人教版八年级数学下册同步精讲精练16.3二次根式的加减(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册同步精讲精练16.3二次根式的加减(原卷版+解析)，共47页。试卷主要包含了3 二次根式的加减，5，等内容，欢迎下载使用。

知识点一
可合并的二次根式
●●可合并的二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式．
◆1、可合并的二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式．
◆2、合并可合并的二次根式的方法：合并二次根式的方法与合并同类项类似，将可合并的二次根式根号外的因数（式）相加，根指数与被开方数不变，合并的依据是乘法分配律, 即ma+na=(m+n)a
(a≥0).
【注意】
◎1、几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关.
◎2、被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如2+3为最终的结果，而不能错误地合并为5.
知识点二
二次根式加减
●●二次根式加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并. 合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变．
◆1、二次根式的加减法的解题步骤:
①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式
②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式
③ “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项.
◆2、整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用.
知识点三
二次根式混合运算
●●二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算．
◆1、二次根式的混合运算顺序：
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
◆2、 实数的运算律、多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用于二次根式的运算.
题型一 可合并的二次根式的识别
【例题1】1．(2023秋•南关区校级期末）下列各式中，能与2合并的是（ ）
A．4B．24C．12D．8
【变式1-1】(2023秋•静安区校级期中）下列二次根式中，不能与2合并的是（ ）
A．12B．2a2(a≠0)C．18D．0.2
【变式1-2】（2023秋•嘉定区期末）下列各式中，可以与27合并的二次根式的是（ ）
A．18B．12C．0.3D．20
【变式1-3】(2023春•东莞市校级期中）下列各组二次根式中，能进行合并的是（ ）
A．6和3B．8和2C．12和2D．18和27
【变式1-4】(2023秋•闵行区期中）下列各组二次根式中，可合并的二次根式的是（ ）
A．33与6B．8与2C．−13与23D．4a与8a
题型二 根据可合并的二次根式的概念求字母的值
【例题2】(2023春•泰州月考）两个最简二次根式b−a3b和22b−a+2是可合并，则a+2b的值为 ．
【变式2-1】(2023春•藁城区校级期中）如果最简二次根式a+2与12能够合并，那么a的值为（ ）
A．1B．2C．4D．10
【变式2-2】(2023秋•萧县期中）若最简二次根式a+2与2a−3是可以合并的二次根式，则a的值
为（ ）
A．5B．13C．﹣2D．32
【变式2-3】(2023秋•揭阳期中）若两个最简二次根式32m+5与24m−4可以合并，则合并后的结果是（ ）
A．35B．57C．523D．514
【变式2-4】(2023秋•新城区月考）已知二次根式32−a与8化成最简二次根式后．被开方数相同，则符合条件的正整数a有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-5】(2023春•赵县月考）已知最简二次根式a+b7a和a+6b可以合并，你能求出使2x−4ab有意义的x的取值范围吗？
【变式2-6】已知最简根式3a+24a+3b和最简根式b+42a−b+6的被开方数相同，求a2023﹣b2022的值．
题型三 二次根式的加减运算
【例题3】计算：
（1）5+20−45； （2）38+218−50；
（3）32x−58x+718x． （4）239x+6x4−2x1x．
【变式3-1】(2023春•沂水县期中）下列计算正确的是（ ）
A．8−2=2B．2+3=5C．23−2=3D．23−3=2
【变式3-2】(2023•桥西区校级模拟）75−12=ab，那么ab的值是（ ）
A．6B．9C．12D．27
【变式3-3】(2023•保定一模）计算：12−27=2a+b3=c3，则a+b+c＝（ ）
A．﹣1B．﹣5C．2D．5
【变式3-4】(2023秋•商水县月考）如图，数轴上表示1和2的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点
表示的数为x，则x+2的值为（ ）
A．1−2B．1+2C．2−1D．2
【变式3-5】计算下列各式：
（1）5−6−20+23+95 （2）12−0.5−213−18+18
（3）27a−a3a+3a3+12a75a3 （4）23x9x+6xyx+yxy−x21x．
【变式3-6】计算下列各题：
（1）(32+12)−(12+27)； （2）（24−0.5+323）﹣（18−6）．
题型四 二次根式的混合运算
【例题4】(2023秋•方城县月考）计算：
（1）(−3)2×（﹣1）2018+8×12−|2−6|；
（2）42（18−6）−48÷3+(3+1）2．
【变式4-1】(2023秋•长安区期中）下列计算正确的是（ ）
A．23+32=55B．23×32=66
C．55−23=32D．30÷（5+3）=6+10
【变式4-2】(2023•市南区校级一模）计算（48−12）×34的结果是（ ）
A．3B．1C．3D．23
【变式4-3】(2023•市南区校级二模）计算125×255+80的结果是（ ）
A．95B．25+45C．6+45D．125
【变式4-4】(2023春•东莞市月考）计算：(3+2)2−(3+2)(3−2)= ．
【变式4-5】(2023春•藁城区校级月考）计算：
（1）54−(23+212−32)； （2）−3827÷34×27；
（3）(32−26)×(−32−26)； （4）(27+52)2−(27−52)2．
【变式4-6】（2023秋•吴江区月考）计算：
（1）4−（−12）﹣1+20210﹣|3−2|； （2）12−（2+3）（2−3）+27÷12．
题型五 二次根式的化简求值
【例题5】(2023秋•青浦区校级期中）先化简再求值：x−2xy+yx−y÷1x+2xy+y，其中x=13+22，y=13−22．
【变式5-1】（2023春•鄂州期中）化简求值：x1x+4y−x2+y3y，其中x＝4，y=19．
【变式5-2】（2023春•红安县期中）先化简，再求值：2x⋅xy⋅(yx÷1y)，其中实数x、y满足
y=x−3+6−2x+2．
【变式5-3】（2023秋•启东市期末）（1）先化简，再求值：(x+2x2−2x−x−1x2−4x+4)÷x−4x，其中x=2+2；
【变式5-4】(2023秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值x−yx+y+x−2xy+yx−y，其中x＝5，y=15．
【变式5-5】(2023秋•虹口区校级月考）先化简，再求值：4a−b+a+bba−ab+a−bba−ab，
其中a＝1，b＝2．
题型六 整体思想在二次根式求值中的巧用
【例题6】(2023春•巴东县校级月考）已知a＝3+22，b＝3﹣22，则a2b﹣ab2的值为（ ）
A．1B．17C．42D．﹣42
【变式6-1】(2023春•东莞市月考）已知a＝2+3，b＝2−3，试求下列各式的值．
（1）a2﹣b2；
（2）a2+2ab+b2．
【变式6-2】(2023秋•武侯区校级月考）已知a=2−12+1，b=2+12−1，求下列代数式的值：
（1）a2﹣ab+b2； （2）ba+ab．
【变式6-3】(2023秋•虹口区校级月考）已知a+b＝﹣7，ab＝5，求aab+bba的值．
【变式6-4】(2023秋•浦东新区校级月考）已知x−1x=5，那么x+1x的值为 ．
【变式6-5】(2023秋•锦江区校级期中）我们已经知道(13+3)(13−3)=4，因此将813−3分子、分母同时乘“13+3”，分母就变成了4．已知a=12+3，b=12−3．
（1）请仿照上面方法化简a，b；
（2）求代数式2a2﹣5ab+2b2的值．
题型七 二次根式的运算在实际中的应用
【例题7】(2023春•孝义市期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为（ ）
A．610cm2B．21cm2C．215cm2D．46cm2
【变式7-1】(2023春•高青县期末）一个三角形的三边长分别为5x5，1220x，544x5．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长．
【变式7-2】学校要在一块长方形的土地上进行绿化，已知这块长方形土地的长a＝510m，宽b＝415m
（1）求该长方形土地的面积．（精确到0.01）
（2）若绿化该长方形土地每平方米的造价为180元，那么绿化该长方形土地所需资金为多少元？
【变式7-3】（2023秋•长安区期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为128米，宽AB为98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（13+1）米，宽为（13−1）米．
（1）长方形ABCD的周长是 米；
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果均化为最简二次根式）
【变式7-4】(2023秋•洛宁县月考）如图，有一张长为162cm，宽为82cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．
（1）若小正方形的边长为2cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
题型八 二次根式的规律探究题
【例题8】（2023秋•莲池区期中）下面是晓明的探究过程，请你补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：a1=11+2=2−1，
特例2：a2=12+3=3−2，
特例3：a3=13+2=2−3，
特例4：a4=12+5=5−2，
特例5： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ．
（3）应用运算规律，求a1+a2+a3+…+a20的值．
【变式8-1】（2023春•长沙期末）观察下列规律：
∵(1+2)(1−2)=12−(2)2=1﹣2＝﹣1，
∴11+2=−1+2．
∵(2+3)(2−3)=(2)2−(3)2=2﹣3＝﹣1，
∴12+3=−2+3．
∵(3+4)(3−4)=(3)2−(4)2=3﹣4＝﹣1，
∴13+4=−3+4．
…
（1）根据上面的信息猜想：1n+n+1= ；
（2）利用上面的规律计算：（11+2+12+3+13+4+⋯+12020+2021）（1+2021）．
【变式8-2】(2023春•金乡县期中）观察下列各式及其变形过程：
a1=12+21=1−12，
a2=123+32=12−13，
a3=134+43=13−14，
……
（1）按照此规律，写出第五个等式a5＝ ；
（2）按照此规律，若Sn＝a1+a2+a3+…+an，试用含n的代数式表示Sn；
（3）在（2）的条件下，若x=6S2+2a1，试求代数式x2+2x的值．
解题技巧提炼
判断可合并的二次根式是否合并的前提条件是都化为最简二次根式，看它们的被开方数是否相同，相同就可合并，不相同就不可合并.
解题技巧提炼
根据可合并的二次根式的概念求待定字母的值时，可根据“被开方数相同”建立方程或方程组，有时还需要注意，求得的待定字母的值代入原二次根式检验是否符合“最简二次根式”的身份.
解题技巧提炼
二次根式加减运算的技巧：
将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式.
若原式中有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并.定已知角和未知角之间的关系，再结合角平分线、对顶角、邻补角等定义计算.
解题技巧提炼
1、进行二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
③实数的运算律、多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用于二次根式的运算.
2、二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
解题技巧提炼
1、二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
2、二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分分，避免互相干扰．
解题技巧提炼
当有关字母的已知条件比较复杂且不易求出字母的值，直接代入比较繁琐时，一般要先对已知条件和待求问题进行变形整理，然后利用整体代入的方法进行求值.
解题技巧提炼
利用二次根式的加减法运算俩解决生活中的问题，应先认真分析题意，注意计算的准确性和结果的要求.
解题技巧提炼
二次根式的规律探究题主要探究数式，算法，算理的规律，解题的关键在于观察并分析题中所给的运算过程，准确推理，合理猜想，得出一般的规律，然后进行论证，最后运用规律来解决所给的问题.
八年级下册数学《第十六章 二次根式》
16.3 二次根式的加减
知识点一
可合并的二次根式
●●可合并的二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式．
◆1、可合并的二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式．
◆2、合并可合并的二次根式的方法：合并二次根式的方法与合并同类项类似，将可合并的二次根式根号外的因数（式）相加，根指数与被开方数不变，合并的依据是乘法分配律, 即ma+na=(m+n)a
(a≥0).
【注意】
◎1、几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关.
◎2、被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如2+3为最终的结果，而不能错误地合并为5.
知识点二
二次根式加减
●●二次根式加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并. 合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变．
◆1、二次根式的加减法的解题步骤:
①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式
②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式
③ “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项.
◆2、整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用.
知识点三
二次根式混合运算
●●二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算．
◆1、二次根式的混合运算顺序：
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
◆2、 实数的运算律、多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用于二次根式的运算.
题型一 可合并的二次根式的识别
【例题1】1．(2023秋•南关区校级期末）下列各式中，能与2合并的是（ ）
A．4B．24C．12D．8
分析：先化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A、4化简后不能与2合并，不合题意；
B、24=26化简后不能与2合并，不合题意；
C、12=23化简后不能与2合并，不合题意；
D、8=22化简后能与2合并，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同类二次根式的应用，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式．
【变式1-1】(2023秋•静安区校级期中）下列二次根式中，不能与2合并的是（ ）
A．12B．2a2(a≠0)C．18D．0.2
分析：原式各项化简，找出与2不是同类项的即可．
【解答】解：A、12=22能与2合并，故本选项不符合题意；
B、2a2=|a|2能与2合并，故本选项不符合题意；
C、18=32能与2合并，故本选项不符合题意；
D、0.2=55不能与2合并，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
【变式1-2】（2023秋•嘉定区期末）下列各式中，可以与27合并的二次根式的是（ ）
A．18B．12C．0.3D．20
分析：把27和各选项中的式子化为最简二次根式，再由可可合并的二次根式的概念解答即可．
【解答】解：27=33．
A、18=32，32与33的被开方数不同，不能合并，不符合题意；
B、12=23，23与33的被开方数相同，能合并，符合题意；
C、0.3=3010，3010与33被开方数不同，不能合并，不符合题意；
D、20=25，25与与33的被开方数不同，不能合并，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做可合并二次根式是解题的关键．
【变式1-3】(2023春•东莞市校级期中）下列各组二次根式中，能进行合并的是（ ）
A．6和3B．8和2C．12和2D．18和27
分析：根据化成最简二次根式后，被开方数相同的是可合并的二次根式，据此解答即可．
【解答】解：A、6与3不是的被开方数不同，不能合并，故此选项不符合题意；
B、∵8=22，
∴8与2能合并，故此选项符合题意；
C、∵12=23，
∴12与2不能合并，故此选项不符合题意；
D、∵18=32，27=33，
∴18与27不能合并，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了可合并的二次根式，熟练掌握可合并二次根式的定义是解题的关键．
【变式1-4】(2023秋•闵行区期中）下列各组二次根式中，可合并的二次根式的是（ ）
A．33与6B．8与2C．−13与23D．4a与8a
分析：根据二次根式的性质进行化简，根据可合并的二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、33与6不属于可合并的二次根式，故本选项不符合题意；
B、8=22与2属于可合并的二次根式，故本选项符合题意；
C、13=33与23不属于可合并的二次根式，故本选项不符合题意；
D、4a=2a与8a=22a不属于可合并的二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是可合并的二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做可合并二次根式．
题型二 根据可合并的二次根式的概念求字母的值
【例题2】(2023春•泰州月考）两个最简二次根式b−a3b和22b−a+2是可合并，则a+2b的值为 ．
分析：根据可合并的二次根式的定义求出a，b的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：由题意得b−a=22b−a+2=3b，
解得a=0b=2，
所以a+2b＝0+2×2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是可合并的二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做可合并二次根式是解题的关键．
【变式2-1】(2023春•藁城区校级期中）如果最简二次根式a+2与12能够合并，那么a的值为（ ）
A．1B．2C．4D．10
分析：根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．
【解答】解：12=23，
∵最简二次根式a+2与12能够合并，
∴a＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．
【变式2-2】(2023秋•萧县期中）若最简二次根式a+2与2a−3是可以合并的二次根式，则a的值
为（ ）
A．5B．13C．﹣2D．32
分析：根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意得：a+2＝2a﹣3，
解得：a＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键．
【变式2-3】(2023秋•揭阳期中）若两个最简二次根式32m+5与24m−4可以合并，则合并后的结果是（ ）
A．35B．57C．523D．514
分析：根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
【解答】解：由题意，得
2m+5＝4m﹣4，
解得m＝4.5，
32m+5+24m−4=32×4.5+5+24×4.5−4=314+214=514．
故选：D．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
【变式2-4】(2023秋•新城区月考）已知二次根式32−a与8化成最简二次根式后．被开方数相同，则符合条件的正整数a有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
分析：先将8化简为22，再根据同类二次根式的定义即可求解．
【解答】解：8=22，
∵二次根式32−a与8化成最简二次根式后被开方数相同，
∴①当a＝30时，32﹣a＝2，即32−a=2，
②当a＝24时，32﹣a＝8，即32−a=8=22，
③当a＝14时，32﹣a＝18，即32−a=18=32，
则符合条件的正整数a有3个，
故选：C．
【点评】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式，掌握二次根式的化简方法和同类二次根式的定义是解题的关键．
【变式2-5】(2023春•赵县月考）已知最简二次根式a+b7a和a+6b可以合并，你能求出使2x−4ab有意义的x的取值范围吗？
分析：根据同类二次根式的定义求出a，b的值，代入二次根式，二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：a+b=27a=a+6b，
解得：a=1b=1，
∴2x−4ab=2x−4，
∵2x﹣4≥0，
∴x≥2．
【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，二次根式有意义的条件，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式和二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【变式2-6】已知最简根式3a+24a+3b和最简根式b+42a−b+6的被开方数相同，求a2023﹣b2022的值．
分析：运用最简根式的定义以及被开方数相同可得关于a，b的方程组，再求解关于a、b的二元一次方程组，进而求解即可．
【解答】解：∵最简根式3a+24a+3b和最简根式b+42a−b+6的被开方数相同，
则3a+2=b+44a+3b=2a−b+6
解得a=1b=1
∴a2023﹣b2022＝1﹣1＝0．
【点评】本题主要考查最简根式，理解最简根式的概念是解题关键．
题型三 二次根式的加减运算
【例题3】计算：
（1）5+20−45； （2）38+218−50；
（3）32x−58x+718x． （4）239x+6x4−2x1x．
分析：原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果．
【解答】解：
（1）原式=5+25−35
=0；
原式＝62+62−52
=72；
（3）原式＝32x−102x+212x
＝（3﹣10+21）2x
＝142x．
（4）原式＝2x+3x−2x=3x．
【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式3-1】(2023春•沂水县期中）下列计算正确的是（ ）
A．8−2=2B．2+3=5C．23−2=3D．23−3=2
分析：根据二次根式的加减运算法则计算判断即可．
【解答】解：8−2=22−2=2，A选项正确；
2+3≠5，B选项错误；
22−2≠3，C选项错误；
23−3=3，D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的加减运算，做题关键要掌握二次根式的加减运算法则．
【变式3-2】(2023•桥西区校级模拟）75−12=ab，那么ab的值是（ ）
A．6B．9C．12D．27
分析：直接利用二次根式的加减运算法则得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵75−12=53−23=33=ab，
∴a＝3，b＝3，33＝27，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
【变式3-3】(2023•保定一模）计算：12−27=2a+b3=c3，则a+b+c＝（ ）
A．﹣1B．﹣5C．2D．5
分析：将12−27化成23−33，得出结果为−3，进而确定a、b、c的值，再代入计算即可．
【解答】解：12−27=23−33=−3，又12−27=2a+b3=c3，
所以a＝3，b＝﹣3，c＝﹣1，
因此a+b+c＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的加减法，掌握二次根式加减法的计算法则是正确解答的前提，合并同类二次根式，得出a、b、c的值是得出正确答案的关键．
【变式3-4】(2023秋•商水县月考）如图，数轴上表示1和2的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点
表示的数为x，则x+2的值为（ ）
A．1−2B．1+2C．2−1D．2
分析：直接根据已知得出x的值，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：AB＝CA=2−1，
则C点坐标为：x＝1﹣（2−1）＝2−2，
故x+2=2−2+2=2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确表示出x的值是解题关键．
【变式3-5】计算下列各式：
（1）5−6−20+23+95 （2）12−0.5−213−18+18
（3）27a−a3a+3a3+12a75a3 （4）23x9x+6xyx+yxy−x21x．
分析：先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式=5−6−25+63+355
=−255−263；
（2）原式＝23−22−233−24+32
=433+924；
（3）原式＝33a−3a+3a+523a
=113a2；
（4）原式＝2xx+6xy+xy−xx
＝xx+7xy．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
【变式3-6】计算下列各题：
（1）(32+12)−(12+27)； （2）（24−0.5+323）﹣（18−6）．
分析：（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（2）直接化简二次根式进而合并得出答案．
【解答】解：（1）原式=42+23−22−33
=722−3；
（2）原式=26−22+6−24+6
=46−342．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
题型四 二次根式的混合运算
【例题4】(2023秋•方城县月考）计算：
（1）(−3)2×（﹣1）2018+8×12−|2−6|；
（2）42（18−6）−48÷3+(3+1）2．
分析：（1）先利用二次根式的性质和二次根式的乘法法则运算，然后去绝对值后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘法法则和完全平方公式计算，然后合并即可．
【解答】解：（1）(−3)2×（﹣1）2018+8×12−|2−6|
＝3×1+22×23−（6−2）
＝3+46−6+2
＝5+36；
（2）42（18−6）−48÷3+(3+1）2
＝42×18−42×6−43÷3+3+1+23
＝2﹣83−4+4+23
＝2﹣63．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解答本题的关键．
【变式4-1】(2023秋•长安区期中）下列计算正确的是（ ）
A．23+32=55B．23×32=66
C．55−23=32D．30÷（5+3）=6+10
分析：先根据二次根式的加减法法法则，二次根式的除法法则和二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可．
【解答】解：A．23和32不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
B．23×32=（2×3）3×2=66，故本选项符合题意；
C．55和﹣23不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
D．30÷（5+3）
=30×(5−3)(5+3)×(5−3)
=56−3102，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
【变式4-2】(2023•市南区校级一模）计算（48−12）×34的结果是（ ）
A．3B．1C．3D．23
分析：根据乘法分配律将题目中的式子化简，然后合并同类项即可．
【解答】解：（48−12）×34
=48×34−12×34
=36−9
＝6﹣3
＝3，
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式4-3】(2023•市南区校级二模）计算125×255+80的结果是（ ）
A．95B．25+45C．6+45D．125
分析：先算二次根式的除法，再算加法即可．
【解答】解：125×255+80
=25×25+45
＝25+45，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式4-4】(2023春•东莞市月考）计算：(3+2)2−(3+2)(3−2)= ．
分析：先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝3+26+2﹣（9﹣2）
＝5+26−7
＝26−2．
故答案为：26−2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和乘法公式幂是解决问题的关键．
【变式4-5】(2023春•藁城区校级月考）计算：
（1）54−(23+212−32)； （2）−3827÷34×27；
（3）(32−26)×(−32−26)； （4）(27+52)2−(27−52)2．
分析：（1）先将原式中的二次根式化为最简二次根式，再去括号合并即可得到结果；
（2）原式根据二次根式的乘除运算法则即可得到结果；
（3）原式根据平方差公式计算即可得到结果；
（4）原式先根据完全平方公式计算，再去括号、合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=36−(63+2×22−42)
=36−63−2+42
=863+32；
（2）原式=−3×827×43×27
=−3×463
=−46；
（3）原式=(−26)2−(32)2
＝24﹣18
＝6；
（4）原式＝28+2014+50−(28−2014+50)
＝28+2014+50﹣28+2014−50
=4014．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
【变式4-6】（2023秋•吴江区月考）计算：
（1）4−（−12）﹣1+20210﹣|3−2|；
（2）12−（2+3）（2−3）+27÷12．
分析：（1）先根据二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，绝对值进行计算，再算加减即可；
（2）先根据二次根式的性质，平方差公式，二次根式的除法进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可．
【解答】解：（1）4−（−12）﹣1+20210﹣|3−2|
＝2﹣（﹣2）+1﹣（2−3）
＝2+2+1﹣2+3
＝3+3；
（2）12−（2+3）（2−3）+27÷12
=122−（4﹣3）+33÷23
=122−1+32
=122+12．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，零指数幂，负整数指数幂等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
题型五 二次根式的化简求值
【例题5】(2023秋•青浦区校级期中）先化简再求值：x−2xy+yx−y÷1x+2xy+y，其中x=13+22，y=13−22．
分析：根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可．
【解答】解：原式=(x−y)2(x+y)(x−y)•（x+y）2
＝（x−y）•（x+y）
＝x﹣y，
当x=13+22=3−22(3+22)(3−22)=3﹣22，y=13−22=3+22时，
原式＝（3﹣22）﹣（3+22）＝﹣42．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
【变式5-1】（2023春•鄂州期中）化简求值：x1x+4y−x2+y3y，其中x＝4，y=19．
分析：先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并后把x、y的值代入计算即可．
【解答】解：原式=x+2y−x2+y
=x2+3y，
当x＝4，y=19时，原式=42+3×19=1+1＝2．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：一定要先化简再代入求值．
【变式5-2】（2023春•红安县期中）先化简，再求值：2x⋅xy⋅(yx÷1y)，其中实数x、y满足
y=x−3+6−2x+2．
分析：原式利用二次根式的乘除法则计算，得到最简结果，利用负数没有平方根求出x与y的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=2x⋅xy•（yx÷1y）
=xy2y•yxx
=2xy，
∵y=x−3+2(3−x)+2，
∴x﹣3＝0，即x＝3，y＝2，
则原式=12=23．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式5-3】（2023秋•启东市期末）（1）先化简，再求值：(x+2x2−2x−x−1x2−4x+4)÷x−4x，其中x=2+2；
分析：先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后代入求值；
【解答】解：（1）原式＝[x+2x(x−2)−x−1(x−2)2]⋅xx−4
＝[(x+2)(x−2)x(x−2)2−x(x−1)x(x−2)2]⋅xx−4
=x2−4−x2+xx(x−2)2⋅xx−4
=1(x−2)2，
当x＝2+2时，
原式=1(2+2−2)2=12；
【点评】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，分母有理化计算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．
【变式5-4】(2023秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值x−yx+y+x−2xy+yx−y，其中x＝5，y=15．
分析：利用二次根式的相应的法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：x−yx+y+x−2xy+yx−y
=(x+y)(x−y)x+y+(x−y)2x−y
=x−y+x−y
＝2x−2y，
当x＝5，y=15时，
原式＝25−215
＝25−255
=855．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式5-5】(2023秋•虹口区校级月考）先化简，再求值：4a−b+a+bba−ab+a−bba−ab，
其中a＝1，b＝2．
分析：利用二次根式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：4a−b+a+bba−ab+a−bba−ab
=4a−b+2aba−ab
=4(a−b)(a+b)+2aab(b−a)
=4abab(a−b)(a+b)−2a(a+b)ab(a+b)(a+b)
=−2ab+b
=−2(ab−b)ab−b2，
∵a＝1，b＝2，
∴原式=−2(2−2)2−4=2−2．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值的方法是解决本题的关键．
题型六 整体思想在二次根式求值中的巧用
【例题6】(2023春•巴东县校级月考）已知a＝3+22，b＝3﹣22，则a2b﹣ab2的值为（ ）
A．1B．17C．42D．﹣42
分析：利用因式分解，进行计算即可解答．
【解答】解：当a＝3+22，b＝3﹣22时，
a2b﹣ab2
＝ab（a﹣b）
＝（3+22）×（3﹣22）×[3+22−（3﹣22）]
＝（9﹣8）×（3+22−3+22）
＝1×42
＝42，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
【变式6-1】(2023春•东莞市月考）已知a＝2+3，b＝2−3，试求下列各式的值．
（1）a2﹣b2；
（2）a2+2ab+b2．
分析：先计算出a+b、a﹣b和ab的值，再利用平方差公式和完全平方公式得到（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）a2+2ab+b2＝（a+b）2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a＝2+3，b＝2−3，
∴a+b＝4，a﹣b＝23，ab＝（2+3）（2−3）＝4﹣3＝1，
（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×23=83；
（2）a2+2ab+b2＝（a+b）2＝42＝16．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．灵活运用整体代入的方法可简化计算．
【变式6-2】(2023秋•武侯区校级月考）已知a=2−12+1，b=2+12−1，求下列代数式的值：
（1）a2﹣ab+b2； （2）ba+ab．
分析：利用分母有理化把a、b化简，根据二次根式的加法法则求出a+b，根据二次根式的乘法法则求出ab；
（1）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据分式的加法法则、完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案．
【解答】解：a=2−12+1=(2−1)2(2−1)(2+1)=3﹣22，b=2+12−1=(2+1)2(2+1)(2−1)=3+22，
则a+b＝3﹣22+3+22=6，ab＝（3﹣22）（3+22）＝1，
（1）a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝36﹣3
＝33；
（2）ba+ab=a2+b2ab=(a+b)2−2abab=34．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
【变式6-3】(2023秋•虹口区校级月考）已知a+b＝﹣7，ab＝5，求aab+bba的值．
分析：先根据二次根式的性质进行变形，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣7，ab＝5，
∴a、b都是都是负数，
∴aab+bba
=−abab−baab
=−ab（ab+ba）
=−ab•a2+b2ab
=−ab•(a+b)2−2abab
=−5×(−7)2−2×55
=−5×395
=−3955．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能够整体代入是解此题的关键．
【变式6-4】(2023秋•浦东新区校级月考）已知x−1x=5，那么x+1x的值为 ．
分析：把所求的式子转为条件的形式，再进行求解即可．
【解答】解：∵x−1x=5，
∴x+1x
=(x+1x)2
=(x−1x)2+4
=(5)2+4
=5+4
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式6-5】(2023秋•锦江区校级期中）我们已经知道(13+3)(13−3)=4，因此将813−3分子、分母同时乘“13+3”，分母就变成了4．已知a=12+3，b=12−3．
（1）请仿照上面方法化简a，b；
（2）求代数式2a2﹣5ab+2b2的值．
分析：（1）仿照材料分母有理化即可；
（2）求出a+b＝4，ab＝1，把2a2﹣5ab+2b2变形为2（a+b）2﹣9ab，再整体代入即可．
【解答】解：（1）a=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3，
b=12−3=2+3(2−3)(2+3)=2+3；
（2）由（1）知a＝2−3，b＝2+3，
∴a+b＝4，ab＝1，
∴2a2﹣5ab+2b2
＝2（a+b）2﹣9ab
＝2×42﹣9×1
＝2×16﹣9
＝32﹣9
＝23．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化的方法．
题型七 二次根式的运算在实际中的应用
【例题7】(2023春•孝义市期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为（ ）
A．610cm2B．21cm2C．215cm2D．46cm2
分析：根据小正方形的面积得到边长即可得到大正方形的边长，根据阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣两个小正方形的面积即可得出答案．
【解答】解：∵两个小正方形的面积为15和6，
∴两个小正方形的边长为15，6，
∵大正方形的边长为：15+6，
∴阴影部分的面积＝（15+6）2﹣6﹣15
＝15+2×15×6+6﹣6﹣15
＝610（cm2），
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的应用，根据小正方形的面积得到边长，进而得到大正方形的边长是解题的关键．
【变式7-1】(2023春•高青县期末）一个三角形的三边长分别为5x5，1220x，544x5．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长．
分析：（1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并；
（2）根据（1）中的结果，选择一个符合题意的x的值即可解答本题．
【解答】解：（1）∵一个三角形的三边长分别为5x5，1220x，544x5，
∴这个三角形的周长是：
5x5+1220x+544x5
=5x+5x+5x2
=525x；
（2）当x＝20时，这个三角形的周长是：525×20=52×10＝25（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是掌握二次根式的性质与运算法则．
【变式7-2】学校要在一块长方形的土地上进行绿化，已知这块长方形土地的长a＝510m，宽b＝415m
（1）求该长方形土地的面积．（精确到0.01）
（2）若绿化该长方形土地每平方米的造价为180元，那么绿化该长方形土地所需资金为多少元？
分析：（1）根据这块长方形土地的长a＝510m，宽b＝415m，直接得出面积即可；
（2）利用绿化该长方形土地每平方米的造价为180元，即可求出该长方形土地所需资金．
【解答】解：（1）长方形土地的面积为：
510×415=1006≈244.95平方米；
（2）∵长方形土地每平方米的造价为180元，
∴180×244.9＝44082元．
答：该长方形土地所需资金为44082元．
【点评】此题主要考查了二次根式的计算以及应用，根据二次根式乘法运算法则得出是解题关键．
【变式7-3】（2023秋•长安区期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为128米，宽AB为98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（13+1）米，宽为（13−1）米．
（1）长方形ABCD的周长是 米；
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果均化为最简二次根式）
分析：（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（128+98）＝2（82+72）＝302（米），
答：长方形ABCD的周长是302米，
（2）通道的面积=128×98−（13+1）（13−1）
＝100（平方米），
购买地砖需要花费＝6×（100）＝600（元）．
答：购买地砖需要花费600元；
【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．
【变式7-4】(2023秋•洛宁县月考）如图，有一张长为162cm，宽为82cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．
（1）若小正方形的边长为2cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
分析：（1）利用长方体的体积公式计算即可；
（2）大长方形的面积减去4个小正方形的面积，再减去底面面积就是盒子的侧面积．（两个小长方形面积和两个大长方形面积和）
【解答】解：（1）无盖长方体盒子的体积为：
（162−22）×（82−22）×2
＝142×62×2
＝1682（cm3）；
答：制作成的无盖长方体盒子的体积是1682cm3．
（2）方法一，长方体盒子的侧面积为：
162×82−4×2×2−（162−22）（82−22）
＝256﹣8﹣168
＝80（cm2）；
答：这个长方体盒子的侧面积为80cm2．
方法二，长方体盒子的侧面积为：
（82−22）×2×2+（162−22）×2×2
＝62×2×2+142×2×2
＝24+56
＝80cm2．
答：这个长方体盒子的侧面积为80cm2．
【点评】本题考查了二次根式的应用，做题关键是读懂题意列出正确的算式．
题型八 二次根式的规律探究题
【例题8】（2023秋•莲池区期中）下面是晓明的探究过程，请你补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：a1=11+2=2−1，
特例2：a2=12+3=3−2，
特例3：a3=13+2=2−3，
特例4：a4=12+5=5−2，
特例5： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ．
（3）应用运算规律，求a1+a2+a3+…+a20的值．
分析：（1）根据所给的式子的特点进行求解即可；
（2）分析所给的式子的形式，不难得出其规律；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：特例5为：a5=15+6=6−5，
故答案为：a5=15+6=6−5；
（2）∵a1=11+2=2−1，
a2=12+3=3−2，
a3=13+2=2−3，
a4=12+5=5−2，
...，
∴an=1n+n+1=n+1−n，
故答案为：an=1n+n+1=n+1−n；
（3）a1+a2+a3+…+a20
=11+2+12+3+13+2+...+120+21
=2−1+3−2+2−3+...+21−20
=21−1．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
【变式8-1】（2023春•长沙期末）观察下列规律：
∵(1+2)(1−2)=12−(2)2=1﹣2＝﹣1，
∴11+2=−1+2．
∵(2+3)(2−3)=(2)2−(3)2=2﹣3＝﹣1，
∴12+3=−2+3．
∵(3+4)(3−4)=(3)2−(4)2=3﹣4＝﹣1，
∴13+4=−3+4．
…
（1）根据上面的信息猜想：1n+n+1= ；
（2）利用上面的规律计算：（11+2+12+3+13+4+⋯+12020+2021）（1+2021）．
分析：（1）根据平方差公式和分母有理化的方法可以解答本题；
（2）根据题目中式子的特点，先分母有理化，然后合并同类二次根式，再根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）1n+n+1=n−n+1(n+n+1)(n−n+1)=n−n+1n−n−1=n+1−n，
故答案为：n+1−n；
（2）（11+2+12+3+13+4+⋯+12020+2021）（1+2021）
＝（2−1+3−2+4−3+⋯+2021−2020）（1+2021）
＝（2021−1）（1+2021）
＝2021﹣1
＝2020．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确二次根式分母有理化的方法，明确平方差公式的结构特点．
【变式8-2】(2023春•金乡县期中）观察下列各式及其变形过程：
a1=12+21=1−12，
a2=123+32=12−13，
a3=134+43=13−14，
……
（1）按照此规律，写出第五个等式a5＝ ；
（2）按照此规律，若Sn＝a1+a2+a3+…+an，试用含n的代数式表示Sn；
（3）在（2）的条件下，若x=6S2+2a1，试求代数式x2+2x的值．
分析：（1）根据上述的规律第五个等式a5=15−16；
（2）根据（1）总结得到的规律，用含n的等式表示an，然后计算Sn，抵消合并后，即可得到Sn＝1−1n+1；
（3）利用完全平方公式，代入计算即可求解．
【解答】解：（1）a5=15−16．
故答案为：15−16；
（2）用含字母n（n为正整数）的等式表示（1）中的一般规律为：an=1nn+1+(n+1)n=1n−1n+1，
∴Sn＝a1+a2+a3+………+an＝1−12+12−13+13−14+⋯⋯⋯+1n−1n+1=1−1n+1；
（3）∵S2＝1−13，a1＝1−12，
∴x=6S2+2a1=6−2+2−1=6−1，
∴x2+2x
＝（x+1）2﹣1
＝（6−1+1）2﹣1
＝6﹣1
＝5．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，属于规律型题，根据题意找出一般性规律是解本题的关键．
解题技巧提炼
判断可合并的二次根式是否合并的前提条件是都化为最简二次根式，看它们的被开方数是否相同，相同就可合并，不相同就不可合并.
解题技巧提炼
根据可合并的二次根式的概念求待定字母的值时，可根据“被开方数相同”建立方程或方程组，有时还需要注意，求得的待定字母的值代入原二次根式检验是否符合“最简二次根式”的身份.
解题技巧提炼
二次根式加减运算的技巧：
将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式.
若原式中有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并.定已知角和未知角之间的关系，再结合角平分线、对顶角、邻补角等定义计算.
解题技巧提炼
1、进行二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
③实数的运算律、多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用于二次根式的运算.
2、二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
解题技巧提炼
1、二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
2、二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分分，避免互相干扰．
解题技巧提炼
当有关字母的已知条件比较复杂且不易求出字母的值，直接代入比较繁琐时，一般要先对已知条件和待求问题进行变形整理，然后利用整体代入的方法进行求值.
解题技巧提炼
利用二次根式的加减法运算俩解决生活中的问题，应先认真分析题意，注意计算的准确性和结果的要求.
解题技巧提炼
二次根式的规律探究题主要探究数式，算法，算理的规律，解题的关键在于观察并分析题中所给的运算过程，准确推理，合理猜想，得出一般的规律，然后进行论证，最后运用规律来解决所给的问题.