人教版八年级数学下册同步精讲精练16.2二次根式的乘除(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册同步精讲精练16.2二次根式的乘除(原卷版+解析)，共51页。试卷主要包含了2 二次根式的乘除，9=0，7，则下列表示正确的是，5； 43．等内容，欢迎下载使用。

知识点一
二次根式的乘法
●●二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
用字母表示为：a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）.
◆1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数.
◆2、当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即根号外因数（式）之积作为根号外因数（式），被开方数之积作为被开方数，即 ma⋅ nb = mnab（a≥0，b≥0）.
◆3、二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.
知识点二
积的算术平方根
●●积的算术平方根性质：a⋅b=a•b（a≥0，b≥0）即：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积（我们把这个性质也叫做积的算术平方根的性质）.
◆1、该性质的实质是逆用二次根式的乘法法则，其成立的前提条件是：积中的每个因数（式）都必须是非负数，即公式中的a和b必须满足a≥0，b≥0，应用此性质可以化简二次根式.
◆2、在进行化简计算时，先将被开方数进行因数（式）分解，然后将能开得尽方的因数（式）开方后移到根号外.
知识点三
二次根式的除法
●●二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
用字母表示为：ab=ab（a≥0，b＞0）．
◆1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的且b不为0，即a≥0，b＞0是公式成立的必要条件．
◆2、当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式除以单项式的法则进行计算，将根号外因数（式）之商作为根号外因数（式），被开方数之商作为被开方数，即manb=mnab （a≥0，b＞0）.
◆3、若商的被开方数中含有完全平方因数，应运用积的算术平方根的性质和二次根式的性质进行化简．
知识点四
商的算术平方根
商的算术平方根性质：ab=ab（a≥0，b＞0）即：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.（我们把这个性质也叫做商的算术平方根的性质）.
◆1、该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0.
◆2、该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为ab（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可.
知识点五
最简二次根式
◆1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
◆2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
题型一 利用二次根式的乘法法则进行计算
【例题1】(2023秋•郸城县月考）下列计算正确的是（ ）
A．45×25=85 B．53×42=205
C．43×22=75 D．53×42=206
【变式1-1】(2023秋•绥化期末）计算: 22×3的结果为（ ）
A．12B．26C．62D．25
【变式1-2】(2023秋•社旗县期中）计算12×32的结果是（ ）
A．16B．±16C．4D．±4
【变式1-3】(2023秋•普陀区期中）下列等式中，一定成立的是（ ）
A．（a）2＝aB．a2=a
C．a2+b2=a+bD．ab=a•b
【变式1-4】计算:
（1）； （2）；
（3）； （4）.
题型二 直接运用积的算术平方根的性质化简
【例题2】化简下列各题：
27 （2） 50 （3）332；
（4）7×112； （5）18y3（y≥0）； （6）16a2b5（a≥0，b≥0）；
【变式2-1】(2023•河北）下列正确的是（ ）
A．4+9=2+3 B．4×9=2×3 C．94=32 D．4.9=0.7
【变式2-2】给出下面四种解答过程，其中运算正确的是（ ）
A．(−25)×(−16)=−25×−16=（﹣5）×（﹣4）＝20
B．(−25)×(−16)=±25×16=±（5）×（4）＝±20
C．(−25)×(−16)=25×16=5×4＝20
D．352−212=35﹣21＝14
【变式2-3】（2023春•饶平县校级期中）若a＜0，b＞0，则化简a2b3的结果为（ ）
A．ababB．﹣abbC．abbD．ab2b
【变式2-4】设5=a，6=b，用含a，b的式子表示2.7，则下列表示正确的是（ ）
A．0.3abB．3abC．0.1ab2D．0.1a2b
【变式2-5】(2023春•临邑县期末）阅读与思考：
请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：4×25=100=10，4×25=2×5＝10．所以4×25=4×25．
小明：（4×25）2＝4×25＝100．（4×25）2＝（2×5）2＝100．
这就说明4×25和4×25都是4×25的算术平方根，而4×25的算术平方根只有一个，所以4×25=4×25．
任务：
（1）猜想：当a≥0，b≥0时，ab和a×b之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明：
（2）运用以上结论．计算：①16×36；②49×121；
（3）解决实际问题：已知一个长方形的长为100，宽为49，求这个长方形的面积．
题型三 二次根式的乘法运算及化简
【例题3】计算．
（1）36×210； （2）418×3223； （3）23×325×315．
【变式3-1】计算或化简：
（1）5×20； （2） 2a3⋅8a(a≥0)；
（3）57×321； （4）2312×3×1224；
（5）32x•6x3y5； （6）572−432．
【变式3-2】计算下列各题：
（1）23×12×143． （2）135•23•（−1210）；
（3）﹣5827×113×54； （4）(−4)×259×(−169)；
（5）3220×（−15）×（−1348）； （6）4m5n2+8m4n3（m＞0，n＞0）．
题型四 利用二次根式的除法法则进行计算
【例题4】(2023秋•洛宁县月考）计算112÷16的结果是（ ）
A．3B．3C．12D．22
【变式4-1】(2023春•莱西市期中）下列运算中正确的是（ ）
A．25•35=65 B．(23)2=6 C．6÷23=3 D．63=22
【变式4-2】(2023春•东莞市期中）计算8a÷2a的结果为（ ）
A．2B．6aC．2D．4a
【变式4-3】计算：
（1）72÷2 （2）12÷272；
（3）320÷32223． （4）113÷213÷125，
题型五 直接运用商的算术平方根的性质化简
【例题5】化简：
（1）516； （2）313； （3）18a(a＞0)； （4）9y8x（x＞0，y≥0）；
【变式5-1】(2023春•怀仁市期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①ab•ba=1；②ab=ab；③ab÷ab=−b，其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【变式5-2】化简：
（1）12136； （2）119
（3）81x225y2（x≥0，y＞0）． （4）9x64y2（x＞0，y＞0）
【变式5-3】(2023秋•虹口区校级期中）已知a＜0，那么−4ab可化简为（ ）
A．2b−abB．−2babC．−2b−abD．2b−ab
【变式5-4】(2023秋•静安区校级期中）已知xy＜0，化简二次根式−xy2y的值是（ ）
A．xB．−xC．−xD．−−x
【变式5-5】(2023春•武隆区校级期中）把二次根式a−1a化简为（ ）
A．−−aB．−aC．−aD．a
题型六 二次根式的乘除混合运算
【例题6】（2023秋•嘉定区期中）计算：230.2÷15115×1224．
【变式6-1】(2023秋•即墨区校级月考）计算16÷2×12正确的是（ ）
A．4B．2C．7D．±2
【变式6-2】(2023•惠阳区校级开学）计算：
（1）12÷27×18；
（2）123÷213×125；
（3）126×412÷(232)．
【变式6-3】(2023秋•闵行区校级期中）计算：2x1x÷34x3•169x4
【变式6-4】(2023秋•奉贤区期中）计算2bab2÷13ba⋅(−32a3b)．
【变式6-5】(2023秋•虹口区校级月考）化简：13−x2y•(−4−y2x)÷161x3y．
题型七 去掉分母中的二次根号
【例题7】把下列各式中的分母化去：
（1）2348； （2）3a+2； （3）25−3； （4）x−yx+y；
【变式7-1】化去下列各式中分母中的根号：
（1）72； （2）218；
（3）36x（x＞0）； （4）22a2b（a＞0，b＞0）；
（5）113； （6）3x2y（x＞0，y＞0）．
【变式7-2】(2023春•平桥区校级期末）下列各式中，与3−5的积为有理数的是（ ）
A．3−5B．3+5C．5D．−3+5
【变式7-3】(2023秋•长宁区校级期中）在下列各式中，二次根式a−b的有理化因式（ ）
A．a+bB．a+bC．a−bD．a−b
【变式7-4】二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如32=3×22×2=62，23−3=2(3+3)(3−3)(3+3)=32+66．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化：
（1）2340；
（2）35−2335+23；
（3）aba2b−ab2．
【变式7-5】化去式子 x−2+x2−4x+2+x2−4(x＞2)中的根号是 ．
题型八 最简二次根式的识别
【例题8】（2023秋•射洪市校级月考）下列根式中，属最简二次根式的是（ ）
27B．x2+1C．12D．a2b
【变式8-1】（2023秋•金山区期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．9aB．3a3C．a+12D．a2−b2
【变式8-2】(2023•南岗区校级开学）将下列二次根式化为最简二次根式后，被开方数与2的被开方数不同的是（ ）
A．12B．18C．50D．12
【变式8-3】(2023秋•长宁区校级期中）二次根式中：a2+b2、0.5、4a、x3y是最简二次根式的是 ．
【变式8-4】(2023•郑州二模）若x−2是最简二次根式，写出一个符合条件的x的值： ．
【变式8-5】(2023秋•罗湖区校级期中）下列实数（1）6；（2）2；（3）15（4）x2+1；（5）12−3中，最简二次根式的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
题型九 化二次根式为最简二次根式
【例题9】(2023春•灵宝市期中）把下列二次根式化简最简二次根式：
（1）32； （2）40； （3）1.5； （4）43．
【变式9-1】(2023春•陇县期末）将二次根式50化为最简二次根式 ．
【变式9-2】(2023春•浉河区期末）把45化成最简二次根式为 ．
【变式9-3】（2023春•永嘉县校级期中）化简成最简二次根式：512= ；638= ．
【变式9-4】（2023春•靖宇县期末）二次根式2x2y3（x、y均为正数）化成最简二次根式，结果为 ．
【变式9-5】在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
（1）45 （2）13 （3）52 （4）0.5 （5）145．
题型十 利用二次根式的乘除法进行化简求值
【例题10】已知为奇数，且求的值.
【变式10-1】（2023秋•长春期末）先化简，再求值：6x2+2xy﹣8y2﹣2（3xy﹣4y2+3x2），
其中x=2，y=6．
【变式10-2】（2023春•红安县期中）先化简，再求值：2x⋅xy⋅(yx÷1y)，其中实数x、y满足y=x−3+6−2x+2．
【变式10-3】(2023秋•青浦区校级期中）先化简再求值：x−2xy+yx−y÷1x+2xy+y，其中x=13+22，y=13−22．
解题技巧提炼
1、运用二次根式的乘法法则进行计算时，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方;
2、当二次根式外有因数（式）时，就把根号外因数（式）相乘的积作为积中根号前的系数，把所有被开方数相乘的积作为被开方数.
解题技巧提炼
利用积的算术平方根的性质进行化简时要注意三点：
一是公式中的限制条件，若积中的因数（式）不是非负数应先将其化为非负数，再运用公式化简；
二是被开方法数一定是乘积的形式；
三是二次根式中的隐含条件的挖掘.
解题技巧提炼
二次根式的乘法运算的实质是对法则a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）的正用与逆用的一个综合的过程，不仅仅是简单的把两个被开方数相乘，更重要的是对所得积进行化简.
解题技巧提炼
二次根式的除法运算的过程中能约分的要先约分，最后的结果要运用积的算术平方根的性质进行化简.
解题技巧提炼
直接利用商的算术平方根的性质化简时，若分母中含有开不尽方的因数（式），可根据分式的基本性质，先将分式中的分子、分母同时乘一个不为0 的数（式），使分母变为一个完全平方数（式），然后利用商的算术平方根的性质进行化简.
解题技巧提炼
二次根式的乘除法混合运算与整式的乘除法混合运算的方法相同，整式乘除法的法则和公式在二次根式乘除法中仍然适用，在运算时要注意运算符号和运算的顺序，若被开方数是带分数要将带分数化为假分数.
解题技巧提炼
去掉分母中的根号一般分为三步：
“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数（式）移到根号外；
“二乘”，即将分子、分母同时乘分母的有理化因数（式）；
“三化”，即化简计算.
解题技巧提炼
判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足下面的两个条件：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件缺一不可.
解题技巧提炼
化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数
解题技巧提炼
利用二次根式的乘除法进行化简求值的步骤：
1、先根据二次根式的乘除法运算法则把原式化简；
2、将所给的字母的值代入到化简后的式子中进行计算.
八年级下册数学《第十六章 二次根式》
16.2 二次根式的乘除
知识点一
二次根式的乘法
●●二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
用字母表示为：a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）.
◆1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数.
◆2、当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即根号外因数（式）之积作为根号外因数（式），被开方数之积作为被开方数，即 ma⋅ nb = mnab（a≥0，b≥0）.
◆3、二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.
知识点二
积的算术平方根
●●积的算术平方根性质：a⋅b=a•b（a≥0，b≥0）即：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积（我们把这个性质也叫做积的算术平方根的性质）.
◆1、该性质的实质是逆用二次根式的乘法法则，其成立的前提条件是：积中的每个因数（式）都必须是非负数，即公式中的a和b必须满足a≥0，b≥0，应用此性质可以化简二次根式.
◆2、在进行化简计算时，先将被开方数进行因数（式）分解，然后将能开得尽方的因数（式）开方后移到根号外.
知识点三
二次根式的除法
●●二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
用字母表示为：ab=ab（a≥0，b＞0）．
◆1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的且b不为0，即a≥0，b＞0是公式成立的必要条件．
◆2、当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式除以单项式的法则进行计算，将根号外因数（式）之商作为根号外因数（式），被开方数之商作为被开方数，即manb=mnab （a≥0，b＞0）.
◆3、若商的被开方数中含有完全平方因数，应运用积的算术平方根的性质和二次根式的性质进行化简．
知识点四
商的算术平方根
商的算术平方根性质：ab=ab（a≥0，b＞0）即：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.（我们把这个性质也叫做商的算术平方根的性质）.
◆1、该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0.
◆2、该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为ab（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可.
知识点五
最简二次根式
◆1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
◆2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
题型一 利用二次根式的乘法法则进行计算
【例题1】(2023秋•郸城县月考）下列计算正确的是（ ）
A．45×25=85 B．53×42=205
C．43×22=75 D．53×42=206
分析：直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：A.45×25=40，故此选项不合题意；
B.53×42=206，故此选项不合题意；
C.43×22=86，故此选项不合题意；
D.53×42=206，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式1-1】(2023秋•绥化期末）计算: 22×3的结果为（ ）
A．12B．26C．62D．25
分析：直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：22×3=26．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式1-2】(2023秋•社旗县期中）计算12×32的结果是（ ）
A．16B．±16C．4D．±4
分析：直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式=12×32
=16
＝4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．
【变式1-3】(2023秋•普陀区期中）下列等式中，一定成立的是（ ）
A．（a）2＝aB．a2=a
C．a2+b2=a+bD．ab=a•b
分析：根据二次根的性质及二次根式的乘法的法则进行分析即可．
【解答】解：A、（a）2＝a一定成立，故A符合题意；
B、当a＜0时，a2=−a，故B不符合题意；
C、(a+b)2=a+b（a+b≥0），故C不符合题意；
D、ab=a⋅b（a≥0，b≥0），故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的乘法，二次根式的性质，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式1-4】计算:
（1）； （2）；
（3）； （4）.
分析：根据二次根式的乘法法则进行计算就是被开方数相乘，然后再开方.
【解答】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式=
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．
题型二 直接运用积的算术平方根的性质化简
【例题2】化简下列各题：
27 （2） 50 （3）332；
（4）7×112； （5）18y3（y≥0）； （6）16a2b5（a≥0，b≥0）；
分析：应用积的算术平方根的性质的前提是将被开方数写成非负数的乘积的形式.
【解答】解：（1）27=3×32=33；
（2）50=52；
（3）332=122；
（4）7×112=28；
（5）18y3=3y2y；
（6）16a2b5＝4ab2b；
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练逆用二次根式的运算法则即积的算术平方根的性质．
【变式2-1】(2023•河北）下列正确的是（ ）
A．4+9=2+3 B．4×9=2×3 C．94=32 D．4.9=0.7
分析：根据4+9=13判断A选项；根据ab=a•b（a≥0，b≥0）判断B选项；根据a2=|a|判断C选项；根据算术平方根的定义判断D选项．
【解答】解：A、原式=13，故该选项不符合题意；
B、原式=4×9=2×3，故该选项符合题意；
C、原式=(92)2=92，故该选项不符合题意；
D、0.72＝0.49，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握ab=a•b（a≥0，b≥0）是解题的关键．
【变式2-2】给出下面四种解答过程，其中运算正确的是（ ）
A．(−25)×(−16)=−25×−16=（﹣5）×（﹣4）＝20
B．(−25)×(−16)=±25×16=±（5）×（4）＝±20
C．(−25)×(−16)=25×16=5×4＝20
D．352−212=35﹣21＝14
分析：算术平方根的含义和求法，逐项判断即可．
【解答】解：∵(−25)×(−16)≠−25×−16，
∴选项A不符合题意；
∵(−25)×(−16)=25×16=5×4＝20，
∴选项B不符合题意；
∵(−25)×(−16)=25×16=5×4＝20，
∴选项C符合题意；
∵352−212=28≠14，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．
【变式2-3】（2023春•饶平县校级期中）若a＜0，b＞0，则化简a2b3的结果为（ ）
A．ababB．﹣abbC．abbD．ab2b
分析：根据二次根式的性质，进行化简即可．
【解答】解：a2b3=|ab|b=−abb，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟记二次根式的性质．
【变式2-4】设5=a，6=b，用含a，b的式子表示2.7，则下列表示正确的是（ ）
A．0.3abB．3abC．0.1ab2D．0.1a2b
分析：首先，把2.7化为270100的形式；然后继续将上式化简，得到含有5，6的形式，进而即可解答本题．
【解答】解：2.7
=270100
=5×6×32100
=310×5×6
＝0.3ab．
故选：A．
【点评】此题主要考查二次根式的化简，关键是熟练掌握二次根式的性质与乘法法则．
【变式2-5】(2023春•临邑县期末）阅读与思考：
请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：4×25=100=10，4×25=2×5＝10．所以4×25=4×25．
小明：（4×25）2＝4×25＝100．（4×25）2＝（2×5）2＝100．
这就说明4×25和4×25都是4×25的算术平方根，而4×25的算术平方根只有一个，所以4×25=4×25．
任务：
（1）猜想：当a≥0，b≥0时，ab和a×b之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明：
（2）运用以上结论．计算：①16×36；②49×121；
（3）解决实际问题：已知一个长方形的长为100，宽为49，求这个长方形的面积．
分析：（1）由题意可得当a≥0，b≥0时，ab=a×b；
（2）根据法则计算①16×36=16×36；②49×121=49×121；
（3）由长方形的面积可求S=100×49=100×49，再化简求值即可．
【解答】解：（1）当a≥0，b≥0时，ab=a×b；
例如：∵4×9=6，4×9=6，
∴4×9=4×9；
（2）：①16×36
=16×36
＝4×6
＝24；
②49×121
=49×121
＝7×11
＝77；
（3）∵长方形的长为100，宽为49，
∴S=100×49=70，
答：这个长方形的面积为70．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键．
题型三 二次根式的乘法运算及化简
【例题3】计算．
（1）36×210； （2）418×3223； （3）23×325×315．
分析：（1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案．
（2）根据二次根式的乘法运算即可求出答案．
（3）根据二次根式的乘法运算即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝3×2×6×10
＝660
＝1215．
（2）原式＝4×32×32×63
＝122×62
＝123．
（3）原式＝315×315
＝9×15
＝135
【点评】本题考查二次根式的乘法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘法运算法则，本题属于基础题型．
【变式3-1】计算或化简：
（1）5×20； （2） 2a3⋅8a(a≥0)；
（3）57×321； （4）2312×3×1224；
（5）32x•6x3y5； （6）572−432．
分析：（1）直接利用二次根式的乘法运算计算得出答案；
（2）直接利用利用二次根式的性质化简得出答案；
（3）直接利用二次根式的乘法运算计算得出答案；
（4）直接利用二次根式的乘法运算计算得出答案；
（5）直接利用二次根式的乘法运算计算得出答案；
（6）直接利用二次根式的乘法运算计算得出答案．
【解答】解：（1）5×20=5×25=10；
(2)2a3⋅8a(a≥0)
＝a2a•22a
＝4a2；
（3）57×321
＝157×21
＝15×73
＝1053；
（4）2312×3×1224
=23×23×3×12×26
=23×2×3×12×26
＝46；
（5）32x•6x3y5
＝32x⋅6x3y5
＝312x2y5
＝6xy23y；
（6）572−432
=(57−43)×(57+43)
＝1014．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
【变式3-2】计算下列各题：
（1）23×12×143． （2）135•23•（−1210）；
（3）﹣5827×113×54； （4）(−4)×259×(−169)；
（5）3220×（−15）×（−1348）； （6）4m5n2+8m4n3（m＞0，n＞0）．
分析：（1）（2）（3）（4）（5）把二次根式外面的数和里面的数分别相乘，再把结果化为最简二次根式即可；
（6）4m5n2+8m4n3的被开方数中，两项含有公因式4m4n2，把根式化为最简二次根式即可．
【解答】解：
（1）23×12×143
＝2×14×3×12×3
＝2×14×36×3
=12×63
＝33．
（2）135•23•（−1210）
＝2×（−12）×85×3×10
=−48
＝﹣43；
（3）﹣5827×113×54
＝﹣5827×43×54
=−4033；
（4）(−4)×259×(−169)
=4×259×169
＝2×53×13
=1303；
（5）3220×（−15）×（−1348）
=32×（﹣1）×（−13）×20×15×48
=12×120
＝60；
（6）4m5n2+8m4n3
=4m4n2(m+2n)
＝2m2nm+2n．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，在解答此类题目时要注意结果化为最简二次根式．
题型四 利用二次根式的除法法则进行计算
【例题4】(2023秋•洛宁县月考）计算112÷16的结果是（ ）
A．3B．3C．12D．22
分析：根据二次根式的除法的法则进行运算，再化简即可．
【解答】解：112÷16
=32÷16
=32×6
=9
＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的除法，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式4-1】(2023春•莱西市期中）下列运算中正确的是（ ）
A．25•35=65 B．(23)2=6 C．6÷23=3 D．63=22
分析：直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案．
【解答】解：A.25•35=30，故此选项不合题意；
B．（23）2＝12，故此选项不合题意；
C.6÷23=3，故此选项符合题意；
D.63=23，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式4-2】(2023春•东莞市期中）计算8a÷2a的结果为（ ）
A．2B．6aC．2D．4a
分析：直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：8a÷2a=4=2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键．
【变式4-3】计算：
（1）72÷2 （2）12÷272；
（3）320÷32223． （4）113÷213÷125，
分析：（1）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式；
（2）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式．
【解答】解：
（1）72÷2，
=722，
=36，
＝6，
（2）原式=12÷272
=12×227
=89
=223；
（3）原式＝（3÷32）×20÷83
＝220×38
＝2304
＝2×302
=30．
（4）113÷213÷125，
=43×37×57，
=4×57×7，
=257，
【点评】本题考查二次根式的混合运算，掌握ab=ab（a≥0，b＞0）是解题关键．
题型五 直接运用商的算术平方根的性质化简
【例题5】化简：
（1）516； （2）313； （3）18a(a＞0)； （4）9y8x（x＞0，y≥0）；
分析：根据二次根式乘除法的运算法则，结合二次根式的性质进行化简计算．
【解答】解：（1）原式=542
=54；
（2）原式=103
=10×33×3
=303；
（3）原式=32×2aa×a
=32aa；
（4）原式=32y×2x8x⋅2x
=32xy4x；
【点评】本题考查二次根式的乘除法运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式乘除法运算法则是解题关键．
【变式5-1】(2023春•怀仁市期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①ab•ba=1；②ab=ab；③ab÷ab=−b，其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
分析：根据题意得出a，b的值，进而利用二次根式的性质化简求出即可．
【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0，
∴①ab•ba=1，正确；②ab=ab，错误；③ab÷ab=−b，正确，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
【变式5-2】化简：
（1）12136； （2）119
（3）81x225y2（x≥0，y＞0）． （4）9x64y2（x＞0，y＞0）
分析：（1）直接利用二次根式的性质化简求出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简求出答案；
（3）直接利用二次根式的性质化简求出答案．
（4）运用二次根式商的算术平方根的性质，开平方化简，但注意字母的取值范围．
【解答】解：（1）12136=116；
（2）119=109=103；
（3）81x225y2（x≥0，y＞0）
=9x5y．
（4）9x64y2
=9x64y2
=3x8y．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
【变式5-3】(2023秋•虹口区校级期中）已知a＜0，那么−4ab可化简为（ ）
A．2b−abB．−2babC．−2b−abD．2b−ab
分析：根据a＜0，−4ab＞0，得出b＞0，然后化简二次根试．
【解答】解：∵a＜0，−4ab＞0，
∴b＞0，
∴原式=2−abb，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
【变式5-4】(2023秋•静安区校级期中）已知xy＜0，化简二次根式−xy2y的值是（ ）
A．xB．−xC．−xD．−−x
分析：首先依据二次根式的被开方数为非负数可得到﹣xy2≥0，由此可得到x的取值范围，然后依据xy＜0可得到y的取值范围；接下来，依据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：由题意可知﹣xy2≥0．
因为y2＞0，
所以﹣x≥0，
所以x≤0，
又因为xy＜0，
所以x＜0，y＞0，
所以−xy2y=y−xy=−x．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
【变式5-5】(2023春•武隆区校级期中）把二次根式a−1a化简为（ ）
A．−−aB．−aC．−aD．a
分析：先根据被开方数判断a的符号，然后确定二次根式a−1a的符号，最后根据二次根式的性质进行化简．
【解答】解：∵−1a＞0，
∴a＜0，
∴二次根式a−1a＜0，
∴二次根式a−1a化简为−−a．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简以及二次根式有意义的条件，解题的关键是根据被开方数是非负数确定a的符号．
题型六 二次根式的乘除混合运算
【例题6】（2023秋•嘉定区期中）计算：230.2÷15115×1224．
分析：先把二次根式外面的数移到里面，再从左到右依次计算即可．
【解答】解：原式=49×15÷125×65×14×24
=445÷6125×6
=445×1256×6
=1009
=103．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，熟知二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键．
【变式6-1】(2023秋•即墨区校级月考）计算16÷2×12正确的是（ ）
A．4B．2C．7D．±2
分析：直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而得出答案．
【解答】解：原式=16÷2×12
=4
＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式6-2】(2023•惠阳区校级开学）计算：
（1）12÷27×18；
（2）123÷213×125；
（3）126×412÷(232)．
分析：（1）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可；
（2）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可；
（3）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）12÷27×18
＝23÷33×32
＝2×13×32
＝22；
（2）123÷213×125
=53÷73×75
=53×37×75
=1
＝1；
（3）126×412÷（232）
=12×4×326×12÷2
＝336
＝3×6
＝18．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，能正确根据二次根式的乘除法法则进行计算是解此题的关键．
【变式6-3】(2023秋•闵行区校级期中）计算：2x1x÷34x3•169x4
分析：直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式=2x3×161x⋅14x3⋅9x4
=x9×32
=x6．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
【变式6-4】(2023秋•奉贤区期中）计算2bab2÷13ba⋅(−32a3b)．
分析：根据二次根式的乘除法则及二次根式的化简进行运算．
【解答】解：原式=−2b×3×32×ab2⋅ab⋅a3b
=−9ba5b2
=−9ba2ba
=−9a2a．
【点评】本题考查了二次根式乘除法则及二次根式的化简，熟悉发则是解题的关键．
【变式6-5】(2023秋•虹口区校级月考）化简：13−x2y•(−4−y2x)÷161x3y．
分析：根据二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵−x2y＞0，−y2x＞0，1x3y＞0，
∴x＜0，y＜0，
原式=−43（(−x2y)(−y2x)÷161x3y
=−43xy×6x3y
＝﹣8|x2|•|y|．
＝﹣8x2•（﹣y）
＝8x2y．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简的方法进行求解是解决本题的关键．
题型七 去掉分母中的二次根号
【例题7】把下列各式中的分母化去：
（1）2348； （2）3a+2； （3）25−3； （4）x−yx+y；
分析：（1）分母是348，先化简，再分母有理化；
（2）分母a+2的有理化因式仍是a+2；
（3）分母5−3的有理化因式是5+3；
（4）分子x﹣y可以分解成(x+y)(x−y)；后，直接与分母约分，从而化去分母；
【解答】解：（1）2348=23×43=2⋅3123⋅3=636；
（2）3a+2=3a+2a+2⋅a+2=3a+2a+2；
（3）25−3=2(5+3)(5−3)(5+3)=2(5+3)5−3=5+3；
（4）x−yx+y=(x+y)(x−y)x+y=x−y；
【点评】此题考查分母有理化，分母有理化是化简二次根式的一种重要方法．分母有理化时，应结合题目的具体特点，选择适当的方法．
【变式7-1】化去下列各式中分母中的根号：
（1）72； （2）218；
（3）36x（x＞0）； （4）22a2b（a＞0，b＞0）；
（5）113； （6）3x2y（x＞0，y＞0）．
分析：分别根据分母有理化化简即可．
【解答】解：（1）72=7×22×2=142；
（2）218=2×218×2=23；
（3）36x=36x6x⋅6x=6x2x；
（4）22a2b=2×2b2a2b⋅2b=2bab；
（5）113=11⋅33⋅3=333；
（6）3x2y=3yx2y⋅y=3yxy．
【点评】本题考查了利用二次根式的性质化简，确定出分母有理化因式是解题的关键．
【变式7-2】(2023春•平桥区校级期末）下列各式中，与3−5的积为有理数的是（ ）
A．3−5B．3+5C．5D．−3+5
分析：将无理数化成有理数的方法之一是利用平方差公式，根据这一解题技巧逐一判断各选项即可求解．
【解答】解：根据（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
（3+5）（3−5）＝32﹣（5）2＝9﹣5＝4，
4为有理数，
故选：B．
【点评】本题考查了有理化的基本公式，解题关键在于熟记（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【变式7-3】(2023秋•长宁区校级期中）在下列各式中，二次根式a−b的有理化因式（ ）
A．a+bB．a+bC．a−bD．a−b
分析：二次根式a−b的有理化因式就是与原式相乘可以将原式中的根号化去的式子，即可得出答案．
【解答】解：A.a+b⋅a−b=a2−b2，故选项不符合题意；
B.(a+b)a−b=a2−ab+ab−b2，故选项不符合题意；
C.a−b⋅a−b=a−b，故选项符合题意；
D.(a−b)a−b=a2−ab−ab−b2，故选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟练利用定义得出是解题关键．
【变式7-4】二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如32=3×22×2=62，23−3=2(3+3)(3−3)(3+3)=32+66．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化：
（1）2340；
（2）35−2335+23；
（3）aba2b−ab2．
分析：（1）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式化简即可；
（2）分子分母直接乘以分母的有理化因式化简即可；
（3）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式化简即可．
【解答】解：（1）2340
=2610
=2⋅10610⋅10
=2060
=2560
=530；
（2）35−2335+23
=(35−23)2(35+23)(35−23)
=57−1215(35)2−(23)2
=19−41511；
（3）aba2b−ab2
=abab−ba
=ab(ab+ba)(ab−ba)(ab+ba)
=ab(ab+ba)a2b−ab2
=ab+baa−b．
【点评】本题考查二次根式化简，分母有理化等知识，解题的关键是掌握分母有理化的方法．
【变式7-5】化去式子 x−2+x2−4x+2+x2−4(x＞2)中的根号是 ．
分析：若直接分母有理化比较麻烦，根据本题特点，分子、分母分别分解因式，然后约分．
【解答】解：x−2+x2−4x+2+x2−4(x＞2)=(x−2)2+(x+2)(x−2)(x+2)2+(x+2)(x−2)=x−2(x−2+x+2)x+2(x+2+x−2)=x−2x+2=x2−4x+2．
【点评】此题考查分母有理化，分母有理化是化简二次根式的一种重要方法．分母有理化时，应结合题目的具体特点，选择适当的方法．
题型八 最简二次根式的识别
【例题8】（2023秋•射洪市校级月考）下列根式中，属最简二次根式的是（ ）
A．27B．x2+1C．12D．a2b
分析：依据最简二次根式的概念对各选项进行判断即可．二次根式的被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；分母中不含有根号．我们把满足上述条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【解答】解：A．27=33，故本选项不符合题意；
B．x2+1属于最简二次根式，故本选项符合题意；
C．12=22，故本选项不符合题意；
D．a2b=|a|b，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，能够正确化简二次根式是解题的关键．
【变式8-1】（2023秋•金山区期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．9aB．3a3C．a+12D．a2−b2
分析：根据最简二次根式的定义对各选项进行分析即可．
【解答】解：A、9a=3a，不符合题意；
B、3a3=a3a，不符合题意；
C、a+12=2(a+1)2，不符合题意；
D、a2−b2是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是最简二次根式，熟知最简二次根式的条件是解题的关键．
【变式8-2】(2023•南岗区校级开学）将下列二次根式化为最简二次根式后，被开方数与2的被开方数不同的是（ ）
A．12B．18C．50D．12
分析：根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【解答】解：A、原式=122，被开方数与2的被开方数相同，故此选项不符合题意；
B、原式＝32，被开方数与2的被开方数相同，故此选项不符合题意；
C、原式＝52，被开方数与2的被开方数相同，故此选项不符合题意；
D、原式＝23，被开方数与2的被开方数不同，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．
【变式8-3】(2023秋•长宁区校级期中）二次根式中：a2+b2、0.5、4a、x3y是最简二次根式的是 ．
分析：根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：0.5=12=22，被开方数含分母，不是最简二次根式，
4a=2a，x3y=|x|xy，被开方数中含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，
a2+b2是最简二次根式，
故答案为：a2+b2．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
【变式8-4】(2023•郑州二模）若x−2是最简二次根式，写出一个符合条件的x的值： ．
分析：根据二次根式的被开方数是非负数得到x的取值范围，写一个符合题意的x的值即可．
【解答】解：∵x﹣2≥0，
∴x≥2，
故答案为：4（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【变式8-5】(2023秋•罗湖区校级期中）下列实数（1）6；（2）2；（3）15（4）x2+1；（5）12−3中，最简二次根式的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
分析：根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【解答】解：（1）6是最简二次根式；
（2）2是整数，不是二次根式；
（3）15=55，因此15不是最简二次根式；
（4）x2+1是最简二次根式；
（5）12−3=2+3(2−3)(2+3)=2+3，因此12−3不是最简二次根式；
综上所述，最简二次根式有：6，x2+1，共两个，
故选：C．
【点评】本题考查最简二次根式，分母有理化，掌握最简二次根式的定义是正确判断的前提．
题型九 化二次根式为最简二次根式
【例题9】(2023春•灵宝市期中）把下列二次根式化简最简二次根式：
（1）32； （2）40； （3）1.5； （4）43．
分析：（1）把32写成16×2，然后化简；
（2）把40写成4×10，然后化简；
（3）先把小数写成分数，然后把分母有理化；
（4）分子分母都乘以3，然后化简．
【解答】解：（1）32=16×2=42；
（2）40=4×10=210；
（3）1.5=32=3×22×2=62；
（4）43=4×33×3=233．
【点评】此题主要考查了最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【变式9-1】(2023春•陇县期末）将二次根式50化为最简二次根式 ．
分析：根据最简二次根式的概念即可求出答案．
【解答】解：原式＝52，
故答案为：52
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的概念．
【变式9-2】(2023春•浉河区期末）把45化成最简二次根式为 ．
分析：根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：45=4×55×5=255，
故答案为：255．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义和二次根式的性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．
【变式9-3】（2023春•永嘉县校级期中）化简成最简二次根式：512= ；638= ．
分析：直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝5×23=103，
故答案为：103；
（2）原式＝6×64=362．
故答案为：362．
【点评】此题考查的是二次根式，掌握其性质概念是解决此题关键．
【变式9-4】（2023春•靖宇县期末）二次根式2x2y3（x、y均为正数）化成最简二次根式，结果为 ．
分析：根据a2=|a|计算即可．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，
∴2x2y3=xy2y，
故答案为：xy2y．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握最简二次根式的概念、二次根式的性质是解题的关键．
【变式9-5】在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
（1）45 （2）13 （3）52 （4）0.5 （5）145．
分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：（1）45=35，含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．
（2）13=33，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；
（3）52，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；
（4）0.5=12=22，在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；
（5）145=95=355，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
题型十 利用二次根式的乘除法进行化简求值
【例题10】已知为奇数，且求的值.
分析：根据二次根式有意义的条件，结合题意求出x的值，把原式化简，代入计算即可.
【解答】解：∵ ,
∴解得：∴ ∴的取值范围为：.
∵为奇数，∴
∴原式=
故答案为：.
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，二次根式的性质，利用二次根式的性质确定x的取值范围是解题的关键．
【变式10-1】（2023秋•长春期末）先化简，再求值：6x2+2xy﹣8y2﹣2（3xy﹣4y2+3x2），
其中x=2，y=6．
分析：根据整式的加减法则进行化简，再把值代入计算即可求解．
【解答】解：原式＝6x2+2xy﹣8y2﹣6xy+8y2﹣6x2
＝（6x2﹣6x2）+（2xy﹣6xy）+（﹣8y2+8y2）
＝﹣4xy．
当x=2，y=6时，
原式＝﹣4×2×6
＝﹣83．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值、二次根式乘法，解决本题的关键是准确进行整式的加减．
【变式10-2】（2023春•红安县期中）先化简，再求值：2x⋅xy⋅(yx÷1y)，其中实数x、y满足y=x−3+6−2x+2．
分析：原式利用二次根式的乘除法则计算，得到最简结果，利用负数没有平方根求出x与y的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=2x⋅xy•（yx÷1y）
=xy2y•yxx
=2xy，
∵y=x−3+2(3−x)+2，
∴x﹣3＝0，即x＝3，y＝2，
则原式=12=23．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式10-3】(2023秋•青浦区校级期中）先化简再求值：x−2xy+yx−y÷1x+2xy+y，其中x=13+22，y=13−22．
分析：根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可．
【解答】解：原式=(x−y)2(x+y)(x−y)•（x+y）2
＝（x−y）•（x+y）
＝x﹣y，
当x=13+22=3−22(3+22)(3−22)=3﹣22，y=13−22=3+22时，
原式＝（3﹣22）﹣（3+22）＝﹣42．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
解题技巧提炼
1、运用二次根式的乘法法则进行计算时，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方;
2、当二次根式外有因数（式）时，就把根号外因数（式）相乘的积作为积中根号前的系数，把所有被开方数相乘的积作为被开方数.
解题技巧提炼
利用积的算术平方根的性质进行化简时要注意三点：
一是公式中的限制条件，若积中的因数（式）不是非负数应先将其化为非负数，再运用公式化简；
二是被开方法数一定是乘积的形式；
三是二次根式中的隐含条件的挖掘.
解题技巧提炼
二次根式的乘法运算的实质是对法则a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）的正用与逆用的一个综合的过程，不仅仅是简单的把两个被开方数相乘，更重要的是对所得积进行化简.
解题技巧提炼
二次根式的除法运算的过程中能约分的要先约分，最后的结果要运用积的算术平方根的性质进行化简.
解题技巧提炼
直接利用商的算术平方根的性质化简时，若分母中含有开不尽方的因数（式），可根据分式的基本性质，先将分式中的分子、分母同时乘一个不为0 的数（式），使分母变为一个完全平方数（式），然后利用商的算术平方根的性质进行化简.
解题技巧提炼
二次根式的乘除法混合运算与整式的乘除法混合运算的方法相同，整式乘除法的法则和公式在二次根式乘除法中仍然适用，在运算时要注意运算符号和运算的顺序，若被开方数是带分数要将带分数化为假分数.
解题技巧提炼
去掉分母中的根号一般分为三步：
“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数（式）移到根号外；
“二乘”，即将分子、分母同时乘分母的有理化因数（式）；
“三化”，即化简计算.
解题技巧提炼
判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足下面的两个条件：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件缺一不可.
解题技巧提炼
化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数
解题技巧提炼
利用二次根式的乘除法进行化简求值的步骤：
1、先根据二次根式的乘除法运算法则把原式化简；
2、将所给的字母的值代入到化简后的式子中进行计算.