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中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题32中考命题核心元素有关角平分线的问题(原卷版+解析)
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这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题32中考命题核心元素有关角平分线的问题(原卷版+解析)，共34页。试卷主要包含了典例剖析+针对训练，2023中考押题预测等内容，欢迎下载使用。
模型一 过角平分线上的点向角角的一边或两边作垂线构造全等三角形
【模型解读】 “图中有角平分线和一边的垂线，可向另一边作垂线”．
典例1（2023秋•依安县期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．5B．7C．10D．3
针对训练
1．(2023•苏州模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4cmB．6cmC．10cmD．不能确定
2．(2023秋•广州校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝10，AC＝8，DE=4093，求点D到AC的距离．
模型二 角平分线遇平行线找等腰三角形或作平行线构造等腰三角形
【模型解读】 如图，点P在∠AOB的平分线上，若过点P作PQ∥OB，交OA于点Q，则△POQ是等腰三角形．
典例2 如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E．
（1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并加以证明；
（2）若AB＝7，AC＝5，求△ADE周长；
（3）如图，作∠ABC与∠ACB的外角平分线，它们交于点O，过点O作BC的平行线，分别交AB、AC的延长线于点F、G，你还能发现什么结论？（至少写三个），并加以证明．
针对训练
1．（2023•恩施州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
（2）求证：FB＝FE．
2．(2023春•滨江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．
（1）求证：AE⊥BF；（2）若EF=14AD=3．则AB＝ ．
模型三 利用角平分线结肠或补短构造对称图形
【模型解读】 如图，P是∠AOB的平分线上一点，点M是射线OA上任意一点，在OB上截取ON＝OM，连接PN，则△OPM≌△OPN
典例3 (2023秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线．延长BD至E，使DE＝AD，连接EC
（1）直接写出∠CDE的度数：∠CDE＝ ；
（2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为 ，并给出证明．
针对训练
1．（2023秋•新抚区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE，CD是△ABC的角平分线，BE与CD相交于点P．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求证：BC＝BD+CE．
2．（2023秋•海曙区期中）如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：
（1）证明：ED＝FD；
（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；
（3）求EF的长．
模型四 延长垂直于角平分线的垂线段构造等腰三角形
【模型解读】角平分线上遇垂直，延长下去构等腰
典例4 （2023秋•饶平县校级期末）如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA、BE交AD的延长线于点F．
（1）求证：△ABF是等腰三角形；
（2）求证：AD+BC＝AB．
针对训练
1．（2023秋•溧水区期中）如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若AC＝9，BC＝5，则CD的长为 ．
2．(2023秋•南岗区校级期中）已知：在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，BE⊥AD于E．
（1）如图1，求证：AC﹣AB＝2BE．
（2）如图2，将∠DCA沿直线AC翻折，交BA的延长线于点M，连接MD交AC于点N；MA＝BA，BE＝1，AB=2，求AN的长．
模块二 2023中考押题预测
1．（2023秋•中山市期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，AB＝6cm，DE＝4cm，S△ABC＝30cm2，则AC的长为（ ）
A．10cmB．9cmC．4.5cmD．3cm
2．（2023秋•兰山区期末）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝120°，BC＝20cm，则AM的长度为（ ）
A．20cmB．10cmC．5cmD．15cm
3．（2023秋•溧水区期中）如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若AC＝9，BC＝5，则CD的长为 ．
4．（2023秋•惠城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝52°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝EF．
5．(2023春•滨江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）若EF=14AD=3．则AB＝ ．
6．（2023秋•正阳县期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝18，BE＝4，求AB的长．
7．（驿城区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝60°，BC＝6，求△ABC的面积．
8．（2023秋•北仑区期中）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AE＝10，GC＝2BG，求BG的长．
9．（2023秋•温州月考）如图所示：∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E．
问：（1）图中有几个等腰三角形？为什么？
（2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明．
10．(2023•义乌市模拟）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC＝CD．
（1）若∠ABD＝20°，求∠BCD的度数；
（2）若AB＝2，BC＝4，AC＝3，求CE长．
11．（2023•章丘区模拟）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
12．(2023•荆门）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．
（1）求证：△CEF≌△ADF；
（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．
专题32 中考命题核心元素有关角平分线的问题（解析版）
模块一 典例剖析+针对训练
模型一 过角平分线上的点向角角的一边或两边作垂线构造全等三角形
【模型解读】 “图中有角平分线和一边的垂线，可向另一边作垂线”．
（2023秋•依安县期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．5B．7C．10D．3
思路引领：作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得到EF＝DE＝2，根据三角形面积公式计算即可．
解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积=12×BC×EF＝5．
故选：A．
总结提升：本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
针对训练
1．(2023•苏州模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4cmB．6cmC．10cmD．不能确定
思路引领：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD＝DE，利用“HL”证明△ACD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AE，然后求出△DEB的周长．
解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在△ACD和△AED中，
AD=ADCD=DE，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC＝AE，
∴△DEB的周长＝BD+DE+BE，
＝BD+CD+BE，
＝BC+BE，
＝AC+BE，
＝AE+BE，
＝AB，
∵AB＝6cm，
∴△DEB的周长为6cm．
故选：B．
总结提升：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
2．(2023秋•广州校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝10，AC＝8，DE=4093，求点D到AC的距离．
思路引领：（1）先根据∠B＝50°，∠C＝70°，求出∠BAC＝60°，然后根据角平分线的定义求出∠EDA即可；
（2）根据角平分线的性质解答即可．
解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=12∠BAC＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°
∴∠EDA＝90°﹣∠BAD＝60°；
（2）过点D作DF⊥AC于点F．
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE=4093．
∴点D到AC的距离为4093．
总结提升：此题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
模型二 角平分线遇平行线找等腰三角形或作平行线构造等腰三角形
【模型解读】 如图，点P在∠AOB的平分线上，若过点P作PQ∥OB，交OA于点Q，则△POQ是等腰三角形．
典例2 如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E．
（1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并加以证明；
（2）若AB＝7，AC＝5，求△ADE周长；
（3）如图，作∠ABC与∠ACB的外角平分线，它们交于点O，过点O作BC的平行线，分别交AB、AC的延长线于点F、G，你还能发现什么结论？（至少写三个），并加以证明．
思路引领：（1）先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDI和△CEI是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD＝DI，CE＝EI．
（2）根据△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AD+AE+DI+IE＝AB+AC即可求得．
（3）先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BFO和△CGO是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BF＝OF，CG＝OG，根据平行线的判定方法即可得出
DE∥FG．
解：（1）BD＝DI，CE＝EI，
∵BI平分∠ABC，
∴∠DBI＝∠CBI，
∵DE∥BC，
∴∠CBI＝∠DIB，
∴∠DBI＝∠DIB，
∴BD＝DI，
同理IE＝EC，
（2）∵AB＝7，AC＝5，
∴△AED的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝7+5＝12．
（3）BF＝OF，CG＝OG，DE∥FG，
∵BO平分∠FBC，
∴∠FBO＝∠CBO，
∵FG∥BC，
∴∠CBO＝∠FOB，
∴∠FBO＝∠FOB，
∴BF＝OF，
同理CG＝OG，
∵DE∥BC，FG∥BC，
∴DE∥FG，
总结提升：本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
针对训练
1．（2023•恩施州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
（2）求证：FB＝FE．
思路引领：（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵EF∥BC，
∴∠EBC＝∠BEF，
∴∠EBF＝∠FEB，
∴BF＝EF．
总结提升：本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．(2023春•滨江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）若EF=14AD=3．则AB＝ ．
思路引领：（1）证明∠BAE+∠ABF＝90°，即可推出∠AMB＝90°，即AE⊥BF；
（2）证明DE＝AD，CF＝BC，再利用平行四边形的性质AD＝BC，证出DE＝CF，得出DF＝CE，由已知得出BC＝AD＝4EF，DE＝4EF，求出DF＝CE＝3EF，得出AB＝CD＝7EF，即可得出结果．
（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，
∴2∠BAE+2∠ABF＝180°，即∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠AMB＝90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD，
同理可得，CF＝BC，
在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∴DE＝CF，
∴DF＝CE，
∵EF=14AD，
∴BC＝AD＝4EF，
∴DE＝4EF，
∴DF＝CE＝3EF，
∴AB＝CD＝7EF＝21，
故答案为：21．
总结提升：本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
模型三 利用角平分线结肠或补短构造对称图形
【模型解读】 如图，P是∠AOB的平分线上一点，点M是射线OA上任意一点，在OB上截取ON＝OM，连接PN，则△OPM≌△OPN
典例3 (2023秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线．延长BD至E，使DE＝AD，连接EC
（1）直接写出∠CDE的度数：∠CDE＝ ；
（2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为 ，并给出证明．
思路引领：（1）由角平分线的性质和三角形内角和定理可求∠CDE的度数；
（2）在BC上截取BF＝AB，由“SAS”可证△ABD≌△FBD，可得AD＝DF，∠ADB＝∠BDF＝60°，可得∴FDC＝180°﹣∠ADB﹣∠BDF＝60°＝∠EDC，由“SAS”可证△CDF≌△CDE，可得CE＝CF，则可得结论．
解：（1）∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝20°
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝60°＝∠CDE，
故答案为：60°
（2）BC＝AB+CE
理由如下：如图，在BC上截取BF＝AB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，且BD＝BD，AB＝BF，
∴△ABD≌△FBD（SAS）
∴AD＝DF，∠ADB＝∠BDF＝60°
∴∠FDC＝180°﹣∠ADB﹣∠BDF＝60°＝∠EDC，且DE＝DF，CD＝CD
∴△CDF≌△CDE（SAS）
∴CE＝CF，
∴BC＝BF+CF＝AB+CE
故答案为：BC＝AB+CE
总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
针对训练
1．（2023秋•新抚区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE，CD是△ABC的角平分线，BE与CD相交于点P．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求证：BC＝BD+CE．
思路引领：（1）先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB＝60°，则可求出答案；
（2）在CB上取点G使得CG＝CE，证明△CPE≌△CPG（SAS），得出∠CPG＝∠CPE＝60°，证明△BPD≌△BPG（ASA），得出BD＝BG，可以求得BD+CE＝BC．
解：（1）∵BE，CD是△ABC的角平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，
∵∠A＝60°，
∴∠BPC＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣60°）＝120°；
（2）证明：在BC上取点G使得CG＝CE，
∵∠BPC＝120°，
∴∠BPD＝∠CPE＝60°，
在△CPE和△CPG中，
CP=CP∠ECP=∠GCPCE=CG，
∴△CPE≌△CPG（SAS），
∴∠CPG＝∠CPE＝60°，
∴∠BPG＝120°﹣60°＝60°＝∠BPD，
在△BPD和△BPG中，
∠BPG=∠BPDBP=BP∠PBD=∠PBG，
∴△BPD≌△BPG（ASA），
∴BD＝BG，
∴BD+CE＝BG+CG＝BC．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（2023秋•海曙区期中）如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：
（1）证明：ED＝FD；
（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；
（3）求EF的长．
思路引领：（1）过D点分别作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，K，H，结合角平分线的性质，利用AAS证明△EKD≌△FHD可证得结论；
（2）根据角平分线的定义及三角形的内角和定理可得∠BDC+12（180°﹣∠A）＝180°，进而可求解；
（3）先证明∠5＝∠3，∠1＝∠6，则可判断△BED∽△CED，利用相似比可计算出ED，从而EF的长．
（1）证明：过D点分别作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，K，H，如图，
∴∠EKD＝∠FHD＝90°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴DK＝DG＝DH，
在△EKD和△FHD中，
∠DKE=∠DHF∠KED=∠HFDDK=DH，
∵AE＝AF
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△EKD≌△FHD（AAS），
∴ED＝FD；
（2）解：∠BDC＝90°+12∠A．
理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB），
∵∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴∠BDC+12（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BDC+12（180°﹣∠A）＝180°，
∴∠BDC＝90°+12∠A；
（3）解：如图，
∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠2+∠7+∠4＝180°，∠5+∠6+∠7＝180°，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6，即∠1+∠3＝∠5+∠6，
∵∠AEF＝∠AFE，
∴∠1+∠5＝∠3+∠6，
∴∠5＝∠3，∠1＝∠6，
∴△BED∽△CED，
∴ED：CF＝BE：DF，
∵DE＝DF，
则ED2＝CF⋅BE＝2×4＝8，
则ED=22，
∴EF＝2ED=42．
总结提升：本题主要考查相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用角平分线的定义与性质是解题的关键．也考查了相似三角形的判定与性质．
模型四 延长垂直于角平分线的垂线段构造等腰三角形
【模型解读】角平分线上遇垂直，延长下去构等腰
典例4 （2023秋•饶平县校级期末）如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA、BE交AD的延长线于点F．
（1）求证：△ABF是等腰三角形；
（2）求证：AD+BC＝AB．
思路引领：（1）根据角平分线的性质和等腰三角形的判定解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质解答即可．
证明：（1）∵BE平分∠CBA，
∴∠ABF＝∠CBF．
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠F．
∴∠ABF＝∠F．
∴AB＝AF，
∴△ABF是等腰三角形．
（2）∵AB＝AF，AE平分∠BAF，
∴BE＝FE．
∵AD∥BC，
∴∠CBE＝∠F，∠C＝∠CDF．
在△BCE和△FDE中，
∠CBE=∠F∠C=∠CDFBE=FE
∴△BCE≌△FDE（AAS），
∴BC＝DF．
∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
针对训练
1．（2023秋•溧水区期中）如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若AC＝9，BC＝5，则CD的长为 ．
思路引领：延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝9，BC＝5，即可推出BD的长度，再利用勾股定理即可解决问题．
解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，
∴BE＝AE，
∵BD⊥CD
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵∠BCD+∠CBD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠EBC＝∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC＝CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD＝BE，
∵AC＝9，BC＝5，
∴CE＝BC＝5，
∴AE＝AC﹣EC＝9﹣5＝4，
∴BE＝AE＝4，
∴BD＝2．
∴CD=BC2−BD2=52−22=21，
故答案为21．
总结提升：本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
2．(2023秋•南岗区校级期中）已知：在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，BE⊥AD于E．
（1）如图1，求证：AC﹣AB＝2BE．
（2）如图2，将∠DCA沿直线AC翻折，交BA的延长线于点M，连接MD交AC于点N；MA＝BA，BE＝1，AB=2，求AN的长．
思路引领：（1）延长BE交AC于F，由条件可以得出△AEB≌△AEF就可以得出BF＝2BE，进而求得CF＝BF就可以得出结论；
（2）由轴对称的性质可以得出△BCA≌△MCA，可以得出△DBM是直角三角形，进而可以得出△DCM是等腰直角三角形，就可以得出△MBD≌△CND就可以得出结论．
解：（1）如图1，延长BE交AC于F．
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2．
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝AEF＝90°．
在△AEB和△AEF中，
∠1=∠2AE=AE∠AEB=∠AEF，
∴△AEB≌△AEF（ASA）
∴AB＝AF，∠3＝∠4，BE＝FE，
∴BF＝2BE．
∵∠4＝∠5+∠C，
∴∠3＝∠5+∠C，
∵∠ABC＝∠3+∠5，
∴∠ABC＝∠5+∠C+∠5＝2∠5+∠C＝3∠C，
∴∠5＝∠C，
∴CF＝BF＝2BE．
∵AC﹣AF＝FC，
∴AC﹣AB＝2BE；
（2）如图2，作AH⊥BC于H，AK⊥CM于K，
∵∠ACH＝∠ACK，
∴AH＝AK，
∵AB＝AM，
∴△AHB≌△AKM，
∴∠ABH＝∠AMK，
∴CB＝CM，
∵AC＝AC，CB＝CM，AB＝AM，
∴△BCA≌△MCA，
∴AB＝AM，∠ACM＝∠ACB=12∠BCM，
∵AM＝AB，
∴AD＝AB＝AM，
∴△DBM是直角三角形，
∴∠BDM＝∠CDM＝90°．
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°．
∵BE＝1，AB=2，由勾股定理，得
∴AE＝1，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°．
∵∠ABC＝3∠ACB，
∴∠ACB＝22.5°，
∴∠BCM＝45°，
∴∠DMC＝45°，
∴∠BCM＝∠DMC，
∴DM＝DC．
∵AM＝AB，∠ACM＝∠ACB，
∴∠CAM＝∠CAB＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°．
∵∠ABC+∠BMD＝90°，
∴∠ACB＝∠BMD．
在△MBD和△CND中
∠BDM=∠CDMDM=DC∠BMD=∠ACB，
∴△MBD≌△CND（ASA），
∴CN＝BM＝2AB＝22，
∴AC＝2BE+AB＝2+2，
∴AN＝AC﹣CN＝2−2．
总结提升：本题考查了角平分线的性质的运用，三角形外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，勾股定理的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，轴对称的性质的运用．解答时运用全等三角形的性质求解是关键．
模块二 2023中考押题预测
1．（2023秋•中山市期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，AB＝6cm，DE＝4cm，S△ABC＝30cm2，则AC的长为（ ）
A．10cmB．9cmC．4.5cmD．3cm
思路引领：过点D作DF⊥AC于F，然后利用△ABC的面积公式列式计算即可得解．
解：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝4，
∵AB＝6，
∴S△ABC=12×6×4+12AC×4＝30，
解得AC＝9；
故选：B．
总结提升：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
2．（2023秋•兰山区期末）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝120°，BC＝20cm，则AM的长度为（ ）
A．20cmB．10cmC．5cmD．15cm
思路引领：延长DM交AB于点G构造全等三角形，然后得出△ADG是等边三角形即可求解．
解：延长DM交AB于点G，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠C＝∠MBG＝90°，
∵∠DMC＝∠BMG，MC＝MB，
∴△DMC≌△GMB（ASA），
∴DM＝GM，∠ADM＝∠CDM＝∠G=12∠ADC＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AM⊥DG，
∴AM=3DM，
∵DM＝CM÷sin∠CDM=2033cm，
∴AM＝20cm，
解法二：过点M作ME⊥AD．∵M是BC的中点，BC＝20cm，
∴CM＝BM＝10cm，
.∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，
∴ME＝CM＝10cm＝BM，
又∵∠B＝90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴DC∥AB，
∵∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∴∠EAM＝30°，
∴AM＝2ME＝20cm．
故选：A．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，关键是利用中点构造全等三角形．
3．（2023秋•溧水区期中）如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若AC＝9，BC＝5，则CD的长为 ．
思路引领：延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝9，BC＝5，即可推出BD的长度，再利用勾股定理即可解决问题．
解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，
∴BE＝AE，
∵BD⊥CD
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵∠BCD+∠CBD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠EBC＝∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC＝CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD＝BE，
∵AC＝9，BC＝5，
∴CE＝BC＝5，
∴AE＝AC﹣EC＝9﹣5＝4，
∴BE＝AE＝4，
∴BD＝2．
∴CD=BC2−BD2=52−22=21，
故答案为21．
总结提升：本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
4．（2023秋•惠城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝52°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝EF．
思路引领：（1）先根据等边对等角求出∠ABC，再利用三角形内角和求出∠BAC，最后利用等腰三角形的“三线合一”求∠BAD；
（2）根据BE平分∠ABC，EF∥BC即可证明．
（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝52°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝76°，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴∠BAD=12∠BAC＝38°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠FEB，
∴FB＝FE．
总结提升：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的“三线合一”性质是解题的关键．
5．(2023春•滨江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）若EF=14AD=3．则AB＝ ．
思路引领：（1）证明∠BAE+∠ABF＝90°，即可推出∠AMB＝90°，即AE⊥BF；
（2）证明DE＝AD，CF＝BC，再利用平行四边形的性质AD＝BC，证出DE＝CF，得出DF＝CE，由已知得出BC＝AD＝4EF，DE＝4EF，求出DF＝CE＝3EF，得出AB＝CD＝7EF，即可得出结果．
（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，
∴2∠BAE+2∠ABF＝180°，即∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠AMB＝90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD，
同理可得，CF＝BC，
在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∴DE＝CF，
∴DF＝CE，
∵EF=14AD，
∴BC＝AD＝4EF，
∴DE＝4EF，
∴DF＝CE＝3EF，
∴AB＝CD＝7EF＝21，
故答案为：21．
总结提升：本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6．（2023秋•正阳县期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝18，BE＝4，求AB的长．
思路引领：（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，由线段的和差关系求出答案．
（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵DE＝DF，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∵AB＝AE﹣BE＝AF﹣BE＝AC﹣CF﹣BE，
∴AB＝18﹣4﹣4＝10．
总结提升：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
7．（2023春•驿城区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝60°，BC＝6，求△ABC的面积．
思路引领：（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE＝DF，根据题意还知道∠DEB＝∠DFC，BD＝CD，从而得出△DEB≌△DFC，进而得出∠B＝∠C，即可得出结论AB＝AC；
（2）得出△ABC是等边三角形，求出AD长，则答案可求出．
证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，且BD＝CD，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
（2）解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝6，
∴CD＝3，
在Rt△ACD中，AD=62−32=33，
∴△ABC的面积为12×6×33=93．
总结提升：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8．（2023秋•北仑区期中）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AE＝10，GC＝2BG，求BG的长．
思路引领：（1）首先依据平行线的性质证明∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，然后结合角平分线的定义可证明∠B＝∠C，故此可证明△ABC为等腰三角形；
（2）首先证明△AEF≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BG的长．
（1）证明：∵AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：∵F是AC的中点，
∴AF＝CF．
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE．
由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．
在△AFE和△CFG中，
∠C=∠CAEAF=FC∠AFE=∠GFC，
∴△AFE≌△CFG（ASA）．
∴AE＝GC＝10．
∵GC＝2BG，
∴BG＝5．
总结提升：本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键．
9．（2023秋•温州月考）如图所示：∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E．
问：（1）图中有几个等腰三角形？为什么？
（2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明．
思路引领：（1）根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，因此可判断出△BDF和△CEF为等腰三角形；
（2）由（1）可得出DF＝BD，CE＝EF，所以得BD﹣CE＝DE．
（1）解：图中有2个等腰三角形即△BDF和△CEF，
理由：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD，EF＝CE，
∴△BDF和△CEF为等腰三角形；
（2）存在：BD﹣CE＝DE，
证明：∵DF＝BD，CE＝EF，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE．
总结提升：本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是证明等腰三角形，属于基础题．
10．(2023•义乌市模拟）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC＝CD．
（1）若∠ABD＝20°，求∠BCD的度数；
（2）若AB＝2，BC＝4，AC＝3，求CE长．
思路引领：（1）先利用BE是△ABC的角平分线得到∠CBD＝∠ABD＝20°，再利用等腰三角形的性质得到∠D＝∠CBD＝20°，然后根据三角形内角和定理计算∠BCD的度数；
（2）先利用∠D＝∠ABE＝∠CBD得到AB∥CD，则可证明△CED∽△AEB，再利用相似比得到CEAE=2，设AE＝x，则CE＝2x，则利用AC＝3得到x+2x＝3，然后解方程得到CE的长．
解：（1）∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝20°，
∵BC＝CD，
∴∠D＝∠CBD＝20°，
∴∠BCD＝180°﹣∠D﹣∠CBD＝180°﹣20°﹣20°＝140°；
（2）∵BC＝CD＝4，
∴∠D＝∠CBD，
∴∠D＝∠ABE＝∠CBD，
∴AB∥CD，
∴△CED∽△AEB，
∴CEAE=CDAB=42=2，
设AE＝x，则CE＝2x，
∵AC＝3，即x+2x＝3，
∴x＝1，
∴CE＝2．
总结提升：本题考查了角平分线：角的平分线把角分成两个相等的两部分．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．
11．（2023•章丘区模拟）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
思路引领：根据角平分线性质得出DE＝DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．
解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AB＝6，BC＝8，S△ABC＝28，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD=12AB•DE+12BC•DF=12DE•（AB+BC）＝28，
即12DE（6+8）＝28，
∴DE＝4．
总结提升：本题考查了角平分线的性质的应用，能根据角平分线性质得出DE＝DF是解此题的关键．
12．(2023•荆门）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．
（1）求证：△CEF≌△ADF；
（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．
思路引领：（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；
（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，
根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，
∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，
在△CEF与△ADF中，
∠CFE=∠AFD∠D=∠E=90°AD=CE，
∴△CEF≌△ADF（AAS）；
（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝x，
∴∠DCA＝∠BAC，
根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AF＝CF＝8﹣a，
在Rt△ADF中，
∵AD2+DF2＝AF2，
∴x2+a2＝（8﹣a）2，
∴a=64−x216，
∴tan∠DAF=DFAD=64−x216x．
总结提升：本题考查了锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），根据矩形的性质和折叠的性质证出AF＝CF是解题的关键．
模型一 过角平分线上的点向角角的一边或两边作垂线构造全等三角形
【模型解读】 “图中有角平分线和一边的垂线，可向另一边作垂线”．
典例1（2023秋•依安县期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．5B．7C．10D．3
针对训练
1．(2023•苏州模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4cmB．6cmC．10cmD．不能确定
2．(2023秋•广州校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝10，AC＝8，DE=4093，求点D到AC的距离．
模型二 角平分线遇平行线找等腰三角形或作平行线构造等腰三角形
【模型解读】 如图，点P在∠AOB的平分线上，若过点P作PQ∥OB，交OA于点Q，则△POQ是等腰三角形．
典例2 如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E．
（1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并加以证明；
（2）若AB＝7，AC＝5，求△ADE周长；
（3）如图，作∠ABC与∠ACB的外角平分线，它们交于点O，过点O作BC的平行线，分别交AB、AC的延长线于点F、G，你还能发现什么结论？（至少写三个），并加以证明．
针对训练
1．（2023•恩施州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
（2）求证：FB＝FE．
2．(2023春•滨江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．
（1）求证：AE⊥BF；（2）若EF=14AD=3．则AB＝ ．
模型三 利用角平分线结肠或补短构造对称图形
【模型解读】 如图，P是∠AOB的平分线上一点，点M是射线OA上任意一点，在OB上截取ON＝OM，连接PN，则△OPM≌△OPN
典例3 (2023秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线．延长BD至E，使DE＝AD，连接EC
（1）直接写出∠CDE的度数：∠CDE＝ ；
（2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为 ，并给出证明．
针对训练
1．（2023秋•新抚区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE，CD是△ABC的角平分线，BE与CD相交于点P．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求证：BC＝BD+CE．
2．（2023秋•海曙区期中）如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：
（1）证明：ED＝FD；
（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；
（3）求EF的长．
模型四 延长垂直于角平分线的垂线段构造等腰三角形
【模型解读】角平分线上遇垂直，延长下去构等腰
典例4 （2023秋•饶平县校级期末）如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA、BE交AD的延长线于点F．
（1）求证：△ABF是等腰三角形；
（2）求证：AD+BC＝AB．
针对训练
1．（2023秋•溧水区期中）如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若AC＝9，BC＝5，则CD的长为 ．
2．(2023秋•南岗区校级期中）已知：在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，BE⊥AD于E．
（1）如图1，求证：AC﹣AB＝2BE．
（2）如图2，将∠DCA沿直线AC翻折，交BA的延长线于点M，连接MD交AC于点N；MA＝BA，BE＝1，AB=2，求AN的长．
模块二 2023中考押题预测
1．（2023秋•中山市期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，AB＝6cm，DE＝4cm，S△ABC＝30cm2，则AC的长为（ ）
A．10cmB．9cmC．4.5cmD．3cm
2．（2023秋•兰山区期末）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝120°，BC＝20cm，则AM的长度为（ ）
A．20cmB．10cmC．5cmD．15cm
3．（2023秋•溧水区期中）如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若AC＝9，BC＝5，则CD的长为 ．
4．（2023秋•惠城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝52°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝EF．
5．(2023春•滨江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）若EF=14AD=3．则AB＝ ．
6．（2023秋•正阳县期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝18，BE＝4，求AB的长．
7．（驿城区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝60°，BC＝6，求△ABC的面积．
8．（2023秋•北仑区期中）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AE＝10，GC＝2BG，求BG的长．
9．（2023秋•温州月考）如图所示：∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E．
问：（1）图中有几个等腰三角形？为什么？
（2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明．
10．(2023•义乌市模拟）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC＝CD．
（1）若∠ABD＝20°，求∠BCD的度数；
（2）若AB＝2，BC＝4，AC＝3，求CE长．
11．（2023•章丘区模拟）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
12．(2023•荆门）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．
（1）求证：△CEF≌△ADF；
（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．
专题32 中考命题核心元素有关角平分线的问题（解析版）
模块一 典例剖析+针对训练
模型一 过角平分线上的点向角角的一边或两边作垂线构造全等三角形
【模型解读】 “图中有角平分线和一边的垂线，可向另一边作垂线”．
（2023秋•依安县期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．5B．7C．10D．3
思路引领：作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得到EF＝DE＝2，根据三角形面积公式计算即可．
解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积=12×BC×EF＝5．
故选：A．
总结提升：本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
针对训练
1．(2023•苏州模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4cmB．6cmC．10cmD．不能确定
思路引领：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD＝DE，利用“HL”证明△ACD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AE，然后求出△DEB的周长．
解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在△ACD和△AED中，
AD=ADCD=DE，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC＝AE，
∴△DEB的周长＝BD+DE+BE，
＝BD+CD+BE，
＝BC+BE，
＝AC+BE，
＝AE+BE，
＝AB，
∵AB＝6cm，
∴△DEB的周长为6cm．
故选：B．
总结提升：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
2．(2023秋•广州校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝10，AC＝8，DE=4093，求点D到AC的距离．
思路引领：（1）先根据∠B＝50°，∠C＝70°，求出∠BAC＝60°，然后根据角平分线的定义求出∠EDA即可；
（2）根据角平分线的性质解答即可．
解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=12∠BAC＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°
∴∠EDA＝90°﹣∠BAD＝60°；
（2）过点D作DF⊥AC于点F．
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE=4093．
∴点D到AC的距离为4093．
总结提升：此题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
模型二 角平分线遇平行线找等腰三角形或作平行线构造等腰三角形
【模型解读】 如图，点P在∠AOB的平分线上，若过点P作PQ∥OB，交OA于点Q，则△POQ是等腰三角形．
典例2 如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E．
（1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并加以证明；
（2）若AB＝7，AC＝5，求△ADE周长；
（3）如图，作∠ABC与∠ACB的外角平分线，它们交于点O，过点O作BC的平行线，分别交AB、AC的延长线于点F、G，你还能发现什么结论？（至少写三个），并加以证明．
思路引领：（1）先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDI和△CEI是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD＝DI，CE＝EI．
（2）根据△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AD+AE+DI+IE＝AB+AC即可求得．
（3）先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BFO和△CGO是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BF＝OF，CG＝OG，根据平行线的判定方法即可得出
DE∥FG．
解：（1）BD＝DI，CE＝EI，
∵BI平分∠ABC，
∴∠DBI＝∠CBI，
∵DE∥BC，
∴∠CBI＝∠DIB，
∴∠DBI＝∠DIB，
∴BD＝DI，
同理IE＝EC，
（2）∵AB＝7，AC＝5，
∴△AED的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝7+5＝12．
（3）BF＝OF，CG＝OG，DE∥FG，
∵BO平分∠FBC，
∴∠FBO＝∠CBO，
∵FG∥BC，
∴∠CBO＝∠FOB，
∴∠FBO＝∠FOB，
∴BF＝OF，
同理CG＝OG，
∵DE∥BC，FG∥BC，
∴DE∥FG，
总结提升：本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
针对训练
1．（2023•恩施州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
（2）求证：FB＝FE．
思路引领：（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵EF∥BC，
∴∠EBC＝∠BEF，
∴∠EBF＝∠FEB，
∴BF＝EF．
总结提升：本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．(2023春•滨江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）若EF=14AD=3．则AB＝ ．
思路引领：（1）证明∠BAE+∠ABF＝90°，即可推出∠AMB＝90°，即AE⊥BF；
（2）证明DE＝AD，CF＝BC，再利用平行四边形的性质AD＝BC，证出DE＝CF，得出DF＝CE，由已知得出BC＝AD＝4EF，DE＝4EF，求出DF＝CE＝3EF，得出AB＝CD＝7EF，即可得出结果．
（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，
∴2∠BAE+2∠ABF＝180°，即∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠AMB＝90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD，
同理可得，CF＝BC，
在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∴DE＝CF，
∴DF＝CE，
∵EF=14AD，
∴BC＝AD＝4EF，
∴DE＝4EF，
∴DF＝CE＝3EF，
∴AB＝CD＝7EF＝21，
故答案为：21．
总结提升：本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
模型三 利用角平分线结肠或补短构造对称图形
【模型解读】 如图，P是∠AOB的平分线上一点，点M是射线OA上任意一点，在OB上截取ON＝OM，连接PN，则△OPM≌△OPN
典例3 (2023秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线．延长BD至E，使DE＝AD，连接EC
（1）直接写出∠CDE的度数：∠CDE＝ ；
（2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为 ，并给出证明．
思路引领：（1）由角平分线的性质和三角形内角和定理可求∠CDE的度数；
（2）在BC上截取BF＝AB，由“SAS”可证△ABD≌△FBD，可得AD＝DF，∠ADB＝∠BDF＝60°，可得∴FDC＝180°﹣∠ADB﹣∠BDF＝60°＝∠EDC，由“SAS”可证△CDF≌△CDE，可得CE＝CF，则可得结论．
解：（1）∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝20°
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝60°＝∠CDE，
故答案为：60°
（2）BC＝AB+CE
理由如下：如图，在BC上截取BF＝AB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，且BD＝BD，AB＝BF，
∴△ABD≌△FBD（SAS）
∴AD＝DF，∠ADB＝∠BDF＝60°
∴∠FDC＝180°﹣∠ADB﹣∠BDF＝60°＝∠EDC，且DE＝DF，CD＝CD
∴△CDF≌△CDE（SAS）
∴CE＝CF，
∴BC＝BF+CF＝AB+CE
故答案为：BC＝AB+CE
总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
针对训练
1．（2023秋•新抚区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE，CD是△ABC的角平分线，BE与CD相交于点P．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求证：BC＝BD+CE．
思路引领：（1）先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB＝60°，则可求出答案；
（2）在CB上取点G使得CG＝CE，证明△CPE≌△CPG（SAS），得出∠CPG＝∠CPE＝60°，证明△BPD≌△BPG（ASA），得出BD＝BG，可以求得BD+CE＝BC．
解：（1）∵BE，CD是△ABC的角平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，
∵∠A＝60°，
∴∠BPC＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣60°）＝120°；
（2）证明：在BC上取点G使得CG＝CE，
∵∠BPC＝120°，
∴∠BPD＝∠CPE＝60°，
在△CPE和△CPG中，
CP=CP∠ECP=∠GCPCE=CG，
∴△CPE≌△CPG（SAS），
∴∠CPG＝∠CPE＝60°，
∴∠BPG＝120°﹣60°＝60°＝∠BPD，
在△BPD和△BPG中，
∠BPG=∠BPDBP=BP∠PBD=∠PBG，
∴△BPD≌△BPG（ASA），
∴BD＝BG，
∴BD+CE＝BG+CG＝BC．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（2023秋•海曙区期中）如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：
（1）证明：ED＝FD；
（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；
（3）求EF的长．
思路引领：（1）过D点分别作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，K，H，结合角平分线的性质，利用AAS证明△EKD≌△FHD可证得结论；
（2）根据角平分线的定义及三角形的内角和定理可得∠BDC+12（180°﹣∠A）＝180°，进而可求解；
（3）先证明∠5＝∠3，∠1＝∠6，则可判断△BED∽△CED，利用相似比可计算出ED，从而EF的长．
（1）证明：过D点分别作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，K，H，如图，
∴∠EKD＝∠FHD＝90°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴DK＝DG＝DH，
在△EKD和△FHD中，
∠DKE=∠DHF∠KED=∠HFDDK=DH，
∵AE＝AF
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△EKD≌△FHD（AAS），
∴ED＝FD；
（2）解：∠BDC＝90°+12∠A．
理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB），
∵∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴∠BDC+12（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BDC+12（180°﹣∠A）＝180°，
∴∠BDC＝90°+12∠A；
（3）解：如图，
∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠2+∠7+∠4＝180°，∠5+∠6+∠7＝180°，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6，即∠1+∠3＝∠5+∠6，
∵∠AEF＝∠AFE，
∴∠1+∠5＝∠3+∠6，
∴∠5＝∠3，∠1＝∠6，
∴△BED∽△CED，
∴ED：CF＝BE：DF，
∵DE＝DF，
则ED2＝CF⋅BE＝2×4＝8，
则ED=22，
∴EF＝2ED=42．
总结提升：本题主要考查相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用角平分线的定义与性质是解题的关键．也考查了相似三角形的判定与性质．
模型四 延长垂直于角平分线的垂线段构造等腰三角形
【模型解读】角平分线上遇垂直，延长下去构等腰
典例4 （2023秋•饶平县校级期末）如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA、BE交AD的延长线于点F．
（1）求证：△ABF是等腰三角形；
（2）求证：AD+BC＝AB．
思路引领：（1）根据角平分线的性质和等腰三角形的判定解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质解答即可．
证明：（1）∵BE平分∠CBA，
∴∠ABF＝∠CBF．
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠F．
∴∠ABF＝∠F．
∴AB＝AF，
∴△ABF是等腰三角形．
（2）∵AB＝AF，AE平分∠BAF，
∴BE＝FE．
∵AD∥BC，
∴∠CBE＝∠F，∠C＝∠CDF．
在△BCE和△FDE中，
∠CBE=∠F∠C=∠CDFBE=FE
∴△BCE≌△FDE（AAS），
∴BC＝DF．
∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
针对训练
1．（2023秋•溧水区期中）如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若AC＝9，BC＝5，则CD的长为 ．
思路引领：延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝9，BC＝5，即可推出BD的长度，再利用勾股定理即可解决问题．
解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，
∴BE＝AE，
∵BD⊥CD
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵∠BCD+∠CBD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠EBC＝∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC＝CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD＝BE，
∵AC＝9，BC＝5，
∴CE＝BC＝5，
∴AE＝AC﹣EC＝9﹣5＝4，
∴BE＝AE＝4，
∴BD＝2．
∴CD=BC2−BD2=52−22=21，
故答案为21．
总结提升：本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
2．(2023秋•南岗区校级期中）已知：在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，BE⊥AD于E．
（1）如图1，求证：AC﹣AB＝2BE．
（2）如图2，将∠DCA沿直线AC翻折，交BA的延长线于点M，连接MD交AC于点N；MA＝BA，BE＝1，AB=2，求AN的长．
思路引领：（1）延长BE交AC于F，由条件可以得出△AEB≌△AEF就可以得出BF＝2BE，进而求得CF＝BF就可以得出结论；
（2）由轴对称的性质可以得出△BCA≌△MCA，可以得出△DBM是直角三角形，进而可以得出△DCM是等腰直角三角形，就可以得出△MBD≌△CND就可以得出结论．
解：（1）如图1，延长BE交AC于F．
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2．
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝AEF＝90°．
在△AEB和△AEF中，
∠1=∠2AE=AE∠AEB=∠AEF，
∴△AEB≌△AEF（ASA）
∴AB＝AF，∠3＝∠4，BE＝FE，
∴BF＝2BE．
∵∠4＝∠5+∠C，
∴∠3＝∠5+∠C，
∵∠ABC＝∠3+∠5，
∴∠ABC＝∠5+∠C+∠5＝2∠5+∠C＝3∠C，
∴∠5＝∠C，
∴CF＝BF＝2BE．
∵AC﹣AF＝FC，
∴AC﹣AB＝2BE；
（2）如图2，作AH⊥BC于H，AK⊥CM于K，
∵∠ACH＝∠ACK，
∴AH＝AK，
∵AB＝AM，
∴△AHB≌△AKM，
∴∠ABH＝∠AMK，
∴CB＝CM，
∵AC＝AC，CB＝CM，AB＝AM，
∴△BCA≌△MCA，
∴AB＝AM，∠ACM＝∠ACB=12∠BCM，
∵AM＝AB，
∴AD＝AB＝AM，
∴△DBM是直角三角形，
∴∠BDM＝∠CDM＝90°．
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°．
∵BE＝1，AB=2，由勾股定理，得
∴AE＝1，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°．
∵∠ABC＝3∠ACB，
∴∠ACB＝22.5°，
∴∠BCM＝45°，
∴∠DMC＝45°，
∴∠BCM＝∠DMC，
∴DM＝DC．
∵AM＝AB，∠ACM＝∠ACB，
∴∠CAM＝∠CAB＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°．
∵∠ABC+∠BMD＝90°，
∴∠ACB＝∠BMD．
在△MBD和△CND中
∠BDM=∠CDMDM=DC∠BMD=∠ACB，
∴△MBD≌△CND（ASA），
∴CN＝BM＝2AB＝22，
∴AC＝2BE+AB＝2+2，
∴AN＝AC﹣CN＝2−2．
总结提升：本题考查了角平分线的性质的运用，三角形外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，勾股定理的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，轴对称的性质的运用．解答时运用全等三角形的性质求解是关键．
模块二 2023中考押题预测
1．（2023秋•中山市期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，AB＝6cm，DE＝4cm，S△ABC＝30cm2，则AC的长为（ ）
A．10cmB．9cmC．4.5cmD．3cm
思路引领：过点D作DF⊥AC于F，然后利用△ABC的面积公式列式计算即可得解．
解：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝4，
∵AB＝6，
∴S△ABC=12×6×4+12AC×4＝30，
解得AC＝9；
故选：B．
总结提升：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
2．（2023秋•兰山区期末）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝120°，BC＝20cm，则AM的长度为（ ）
A．20cmB．10cmC．5cmD．15cm
思路引领：延长DM交AB于点G构造全等三角形，然后得出△ADG是等边三角形即可求解．
解：延长DM交AB于点G，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠C＝∠MBG＝90°，
∵∠DMC＝∠BMG，MC＝MB，
∴△DMC≌△GMB（ASA），
∴DM＝GM，∠ADM＝∠CDM＝∠G=12∠ADC＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AM⊥DG，
∴AM=3DM，
∵DM＝CM÷sin∠CDM=2033cm，
∴AM＝20cm，
解法二：过点M作ME⊥AD．∵M是BC的中点，BC＝20cm，
∴CM＝BM＝10cm，
.∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，
∴ME＝CM＝10cm＝BM，
又∵∠B＝90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴DC∥AB，
∵∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∴∠EAM＝30°，
∴AM＝2ME＝20cm．
故选：A．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，关键是利用中点构造全等三角形．
3．（2023秋•溧水区期中）如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若AC＝9，BC＝5，则CD的长为 ．
思路引领：延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝9，BC＝5，即可推出BD的长度，再利用勾股定理即可解决问题．
解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，
∴BE＝AE，
∵BD⊥CD
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵∠BCD+∠CBD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠EBC＝∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC＝CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD＝BE，
∵AC＝9，BC＝5，
∴CE＝BC＝5，
∴AE＝AC﹣EC＝9﹣5＝4，
∴BE＝AE＝4，
∴BD＝2．
∴CD=BC2−BD2=52−22=21，
故答案为21．
总结提升：本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
4．（2023秋•惠城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝52°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝EF．
思路引领：（1）先根据等边对等角求出∠ABC，再利用三角形内角和求出∠BAC，最后利用等腰三角形的“三线合一”求∠BAD；
（2）根据BE平分∠ABC，EF∥BC即可证明．
（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝52°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝76°，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴∠BAD=12∠BAC＝38°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠FEB，
∴FB＝FE．
总结提升：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的“三线合一”性质是解题的关键．
5．(2023春•滨江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）若EF=14AD=3．则AB＝ ．
思路引领：（1）证明∠BAE+∠ABF＝90°，即可推出∠AMB＝90°，即AE⊥BF；
（2）证明DE＝AD，CF＝BC，再利用平行四边形的性质AD＝BC，证出DE＝CF，得出DF＝CE，由已知得出BC＝AD＝4EF，DE＝4EF，求出DF＝CE＝3EF，得出AB＝CD＝7EF，即可得出结果．
（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，
∴2∠BAE+2∠ABF＝180°，即∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠AMB＝90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD，
同理可得，CF＝BC，
在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∴DE＝CF，
∴DF＝CE，
∵EF=14AD，
∴BC＝AD＝4EF，
∴DE＝4EF，
∴DF＝CE＝3EF，
∴AB＝CD＝7EF＝21，
故答案为：21．
总结提升：本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6．（2023秋•正阳县期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝18，BE＝4，求AB的长．
思路引领：（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，由线段的和差关系求出答案．
（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵DE＝DF，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∵AB＝AE﹣BE＝AF﹣BE＝AC﹣CF﹣BE，
∴AB＝18﹣4﹣4＝10．
总结提升：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
7．（2023春•驿城区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝60°，BC＝6，求△ABC的面积．
思路引领：（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE＝DF，根据题意还知道∠DEB＝∠DFC，BD＝CD，从而得出△DEB≌△DFC，进而得出∠B＝∠C，即可得出结论AB＝AC；
（2）得出△ABC是等边三角形，求出AD长，则答案可求出．
证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，且BD＝CD，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
（2）解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝6，
∴CD＝3，
在Rt△ACD中，AD=62−32=33，
∴△ABC的面积为12×6×33=93．
总结提升：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8．（2023秋•北仑区期中）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AE＝10，GC＝2BG，求BG的长．
思路引领：（1）首先依据平行线的性质证明∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，然后结合角平分线的定义可证明∠B＝∠C，故此可证明△ABC为等腰三角形；
（2）首先证明△AEF≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BG的长．
（1）证明：∵AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：∵F是AC的中点，
∴AF＝CF．
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE．
由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．
在△AFE和△CFG中，
∠C=∠CAEAF=FC∠AFE=∠GFC，
∴△AFE≌△CFG（ASA）．
∴AE＝GC＝10．
∵GC＝2BG，
∴BG＝5．
总结提升：本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键．
9．（2023秋•温州月考）如图所示：∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E．
问：（1）图中有几个等腰三角形？为什么？
（2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明．
思路引领：（1）根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，因此可判断出△BDF和△CEF为等腰三角形；
（2）由（1）可得出DF＝BD，CE＝EF，所以得BD﹣CE＝DE．
（1）解：图中有2个等腰三角形即△BDF和△CEF，
理由：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD，EF＝CE，
∴△BDF和△CEF为等腰三角形；
（2）存在：BD﹣CE＝DE，
证明：∵DF＝BD，CE＝EF，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE．
总结提升：本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是证明等腰三角形，属于基础题．
10．(2023•义乌市模拟）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC＝CD．
（1）若∠ABD＝20°，求∠BCD的度数；
（2）若AB＝2，BC＝4，AC＝3，求CE长．
思路引领：（1）先利用BE是△ABC的角平分线得到∠CBD＝∠ABD＝20°，再利用等腰三角形的性质得到∠D＝∠CBD＝20°，然后根据三角形内角和定理计算∠BCD的度数；
（2）先利用∠D＝∠ABE＝∠CBD得到AB∥CD，则可证明△CED∽△AEB，再利用相似比得到CEAE=2，设AE＝x，则CE＝2x，则利用AC＝3得到x+2x＝3，然后解方程得到CE的长．
解：（1）∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝20°，
∵BC＝CD，
∴∠D＝∠CBD＝20°，
∴∠BCD＝180°﹣∠D﹣∠CBD＝180°﹣20°﹣20°＝140°；
（2）∵BC＝CD＝4，
∴∠D＝∠CBD，
∴∠D＝∠ABE＝∠CBD，
∴AB∥CD，
∴△CED∽△AEB，
∴CEAE=CDAB=42=2，
设AE＝x，则CE＝2x，
∵AC＝3，即x+2x＝3，
∴x＝1，
∴CE＝2．
总结提升：本题考查了角平分线：角的平分线把角分成两个相等的两部分．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．
11．（2023•章丘区模拟）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
思路引领：根据角平分线性质得出DE＝DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．
解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AB＝6，BC＝8，S△ABC＝28，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD=12AB•DE+12BC•DF=12DE•（AB+BC）＝28，
即12DE（6+8）＝28，
∴DE＝4．
总结提升：本题考查了角平分线的性质的应用，能根据角平分线性质得出DE＝DF是解此题的关键．
12．(2023•荆门）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．
（1）求证：△CEF≌△ADF；
（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．
思路引领：（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；
（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，
根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，
∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，
在△CEF与△ADF中，
∠CFE=∠AFD∠D=∠E=90°AD=CE，
∴△CEF≌△ADF（AAS）；
（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝x，
∴∠DCA＝∠BAC，
根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AF＝CF＝8﹣a，
在Rt△ADF中，
∵AD2+DF2＝AF2，
∴x2+a2＝（8﹣a）2，
∴a=64−x216，
∴tan∠DAF=DFAD=64−x216x．
总结提升：本题考查了锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），根据矩形的性质和折叠的性质证出AF＝CF是解题的关键．
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