中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题26解答题重点出题方向二次函数的实际应用(原卷版+解析)

这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题26解答题重点出题方向二次函数的实际应用(原卷版+解析)，共78页。试卷主要包含了2022中考真题集训，图形面积最大问题，物体的运动轨迹是抛物线的问题，拱桥隧道问题等内容，欢迎下载使用。

类型一 最大利润问题
1．(2023•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
2．(2023•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
3．(2023•鞍山）某超市购进一批水果，成本为8元/kg，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m（元/kg）与时间第x天之间满足函数关系式m=12x+18（1≤x≤10，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（kg）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？
4．(2023•丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
5．(2023•鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
6．(2023•荆门）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y=−110x+9．同时销售过程中的其它开支为50万元．
（1）求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？
（2）若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？
7．(2023•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
8．(2023•营口）某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销．该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；
（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元；
①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；
②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？
9．(2023•辽宁）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
10．(2023•辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
类型二 图形面积最大问题
11．(2023•沈阳）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 平方厘米．
12．(2023•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．
13．(2023•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
14．(2023•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
类型三 物体的运动轨迹是抛物线的问题
15．(2023•宁夏）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即CEDE=34）．
求：（1）点A的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）
（参考数据：3≈1.73）
16．(2023•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．
（2）当a=19时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：3≈1.73，5≈2.24）
17．(2023•兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为53m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》
18．(2023•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
19．(2023•河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
20．(2023•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y=−160x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
21．(2023•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）c的值为 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=−150，b=910，求基准点K的高度h；
②若a=−150时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 ；
（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
类型四 拱桥隧道问题
22．(2023•陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
模块二 2023中考押题预测
23．（2023•南海区一模）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个层面共同发力，大沥镇超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销．生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过200套时，每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为56元1套．
（1）该超市定制了这款垃圾桶多少套？
（2）超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80元/套时，平均每天可售出20套；售价每降低1元，平均每天可多售出2套．当售价下降多少元时，可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？
24．（2023•咸宁模拟）李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．
（1）直接写出日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入＝支出），求该店员工人数；
（3）若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元？此时，每件服装的价格应定为多少元？
25．(2023•云安区模拟）云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，郁南县某商场同时购进A，B两种类型的头盔，已知购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元．
（1）A，B两类头盔每个的进价各是多少元？
（2）在销售中，该商场发现A类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设A类头盔每个x元（50≤x≤100），y表示该商家每月销售A类头盔的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
26．(2023•市南区三模）某企业生产一种新产品，每件成本为50元．由于新产品市场有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，月销售量y（件）与月份x（月）满足一次函数关系：随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至1月，月销售量 y（件）与月份x（月）满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示．
（1）求y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）已知去年1至6月每件该产品的售价z（元）与月份x之间满足函数关系：z＝60+52x（1≤x≤6，x为整数）．除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函数关系：p=12x（1≤x≤6，x为整数），从7月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在6月的水平．去年1至12 月，该产品在第几月获得最大利润？并求出最大利润．
（3）今年以来，由于物价上涨及积压了去年未销售的产品等因素，该企业每月均需支出杂费 6000 元（不论每月销售量如何，且天数不满一月时按整月计算）．为了出售去年积压的4000 件该产品，企业计划以单价70元销售，每月可卖出350件．为了尽快回笼资金并确保获利，企业决定降价销售，每件该产品每降价1元（降价金额为整数），每月可多卖出50 件，且要求在5个月内（含5 个月）将这批库存全部售出，如何定价可使获利最大？
27．(2023•东莞市校级一模）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
28．（2023•凤翔县模拟）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．某滑雪赛场跳台滑雪的起跳台的高度OA为60m，基准点K到起跳台的水平距离为70m，高度为18m．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y=−150x2+bx+c．
（1）若运动员落地点恰好到达K点，求b，c的值．
（2）若运动员飞行的水平距离为21m，恰好达到最大高度68.82m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
29．(2023•东城区一模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表．
在d和h这两个变量中， 是自变量， 是这个变量的函数；
（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：
①桥墩露出水面的高度AE为 米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为 米．（精确到0.1米）
30．(2023•巧家县模拟）如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球P（看作一点）从数轴上表示﹣8的点A处弹出后，呈抛物线y＝﹣x2﹣8x状下落，落到数轴上后，该弹球继续呈现原抛物线状向右自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次弹出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐渐向右自由弹出．
（1）根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度．
（2）当弹球P在数轴上两个相邻落点之间的距离为4时，求此时下落的抛物线的解析式．
31．(2023•安顺模拟）女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某女生在O处将球垫偏，之后又在A，B两处先后垫球，球沿抛物线C1→C2→C3运动（假设抛物线C1，C2，C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米．如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A（32，38），点B的横坐标为−32，抛物线C1和C3的表达式分别为y＝ax2﹣2ax和y＝2ax2+bx（a≠0）．
（1）求抛物线C1的函数表达式．
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由．
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米？
32．(2023•孟村县校级模拟）学校举办篮球比赛，运动员小明跳起投篮，已知球出手时离地面2.4米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手的水平距离4米时到达最大高度（M点）4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈中心距地面3.1米．以地面为x轴，经过最高点（M点）与地面垂直的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）请根据图中信息，求出篮球运行轨迹的抛物线解析式；
（2）请问运动员小明的这次跳起投篮能否投中？
（3）此时，对方队员乙上前拦截盖帽，且队员乙最大摸高3.2米，若队员乙盖帽失败，则他距运动员小明至少多远？（2≈1.414，结果精确到0.1）（说明：在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来，称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规，判进攻方得2分．）
33．(2023•碧江区 校级一模）如图，古代一石桥有17个大小相同的桥洞，桥面平直，其中三个桥洞抽象成抛物线，其最大高度为4.5m，宽为6m，将桥墩的宽度、厚度忽略不计，以水平方向为横轴，建立平面直角坐标系如图所示，OM＝6．
（1）求OAM这条抛物线的函数关系式；
（2）若一艘高于水平面3m的小船想要通过桥洞，根据安全需要，它顶部最宽处两侧距桥洞的水平距离均不得小于20cm，设它顶部最宽处为dm，求d的值不得超过多少小船才能顺利通过？
34．(2023•椒江区校级二模）自从某校开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测效果很好．每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习收益量y的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学生学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．
（1）求老师精讲时的学生学习收益量y与用于精讲的时间x之间的函数关系式；
（2）求学生当堂检测的学习收益量y与用于当堂检测的时间x的函数关系式；
（3）问如何将课堂时间分配给精讲和当堂检测，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最大？
35．(2023•大名县校级四模）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为2.74m．过点A作OA⊥BC，垂足为O，OB＝0.03m，以点O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓球与出球口A的水平距离为x（m），到桌面的高度为y（m），运行时间为t（s），在桌面上的落点为D，经测试，得到如下部分数据：
（1）当t＝ s时，乒乓球达到最大高度；猜想y与t之间是否存在二次函数关系，如果存在，求出函数关系式；如果不存在，请说明理由；
（2）桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，求乒乓球从出球口A发出经过多长时间位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果保留两位小数）
（3）乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L′：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的路线运动，小明拿球拍EF与桌面夹角为60°接球，球拍中心线EF长为0.16m，下沿E在x轴上，假设抛物线L，L′与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），求p的值，并直接写出EF到桌边的距离CE的取值范围．
36．(2023•惠水县模拟）城市立交桥在缓解道路拥堵，让城市交通更加顺畅方面发挥了重要作用．如图，是某市立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴．桥拱的DGD′部分为一段抛物线，顶点G的高度为10m，AD和A′D′是两侧高为8m的支柱，OA和OA′为两个方向的汽车通行区，宽都为18m，线段CD和C′D′为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1：3.5．
（1）求桥拱DGD'所在抛物线的解析式及CC′的长；
（2）BE和B′E′为支撑斜坡的立柱，其高都为6m，相应的AB和A'B′为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB和A'B'的宽；
（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于lm．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4.5m，车载大型设备的顶部与地面的距离为8m，它能否从OA（或OA'）区域安全通过？请说明理由，
37．(2023•亭湖区校级一模）中国在2022年北京冬奥会上向全世界展示了“胸怀大局，自信开放，迎难而上，追求卓越，共创未来”的北京冬奥精神．跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，下图是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台AB长1米（即AB＝1），平台AB距地面18米．以地面所在直线为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立平面直角坐标系．已知滑道对应的函数为y=15x2﹣4x+c（x≥1）．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h米，运动员与点A的水平距离为l米，经实验表明：h＝6t2，l＝vt
（1）求滑道对应的函数表达式；
（2）当v＝5，t＝1时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；
（3）在某一次的试跳中，运动员甲从A处飞出，飞出的路径近似看作函数y=−15x2+25x+895图象的一部分，根据实践可知，若运动员在飞行的过程中，存在飞行的高度与跳台滑道的垂直距离在8～10米的范围内即可成功，请你通过计算说明该运动员此次试跳是否能成功．
38．(2023•泉山区校级三模）某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，受产能限制，按订单生产该产品（销量＝产量），年销量不超过30万件．年销量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图①所示；为提高该产品竞争力，投入研发费用P万元（计入成本），P与x之间的函数关系如图②所示，AB是一条线段，BC是抛物线P=14x2−4x+m的一部分．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当售价为多少元时年利润最大，最大利润是多少万元？
39．(2023•义乌市模拟）如图，AB，CD是两个过江电缆的铁塔，塔高均为40米，AB的中点为P，小丽在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E，P，C在一直线上，且P，D离江面的垂直高度相等．跨江电缆AC因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆AC下垂的最低点距江面的高度不得少于30米．已知塔底B距江面的垂直高度为6米，电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求．
（1）求电缆最低点与河岸EB的垂直高度h及两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD之间的水平距离）．
（2）求电缆AC形成的抛物线的二次项系数．
40．(2023•惠民县二模）要建设六间长方形鸡舍，如图是其平面示意图，一面靠墙，其余各面用铁丝网围成．设每间鸡舍的长为xm，宽为ym．
（1）现有长度为144m的铁丝网，受地形影响要求15≤x≤18，如何设计可使每间鸡舍面积最大？（建设过程中的损耗忽略不计）
（2）若使每间鸡舍面积为200m2，每间鸡舍的长、宽各设计为多少时，可使围成鸡舍的铁丝网总长度最小？（精确到0.1m，3≈1.732）
41．(2023•常山县模拟）在新农村建设过程中，渣濑湾村采用“花”元素打造了一座花都村庄．如图，一农户用长为25m的篱笆，一面利用墙，围成有两个小门且中间隔有一道篱笆的长方形花圃．已知小门宽为1m，设花圃的宽AB为x（m），面积为S（m2）．
（1）求S关于x的函数表达式．
（2）如果要围成面积为54m2的花圃，AB的长为多少米？
（3）若墙的最大长度为10m，则能围成的花圃的最大面积为多少？并求此时AB的长．
42．(2023•潍坊三模）如图，是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．
（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；
（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求抛物线C的表达式．
43．(2023•茂南区二模）如图，某养猪户想用29米长的围栏设计一个矩形的养猪圈，其中猪圈一边靠墙MN，另外三边用围栏围住，在BC边开个门（宽度为1米），MN的长度为15m．
（1）为了让围成的猪圈（矩形ABCD）面积达到112m2，请你帮忙计算一下猪圈的长与宽分别是多少？
（2）当猪圈的长与宽分别是多少时，猪圈的面积达到最大？
44．(2023•西城区校级模拟）如图，有一座抛物线形状的拱桥，对拱桥在水面以上的部分进行测量，得到桥洞的跨度为12米，并且以桥洞拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系，把测量得到的数据记入表：
（1）请在下面的坐标系中根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）请结合图象，写出拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度是 米（结果精确到0.1）；
（3）现有一艘宽4米，高2米的游船要穿过拱桥的桥洞．为保证安全，要求船顶到竖直方向上拱桥桥洞对应点的距离不小于0.5米，那么这艘船 （填“能”或者“不能”）安全通过．
45．(2023•承德二模）如图1，在建筑工人临时宿舍外，有两根相距10米的立柱AB，CD垂直于水平地面上，AB＝CD，在AB，CD间拉起一根晾衣绳，由于绳子本身的重力，使绳子无法绷直，其形状可近似看成抛物线y=120x2+bx+c，已知绳子最低点距离地面74米．以点B为坐标原点，直线BD为x轴，直线AB为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求立柱AB的长度；
（2）一段时间后，绳子被抻长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段BD之间与AB相距4米的地方加上一根立柱MN撑起绳子，这时立柱左侧的抛物线F1的最低点相对点A下降了1米，距立柱MN也是1米，如图2所示，求MN的长；
（3）若加在线段BD之间的立柱MN的长度是2.4米，并通过调整MN的位置，使抛物线F1的开口大小与抛物线y=112x2+1的开口大小相同，顶点距离地面1.92米．求MN与CD的最近距离．
46．(2023•路南区三模）北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A做水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−112x2+43x+43近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−18x2+bx+c运动．
（1）当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为172米，则b＝ ．
（2）在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为43米？
（3）小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度．
时间第x天
…
2
5
9
…
销售量y/kg
…
33
30
26
…
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
售价（元/本）
……
22
23
24
25
……
每天销售量（本）
……
80
78
76
74
……
每千克售价x（元）
……
20
22
24
……
日销售量y（千克）
……
66
60
54
……
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
d/米
0
0.6
1
1.8
2.4
3
3.6
4
h/米
0.88
1.90
2.38
2.86
2.80
2.38
1.60
0.88
t（s）
0
0.2
0.4
0.6
0.8
…
x（m）
0
0.5
1
1.5
2
…
y（m）
0.25
0.4
0.45
0.4
0.25
…
x（米）
﹣6
﹣4
﹣2
0
2
4
6
y（米）
﹣3.02
﹣1.33
﹣0.31
0
﹣0.32
﹣1.33
﹣2.99
专题26 解答题重点出题方向二次函数的实际应用（解析版）
模块一 2022中考真题集训
类型一 最大利润问题
1．(2023•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
思路引领：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据两次进货情况，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据：利润＝（每台实际售价﹣每台进价）×销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；
解：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，
根据题意得，100x+150y=7000180x+120y=8100，
解得x=25y=30，
答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，利润为w元，
根据题意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，
∵﹣5＜0，
∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
总结提升：本题主要考查二元一次方程组及二次函数的实际应用，理解题意准确抓住相等关系，据此列出方程或函数关系式是解题的关键．
2．(2023•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
思路引领：（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量＝425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可知：9k+b=10511k+b=95，
解得：k=−5b=150，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，
解得：x1＝13，x2＝25（舍去），
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）w＝y（x﹣8），
＝（﹣5x+150）（x﹣8），
w＝﹣5x2+190x﹣1200，
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
总结提升：本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系．
3．(2023•鞍山）某超市购进一批水果，成本为8元/kg，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m（元/kg）与时间第x天之间满足函数关系式m=12x+18（1≤x≤10，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（kg）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？
思路引领：（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设销售这种水果的日利润为w元，得出w＝（﹣x+35）（12x+18﹣8）=−12（x−152）2+30258，再结合1≤x≤10，x为整数，利用二次函数的性质可得答案．
解：（1）设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函数关系式为y＝kx+b，
根据题意，得：2k+b=335k+b=30，
解得k=−1b=35，
∴y＝﹣x+35（1≤x≤10，x为整数）；
（2）设销售这种水果的日利润为w元，
则w＝（﹣x+35）（12x+18﹣8）
=−12x2+152x+350
=−12（x−152）2+30258，
∵1≤x≤10，x为整数，
∴当x＝7或x＝8时，w取得最大值，最大值为378，
答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元．
总结提升：本题主要考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．(2023•丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
思路引领：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
解：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：
35k+b=9040k+b=80，
解得k=−2b=160，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
总结提升：本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
5．(2023•鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
思路引领：（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，则可列出w关于y的函数关系式，再根据“每周最多能卖90个”得出y的取值范围，根据二次函数的性质可得出结论．
解：（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，
根据题意可得，66001.1x+50=8000x，
解得x＝40．
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴1.1x＝44．
∴第二批每个挂件的进价为40元．
（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，
根据题意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10（y﹣52）2+1440，
∵﹣10＜0，
∴当x≥52时，w随y的增大而减小，
∵40+10（60﹣y）≤90，
∴w≥55，
∴当y＝55时，w取最大，此时w＝﹣10（55﹣52）2+1440＝1350．
∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．
总结提升：本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键．
6．(2023•荆门）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y=−110x+9．同时销售过程中的其它开支为50万元．
（1）求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？
（2）若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？
思路引领：（1）根据总利润＝单价利润×销量﹣50，可得z与x的函数解析式，再求出x=−b2a=−122×(−110)=60时，z最大，代入即可；
（2）当z＝17.5时，解方程得出x的值，再根据函数的增减性和开口方向得出x的范围，结合y与x的函数关系式，从而解决问题．
解：（1）z＝y（x﹣30）﹣50
＝（−110x+9）（x﹣30）﹣50
=−110x2+12x﹣320，
当x=−b2a=−122×(−110)=60时，z最大，最大利润为−110×602+12×60−320=40；
（2）当z＝17.5时，17.5=−110x2+12x﹣320，
解得x1＝45，x2＝75，
∵净利润预期不低于17.5万元，且a＜0，
∴45≤x≤75，
∵y=−110x+9．y随x的增大而减小，
∴x＝45时，销售量最大．
总结提升：本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质等知识，正确列出z关于x的函数的解析式是解题的关键．
7．(2023•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
思路引领：（1）根据当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4，
（2）设李大爷每天所获利润是w元，由总利润＝每千克利润×销量得w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣0.2x+8.4）]×10x＝﹣3（x−416）2+168112，利用二次函数性质可得李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．
解：（1）根据题意得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4（1≤x≤10，x为整数），
答：这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式为y＝﹣0.2x+8.4（1≤x≤10，x为整数）；
（2）设李大爷每天所获利润是w元，
由题意得：w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣0.2x+8.4）]×10x＝﹣3x2+41x＝﹣3（x−416）2+168112，
∵﹣3＜0，x为正整数，且|6−416|＞|7−416|，
∴x＝7时，w取最大值，最大值为﹣3×（7−416）2+168112=140（元），
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．
总结提升：本题考查一次函数及二次函数的应用，解题的根据是理解题意，列出函数关系式，能利用二次函数性质解决问题．
8．(2023•营口）某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销．该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；
（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元；
①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；
②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？
思路引领：（1）设A款纪念册每本的进价为a元，B款纪念册每本的进价为b元，根据购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元得5a+4b=1563a+5b=130，可解得A款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为14元；
（2）①根据两款纪念册每天销售总数不变，可得B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本；
②设B款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是y＝kx+b'，待定系数法可得y＝﹣2x+124，即可得B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本时，每本售价是（22+m）元，设该店每天所获利润是w元，则w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m2+48m+1120＝﹣4（m﹣6）2+1264，根据二次函数性质可得答案．
解：（1）设A款纪念册每本的进价为a元，B款纪念册每本的进价为b元，
根据题意得：5a+4b=1563a+5b=130，
解得a=20b=14，
答：A款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为14元；
（2）①根据题意，A款纪念册每本降价m元，可多售出2m本A款纪念册，
∵两款纪念册每天销售总数不变，
∴B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本；
②设B款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是y＝kx+b'，
根据表格可得：80=22k+b′78=23k+b′，
解得k=−2b′=124，
∴y＝﹣2x+124，
当y＝80﹣2m时，x＝22+m，
即B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本时，每本售价是（22+m）元，
设该店每天所获利润是w元，
由已知可得w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m2+48m+1120＝﹣4（m﹣6）2+1264，
∵﹣4＜0，
∴m＝6时，w取最大值，最大值为1264元，
此时A款纪念册售价为32﹣m＝32﹣6＝26（元），
答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．
总结提升：本题考查二元一次方程组和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出方程组和函数关系式．
9．(2023•辽宁）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
思路引领：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由表中数据即可得出结论；
（2）根据每日总利润＝每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由表中数据得：20x+b=6622x+b=60，
解得：k=−3b=126，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，
∴18≤x≤28，
∵﹣3＜0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大，最大值为420，
∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
总结提升：本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
10．(2023•辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
思路引领：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），然后用待定系数法求函数解析式；
（2）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：14k+b=22016k+b=180，
解得：k=−20b=500，
故y与x的函数关系式为y＝﹣20x+500；
（2）设每天销售这种商品所获的利润为w，
∵y＝﹣20x+500，
∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）
＝﹣20x2+760x﹣6500
＝﹣20（x﹣19）2+720，
∵﹣20＜0，
∴当x＜19时，w随x的增大而增大，
∵13≤x≤18，
∴当x＝18时，w有最大值，最大值为700，
∴售价定为18元/件时，每天最大利润为700元．
总结提升：本题考查二次函数的应用，关键是根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式．
类型二 图形面积最大问题
11．(2023•沈阳）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 150 平方厘米．
思路引领：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为60−2x3cm，根据面积公式列出一元二次方程，解之即可；
（2）在（1）的基础上，列出二次函数，再利用二次函数的性质可得出结论．
解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为60−2x3cm，
∴x•60−2x3=144，
解得x＝12或x＝18，
∴AB＝12cm或AB＝8cm，
∴AB的长为12厘米或8厘米；
（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为60−2x3cm，
∴S＝x•60−2x3，即S=−23x2+20x=−23（x﹣15）2+150，
∵−23＜0，
∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．
故答案为：150．
总结提升：此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．
12．(2023•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．
思路引领：设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列函数关系式，从而利用二次函数的性质求其最值．
解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（47﹣2x+1）m，由题意可得：
y＝x（47﹣2x+1），
即y＝﹣2（x﹣12）2+288，
∵﹣2＜0，
∴当x＝12时，y有最大值为288，
当x＝12时，47﹣x﹣（x﹣1）＝24＜25（符合题意），
∴鸡场的最大面积为288m2．
总结提升：本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的性质是解题关键．
13．(2023•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
思路引领：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为24−x−2x3=（8﹣x） m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，根据墙的长度为10，可得0＜x≤103，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函数性质即得当x=103时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为1403m2．
解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为24−x−2x3=（8﹣x） m，
∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，
解得x＝2或x＝6，
经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去，
∴x＝2，
答：此时x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，
∵墙的长度为10m，
∴0＜x≤103，
根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当x=103时，y取最大值，最大值为﹣3×（103−4）2+48=1403（m2），
答：当x=103时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为1403m2．
总结提升：本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
14．(2023•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
思路引领：（1）设水池的长为am，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程求解即可得出结论；
（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，得出面积关于x的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），
设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），
∴36﹣a＝32，
解得a＝4，
∴DG＝4m，
∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），
即CG的长为8m、DG的长为4m；
（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，
∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x−72）2+1474，
∵﹣3＜0，
∴当x=72时，总种植面积有最大值为1474m2，
即BC应设计为72m总种植面积最大，此时最大面积为1474m2．
总结提升：本题主要考查二次函数的应用，熟练根据二次函数的性质求最值是解题的关键．
类型三 物体的运动轨迹是抛物线的问题
15．(2023•宁夏）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即CEDE=34）．
求：（1）点A的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）
（参考数据：3≈1.73）
思路引领：（1）由抛物线的图象可直接得出结论；
（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论；
（3）根据勾股定理可得出CE和DE的长，进而得出点D的坐标，由OC的长为点D的横坐标减去DE的长可得出结论．
解：（1）∵OA＝4，且点A在y轴正半轴，
∴A（0，4）．
（2）∵抛物线最高点B的坐标为（4，12），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+12，
∵A（0，4），
∴a（0﹣4）2+12＝4，解得a=−12．
∴抛物线的解析式为：y=−12（x﹣4）2+12．
（3）在Rt△CDE中，CEDE=34，CD＝2.5，
∴CE＝1.5，DE＝2．
∴点D的纵坐标为﹣1.5，
令−12（x﹣4）2+12＝﹣1.5，
解得，x＝4+33≈9.19或x＝4﹣33≈−1.19（不合题意，舍去），
∴D（9.19，﹣1.5）．
∴OC＝9.19﹣2＝7.19≈7.2（m）．
∴OC的长约为7.2米．
总结提升：本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点等相关内容，得出点D的坐标是解题关键．
16．(2023•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．
（2）当a=19时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：3≈1.73，5≈2.24）
思路引领：（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），利用待定系数法可得出结论；
（2）当a=19时，y=−19x2+2x+20，联立−19x2+2x+20=−12x+20，可得出点P的横坐标，比较即可得出结论；
（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．将（100，0.250）代入表达式，求出m的值即可．将（150，0.167）代入a=25v2进行验证即可得出结论；
②由K在线段y=−12x+20上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得a=564．由a=25v2得v2＝320，比较即可．
解：（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），
设CE：y＝kx+b（k≠0），
将C（8，16），E（40，0）代入得：16=8k+b，0=40k+b，解得k=−12b=20.，
∴线段CE的函数表达式为y=−12x+20（8≤x≤40）．
（2）当a=19时，y=−19x2+2x+20，
由题意得−19x2+2x+20=−12x+20，
解得x1＝0（舍去），x2＝22.5．
∴P的横坐标为22.5．
∵22.5＜32，
∴成绩未达标．
（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．
∴设a=mv2(m≠0)，
将（100，0.250）代入得0.25=m100，解得m＝25，
∴a=25v2．
将（150，0.167）代入a=25v2验证：25150≈0.167，
∴a=25v2能相当精确地反映a与v2的关系，即为所求的函数表达式．
②由K在线段y=−12x+20上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得a=564．
由a=25v2得v2＝320，
又∵v＞0，
∴v=85≈18．
∴当v≈18m/s时，运动员的成绩恰能达标．
总结提升：本题属于函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数的应用及二次函数综合应用，熟知待定系数法求函数解析式是解题关键．
17．(2023•兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为53m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》
思路引领：（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，
把（0，53）代入解析式得：53=a（0﹣3）2+3，
解得：a=−427，
∴y关于x的函数表达式为y=−427（x﹣3）2+3；
（2）该女生在此项考试中是得满分，理由：
令y＝0，则−427（x﹣3）2+3＝0，
解得：x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去），
∵7.5＞6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
总结提升：本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．
18．(2023•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1 ＜ d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
思路引领：（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值即可得出函数解析式；
（2）设着陆点的纵坐标为t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出d1和d2，然后进行比较即可．
解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8，23.20），
∴h＝8，k＝23.20，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，
根据表格中的数据可知，当x＝0时，y＝20.00，代入y＝a（x﹣8）2+23.20得：
20.00＝a（0﹣8）2+23.20，
解得：a＝﹣0.05，
∴函数关系式为：y＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20；
（2）设着陆点的纵坐标为t，则第一次训练时，t＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20，
解得：x＝8+20(23.20−t)或x＝8−20(23.20−t)，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离d1＝8+20(23.20−t)，
第二次训练时，t＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24，
解得：x＝9+25(23.24−t)或x＝9−25(23.24−t)，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d2＝9+25(23.24−t)，
∵20（23.20﹣t）＜25（23.24﹣t），
∴20(23.20−t)＜25(23.24−t)，
∴d1＜d2，
故答案为：＜．
总结提升：本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t，用t表示出d1和d2是解题的关键．
19．(2023•河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
思路引领：（1）由抛物线顶点（5，3.2），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，用待定系数法可得抛物线的表达式为y=−110x2+x+710；
（2）当y＝1.6时，−110x2+x+710=1.6，解得x＝1或x＝9，即得她与爸爸的水平距离为2m或6m．
解：（1）由题意知，抛物线顶点为（5，3.2），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，将（0，0.7）代入得：
0.7＝25a+3.2，
解得a=−110，
∴y=−110（x﹣5）2+3.2=−110x2+x+710，
答：抛物线的表达式为y=−110x2+x+710；
（2）当y＝1.6时，−110x2+x+710=1.6，
解得x＝1或x＝9，
∴她与爸爸的水平距离为3﹣1＝2（m）或9﹣3＝6（m），
答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m或6m．
总结提升：本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
20．(2023•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y=−160x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
思路引领：（1）根据题意，可以求得点A和点B的坐标，然后代入二次函数解析式，即可得到b、c的值；
（2）①根据题意，可以得到x关于t的函数图象经过的两个点，然后根据待定系数法，即可得到x关于t的函数的解析式；
②先求出直线AB的解析式，再根据题意，可以表示出h，然后根据二次函数的性质，可以求得当h为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，并求出这个最大值．
解：（1）作BE⊥y轴于点E，
∵OA＝65m，着陆坡AC的坡角为30°，AB＝100m，
∴点A的坐标为（0，65），AE＝50m，BE＝503m，
∴OE＝OA﹣AE＝65﹣50＝15（m），
∴点B的坐标为（503，15），
∵点A（0，65），点B（503，15）在二次函数y=−160x2+bx+c的图象上，
∴c=65−160×(503)2+503b+c=15，
解得b=32c=65，
即b的值是32，c的值是65；
（2）①设x关于t的函数解析式是x＝kt+m，
因为点（0，0），（5，503）在该函数图象上，
∴m=05k+m=503，
解得k=103m=0，
即x关于t的函数解析式是x＝103t；
②设直线AB的解析式为y＝px+q，
∵点A（0，65），点B（503，15）在该直线上，
∴q=65503p+q=15，
解得p=−33q=65，
即直线AB的解析式为y=−33x+65，
则h＝（−160x2+32x+65）﹣（−33x+65）=−160x2+536x，
∴当x=−5362×(−160)=253时，h取得最值，此时h=1254，
∵253＜503，
∴x＝253时，h取得最值，符合题意，
将x＝253代入x＝103t，得：253=103t，
解得t＝2.5，
即当t为2.5时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是1254m．
总结提升：本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
21．(2023•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）c的值为 66 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=−150，b=910，求基准点K的高度h；
②若a=−150时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 b＞910 ；
（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
思路引领：（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a=−150，b=910，知y=−150x2+910x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故−150×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y=−2125（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
（2）①∵a=−150，b=910，
∴y=−150x2+910x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y=−150×752+910×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a=−150，
∴y=−150x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴x＝75时，y＞21，
即−150×752+75b+66＞21，
解得b＞910，
故答案为：b＞910；
（3）他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a=−2125，
∴抛物线解析式为y=−2125（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y=−2125×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
总结提升：本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
类型四 拱桥隧道问题
22．(2023•陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
思路引领：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，把（0，0）代入，可得a=−925，即可解决问题；
（2）把y＝6，代入抛物线的解析式，解方程可得结论．
解：（1）由题意抛物线的顶点P（5，9），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，
把（0，0）代入，可得a=−925，
∴抛物线的解析式为y=−925（x﹣5）2+9；
（2）令y＝6，得−925（x﹣5）2+9＝6，
解得x1=533+5，x2=−533+5，
∴A（5−533，6），B（5+533，6）．
总结提升：本题考查二次函数的应用，待定系数法，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
模块二 2023中考押题预测
23．（2023•南海区一模）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个层面共同发力，大沥镇超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销．生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过200套时，每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为56元1套．
（1）该超市定制了这款垃圾桶多少套？
（2）超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80元/套时，平均每天可售出20套；售价每降低1元，平均每天可多售出2套．当售价下降多少元时，可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？
思路引领：（1）设该超市定制了这款垃圾桶x套，根据定制不超过200套时，每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠，且已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为56元1套，可得x的范围，从而可得关于x的方程，求解即可．
（2）设售价下降m元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为w元，根据题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
解：（1）由平均费用为56元1套，可知该超市定制这款垃圾桶超过了200套．
设该超市定制了这款垃圾桶x套，根据题意得，
60×200+60（x﹣200）×80%＝56x，
解得x＝300．
所以该超市定制这款垃圾桶300套．
（2）设售价下降m元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为w元，
根据题意，得w＝（80﹣56﹣m）（20+2m），
＝﹣2m2+28m+480
＝﹣2（m﹣7）2+578，
∵﹣2＜0，且0＜m＜24，
∴当m＝7时，w有最大值．
答：售价下降7元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大．
总结提升：本题主要考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（2023•咸宁模拟）李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．
（1）直接写出日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入＝支出），求该店员工人数；
（3）若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元？此时，每件服装的价格应定为多少元？
思路引领：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据收入等于支出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；
（3）分两种情况解答：①当40≤x＜58时；②当58≤x≤71时，依据：总利润＝单件利润×销售量﹣工人工资及其他费用列出函数解析式，求解即可．
解：（1）当40≤x＜58时，设y与x的函数解析式为y＝k1x+b1，
由图象可得，
60=40k1+b124=58k1+b1，
解得：k1=−2b1=140．
∴y＝﹣2x+140；
当58≤x≤71时，设y与x的函数解析式为y＝k2x+b2，
由图象得，
24=58k2+b211=71k2+b2，
解得k2=−1b2=82．
∴y＝﹣x+82．
综上所述：y=−2x+140(40≤x≤58)−x+82(58＜x≤71)．
（2）设人数为a，
当x＝48时，
y＝﹣2×48+140＝44，
则（48﹣40）×44＝106+82a，
解得a＝3．
答：该店员工人数为3．
（3）设每件服装的价格为x元时，每天获得的利润为w元．
当40≤x＜58时，
w＝（x﹣40）（﹣2x+140）﹣82×2﹣106
＝﹣2x2+220x﹣5870
＝﹣2（x﹣55）2+180，
当x＝55时，w最大值＝180．
当58≤x≤71时，
w＝（x﹣40）（﹣x+82）﹣82×2﹣106
＝﹣x2+122x﹣3550
＝﹣（x﹣61）2+171，
当x＝61时，w最大值＝171．
∵180＞171
∴w最大值为180
答：每天能获得的最大利润是180元，此时，每件服装的价格应定为55元．
总结提升：本题考查了二次函数的应用与一次函数和一元一次方程的应用能力，理解题意找到符合题意得相等关系函数解析式是解题的关键．
25．(2023•云安区模拟）云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，郁南县某商场同时购进A，B两种类型的头盔，已知购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元．
（1）A，B两类头盔每个的进价各是多少元？
（2）在销售中，该商场发现A类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设A类头盔每个x元（50≤x≤100），y表示该商家每月销售A类头盔的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
思路引领：（1）设A类头盔每个的进价是a元，B类头盔每个的进价是b元，根据购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元列出方程组，解方程组即可；
（2）根据总利润＝每个A类头盔的利润×销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
解：（1）设A类头盔每个的进价是a元，B类头盔每个的进价是b元，
根据题意得：3a+4b=2886a+2b=306，
解得a=36b=45，
答：A类头盔每个的进价是36元，B类头盔每个的进价是45元；
（2）根据题意得：y＝（x﹣36）（100−x−505×10）＝﹣2x2+272x﹣7200＝﹣2（x﹣68）2+2048，
∵﹣2＜0，50≤x≤100，
∴当x＝68时，y有最大值，最大值为2048，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+272x﹣7200，最大利润为2048元．
总结提升：本题考查二次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析和方程组．
26．(2023•市南区三模）某企业生产一种新产品，每件成本为50元．由于新产品市场有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，月销售量y（件）与月份x（月）满足一次函数关系：随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至1月，月销售量 y（件）与月份x（月）满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示．
（1）求y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）已知去年1至6月每件该产品的售价z（元）与月份x之间满足函数关系：z＝60+52x（1≤x≤6，x为整数）．除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函数关系：p=12x（1≤x≤6，x为整数），从7月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在6月的水平．去年1至12 月，该产品在第几月获得最大利润？并求出最大利润．
（3）今年以来，由于物价上涨及积压了去年未销售的产品等因素，该企业每月均需支出杂费 6000 元（不论每月销售量如何，且天数不满一月时按整月计算）．为了出售去年积压的4000 件该产品，企业计划以单价70元销售，每月可卖出350件．为了尽快回笼资金并确保获利，企业决定降价销售，每件该产品每降价1元（降价金额为整数），每月可多卖出50 件，且要求在5个月内（含5 个月）将这批库存全部售出，如何定价可使获利最大？
思路引领：（1）根据题意可设y1＝kx+b（k≠0，1≤x≤6），y2＝a（x﹣6）2+350（a≠0，6＜x≤12），再利用待定系数法即可求解；
（2）设利润为w元，根据“获得的利润＝（每件产品售价﹣每件产品成本﹣每件产品的杂费）×月销售量”列出函数，再根据二次函数的性质求出每段的最大值，最后对比即可求解；
（3）设降价m元销售（m为整数），所获的利润为w′元，根据题意可得w′＝（70﹣50﹣m）×4000﹣6000×4000350+50m，根据每件产品获利大于0和要求在5个月内（含5 个月）将这批库存全部售出得9≤m＜20，再由4000350+50m为整数得m可以取9，13，最后分别代入求出利润对比即可．
解：（1）设y1＝kx+b（k≠0，1≤x≤6），
由图可知，y1经过点（1，600）和（4，450），
∴k+b=6004k+b=450，
∴k=−50b=650，
∴y1＝﹣50x+650（1≤x≤6），
当x＝6时，y1＝y2＝﹣50×6+650＝350，
∴设y2＝a（x﹣6）2+350（a≠0，6＜x≤12），
∵y2过点（10，430），
∴430＝a（10﹣6）2+350，
∴a＝5，
∴y2＝5（x﹣6）2+350＝5x2﹣60x+530（6＜x≤12）；
（2）设获得的利润为w元，由题意可得w＝（z﹣50﹣p）•y，
当1≤x≤6时，w=(60+52x−50−12x)⋅(−50x+650)，
整理得：w＝﹣100x2+800x+6500＝﹣100（x﹣4）2+8100，
∵﹣100＜0，
∴当x＝4时，获得最大利润，最大利润为8100元，
当7≤x≤12时，此时z＝60+52×6=75（元），p=12×6=3（元），
则w＝（75﹣50﹣3）[5（x﹣6）2+350]＝110（x﹣6）2+7700，
∵110＞0，
∴当7≤x≤12时，y随x的增大而增大，
∴当x＝12时，获得最大利润，最大利润为110×（12﹣6）2+7700＝11660（元），
∵11660＞8100，
∴该产品在去年12月获得最大利润，最大利润为11660元；
（3）设降价m元销售（m为整数），所获的利润为w′元，
由题意得：w′＝（70﹣50﹣m）×4000﹣6000×4000350+50m，
∵要求在5个月内（含5 个月）将这批库存全部售出，
∴4000350+50m≤5，
解得：m≥9，
∵70﹣50﹣m＞0，即m＜20，
∴9≤m＜20，
∵4000能被350+5m整除，
∴m可以取9，13，
当m＝9时，w′＝（70﹣50﹣9）×4000﹣6000×4000350+50×9=14000，
当m＝13时，w′＝（70﹣50﹣13）×4000﹣6000×4000350+50×13=4000，
∵14000＞4000，
∴当每件该产品降价9元时，获利最大．
总结提升：本题主要考查二次函数的应用、一次函数的应用、用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质．在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
27．(2023•东莞市校级一模）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
思路引领：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，根据用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；
（2）利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；再由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．
解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得：
3120x=4200x+9，
解得x＝26，
经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，
∴x+9＝26+9＝35，
答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对．
（2）设乙种灯笼的销售单价在50的基础上提高了a元，
由题意可知，y＝（50+a﹣35）（98﹣2a）＝﹣2a2+68a+1470，
∵﹣2＜0，
∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：a=−b2a=17，
物价部门规定其销售单价不高于每对65元，
∴a+50≤65，
∴a≤15，
∵a＜17时，y随x的增大而增大，
∴当a＝15时，y最大＝2040．
15+50＝65．
∴乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．
总结提升：本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．由于前后步骤有联系，第一问解对，后面才能做对．本题还需要根据问题的实际意义来确定销售单价的取值，本题中等难度．
28．（2023•凤翔县模拟）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．某滑雪赛场跳台滑雪的起跳台的高度OA为60m，基准点K到起跳台的水平距离为70m，高度为18m．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y=−150x2+bx+c．
（1）若运动员落地点恰好到达K点，求b，c的值．
（2）若运动员飞行的水平距离为21m，恰好达到最大高度68.82m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
思路引领：（1）把（0，60），（70，18）代入函数解析式求解即可；
（2）运动员飞行的水平距离为21m时，恰好达到最大高度68.82m，即是抛物线的顶点为（21，68.82），可得抛物线解析式为y=−150(x−21)2+68.82，当x＝70时，y＝20.8，从而可知他的落地点不能超过K点．
解：（1）将（0，60），（70，18）代入y=−150x2+bx+c，得
c=6018=−150×702+70b+c，
解得b=45c=60，
∴b的值为45，c的值为60．
（2）能超过，理由：
∵运动员飞行的水平距离为21m时，恰好达到最大高度68.82m，
∴y与x的函数关系式为y=−150(x−21)2+68.82，
当x＝70时，
y＝20.8＞18，
∴他的落地点能超过K点．
总结提升：本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
29．(2023•东城区一模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表．
在d和h这两个变量中， d 是自变量， h 是这个变量的函数；
（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：
①桥墩露出水面的高度AE为 0.88 米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为 0.7 米．（精确到0.1米）
思路引领：（1）根据常量和变量的定义可得答案；
（2）根据点的坐标描点、连线即可；
（3）①根据图象与y轴的交点坐标可得答案；
②求出y与x的关系式，再把y＝2代入即可．
解：（1）d是自变量，h是这个变量的函数，
故答案为：d，h；
（2）如图，
（3）①当x＝0时，y＝0.88，
∴桥墩露出水面的高度AE为0.88米，
故答案为：0.88；
②设y＝ax2+bx+c，把（0，0.88）、（1，2.38）、（3，2.38）代入得，
c=0.88a+b+c=2.389a+3b+c=2.38，
解得a=−0.5b=2c=0.88，
∴y＝﹣0.5x2+2x+0.88，对称轴为直线x＝2，
令y＝2，则2＝﹣0.5x2+2x+0.88，
解得x≈3.3（舍去）或0.7．
故答案为：0.7．
总结提升：本题考查二次函数的实际应用，根据对应点的坐标得到二次函数关系式是解题关键．
30．(2023•巧家县模拟）如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球P（看作一点）从数轴上表示﹣8的点A处弹出后，呈抛物线y＝﹣x2﹣8x状下落，落到数轴上后，该弹球继续呈现原抛物线状向右自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次弹出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐渐向右自由弹出．
（1）根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度．
（2）当弹球P在数轴上两个相邻落点之间的距离为4时，求此时下落的抛物线的解析式．
思路引领：（1）根据题意建立坐标系，根据函数解析式求出最大值即可；
（2）分别求出弹球第二次、第三次的解析式，以及落地见的距离，当落地之间距离为4时求出解析式即可．
解：（1）根据弹球弹出的位置和函数解析式建立如图所示坐标系：
∵抛物线解析式为y＝﹣x2﹣8x＝﹣（x﹣4）2+16，
∴函数最大值为16，
∴弹球第一次弹出的最大高度为16；
（2）当y＝0时，则﹣x2﹣8x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣8，
∴第一次相邻两落点之间的距离为：|﹣8﹣0|＝8，
设第二次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y＝﹣x（x﹣b），
当x=b2时，y＝16×12=8，
∴−b2×（−b2）＝8，
解得b＝42或b＝﹣42（舍去），
∴所求抛物线的解析式为y＝﹣x（x﹣42），
∴第二次相邻两落点之间的距离为42，
设第三次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣42）（x﹣c），
当x=2+c2时，y＝16×122=4，
解得c＝42+4或c＝42−4（舍去），
∴所求抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣42）（x﹣42−4），
∴第三次相邻两落点之间的距离为|42+4﹣42|＝4，
∴相邻两落点之间的距离为4时，弹球下落抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣42）（x﹣42−4）．
总结提升：本题考查二次函数的应用，关键是根据题意建立坐标系，写出函数解析式．
31．(2023•安顺模拟）女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某女生在O处将球垫偏，之后又在A，B两处先后垫球，球沿抛物线C1→C2→C3运动（假设抛物线C1，C2，C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米．如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A（32，38），点B的横坐标为−32，抛物线C1和C3的表达式分别为y＝ax2﹣2ax和y＝2ax2+bx（a≠0）．
（1）求抛物线C1的函数表达式．
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由．
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米？
思路引领：（1）将点A坐标代入C：y＝a﹣2a中，求出a值即可；
（2）求出抛物线C的顶点，求出实际最大高度，可得结果；
（3）根据达到最大高度达到要求得到不等式，求出b的范围，从而算出B离地面的高度．
解：（1）∵C1：y＝ax2﹣2ax，
将A（32，38）代入，得：38=a×(32)2−2a×32，
解得：a=−12，
∴C1：y=−12x2+x；
（2）由（1）得：y=−12x2+x=−12（x﹣1）2+12，
∴C1的对称轴为直线x＝1，顶点为（1，12），
∵O处距离地面1米，
∴最大高度为12+1=32＜2，
∴未达到要求；
（3）C3：y＝2ax2+bx（a≠0），
对称轴为直线x=−b4a，顶点（−b4a，−b28a），
∵最大距离达标，
∴−b28a≥1，
∵B的横坐标为−32，
∴yB=92a−32b，
由（1）知a=−12，
∴b24≥1，
解得：b≥2或b≤﹣2，
∵x=−b4a＜0，
∴a，b同号，则b≤﹣2，
∴yB=92×(−12)−32×(−2)=34，
∴高度至少应为1+34=1.75米．
∴该女生第三次垫球处B离地面的高度至少为1.75米．
总结提升：本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，理解题干中的实际情景．
32．(2023•孟村县校级模拟）学校举办篮球比赛，运动员小明跳起投篮，已知球出手时离地面2.4米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手的水平距离4米时到达最大高度（M点）4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈中心距地面3.1米．以地面为x轴，经过最高点（M点）与地面垂直的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）请根据图中信息，求出篮球运行轨迹的抛物线解析式；
（2）请问运动员小明的这次跳起投篮能否投中？
（3）此时，对方队员乙上前拦截盖帽，且队员乙最大摸高3.2米，若队员乙盖帽失败，则他距运动员小明至少多远？（2≈1.414，结果精确到0.1）（说明：在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来，称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规，判进攻方得2分．）
思路引领：（1）先把题中的数字转化为点的坐标，再代入顶点式求解；
（2）当x＝3时，求y值即可；
（3）由y＝3.2求x的值．
解：（1）由题意及图形知：抛物线的顶点为：M（0，4），过点A（﹣4，2.4），
设抛物线的解析式为：y＝ax2+4，
∴（﹣4）2x+4＝2.4，
解得：a=−110，
∴抛物线的解析式为y=−110x2+4；
（2）当x＝3时，y=−110×9+4＝3.1，
所以小明的这次跳起投篮能投中；
（3）当y＝3.2时，3.2=−110x2+4，
解得：x＝±22，
由题意知：x＜0，
∴x＝﹣22，
∴﹣22−（﹣4）≈1.2，
所以他距运动员小明至少1.2米．
总结提升：本题考查了二次函数的应用，数形结合思想是解题的关键．
33．(2023•碧江区 校级一模）如图，古代一石桥有17个大小相同的桥洞，桥面平直，其中三个桥洞抽象成抛物线，其最大高度为4.5m，宽为6m，将桥墩的宽度、厚度忽略不计，以水平方向为横轴，建立平面直角坐标系如图所示，OM＝6．
（1）求OAM这条抛物线的函数关系式；
（2）若一艘高于水平面3m的小船想要通过桥洞，根据安全需要，它顶部最宽处两侧距桥洞的水平距离均不得小于20cm，设它顶部最宽处为dm，求d的值不得超过多少小船才能顺利通过？
思路引领：（1）设y＝a（x﹣h）2+k，把顶点坐标为（3，4.5）代入可得解析式；
（2）将y＝3代入解出x的值可得答案．
解：（1）设OAM这条抛物线的函数关系式为y＝a（x﹣h）2+k，
由题意得顶点坐标为（3，4.5），
∴y＝a（x﹣3）2+4.5，
∵函数图象经过点M（6，0），
∴0＝a（6﹣3）2+4.5，
∴a＝﹣0.5，
∴y＝﹣0.5（x﹣3）2+4.5＝﹣0.5x2+3x，
∴OAM这条抛物线的函数关系式为y＝﹣0.5x2+3x；
（2）当y＝3时，
3＝﹣0.5x2+3x，
解得：x1＝3+3，x2＝3−3，
∵顶部最宽处两侧距桥洞的水平距离均不得小于20cm，
∴d+2×0.2≤3+3−（3−3），
解得d≤23−0.4，
∴d的值不得超过（23−0.4）m，小船才能顺利通过．
总结提升：本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．解题的关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题．
34．(2023•椒江区校级二模）自从某校开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测效果很好．每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习收益量y的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学生学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．
（1）求老师精讲时的学生学习收益量y与用于精讲的时间x之间的函数关系式；
（2）求学生当堂检测的学习收益量y与用于当堂检测的时间x的函数关系式；
（3）问如何将课堂时间分配给精讲和当堂检测，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最大？
思路引领：（1）由图设该函数解析式为y＝kx，即可依题意求出y与x的函数关系式．
（2）本题涉及分段函数的知识．需要注意的是x的取值范围依照分段函数的解法解出即可．
（3）设学生当堂检测的时间为x分钟（0≤x≤15），学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为（40﹣x）分钟．用配方法的知识解答该题即可．
解：（1）设y＝kx，
把（1，2）代入，得：k＝2，
∴y＝2x，（0≤x≤40）；
（2）当0≤x≤8时，设y＝a（x﹣8）2+64，
把（0，0）代入，得：64a+64＝0，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣8）2+64＝﹣x2+16x，
当8＜x≤15时，y＝64；
（3）设学生当堂检测的时间为x分钟（0≤x≤15），学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为（40﹣x）分钟，
当0≤x≤8时，W＝﹣x2+16x+2（40﹣x）＝﹣x2+14x+80＝﹣（x﹣7）2+129，
当x＝7时，Wmax＝129；
当8≤x≤15时，W＝64+2（40﹣x）＝﹣2x+144，
∵W随x的增大而减小，
∴当x＝8时，Wmax＝128，
综上，当x＝7时，W取得最大值129，此时40﹣x＝33，
答：此“高效课堂”模式分配33分钟时间用于精讲、分配7分钟时间当堂检测，才能使这学生在40分钟的学习收益总量最大．
总结提升：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的运用，顶点式求二次函数的最大值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
35．(2023•大名县校级四模）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为2.74m．过点A作OA⊥BC，垂足为O，OB＝0.03m，以点O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓球与出球口A的水平距离为x（m），到桌面的高度为y（m），运行时间为t（s），在桌面上的落点为D，经测试，得到如下部分数据：
（1）当t＝ 0.4 s时，乒乓球达到最大高度；猜想y与t之间是否存在二次函数关系，如果存在，求出函数关系式；如果不存在，请说明理由；
（2）桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，求乒乓球从出球口A发出经过多长时间位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果保留两位小数）
（3）乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L′：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的路线运动，小明拿球拍EF与桌面夹角为60°接球，球拍中心线EF长为0.16m，下沿E在x轴上，假设抛物线L，L′与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），求p的值，并直接写出EF到桌边的距离CE的取值范围．
思路引领：（1）根据待定系数法求出抛物线L的关系式，再根据顶点坐标公式进行计算即可；
（2）根据y与x的函数关系式，x与t的函数关系式进而得到y与t的函数关系式，再进行判断即可；
（3）根据y与x的函数关系式可求出点D的坐标，再代入乒乓球反弹后抛物线L′：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的关系式可求出p的值，再根据乒乓球反弹后抛物线L′：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的关系式以及解直角三角形可求出CE的最大值和最小值即可．
解：（1）由题意得，OB＝0.03m，
设抛物线L的关系式为y＝ax2+bx+c，将（0，0.25），（1，0.45），（2，0.25）代入得，
c=0.25a+b+c=0.454a+2b+c=0.25，
解得a=−0.2b=0.4c=0.25，
∴抛物线L的关系式为y＝﹣0.2x2+0.4x+0.25，
∵a＝﹣0.2＜0，
∴当x=−b2a=1时，y最大值＝﹣0.2+0.4+0.25＝0.45，
当x＝1时，t＝0.4，
设x与t的函数关系式可能是x＝kt，把（0.2，0.5）代入得，
0.2k＝0.5，
解得k＝2.5，
∴x与t的关系式可能为x＝2.5t，
经验证：（0，0）（0.4，1）（0.6，1.5）（0.8，2）都满足x＝2.5t，
∴x与t的关系式一定是x＝2.5t，
∴y＝﹣0.2×（2.5t）2+0.4×2.5t+0.25＝﹣1.25t2+t+0.25，
∴y是t的二次函数，关系式为：y＝﹣1.25t2+t+0.25，
故答案为：0.4，y是t的二次函数，关系式为：y＝﹣1.25t2+t+0.25；
（2）由题意得，BG＝CG=12BC＝1.37（m），
∴OG＝OB+BG＝0.03+1.37＝1.4（m），
当x＝1.4时，
y＝﹣0.2×1.42+0.4×1.4+0.25＝0.414（m），
2.5t＝1.4，
解得t＝0.56，
即当t＝0.56s时，乒乓球从出球口A发出后位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约为0.414﹣0.15≈0.26（m），
答：乒乓球从出球口A发出经过0.56s位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约为0.26m；
（3）当y＝0时，即0＝﹣0.2x2+0.4x+0.25，
解得x1=52，x2=−12，
∴D（52，0），
即OD＝2.5m，
∵乒乓球反弹后沿抛物线L′：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的路线运动，而D（52，0），
∴0＝﹣0.53（52−p）（52−3.5），
解得p＝2.5；
∴乒乓球反弹后沿抛物线L′的关系式为：y＝﹣0.53（x﹣2.5）（x﹣3.5），
当y＝0时，即﹣0.53（x﹣2.5）（x﹣3.5）＝0，
解得x1＝2.5，x2＝3.5，
即CM＝3.5m，
∴CE＝3.5﹣2.74﹣0.03﹣0.08＝0.65（m），
如图，当乒乓球反弹后沿抛物线L′过点F时，过点F作FM⊥x轴于M，
在Rt△EFM中，∠FEM＝60°，EF＝0.16m，
∴EM=12EF＝0.08m，FM=32EF＝0.083m，
当y＝0.083时，即﹣0.53（x﹣2.5）（x﹣3.5）＝0.083，
解得x1＝2.7（E在BC上舍去），x2＝3.3，
即CM＝3.3m，
∴CE＝3.3﹣2.74﹣0.03﹣0.08＝0.45（m），
∴0.45≤CE≤0.65，
答：p＝2.5，0.45≤CE≤0.65．
总结提升：本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数关系式以及解直角三角形的应用，掌握二次函数的图象上点的坐标特征以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
36．(2023•惠水县模拟）城市立交桥在缓解道路拥堵，让城市交通更加顺畅方面发挥了重要作用．如图，是某市立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴．桥拱的DGD′部分为一段抛物线，顶点G的高度为10m，AD和A′D′是两侧高为8m的支柱，OA和OA′为两个方向的汽车通行区，宽都为18m，线段CD和C′D′为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1：3.5．
（1）求桥拱DGD'所在抛物线的解析式及CC′的长；
（2）BE和B′E′为支撑斜坡的立柱，其高都为6m，相应的AB和A'B′为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB和A'B'的宽；
（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于lm．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4.5m，车载大型设备的顶部与地面的距离为8m，它能否从OA（或OA'）区域安全通过？请说明理由，
思路引领：（1）设DGD′所在的抛物线的解析式y＝ax2+c．把G（0，10），D（18，8）代入解析式即可得到结论；
（2）根据EBBC=13.5，BE＝6，求得BC＝21米，于是得到结论；
（3）把x＝4.5代入解析式得到y=−281×4.52+10＝9.5，于是得到结论．
解：（1）设DGD′所在的抛物线的解析式y＝ax2+c．
由题意得G（0，10），D（18，8），
∴c=108=92a+c
解得a=−281c=10
∴DGD′所在的抛物线的解析式为y=−281x2+10，
∴ADAC=13.5，且AD＝8，
∴AC＝3.5×8＝36（米），
∴CC′＝2OC＝2×（OA+AC）＝2×（18+36）＝108（米）．
答：CC′的长为108米；
（2）∵EBBC=13.5，BE＝6，
∴BC＝21米，
∴AB＝AC﹣BC＝36﹣21＝15（米）．
答：AB和A′B′的宽都是15米；
（3）答：该大型货车可以从OA（或OA′）区域安全通过．
在y=−281x2+10中，当x＝4.5时，
y=−281×4.52+10，
＝9.5，
∵9.5﹣（8+1）＝0.5＞0，
该大型货车可以从OA（或OA′）区域安全通过．
总结提升：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．求出关键点的坐标是解题的关键．
37．(2023•亭湖区校级一模）中国在2022年北京冬奥会上向全世界展示了“胸怀大局，自信开放，迎难而上，追求卓越，共创未来”的北京冬奥精神．跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，下图是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台AB长1米（即AB＝1），平台AB距地面18米．以地面所在直线为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立平面直角坐标系．已知滑道对应的函数为y=15x2﹣4x+c（x≥1）．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h米，运动员与点A的水平距离为l米，经实验表明：h＝6t2，l＝vt
（1）求滑道对应的函数表达式；
（2）当v＝5，t＝1时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；
（3）在某一次的试跳中，运动员甲从A处飞出，飞出的路径近似看作函数y=−15x2+25x+895图象的一部分，根据实践可知，若运动员在飞行的过程中，存在飞行的高度与跳台滑道的垂直距离在8～10米的范围内即可成功，请你通过计算说明该运动员此次试跳是否能成功．
思路引领：（1）将A（1，18）代入y=15x2﹣4x+c求出c，进而得出函数的解析式；
（2）可求得M的坐标，代入验证是否符合函数的解析式，进一步得出结果；
（3）设飞行的高度与跳台滑道的垂直距离为：y′，求出其函数关系式，得出其顶点坐标，进而得出结论．
解：（1）将x＝1，y＝18代入y=15x2−4x+c得，
18=15−4+c，
∴c=1095，
∴y=15x2−4x+1095；
（2）当v＝5，t＝1时，
h＝6，l＝5，
∴M（5+1，18﹣6），即（6，12），
当x＝12时，y=15×62−4×6+1095=5≠12，
∴运动员没有落在滑道上；
（3）设飞行的高度与跳台滑道的垂直距离为：y′，
则y′＝（−15x2+25x+895）﹣（15x2−4x+1095）=−25（x−112）2+8110，
∵8＜8110＜10，
∴当x=112时，存在飞行的高度与跳台滑道的垂直距离在8～10米的范围内，
∴该运动员此次试跳能成功．
总结提升：本题考查了二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是正确理解题意．
38．(2023•泉山区校级三模）某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，受产能限制，按订单生产该产品（销量＝产量），年销量不超过30万件．年销量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图①所示；为提高该产品竞争力，投入研发费用P万元（计入成本），P与x之间的函数关系如图②所示，AB是一条线段，BC是抛物线P=14x2−4x+m的一部分．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当售价为多少元时年利润最大，最大利润是多少万元？
思路引领：（1）根据题意设y与x的函数关系式为：y＝kx+bkx+b，将点（5，30），（15，10）代入求解即可得；
（2）根据题意及函数图像可得，需要分两部分进行讨论分析：当5≤x≤10时，根据图像可得：P＝60；当10≤x≤15时，P=14x2﹣4x+75；利用利润列出函数解析式，再将函数解析式化为顶点式或利用顶点坐标即可确定最值问题．
解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，
把x＝5时，y＝30，x＝15时，y＝10代入，
得5k+b=3015k+b=10，
解得：k=−2b=40，
∴y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+40（5≤z≤15）；
（2）由题意知，当5≤x≤10时，P＝60，
∴W＝（x﹣5）y﹣P＝（x﹣5）（﹣2x+40）﹣60＝﹣2x2+50x﹣26＝﹣2（x−252）2+1052，
∵﹣2＜0，5≤x≤10，
∴在5≤x≤10内，W随x的增大而增大，
∴当x＝10时，W增大，最大值为40；
当10≤x≤15时，P=14x2﹣4x+m．
把x＝10时，P＝60代入P=14x2﹣4x+m得，
60=14×102﹣4×10+m，
解得：m＝75，
∴P=14x2﹣4x+75，
∴W＝（x﹣5）y﹣P＝（x﹣5）（﹣2x+40）﹣（14x2﹣4x+75）=−94x2+54x﹣275=−94（x﹣12）2+49，
∵−94＜0，10≤x≤15，
∴当x＝12时，W有最大值，最大值为49；
综上可得：当x＝12时，年利润W最大，最大值为49．
总结提升：本题主要考查一次函数解析式的确定，二次函数的应用及最值问题，理解题意，列出相应函数解析式是解题关键．
39．(2023•义乌市模拟）如图，AB，CD是两个过江电缆的铁塔，塔高均为40米，AB的中点为P，小丽在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E，P，C在一直线上，且P，D离江面的垂直高度相等．跨江电缆AC因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆AC下垂的最低点距江面的高度不得少于30米．已知塔底B距江面的垂直高度为6米，电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求．
（1）求电缆最低点与河岸EB的垂直高度h及两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD之间的水平距离）．
（2）求电缆AC形成的抛物线的二次项系数．
思路引领：（1）延长EB交CD的延长线于点G，由题意可知，AB∥CG，所以△EPB∽△ECG，则EB：EG＝PB：CG，根据题意分别得出EB，PB，CG的长，求出EG的长，进而可得出BG的长；根据电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求，可得出电缆最低点与河岸EB的垂直高度h为24米．
（2）以点B为原心，AB所在直线和水平线分别为y轴和x轴，建立平面直角坐标系，则A（0，40），C（100，60），抛物线的最低点的纵坐标为：24．设出抛物线的解析式，得出方程组，求解即可．
解：（1）如图，延长EB交CD的延长线于点G，
则∠PBE＝∠G＝90°，
∴AB∥CG，
∴△EPB∽△ECG，
∴EB：EG＝PB：CG，
根据题意可知AB＝CD＝40米，PB＝DG＝20米，EB＝50米，
∴CG＝60米，
∴50：EG＝20：60，
解得EG＝150米，
∴BG＝100米，即两铁塔轴线间的距离为100米；
∵电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求，
∴最低点距离江面30米，
∵塔底B距江面的垂直高度为6米，
∴电缆最低点与河岸EB的垂直高度h为24米．
（2）如图，以点B为原心，AB所在直线和水平线分别为y轴和x轴，建立平面直角坐标系，
则A（0，40），C（100，60），抛物线的最低点的纵坐标为：24．
设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c，
∴c=4010000a+100b+c=604ac−b24a=24，
解得a=1100b=−45c=40或a=12500b=425c=40（根据对称轴的位置可知，不符合题意，舍去）．
∴电缆AC形成的抛物线的二次项系数为1100．
总结提升：本题是一道实际问题，主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的性质、和根据函数图象上点的特征求函数解析式，体现了数学来源于生活，服务于生活的本质．
40．(2023•惠民县二模）要建设六间长方形鸡舍，如图是其平面示意图，一面靠墙，其余各面用铁丝网围成．设每间鸡舍的长为xm，宽为ym．
（1）现有长度为144m的铁丝网，受地形影响要求15≤x≤18，如何设计可使每间鸡舍面积最大？（建设过程中的损耗忽略不计）
（2）若使每间鸡舍面积为200m2，每间鸡舍的长、宽各设计为多少时，可使围成鸡舍的铁丝网总长度最小？（精确到0.1m，3≈1.732）
思路引领：（1）先根据6x+9y＝144得出y=−23x+16，再设每间鸡舍的面积为S，则S＝xy，把y=−23x+16代入S＝xy得出S关于x的解析式，再根据函数的性质求最值；
（2）根据xy＝200，得y=200x，设铁丝网总长为l，则l＝6x+9y，然后把y=200x代入l＝6x+9y中得到l关于x的解析式，再根据函数的性质求最值即可．
解：（1）由条件知：6x+9y＝144，即y=−23x+16①．
设每间鸡舍的面积为S，则S＝xy，
把①代入得S=x(−23x+16)=−23(x−12)2+96，
∵−23＜0，
∴当x＞12时，S随x的增大而减小，
∵15≤x≤18，
∴当x＝15时，S取最大值为90，
此时，每间鸡舍长为15m，宽为6m，每间面积最大为90m2；
（2）由条件知S＝xy＝200，得y=200x，
设铁丝网总长为l，则l＝6x+9y，
∴l=6x+9y=6x+9⋅200x=6(x+300x)=6[(x−300x)2+2300]≥1203，
由非负数的性质当且仅当x=300x，等号成立，
此时，x=103≈17.3，y=203=2033≈11.5，
故每间鸡舍长约为17.3m，宽约为11.5m时，可使铁丝网总长最小．
总结提升：本题考查二次函数的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式，由函数性质求最值．
41．(2023•常山县模拟）在新农村建设过程中，渣濑湾村采用“花”元素打造了一座花都村庄．如图，一农户用长为25m的篱笆，一面利用墙，围成有两个小门且中间隔有一道篱笆的长方形花圃．已知小门宽为1m，设花圃的宽AB为x（m），面积为S（m2）．
（1）求S关于x的函数表达式．
（2）如果要围成面积为54m2的花圃，AB的长为多少米？
（3）若墙的最大长度为10m，则能围成的花圃的最大面积为多少？并求此时AB的长．
思路引领：（1）设花圃宽AB长为xm，BC的长为（27﹣3x）m，利用矩形的面积公式列出函数解析式；
（2）令S＝54，得方程﹣3x2+27x＝54，解方程即可得出答案；
（3）根据墙的最大长度为10m，求出自变量的取值范围，由（1）函数表达式，运用二次函数的性质求最值．
解：（1）由图可得，BC的长为25﹣3x+1+1＝（27﹣3x）m，
∴S＝x（27﹣3x）＝﹣3x2+27x，
∴S关于x的函数表达式为S＝﹣3x2+27x；
（2）由题意得：﹣3x2+27x＝54，
解得：x1＝3，x2＝6，
答：如果要围成面积为54m2的花圃，AB的长为3米或6米；
（3）∵墙的最大长度为10m，
∴0＜27﹣3x≤10，
解得：173≤x＜9，
∵S＝﹣3x2+27x＝﹣3（x−92）2+2434，
∵﹣3＜0，且173≤x＜9，S随x的增大而减小，
∴当x=173时，S最大，最大值为1703，
答：能围成的花圃的最大面积为1703m2，此时AB的长为173．
总结提升：本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
42．(2023•潍坊三模）如图，是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．
（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；
（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求抛物线C的表达式．
思路引领：（1）由题意台阶T4的左边端点（4.5，7），右边端点的坐标（6，7），求出x＝4.5，6时的y的值，即可判断；
（2）由题意抛物线C：y＝﹣x2+bx+c，经过R（5，7），最高点的纵坐标为11，构建方程组求出b，c，可得结论．
解：（1）y轴，如图所示，
由题意台阶T4左边的端点坐标是（4.5，7），右边的端点坐标是（6，7），
对于抛物线y＝﹣x2+4x+12，
令y＝0，x2﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或6，
∴点A的横坐标为﹣2．
当x＝4.5时，y＝7.75＞7，
当x＝6时，y＝0＜7，
当y＝7时，7＝﹣x2+4x+12，解得x＝﹣1或5，
∴抛物线与台阶T4有交点，设交点为R（5，7），
∴点P会落在台阶T4上；
（2）由题意设抛物线C的表达式为：y＝﹣（x﹣h）2+11，经过R（5，7），
∴7＝﹣（5﹣h）2+11，
解得h＝7或h＝3（舍），
∴抛物线C的解析式为y＝﹣x2+14x﹣38．
总结提升：本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题．
43．(2023•茂南区二模）如图，某养猪户想用29米长的围栏设计一个矩形的养猪圈，其中猪圈一边靠墙MN，另外三边用围栏围住，在BC边开个门（宽度为1米），MN的长度为15m．
（1）为了让围成的猪圈（矩形ABCD）面积达到112m2，请你帮忙计算一下猪圈的长与宽分别是多少？
（2）当猪圈的长与宽分别是多少时，猪圈的面积达到最大？
思路引领：（1）设猪圈的宽为xm则长（30﹣2x） m，则，其中x＞152，根据S矩形ABCD＝（30﹣2x）x＝112，计算求出满足要求的x的值，进而可得结果；
（2）由（1）可知S矩形ABCD=(30−2x)x=−2x2+30x=−2(x−152)2+2252，根据二次函数的性质可确定最大值时的x值，进而可得结果．
解：（1）设猪圈的宽x 则长为（30﹣2x ）m，其x＞152，
∴矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝（30﹣2x）x＝112，
解x＝7（不合题意，舍去），x＝8，
∴30﹣2x＝30﹣2×8＝14，
∴猪圈的长为14m，宽为8m．
（2）由（1）可S矩形ABCD＝（30﹣2x）x
＝﹣2x2+30x
＝﹣2（x−152）2+2252，
﹣2＜0，
∴x=152时，矩形的面积最大，
∴30﹣2x＝30﹣2×152=15，
∴猪圈的长为15m，宽152m时，猪圈的面积最大，最大值2252m2．
总结提升：本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值等知识．解题的关键在于根据题意列等式．
44．(2023•西城区校级模拟）如图，有一座抛物线形状的拱桥，对拱桥在水面以上的部分进行测量，得到桥洞的跨度为12米，并且以桥洞拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系，把测量得到的数据记入表：
（1）请在下面的坐标系中根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）请结合图象，写出拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度是 6.8 米（结果精确到0.1）；
（3）现有一艘宽4米，高2米的游船要穿过拱桥的桥洞．为保证安全，要求船顶到竖直方向上拱桥桥洞对应点的距离不小于0.5米，那么这艘船 能 （填“能”或者“不能”）安全通过．
思路引领：（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；
（2）观察图象与直线y＝﹣1的两个交点的坐标，据此计算便可；
（3）根据表中数据得出x＝±2或±6时纵坐标的值，求得其差的绝对值便是船靠中行驶时，船左右边沿水面至桥拱顶的垂直高度，据此判断船能否安全通过便可．
解：（1）用描点法作图如下：
（2）由图象可得，拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度是6.8米；
（3）由表中数据知当x＝±2时，y＝﹣0.32，
当x＝±6时，y＝﹣2.99，
﹣0.32﹣（﹣2.99）＝﹣0.32+2.99＝2.67，
∵2.67﹣2＝0.67＞0.5，
∴这艘船能安全通过．
故答案为：能．
总结提升：本题考查了二次函数图象，二次函数图象与性质的应用，解题的关键在于熟练读懂题意把实际问题转化为二次函数的知识．
45．(2023•承德二模）如图1，在建筑工人临时宿舍外，有两根相距10米的立柱AB，CD垂直于水平地面上，AB＝CD，在AB，CD间拉起一根晾衣绳，由于绳子本身的重力，使绳子无法绷直，其形状可近似看成抛物线y=120x2+bx+c，已知绳子最低点距离地面74米．以点B为坐标原点，直线BD为x轴，直线AB为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求立柱AB的长度；
（2）一段时间后，绳子被抻长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段BD之间与AB相距4米的地方加上一根立柱MN撑起绳子，这时立柱左侧的抛物线F1的最低点相对点A下降了1米，距立柱MN也是1米，如图2所示，求MN的长；
（3）若加在线段BD之间的立柱MN的长度是2.4米，并通过调整MN的位置，使抛物线F1的开口大小与抛物线y=112x2+1的开口大小相同，顶点距离地面1.92米．求MN与CD的最近距离．
思路引领：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（3）先利用待定系数法求出抛物线的解析式，再令y＝2.4解方程求出x即可．
解：（1）由题意抛物线的解析式为y=120（x﹣5）2+74，
即y=120x2−12x+3，
令x＝0，得到y＝3，
∴AB＝3米；
（2）由题意设抛物线F1的解析式为y＝a（x﹣3）2+2，
把A（0，3）代入解析式得：3＝a（0﹣3）2+2，
解得：a=19，
∴y=19（x﹣3）2+2，
当x＝4时，y=199，
∴MN=199米；
（3）抛物线F1的开口大小与抛物线y=112x2+1的开口大小相同，顶点距离地面1.92米，
∴设抛物线F1的解析式为y=112（x﹣h）2+1.92，
把A（0，3）代入解析式得：3=112（﹣h）2+1.92，
解得：h1＝﹣3.6（舍去），h2＝3.6，
∴抛物线F1的解析式为y=112（x﹣3.6）2+1.92，
∵MN＝2.4，
∴当y＝2.4时，112（x﹣3.6）2+1.92＝2.4，
解得：x1＝1.2，x2＝6，
当x＝1.2时，DM＝10﹣1.2＝8.8（米），
当x＝6时，DM＝10﹣6＝4（米），
∵4＜8.8，
∴MN与CD的最近距离为4米．
总结提升：本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式．
46．(2023•路南区三模）北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A做水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−112x2+43x+43近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−18x2+bx+c运动．
（1）当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为172米，则b＝ 32 ．
（2）在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为43米？
（3）小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度．
思路引领：（1）由y=−18x2+bx+c的顶点为（6，172），可得关于b的方程，即可解得答案．
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意列出方程，解出m即可；
（3）先求出b，再根据与坡顶距离不低于3米列出关于c的不等式，即可解得答案．
解：（1）∵小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为172米，
∴y=−18x2+bx+c的顶点为（6，172），
∴−b2×(−18)=6，
解得b=32，
故答案为：32；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为43米，
依题意得：（−18m2+32m+4）﹣（−112m2+43m+43）=43，
整理得：（m+4）（m﹣8）＝0，
解得：m1＝8，m2＝﹣4（舍去），
∴运动员运动的水平距离为8米时，运动员与小山坡的竖直距离为43米；
（3）抛物线C1：y=−112x2+43x+43=−112(x−8)2+203，
当x＝8时，运动员到达坡顶，
∴−b2×(−18)=8，
解得b＝2，
∴C2：y=−18x2+2x+c，
∵与坡顶距离不低于3米，
∴4×(−18)⋅c−44×(−18)≥3+203，
解得：c≥53．
∴跳台滑出点的最小高度为53米．
总结提升：本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合．时间第x天
…
2
5
9
…
销售量y/kg
…
33
30
26
…
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
售价（元/本）
……
22
23
24
25
……
每天销售量（本）
……
80
78
76
74
……
每千克售价x（元）
……
20
22
24
……
日销售量y（千克）
……
66
60
54
……
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
d/米
0
0.6
1
1.8
2.4
3
3.6
4
h/米
0.88
1.90
2.38
2.86
2.80
2.38
1.60
0.88
t（s）
0
0.2
0.4
0.6
0.8
…
x（m）
0
0.5
1
1.5
2
…
y（m）
0.25
0.4
0.45
0.4
0.25
…
x（米）
﹣6
﹣4
﹣2
0
2
4
6
y（米）
﹣3.02
﹣1.33
﹣0.31
0
﹣0.32
﹣1.33
﹣2.99