＝x，则EC＝x，ED＝20﹣x，
在Rt△ADE中，EA2＝ED2+AD2，
所以x2＝（20﹣x）2+102，
所以x＝12.5，
因为S△ABE=12EA•BH′，
所以BH′=2S△ABEEA=100×212.5=16．
在△BB′H′和△B′BQ中，
∠AB′H=∠ABH∠BH′B′=∠B′QBBB′=B′B，
∴△BB′H′≌△B′BQ（SAS），
∴BH′＝B′Q＝16．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC＝105．
∵S△ABC=AB⋅BC2=AC⋅BH2，
∴20×102=105⋅BH2，
∴BH＝45，
∴BB′＝85．
在Rt△BB′Q中，由勾股定理，得
QB＝8，
∴AQ＝12．
∵PQ⊥AB，
∴∠AQP＝90°，且∠ABC＝90°，
∴PQ∥BC．
∴△AQP∽△ABC，
∴APAC=AQAB，
∴AP105=1220，
∴AP＝65．
答：AP长为65时，PQ+PB的值最小为16．
总结提升：本题考查的是最短路线问题，考查轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答第三问时作出B点关于直线AC对称的点B′是解答此题的关键．
模型四 动点在函数图象上运动类型
典例5（2023•浙江自主招生）如图，点A是双曲线y=−6x在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=kx上运动，则k的值为 2 ．
思路引领：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，连接OC，如图，利用反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，再根据等腰三角形的性质得OC⊥AB，OA=3OC，接着证明Rt△AOD∽Rt△OCE，根据相似三角形的性质得S△AODS△OCE=3，利用k的几何意义得到12|k|＝1，然后解绝对值方程可得到满足条件的k的值．
解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，连接OC，如图，
∵AB过原点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△CAB为等腰三角形，
∴OC⊥AB，
∴∠ACB＝120°，
∴∠CAB＝30°，
∴OA=3OC，
∵∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠COE，
∴Rt△AOD∽Rt△OCE，
∴S△AODS△OCE=（OAOC）2＝（3）2＝3，
而S△OAD=12×|﹣6|＝3，
∴S△OCE＝1，
即12|k|＝1，
而k＞0，
∴k＝2．
总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；在y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．
变式训练
1．（2023春•亭湖区校级期末）如图，已知点A是双曲线y=2x在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，则三角形ABC面积最小值等于 43 ．
思路引领：根据双曲线y=2x关于原点对称，得到点A与点B关于原点对称，进而得到OA＝OB，连接OC，过点A作AE⊥y轴，设A（a，2a），根据等边三角形的性质得到OC=3OA，进而表示出S△ABC进而求解．
解：∵双曲线y=2x关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
连接OC，过点A作AE⊥y轴，设A（a，2a），
则AE＝a，OE=2a，
∴OA2＝AE2+OE2＝a2+（2a）2
∵△ABC是等边三角形，OA＝OB，
∴OC⊥AB，∠ACO＝30°．
∴AC＝2OA，
由勾股定理得OC=AC2−OA2=3OA，
∴S△ABC=12AB•OC=12×2OA•3OA=3OA2=3[a2+（2a）2]=3（a−2a）2+43≥43，
故答案为：43．
总结提升：本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质等知识，根据等边三角形的性质表示出△ABC的面积是解答本题的关键
2．（黔西南州•中考）如图，点A是反比例函数y=1x（x＞0）上的一个动点，连接OA，过点O作OB⊥OA，并且使OB＝2OA，连接AB，当点A在反比例函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数y=kx图象上移动，则k的值为
思路引领：过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可设A（x，1x），由条件证得△AOC∽△OBD，从而可表示出B点坐标，则可求得关于k的方程，可求得k的值．
解：
∵点A是反比例函数y=1x（x＞0）上的一个动点，
∴可设A（x，1x），
∴OC＝x，AC=1x，
∵OB⊥OA，
∴∠BOD+∠AOC＝∠AOC+∠OAC＝90°，
∴∠BOD＝∠OAC，且∠BDO＝∠ACO，
∴△AOC∽△OBD，
∵OB＝2OA，
∴ACOD=OCBD=AOBO=12，
∴OD＝2AC=2x，BD＝2OC＝2x，
∴B（−2x，2x），
∵点B反比例函数y=kx图象上，
∴k=−2x•2x＝﹣4，
总结提升：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用条件构造三角形相似，用A点坐标表示出B点坐标是解题的关键．
【模型解读】 (1)定距离判断直线型路径：当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的路径为直线．(2)定角度判断直线型路径：当某一动点与定线段的一个端点连接后所成的角度不变时，该动点的路径为直线．
基本图形：
典例1（2023秋•遂川县期末）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的一动点（不与端点A，D重合），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E．
（1）当E为AB的中点，且AP＞AE时，求证：PE＝PC；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中BE的取值范围．
变式练习
1．(2023•呼和浩特模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为 ．
3．（2023•无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝8，OC＝4．点P从点O出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）填空：当t＝ 时，点D恰好落在AB上，即△DPA成为直角三角形；
（2）若以点D为圆心，DP为半径的圆与CB相切，求t的值；
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为等腰三角形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；
（4）填空：在点P从点O向点A运动的过程中，点D运动路线的长为 ．
4．（2023秋•牡丹区期末）（1）问题发现：如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．
①写出线段CF与DG的数量关系 ；
②写出直线CF与DG所夹锐角的度数 ．
（2）拓展探究：
如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？请利用图②进行说明．
（3）问题解决
如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC的中点．点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，求线段OE的长的最小值．（直接写出结果）
模型二 动点运动轨迹——圆或圆弧型
【模型解读】 (1)“一中同长”：到定点的距离等于定长的点的集合是圆．(2)用定弦对定角定圆：当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的路径是圆弧．见直角→找斜边(定长)→想直径→定外心→现“圆”形；见定角→找对边(定长)→想圆周角→转圆心角→现“圆”形．
基本图形：
典例2 （2023•红花岗区二模）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，52），点E在边AB上，且AE＝1．已知点P是边CO上的一个动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点C运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为 ．
变式训练
1．（2023•岑溪市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（2，0），直线y=33x+3与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长为 ．
2．（2023秋•宝应县期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E与点F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF，BE相交于点P，则线段DP的最小值为 ．
模型三 动点轨迹为其他曲线，构造三角形
【模型解读】 (1)当动点轨迹不是“定线”或“定圆”，是两条线段时，可以考虑三角形的三边关系，最大值为其他两线段长之和，最小值为其他两线段长之差．(2)在转化较难进行时，可以借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线．(3)这类问题归属为滑竿问题．
基本图形：
8．(2023•青秀区校级开学）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝3．运动过程中点D到点O的最大距离是 ．
变式训练
1．(2023秋•锡山区校级月考）如图，∠MON＝90°，已知△ABC的面积为60，且AC＝BC，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 ．
2．（2023•昆山市一模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连接AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连接DH．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 ．
模型四 双动点型
【模型解读】 (1)对于不关联的双动点问题，采用“控制变量法”，先控制其中一个点不动，分析另一个点的运动轨迹，再让这个点运动起来，可以使问题更直观，思路更清晰；(2)对于多个点运动并且是联动的问题，一般采用相对运动法，可以让一些点静止，减少动点的个数，使问题简单化．
典例4(2023秋•青秀区校级期末）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是 ．
变式训练
1．（陕西中考）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是 ．
2．（惠山区期末）如图，正方形OABC的边长为4，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是（ ）
A．22πB．83πC．45D．62
3．（启东市一模）阅读并解答下列问题：
问题一．如图1，在▱ABCD中，AD＝20，AB＝30，∠A＝60°，点P是线段AD上的动点，连PB，当AP＝ 时，PB最小值为 ．
问题二．如图2，四边形ABCD是边长为20的菱形，且∠DAB＝60°，P是线段AC上的动点，E在AB上，且AE=14AB，连PE，PB，问当AP长为多少时，PE+PB的值最小，并求这个最小值．
问题三．如图3，在矩形ABCD中，AB＝20，CB＝10，P，Q分别是线段AC，AB上的动点，问当AP长为多少时，PQ+PB的值最小，并求这个最小值．
模型四 动点在函数图象上运动类型
典例5（2023•浙江自主招生）如图，点A是双曲线y=−6x在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=kx上运动，则k的值为 ．
变式训练
1．（2023春•亭湖区校级期末）如图，已知点A是双曲线y=2x在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，则三角形ABC面积最小值等于 ．
2．（黔西南州•中考）如图，点A是反比例函数y=1x（x＞0）上的一个动点，连接OA，过点O作OB⊥OA，并且使OB＝2OA，连接AB，当点A在反比例函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数y=kx图象上移动，则k的值为
专题21 解答题及填空题压轴题动点运动轨迹问题（解析版）
模型一 动点运动轨迹——直线型
【模型解读】 (1)定距离判断直线型路径：当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的路径为直线．(2)定角度判断直线型路径：当某一动点与定线段的一个端点连接后所成的角度不变时，该动点的路径为直线．
基本图形：
典例1（2023秋•遂川县期末）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的一动点（不与端点A，D重合），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E．
（1）当E为AB的中点，且AP＞AE时，求证：PE＝PC；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中BE的取值范围．
思路引领：（1）设AP＝x，证明△APE∽△DCP，根据相似三角形的性质得到比例式，解一元二次方程求出x的值，证明△APE≌△DCP即可；
（2）设AP＝x，AE＝y，证明△APE∽△DCP，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．
（1）证明：∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠DPC＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠DCP+∠DPC＝90°，
∴∠APE＝∠DCP，又∠A＝∠D＝90°，
∴△APE∽△DCP，
∴APDC=AEDP，
设AP＝x，则DP＝3﹣x，又AE＝BE＝1，
∴x（3﹣x）＝1×2，
整理得x2﹣3x+2＝0，
解得，x1＝2，x2＝1，
∵AP＞AE，
∴AP＝2，AE＝PD＝1，
∴△APE≌△DCP（ASA），
∴PE＝PC；
（2）解：设AP＝x，AE＝y，
∵△APE∽△DCP，
∴APDC=AEDP，即x（3﹣x）＝2y，
∴y=12x（3﹣x）=−12x2+32x=−12（x−32）2+98，
∴当x=32时，y的最大值为98，
∵AE＝y取最大值时，BE取最小值为2−98=78，
∴BE的取值范围为78≤BE＜2．
总结提升：本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的解析式的确定以及二次函数的性质，掌握相关的性质定理以及判定定理是解题的关键．
变式练习
1．(2023•呼和浩特模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为 9 ．
思路引领：过点M作GH⊥AD交AD于G，交BC于H，证明△EGM≌△FHM，得到MG＝MH，从而可知：点M的轨迹是一条平行于BC的线段，然后证明△EF1B∽△∠EF1F2，求得F1F2＝18，最后根据三角形中位线定理可求得答案．
解：如图所示：过点M作GH⊥AD，交AD于G，交BC于H．
∵AD∥CB，GH⊥AD，
∴GH⊥BC．
在△EGM和△FHM中，
∠MGE=∠MHF=90°∠GME=∠FMHEM=MF
∴△EGM≌△FHM（AAS）．
∴MG＝MH．
∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段．
当点P与A重合时，BF1＝AE＝2，
当点P与点B重合时，∠F2+∠EBF1＝90°，∠BEF1+∠EBF1＝90°，
∴∠F2＝∠BEF1．
∵∠EF1B＝∠EF1F2，
∴△EF1B∽△∠EF1F2．
∴BF1EF1=EF1F1F2，即：26=6F1F2，
∴F1F2＝18，
∵M1M2是△EF1F2的中位线，
∴M1M2=12F1F2＝9．
故答案为：9．
总结提升：本题主要考查的是点的轨迹问题，题目涉及了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，探究出动点经过的路径是解题的关键．
3．（2023•无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝8，OC＝4．点P从点O出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）填空：当t＝ 3 时，点D恰好落在AB上，即△DPA成为直角三角形；
（2）若以点D为圆心，DP为半径的圆与CB相切，求t的值；
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为等腰三角形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；
（4）填空：在点P从点O向点A运动的过程中，点D运动路线的长为 45 ．
思路引领：（1）根据题意证明△COP∽△PAD，利用相似三角形的性质，求出t；
（2）利用圆心到直线的距离等于半径，那么直线与圆相切，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，延长ED交CB于F，根据DF＝DP，列出方程，求出t；
（3）分三种情况进行讨论，求出t；
（4）根据点P在点O时，点D的位置和点P在点A时，点D的位置，求出两点间的距离即可．
解：（1）如图1，
∵∠COP＝90°，∠CPD＝90°，∠PAD＝90°，
∴△COP∽△PAD，
∴CPPD=COPA，PC＝2PD，OC＝4
∴PA＝2，
2t+2＝8，
解得t＝3；
（2）如图2，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，延长ED交CB于F，则DF⊥CB，F为切点
则△PED∽△COP，
∴PEOC=DEPO，
∴PE＝2，DE＝t，
∵DF＝DP即DF2＝DP2，
得出t2+22＝（4﹣t）2，
t=32；
（3）△DPA是等腰三角形，有下列3种情况：
①若DP＝DA时，则 EA＝EP＝2，8﹣2t＝4，t＝2；
②若PA＝PD时，t=16−2193；
③若AP＝AD时，t＝211−4；
综上所述，△DPA是等腰三角形时，t的值是2或16−2193或211−4．
（4）如图3，
当点P在点O位置时，PD＝2，
当点P在点A位置时，作DE⊥OA交OA的延长线于E，
∵△AED∽△COA，CA＝2AD，
∴AE＝2，DE＝4，
∴点D运动路线的长为82+42=45．
总结提升：本题综合考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、三角形相似的知识，综合性较强，要求学生有综合运用知识的能力和严谨的思维能力，能够用运动的观点思考问题．
4．（2023秋•牡丹区期末）（1）问题发现：如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．
①写出线段CF与DG的数量关系 CF=2DG ；
②写出直线CF与DG所夹锐角的度数 45° ．
（2）拓展探究：
如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？请利用图②进行说明．
（3）问题解决
如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC的中点．点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，求线段OE的长的最小值．（直接写出结果）
思路引领：【问题发现】连接AF．易证A，F，C三点共线．易知AF=2AG．AC=2AD，推出CF＝AC﹣AF=2（AD﹣AG）=2DG．
【拓展探究】连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O．证明△CAF∽△DAG即可解决问题．
【解决问题】证明△BAD≌△CAE，推出∠ACE＝∠ABC＝45°，可得∠BCE＝90°，推出点E的运动轨迹是在射线OCE上，当OE⊥CE时，OE的长最短．
解：（1）连接AF，
∵四边形AEFG、ABCD是正方形，
∴∠GAF＝45°，
∴点A、F、C三点共线，
∴AC=2AD，AF=2AG，
∴CF=2GD，
故答案为：CF=2GD，45°；
（2）仍然成立，连接AF，AC，
∵∠CAD＝∠FAG＝45°，
∴∠CAF＝∠DAG，ACAD=AFAG=2，
∴△CAF∽△DAG，
∴CF=2DG，∠ACF＝∠ADG，
（3）连接CE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∴当OE⊥CE时，OE最小，
∵AC＝4，O为AC的中点．
∴OC＝2，
∵∠OCE＝45°，
∴OE=22OC=2，
故答案为：2．
总结提升：本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
模型二 动点运动轨迹——圆或圆弧型
【模型解读】 (1)“一中同长”：到定点的距离等于定长的点的集合是圆．(2)用定弦对定角定圆：当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的路径是圆弧．见直角→找斜边(定长)→想直径→定外心→现“圆”形；见定角→找对边(定长)→想圆周角→转圆心角→现“圆”形．
基本图形：
典例2 （2023•红花岗区二模）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，52），点E在边AB上，且AE＝1．已知点P是边CO上的一个动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点C运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为 10π4 ．
思路引领：H经过的路径是以OE为直径的弧，当点P与点C重合时，连接CE，首先求得△OPE的面积，然后利用三角形面积公式求得OH的长，然后在直角△OEH中，利用三角函数求得∠OEH的度数，然后利用弧长公式即可求解．
解：∵矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，52），
∴OA＝BC＝3，OC＝AB=52，
当点P与点C重合时，
S△OPE=12×OC×OA=12×52×3=154，
在Rt△OAE中，AE＝1，OA＝3，
∴OE=OA2+AE2=10，
在Rt△PBE中，BE=32，BC＝3，
∴PE=BE2+BC2=352，
∴S△OPE=12×PE×OH，
即12×352×OH=154
∴OH=5，
∴在Rt△OEH中，sin∠OEH=OHOE=510=22，
∴∠OEH＝45°，
∴点H的运动路径为以OE为直径，从点H到点O的四分之一的圆弧，
所以点H的运动路径长是：90π×102180=10π4．
故答案为：10π4．
总结提升：本题考查了轨迹、坐标与图形性质、矩形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
变式训练
1．（2023•岑溪市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（2，0），直线y=33x+3与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长为 7 ．
思路引领：根据直线y=33x+3可知直线与两坐标轴的夹角分别为30°、60°，于是可根据勾股定理求出O到CB的距离，再根据垂径定理即可求出BC的长．
解：设直线y=33x+3与两坐标轴分别交于D、E点，过O点作OM⊥BC于点M，连接OB，如下图
由直线y=33x+3可知点D坐标为（0，3），点E的坐标为（﹣3，0）
∴ODOE=33
∴∠DEA＝30°
∴OM=12OE=32
在Rt△OMB中，OM=32，OB＝OA＝2
∴BM=OB2−OM2=72
由垂径定理可知BC＝2BM=72×2=7
故答案为7．
总结提升：本题考查的是一次函数的性质与垂径定理的运用，将一次函数与几何知识的有机结合是解决本题的关键．
2．（2023秋•宝应县期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E与点F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF，BE相交于点P，则线段DP的最小值为 25−2 ．
思路引领：先由点E与点F的速度相同得到AE＝DF，然后结合正方形的性质得证△ABE≌△DAF，从而得到∠APB＝90°，进而得到点P在以AB为直径的圆O上运动，最后连接OD交圆O于点P即为所求．
解：∵点E与点F的速度相同，
∴AE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠ADF，AB＝AD，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠DAF+∠PAB＝90°，
∴∠ABE+∠PAB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，圆心为点O，
如图，连接OD，与圆O的交点即为所求，
∵AB＝4，
∴AD＝4，AO＝2，
∴OD=AO2+AD2=22+42=25，
∴DP的最小值为OD﹣2＝25−2，
故答案为：25−2．
总结提升：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形得到∠APB＝90°，进而得到点P的运动轨迹．
模型三 动点轨迹为其他曲线，构造三角形
【模型解读】 (1)当动点轨迹不是“定线”或“定圆”，是两条线段时，可以考虑三角形的三边关系，最大值为其他两线段长之和，最小值为其他两线段长之差．(2)在转化较难进行时，可以借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线．(3)这类问题归属为滑竿问题．
基本图形：
8．(2023•青秀区校级开学）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝3．运动过程中点D到点O的最大距离是 32+3 ．
思路引领：取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=12AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．
解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，
∵∠MON＝90°，AB＝6，
∴OE＝AE=12AB＝3，
∵BC＝3，四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，
∴DE=AD2+AE2=32+32=32，
根据三角形的三边关系得，OD≤OE+DE，
∴当OD过点E时，等号成立，DO的值最大，最大值为32+3．
故答案为：32+3．
总结提升：本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．
变式训练
1．(2023秋•锡山区校级月考）如图，∠MON＝90°，已知△ABC的面积为60，且AC＝BC，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 7 ．
思路引领：作CD⊥AB于点D，连接OD、OC，由AC＝BC，得AD＝BD，因为∠AOB＝90°，所以OD=12AB＝5，由S△ABC=12×10CD＝60，得CD＝12，所以OC+5≥12，则OC≥7，即可求得点C到点O的最小距离为7．
解：如图，作CD⊥AB于点D，连接OD、OC，
∵AC＝BC，AB＝10，
∴AD＝BD，
∵∠MON＝90°，点A、B分别在边OM、ON上，
∴∠AOB＝90°，
∴OD=12AB＝5，
∵S△ABC＝60，
∴12AB•CD＝60，
∴12×10CD＝60，
∴CD＝12，
∵OC+OD≥CD，
∴OC+5≥12，
∴OC≥7，
∴OC的最小值为7，
∴点C到点O的最小距离为7，
故答案为：7．
总结提升：此题重点考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
2．（2023•昆山市一模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连接AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连接DH．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 25−2 ．
思路引领：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取AB的中点O，连接OH、OD，然后求出OH=12AB＝2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
解：如图，取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO=12AB＝2，
在Rt△AOD中，OD=OA2+AD2=22+42=25，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
DH的最小值＝OD﹣OH＝25−2．
故答案为：25−2．
总结提升：本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键．
模型四 双动点型
【模型解读】 (1)对于不关联的双动点问题，采用“控制变量法”，先控制其中一个点不动，分析另一个点的运动轨迹，再让这个点运动起来，可以使问题更直观，思路更清晰；(2)对于多个点运动并且是联动的问题，一般采用相对运动法，可以让一些点静止，减少动点的个数，使问题简单化．
典例4(2023秋•青秀区校级期末）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是 3 ．
思路引领：作BH⊥AC交AD于点E，作EF⊥AB于F，根据角平分线的性质可得EH＝EF，即可求得BE+EF＝BH，根据H是与B点的距离最短的点，即为BH最短即可解题．
解：作BH⊥AC交AD于点E，作EF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，EH⊥AC，EF⊥AB，
∴EF＝EH，
∴BE+EF＝BE+EH＝BH，
∵H是与B点的距离最短的点，即为BH最短，
∴BE+EF最短为BH，
∵AB＝6，∠BAC＝30°，
∴BH=12AB＝3，
故答案为 3．
总结提升：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，角平分线的性质，30°角所对直角边是斜边一半的性质，证得H是与B点的距离最短的点是解题的关键．
变式训练
1．（陕西中考）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是 42 ．
思路引领：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得∠AOB＝2∠AMB＝90°，则△OAB为等腰直角三角形，所以AB=2OA＝22，由于S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，而当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EAB=12AB•CD+12AB•CE=12AB（CD+CE）=12AB•DE=12×22×4＝42．
解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB＝45°，
∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=2OA＝22，
∵S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EAB=12AB•CD+12AB•CE=12AB（CD+CE）=12AB•DE=12×22×4＝42．
故答案为：42．
总结提升：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
2．(2023秋•惠山区期末）如图，正方形OABC的边长为4，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是（ ）
A．22πB．83πC．45D．62
思路引领：如图点P运动的路径是以G为圆心的弧EF，在⊙G上取一点H，连接EH、FH，只要证明∠EGF＝90°，求出GE的长即可解决问题．
解：如图，
点P运动的路径是以G为圆心的弧EF，在⊙G上取一点H，连接EH、FH．
∵四边形AOCB是正方形，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AFP=12∠AOC＝45°，
∵EF是⊙O直径，
∴∠EAF＝90°，
∴∠APF＝∠AFP＝45°，
∴∠H＝∠APF＝45°，
∴∠EGF＝2∠H＝90°，
∵EF＝8，GE＝GF，
∴EG＝GF＝42，
∴EF的长=90π⋅42180=22π．
故选：A．
总结提升：本题考查正方形的性质、旋转的性质、轨迹、圆等知识，解题的关键是正确发现轨迹的位置，学会添加辅助线，利用圆的有关性质解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3．(2023•启东市一模）阅读并解答下列问题：
问题一．如图1，在▱ABCD中，AD＝20，AB＝30，∠A＝60°，点P是线段AD上的动点，连PB，当AP＝ 15 时，PB最小值为 153 ．
问题二．如图2，四边形ABCD是边长为20的菱形，且∠DAB＝60°，P是线段AC上的动点，E在AB上，且AE=14AB，连PE，PB，问当AP长为多少时，PE+PB的值最小，并求这个最小值．
问题三．如图3，在矩形ABCD中，AB＝20，CB＝10，P，Q分别是线段AC，AB上的动点，问当AP长为多少时，PQ+PB的值最小，并求这个最小值．
思路引领：（1）如图1，过点B作BP⊥AD于P，根据直角三角形的性质和勾股定理就可以求出结论；
（2）如图2，连接BD、ED交AC于点P，作DF⊥AB于F．由菱形的性质可以得出AC的值，再由△APE∽△CPD就根据相似三角形的性质就可以得出结论；
（3）作B关于AC的对称点B′，连接AB′，则N点关于AC的对称点N′在AB′上，这时，B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值，等于B到AB′的距离BH′，连接B与AB′和DC的交点P，再由三角形的面积公式可求出S△ABP的值，根据对称的性质可知∠PAC＝∠BAC＝∠PCA，利用勾股定理可求出PA的值，再由S△ABP=12PA•BH′即可求解．
解：（1）如图1，过点B作BP⊥AD于P，
∴∠APB＝90°．
∵∠A＝60°，
∴∠ABP＝30°，
∴AP=12AB．
∵AB＝30，
∴AP＝15．
在Rt△ABP中，由勾股定理，得
BP=302−152=153．
故答案为：15，153．
（2）如图2，连接BD，连接DE交AC于点P，作DF⊥AB于F．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD．AC⊥BD，DO＝BO=12DB，AO＝CO=12AC，∠OAB=12∠DAB．
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD和△CDB是等边三角形，
∴AF=12AB＝10，
在Rt△ADF中，由勾股定理，得
DF＝103．
∵AE=14AB，且AB＝20，
∴AE＝5．
∴EF＝5．
在Rt△EFD中，由勾股定理，得
DE=300+25=513，
∴BP+PE的最小值为513．
在Rt△ABO中，由勾股定理，得
AO＝103．
∴AC＝203
∴△AEP∽△CDP，
∴AEDC=APPC．
∴520=AP203−AP，
∴AP＝43．
答：当AP长为43时，PE+PB的值最小为513；
（3）如图3，作B关于AC的对称点B′，作B′Q⊥QB于Q，交AC于P．
连接AB′，则Q点关于AC的对称点H′在AB′上，
∴∠AHB＝∠AHB′＝90°，BH＝B′H，
∴AB′＝AB，
∴∠AB′H＝∠ABH．
这时，B到P到Q的最小值等于B→P→H′的最小值，
等于B到AB′的距离BH′，
连接AB′和DC的交点E，
则S△ABE=12×20×10＝100，
由对称知识，∠EAC＝∠BAC＝∠ECA，
所以EA＝EC，令EA＝x，则EC＝x，ED＝20﹣x，
在Rt△ADE中，EA2＝ED2+AD2，
所以x2＝（20﹣x）2+102，
所以x＝12.5，
因为S△ABE=12EA•BH′，
所以BH′=2S△ABEEA=100×212.5=16．
在△BB′H′和△B′BQ中，
∠AB′H=∠ABH∠BH′B′=∠B′QBBB′=B′B，
∴△BB′H′≌△B′BQ（SAS），
∴BH′＝B′Q＝16．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC＝105．
∵S△ABC=AB⋅BC2=AC⋅BH2，
∴20×102=105⋅BH2，
∴BH＝45，
∴BB′＝85．
在Rt△BB′Q中，由勾股定理，得
QB＝8，
∴AQ＝12．
∵PQ⊥AB，
∴∠AQP＝90°，且∠ABC＝90°，
∴PQ∥BC．
∴△AQP∽△ABC，
∴APAC=AQAB，
∴AP105=1220，
∴AP＝65．
答：AP长为65时，PQ+PB的值最小为16．
总结提升：本题考查的是最短路线问题，考查轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答第三问时作出B点关于直线AC对称的点B′是解答此题的关键．
模型四 动点在函数图象上运动类型
典例5（2023•浙江自主招生）如图，点A是双曲线y=−6x在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=kx上运动，则k的值为 2 ．
思路引领：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，连接OC，如图，利用反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，再根据等腰三角形的性质得OC⊥AB，OA=3OC，接着证明Rt△AOD∽Rt△OCE，根据相似三角形的性质得S△AODS△OCE=3，利用k的几何意义得到12|k|＝1，然后解绝对值方程可得到满足条件的k的值．
解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，连接OC，如图，
∵AB过原点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△CAB为等腰三角形，
∴OC⊥AB，
∴∠ACB＝120°，
∴∠CAB＝30°，
∴OA=3OC，
∵∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠COE，
∴Rt△AOD∽Rt△OCE，
∴S△AODS△OCE=（OAOC）2＝（3）2＝3，
而S△OAD=12×|﹣6|＝3，
∴S△OCE＝1，
即12|k|＝1，
而k＞0，
∴k＝2．
总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；在y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．
变式训练
1．（2023春•亭湖区校级期末）如图，已知点A是双曲线y=2x在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，则三角形ABC面积最小值等于 43 ．
思路引领：根据双曲线y=2x关于原点对称，得到点A与点B关于原点对称，进而得到OA＝OB，连接OC，过点A作AE⊥y轴，设A（a，2a），根据等边三角形的性质得到OC=3OA，进而表示出S△ABC进而求解．
解：∵双曲线y=2x关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
连接OC，过点A作AE⊥y轴，设A（a，2a），
则AE＝a，OE=2a，
∴OA2＝AE2+OE2＝a2+（2a）2
∵△ABC是等边三角形，OA＝OB，
∴OC⊥AB，∠ACO＝30°．
∴AC＝2OA，
由勾股定理得OC=AC2−OA2=3OA，
∴S△ABC=12AB•OC=12×2OA•3OA=3OA2=3[a2+（2a）2]=3（a−2a）2+43≥43，
故答案为：43．
总结提升：本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质等知识，根据等边三角形的性质表示出△ABC的面积是解答本题的关键
2．（黔西南州•中考）如图，点A是反比例函数y=1x（x＞0）上的一个动点，连接OA，过点O作OB⊥OA，并且使OB＝2OA，连接AB，当点A在反比例函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数y=kx图象上移动，则k的值为
思路引领：过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可设A（x，1x），由条件证得△AOC∽△OBD，从而可表示出B点坐标，则可求得关于k的方程，可求得k的值．
解：
∵点A是反比例函数y=1x（x＞0）上的一个动点，
∴可设A（x，1x），
∴OC＝x，AC=1x，
∵OB⊥OA，
∴∠BOD+∠AOC＝∠AOC+∠OAC＝90°，
∴∠BOD＝∠OAC，且∠BDO＝∠ACO，
∴△AOC∽△OBD，
∵OB＝2OA，
∴ACOD=OCBD=AOBO=12，
∴OD＝2AC=2x，BD＝2OC＝2x，
∴B（−2x，2x），
∵点B反比例函数y=kx图象上，
∴k=−2x•2x＝﹣4，
总结提升：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用条件构造三角形相似，用A点坐标表示出B点坐标是解题的关键．
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