人教版八年级数学下册同步精讲精练专题平行四边形的性质和判定(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册同步精讲精练专题平行四边形的性质和判定(原卷版+解析)，共54页。试卷主要包含了利用平行四边形的性质进行计算，利用平行四边形的性质进行证明，平行四边形判定的条件，平行四边形判定的综合运用，平行四边形性质与判定的综合运用等内容，欢迎下载使用。


题型一 利用平行四边形的性质进行计算
【例题1】如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（ ）
A．22B．62C．55D．45
【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝7，AE平分∠BAD交BC于点E，作DG⊥AE于点G并延长交BC于点F，则线段EF的长为（ ）
A．2B．52C．3D．26
【变式1-2】如图，在▱ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，AC⊥AB，E为AD的中点，并且OF⊥BC，∠D＝53°，则∠FOE的度数是（ ）
A．143°B．127°C．53°D．37°
【变式1-3】如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点C的坐标是（1，3），点A的坐标是（5，0），则点B的坐标是（ ）
A．（5，3）B．（4，3）C．（6，3）D．（8，1）
【变式1-4】如图，在平行四边形ABCD中P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是（ ）
A．18B．24C．23D．14
【变式1-5】如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠ACE的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【变式1-6】▱ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是（ ）
A．3≤AB≤4B．2＜AB＜14C．1＜AB＜7D．1≤AB≤7
【变式1-7】在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．13或14B．26或28C．13D．无法确定
【变式1-8】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．
题型二 利用平行四边形的性质进行证明
【例题2】(2023•南京模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝EF＝FC．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若BE⊥BC，DE＝6，求对角线AC的长．
【变式2-1】(2023春•西吉县校级月考）如图．已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：BE＝DF．
【变式2-2】(2023•泉山区校级三模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD的延长线上，BE＝DF，连接EF，分别交BC、AD于G、H．求证：EG＝FH．
【变式2-3】(2023秋•北碚区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，CB＝2AB，∠DCB的平分线交BA的延长线于点F．
（1）求证：DE＝AE；
（2）若∠DAF＝70°，求∠BEA的度数．
【变式2-4】(2023秋•道里区校级月考）在平行四边形ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．
（1）如图1，求证：DE＝BF；
（2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以G为顶点并且与△EHC全等的所有三角形．
【变式2-5】（2023春•九龙坡区校级期中）在▱ABCD中，∠ABC＝45°，过A作AE⊥CD于E，连接BE，延长EA至F，使CE＝AF，连接DF．
（1）求证：DF＝BE；
（2）若DF=34，AD＝32，求四边形ADEB的周长．
【变式2-6】(2023春•济南期中）如图，将▱ABCD的边BC延长到点E，使BE＝CD，连接AE交CD于点F．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）已知BC＝CE＝3，EF＝4，FG⊥AB，求FG的长．
题型三 平行四边形判定的条件
【例题3】如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．CE＝AFB．BE＝DFC．∠DAF＝∠BCED．AF∥CE
【变式3-1】在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的有（ ）
①一组对边平行，另一组对边相等
②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
③一组对边平行，一组对角相等
④一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-2】下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠C＝∠DB．AB＝AD，BC＝CD
C．AB＝CD，AD＝BCD．AB∥CD，AD＝BC
【变式3-3】四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；
②AB∥CD，∠BAD＝∠BCD；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．一定能判定四边形ABCD
是平行四边形的条件有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【变式3-4】如图，在△ABC中，D，F分别是AB，AC上的点，且DF∥BC．点E是射线DF上一点，
若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形DBCE为平行四边形的是（ ）
A．∠ADE＝∠EB．∠B＝∠EC．DE＝BCD．BD＝CE
【变式3-5】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A．∠B＝∠FB．DE＝EFC．AC＝CFD．AD＝CF
【变式3-6】如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，连接AF，CE，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE是平行四边形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【变式3-7】平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，写出一个能使四边形AECF一定为平行四边形的条件 ．（用题目中的已知字母表示）
题型四 平行四边形判定的综合运用
【例题4】（2023•江华县一模）如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF＝30°．
【变式4-1】如图，点B、C、E、F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，
AC＝DF．求证：（1）△ABC≌△DEF； （2）四边形ABED是平行四边形．
【变式4-2】如图所示，△ABC中，D是BC边上中点，AE是∠BAC的平分线，CE⊥AE，EF∥BC交AB于点F，求证：四边形BDEF是平行四边形．
【变式4-3】（2023秋•海阳市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，F是AC上一点，且满足2AF＝CF，连接BF与AD相交于点E．若G为线段BF上一动点，试分析当点G在何位置时，四边形AFDG为平行四边形？
【变式4-4】(2023春•顺义区校级月考）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F、E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB＝3，AD＝4，求AC的长．
【变式4-5】（2023春•西安期末）如图，在△AFC中，∠FAC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且AD＝BC，连接CD，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式4-6】(2023春•礼泉县期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）求证：△AEF≌△BAC；
（2）四边形ADFE是平行四边形吗？请说明理由．
题型五 平行四边形性质与判定的综合运用
【例题5】如图，在▱ABCD中，要在对角线BD上找两点E、F，使A、E、C、F四点构成平行四边形，现有①，②，③，④四种方案，①只需要满足BE＝DF；②只需要满足AE⊥BD，CF⊥BD；③只需要满足AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，④只需要满足AE＝CF．则对四种方案判断正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
【变式5-1】如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、DC的中点，连接AF、CE、DE、BF、EF，AF与DE交于点G，CE与BF交于点H，则图中共有平行四边形（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式5-2】如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D是线段BC上的一个动点（点D不与点B，C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交线段AB，AC于点F，G，连接BE和CF．则下列结论中：①BE＝CD；②∠BDE＝∠CAD；③四边形BCGE是平行四边形；④当CD＝2时，S△AEF＝23，其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式5-3】(2023春•南海区月考）如图，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求▱ABCD的面积．
【变式5-4】(2023春•重庆月考）已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
【变式5-5】(2023春•南湖区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积．
【变式5-6】（2023春•南昌期中）如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，过点O的直线交AD，BC于P，Q两点，交BA，DC的延长线于M，N两点．
（1）求证：AP＝CQ；
（2）连接DM，BN，求证：四边形BNDM是平行四边形．
【变式5-7】(2023春•温州校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的一点，作DE⊥BC，垂足为E，延长DE到F，连结CF，使∠A＝∠F．
（1）求证：四边形ADFC是平行四边形．
（2）连接CD，若CD平分∠ADE，CF＝10，CD＝12，求四边形ADFC的面积．
【变式5-8】(2023春•锦江区校级期中）如图，在等边△ABC中，D、E两点分别在边BC、AC上，BD＝CE，以AD为边作等边△ADF，连接EF，CF．
（1）求证：△CEF为等边三角形；
（2）求证：四边形BDFE为平行四边形；
（3）若AE＝2，EF＝4，求四边形BDFE的面积．
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
专题 平行四边形的性质与判定
题型一 利用平行四边形的性质进行计算
【例题1】如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（ ）
A．22B．62C．55D．45
分析：由平行四边形的性质和角平分线的性质可证BE＝BC＝5，由勾股定理的逆定理可求∠AED＝90°，由勾股定理可求CE的长．
【解答】解：∵AE＝3，EB＝5，
∴AB＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC，AB＝CD＝8，
∴∠DCE＝∠BCE，∠AED＝∠EDC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BE＝BC＝5，
∴AD＝5，
∵AD2＝25＝16+9＝DE2+AE2，
∴∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠EDC＝90°，
∴CE=DE2+DC2=16+64=45，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，证明∠AED＝90°是解题的关键．
【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝7，AE平分∠BAD交BC于点E，作DG⊥AE于点G并延长交BC于点F，则线段EF的长为（ ）
A．2B．52C．3D．26
分析：据平行四边形的性质证明∠DAE＝∠BEA，∠ADF＝∠CFD，进而证明∠BAE＝∠BEA得到BE＝BA＝5，∠CDF＝∠CFD得到CF＝CD＝5，由此即可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，CD＝AB＝6，BC＝AD＝7，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，∠DAE＝∠BEA，∠ADF＝∠CFD，
∵AG⊥DG，
∴∠AGD＝90°，
∴∠DAE+∠ADF＝90°，
∴∠BAE+∠CDF＝∠BAD+∠ADC﹣∠DAE﹣∠ADF＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵∠BEA+∠CFD＝90°，
∴BE＝BA＝5，∠CDF＝∠CFD，
∴CE＝BC﹣BE＝2，CF＝CD＝5，
∴EF＝CF﹣CE＝3，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，证明BE＝BA＝5，CF＝CD＝5是解题的关键．
【变式1-2】如图，在▱ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，AC⊥AB，E为AD的中点，并且OF⊥BC，∠D＝53°，则∠FOE的度数是（ ）
A．143°B．127°C．53°D．37°
分析：先由等角的余角相等证明∠FOC＝∠D＝53°，再根据三角形的中位线定理证明OE∥CD，则∠COE＝180°﹣∠ACD＝90°，即可求得∠FOE＝143°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠OCF，
∵AC⊥AB，OF⊥BC，
∴∠ACD＝∠CAB＝∠OFC＝90°，
∵∠D+∠CAD＝90°，∠FOC+∠OCF＝90°，
∴∠FOC＝∠D＝53°，
∵O为对角线AC与BD的交点，
∴O为AC的中点，
∵E为AD的中点，
∴OE∥CD，
∴∠COE＝180°﹣∠ACD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠FOE＝∠FOC+∠COE＝53°+90°＝143°，
故选：A．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等角的余角相等、直角三角形的两个锐角互余、三角形的中位线定理等知识，证明OE∥CD是解题的关键．
【变式1-3】如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点C的坐标是（1，3），点A的坐标是（5，0），则点B的坐标是（ ）
A．（5，3）B．（4，3）C．（6，3）D．（8，1）
分析：由平行四边形的性质可得BC∥OA，BC＝OA＝5，即可求解．
【解答】解：∵点A的坐标是（5，0），
∴OA＝5，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝5，
∵点C的坐标是（1，3），
∴点B坐标为（6，3），
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【变式1-4】如图，在平行四边形ABCD中P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是（ ）
A．18B．24C．23D．14
分析：根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA＝180°，求出∠PAB+∠PBA＝90°，在△APB中求出∠APB＝90°，由勾股定理求出BP，证出AD＝DP＝5，BC＝PC＝5，得出DC＝10＝AB，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=12（∠DAB+∠CBA）＝90°，
在△APB中，∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝90°；
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠PAB，
∵AB∥CD，
∴∠PAB＝∠DPA
∴∠DAP＝∠DPA
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD＝DP＝5，
同理：PC＝CB＝5，
即AB＝DC＝DP+PC＝10，
在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8，
∴BP=AB2−AP2=102−82=6，
∴△APB的周长＝6+8+10＝24；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．
【变式1-5】如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠ACE的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
分析：证△ABE是等边三角形，得AB＝AE，再证△BAC≌△AED中（SAS），得∠BAC＝∠AED＝80°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠ADC＝60°，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE=12∠BAD＝60°，
∴∠B＝∠DAE，△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，∠AEB＝∠BAE＝60°，
在△BAC和△AED中，
AB=EA∠B=∠DAEBC=AD，
∴△BAC≌△AED（SAS），
∴∠BAC＝∠AED＝80°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝80°﹣60°＝20°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠EAC＝60°﹣20°＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△BAC≌△AED是解题的关键．
【变式1-6】▱ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是（ ）
A．3≤AB≤4B．2＜AB＜14C．1＜AB＜7D．1≤AB≤7
分析：根据平行四边形对角线互相平分可得AO＝4，BO＝3，再根据三角形的三边关系可得4﹣3＜AB＜4+3，再解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=12AC，BO=12BD，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，BO＝3，
∴4﹣3＜AB＜4+3，
解得1＜AB＜7．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系以及平行四边形的性质，关键是掌握“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
【变式1-7】在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．13或14B．26或28C．13D．无法确定
分析：设∠A的平分线交BC于点E，可证明AB＝EB，再分两种情况讨论，一是EB＝5，EC＝4，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9；二是EB＝4，EC＝5时，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，分别求出平行四边形ABCD的周长即可．
【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB，
当EB＝5，EC＝4时，如图1，
则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，
∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；
当EB＝4，EC＝5时，如图2，
则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，
∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，
∴平行四边形ABCD的周长为26或28，
故选：B．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
【变式1-8】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．
分析：根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可；
（2）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，由已知条件得出BC+AB＝10，即可得出▱ABCD的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB，
∴∠FDO＝∠EBO，
在△DFO和△BEO中，∠FDO=∠EBOOD=OB∠FOD=∠EOB，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE＝OF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
∵△BEC的周长是10，
∴BC+BE+CE＝BC+BE+AE＝BC+AB＝10，
∴▱ABCD的周长＝2（BC+AB）＝20．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
题型二 利用平行四边形的性质进行证明
【例题2】(2023•南京模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝EF＝FC．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若BE⊥BC，DE＝6，求对角线AC的长．
分析：（1）根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，∠BAC＝∠DCA，利用全等三角形的判定和性质得出∠AFB＝∠CED，再由平行线的判定即可证明；
（2）根据（1）中全等三角形的性质得出DE＝BF＝6，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BF＝CF＝EF＝6，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AE＝FC，
∴AE+EF＝FC+EF，即AF＝EC，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠AFB＝∠CED，
∴DE∥BF；
（2）解：由（1）得△ABF≌△CDE，
∴DE＝BF＝6，
∵BE⊥BC，CF＝EF，
∴点F为△BEC的中点，
∴BF＝CF＝EF＝6，
∵CF＝EF＝AE，
∴AC＝18．
【点评】此题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【变式2-1】(2023春•西吉县校级月考）如图．已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：BE＝DF．
分析：证两条线段所在的两个三角形全等．根据“AAS”可证△ABE≌△CDF或△ADF≌△CBE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∴∠BAC＝∠DCA．
∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°．
在△ABE和△CDF中，
∠DFC=∠BEA∠FCD=∠EABAB=CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，熟练掌握“平行四边形的对边平行且相等”是解题关键．
【变式2-2】(2023•泉山区校级三模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD的延长线上，BE＝DF，连接EF，分别交BC、AD于G、H．求证：EG＝FH．
分析：根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，
∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，
在△BEG与△DFH中，
∠E=∠FBE=DF∠EBG=∠FDH，
∴△BEG≌△DFH（ASA），
∴EG＝FH．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
【变式2-3】(2023秋•北碚区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，CB＝2AB，∠DCB的平分线交BA的延长线于点F．
（1）求证：DE＝AE；
（2）若∠DAF＝70°，求∠BEA的度数．
分析：（1）根据平行四边形的性质证明A为BF的中点，然后证明△DEC≌△AEF（AAS），进而得出结论；
（2）由平行四边形的对边平行证出∠CBF＝∠DAF＝70°，∠BEA＝∠EBC，由等腰三角形的性质得出∠CBE＝∠ABE，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CE是∠DCB的平分线，
∴∠DCE＝∠BCF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴∠DCE＝∠CFB，
∴∠BCF＝∠CFB，
∴BC＝BF，
∵BC＝2AB，
∴BF＝2AB，
∴A为BF的中点，
∴AB＝AF，
∴AB＝DC＝AF，
在△DEC和△AEF中，
∠DCE=∠F∠DEC=∠AEFDC=AF，
∴△DEC≌△AEF（AAS），
∴DE＝AE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA∥CB，
∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠BEA＝∠EBC，
∵△DEC≌△AEF，
∴CE＝EF，
∵BC＝BF，
∴∠EBC＝∠FBE=12∠CBF＝35°，
∴∠BEA＝35°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式2-4】(2023秋•道里区校级月考）在平行四边形ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．
（1）如图1，求证：DE＝BF；
（2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以G为顶点并且与△EHC全等的所有三角形．
分析：（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，由ASA证明△ADE≌△CBF，得出DE＝BF；
（2）由中点的定义得出DE＝CE，由平行四边形的判定方法即可得出平行四边形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，
在△ADE和△CBF中，
∠ADE=∠CBFAD=BC∠DAE=∠BCF，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE＝BF；
（2）解：∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∴以GH为边的平行四边形有平行四边形GHFA、平行四边形GHBF、平行四边形GHED、平行四边形GHCE．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等得出DE＝BF是解决问题（1）的关键．
【变式2-5】（2023春•九龙坡区校级期中）在▱ABCD中，∠ABC＝45°，过A作AE⊥CD于E，连接BE，延长EA至F，使CE＝AF，连接DF．
（1）求证：DF＝BE；
（2）若DF=34，AD＝32，求四边形ADEB的周长．
分析：（1）由已知证得AB＝EF，DE＝AE，根据全等三角形的判定证得△FDE≌△BEA，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）由勾股定理得求得DE＝3，EF＝5，由（1）知，AB＝EF，BE＝DF，即可求得结论．
【解答】（1）证明：∵AE⊥CD，
∴∠FED＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AB＝DC，
∴∠BAE＝∠FED＝90°，∠ADE＝∠ABC＝45°，
∴AE＝DE，
∵CE＝AF，
∴AB＝EF，
△FDE和△BEA中，DE=AE∠FED=∠BAEEF=AB，
∴△FDE≌△BEA（SAS），
∴DF＝BE；
（2）在Rt△ADE中，AE＝DE，AD＝32，
由勾股定理得：DE＝3，
在Rt△FDE中，DE＝3，DF=34，
∴EF=DF2−DE2=(34)2−32=5，
由（1）知，AB＝EF＝5，BE＝DF=34，
∴四边形ADEB的周长为：AD+DE+BE+AB＝32+3+34+5＝8+32+34．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得AB＝EF，DE＝AE，是解决问题的关键．
【变式2-6】(2023春•济南期中）如图，将▱ABCD的边BC延长到点E，使BE＝CD，连接AE交CD于点F．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）已知BC＝CE＝3，EF＝4，FG⊥AB，求FG的长．
分析：（1）利用平行四边形的性质得AB＝CD，AD∥BE，再证明∠BAE＝∠E得到AB＝BE，然后利用等边对等角等知识证得结论即可；
（2）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BE，求得∠D＝∠DCE，∠DAF＝∠FEC，根据全等三角形的性质得到AF＝EF＝4，根据勾股定理得到BF=AB2−AF2=25，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BE，
∴∠DAE＝∠E，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠E，
∴AB＝BE，
∴∠BAE＝∠E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴AE平分∠BAD；
（2）解：由BE＝CD，AB＝CD，
∴△ABE为等腰三角形，
∴AB＝BE＝6，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BE，
∴∠D＝∠DCE，∠DAF＝∠FEC，
∵BC＝CE＝3，
∴AD＝CE，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AF＝EF＝4，
∴BF⊥AE，
∵AB＝BE＝6，
∴BF=AB2−AF2=25，
∵S△ABF=12AB•FG=12AF•BF，
∴FG=4×256=453．
故FG的长为453．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
题型三 平行四边形判定的条件
【例题3】如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．CE＝AFB．BE＝DFC．∠DAF＝∠BCED．AF∥CE
分析：由平行四边形的性质或全等三角形的性质进行逐一判断即可．
【解答】解：若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故A选项符合题意；
如图，连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CBE，
在△ADF和△CBE中，
∠ADF=∠CBEAD=BC∠DAF=∠BCE，
∴△ADF≌△CBE（ASA），
∴BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意；
∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠CED，
∴∠AFD＝∠CEB，
在△ADF和△CBE中，
∠ADF=∠CBE∠AFD=∠CEBAD=BC，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
【变式3-1】在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的有（ ）
①一组对边平行，另一组对边相等
②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
③一组对边平行，一组对角相等
④一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线
A．1个B．2个C．3个D．4个
分析：根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：①错误．这个四边形有可能是等腰梯形；
②正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形；
③错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行；
④正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等且平行．故是平行四边形．
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住全等三角形的判定方法以及平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
【变式3-2】下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠C＝∠DB．AB＝AD，BC＝CD
C．AB＝CD，AD＝BCD．AB∥CD，AD＝BC
分析：根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、由AB＝AD，BC＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、由AB＝CD，AD＝BC，能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
D、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
【变式3-3】四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；
②AB∥CD，∠BAD＝∠BCD；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．一定能判定四边形ABCD
是平行四边形的条件有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
分析：根据平行四边形的5个判断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断．
【解答】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：一组对边平行，一组对角相等的四边形可得是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，还可能是等腰梯形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定定理，解题关键是准确无误的掌握平行四边形的判定定理．
【变式3-4】如图，在△ABC中，D，F分别是AB，AC上的点，且DF∥BC．点E是射线DF上一点，
若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形DBCE为平行四边形的是（ ）
A．∠ADE＝∠EB．∠B＝∠EC．DE＝BCD．BD＝CE
分析：由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠ADE＝∠E，
∴AB∥CE，
又∵DF∥BC，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵DF∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠B＝∠E，
∴∠ADE＝∠E，
∴AB∥CE，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项B不符合题意；
C、∵DF∥BC，
∴DE∥BC，
又∵DE＝BC，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项C不符合题意；
D、由DF∥BC，BD＝CE，不能判定四边形DBCE为平行四边形；故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
【变式3-5】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A．∠B＝∠FB．DE＝EFC．AC＝CFD．AD＝CF
分析：利用三角形中位线定理得到DE∥AC，DE=12AC，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE=12AC，
A、当∠B＝∠F，不能判定AD∥CF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、∵DE＝EF，
∴DE=12DF，
∴AC＝DF，
∵AC∥DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；
C、根据AC＝CF，不能判定AC＝DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵AD＝CF，AD＝BD，
∴BD＝CF，
由BD＝CF，∠BED＝∠CEF，BE＝CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF∥AB，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、三角形的中位线定理以及平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
【变式3-6】如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，连接AF，CE，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE是平行四边形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
分析：根据▱ABCD的性质得到AD∥BC，然后由“对边相等且平行的四边形是平行四边形”添加条件即可．
【解答】解：如图，在▱ABCD中，AD∥BC，则AE∥FC．
当添加AE＝FC时，根据“对边相等且平行的四边形是平行四边形”可以判定四边形AFCE是平行四边形，
故答案是：AE＝FC（答案不唯一）．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题过程中注意平行四边形的判定与平行四边形的性质的综合运用．
【变式3-7】平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，写出一个能使四边形AECF一定为平行四边形的条件 ．（用题目中的已知字母表示）
分析：在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边，只需证明OE＝OF．
【解答】解：连接AC交BD于点O，如图：
在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∵AE∥CF，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，
∴△AOE≌COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形；
故答案为：AE∥CF．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明OE＝OF是解题的关键．
题型四 平行四边形判定的综合运用
【例题4】（2023•江华县一模）如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF＝30°．
分析：（1）在△ACD和△CBF中，根据已知条件有两边和一夹角对应相等，可根据边角边来证明全等．
（2）当∠DEF＝30°，即为∠DCF＝30°，在△BCF中，∠CFB＝90°，即F为AB的中点，又因为△ACD≌△CBF，所以点D为BC的中点．
【解答】证明：（1）由△ABC为等边三角形，AC＝BC，∠FBC＝∠DCA，
在△ACD和△CBF中，
AC=BC∠DCA=∠FBCCD=BF，
所以△ACD≌△CBF（SAS）；
（2）当D在线段BC上的中点时，四边形CDEF为平行四边形，且角DEF＝30度
按上述条件作图，
连接BE，
在△AEB和△ADC中，
AB＝AC，∠EAB+∠BAD＝∠DAC+∠BAD＝60°，即∠EAB＝∠DAC，AE＝AD，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
又∵△ACD≌△CBF，
∴△AEB≌△ADC≌△CFB，
∴EB＝FB，∠EBA＝∠ABC＝60°，
∴△EFB为正三角形，
∴EF＝FB＝CD，∠EFB＝60°，
又∵∠ABC＝60°，
∴∠EFB＝∠ABC＝60°，
∴EF∥BC，
而CD在BC上，∴EF平行且相等于CD，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∵D在线段BC上的中点，
∴F在线段AB上的中点，
∴∠FCD=12×60°＝30°
则∠DEF＝∠FCD＝30°．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
【变式4-1】如图，点B、C、E、F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，
AC＝DF．求证：（1）△ABC≌△DEF； （2）四边形ABED是平行四边形．
分析：（1）根据BC＝EF求出BC＝EF，根据垂直定义得出∠ACB＝∠DFE＝90°，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，根据平行线的判定得出AB∥DE，再根据平行四边形的判定定理推出即可．
【解答】证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE﹣CE＝CF﹣CE，
即BC＝EF，
又∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，
∴∠ACB＝∠DFE＝90°，
在△ABC和△DEF中，
AC=DF∠ACB=∠FBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）由（1）知△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，
∴AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，平行线的判定，平行四边形的判定等知识点，能熟记有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解此题的关键．
【变式4-2】如图所示，△ABC中，D是BC边上中点，AE是∠BAC的平分线，CE⊥AE，EF∥BC交AB于点F，求证：四边形BDEF是平行四边形．
分析：延长CE交AB于M，证两三角形全等，推出E为CM中点，根据三角形中位线推出DE∥AB，根据平行四边形的判定推出即可．
【解答】证明：延长CE交AB于M，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝∠AEM＝90°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE，
在△MAE和△CAE中，
∠AEM=∠AECAE=AE∠MAE=∠CAE，
∴△MAE≌△CAE（ASA），
∴CE＝EM，
∵D为BC中点，
∴DE∥AB，
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
【变式4-3】（2023秋•海阳市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，F是AC上一点，且满足2AF＝CF，连接BF与AD相交于点E．若G为线段BF上一动点，试分析当点G在何位置时，四边形AFDG为平行四边形？
分析：证DG是△BCF的中位线，得DG∥CF，2DG＝CF，则DG∥AF，再证DG＝AF，即可得出四边形AFDG为平行四边形．
【解答】解：点G为线段BF的中点时，四边形AFDG为平行四边形，理由如下：
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD，
∵点G为线段BF的中点，
∴DG是△BCF的中位线，
∴DG∥CF，2DG＝CF，
∴DG∥AF，
∵2AF＝CF，
∴DG＝AF，
∴四边形AFDG为平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明DG为△BCF的中位线是解题的关键．
【变式4-4】(2023春•顺义区校级月考）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F、E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB＝3，AD＝4，求AC的长．
分析：（1）分别证明AB∥ED，AE∥BD，得出结论；
（2）利用勾股定理求出BH=5，再利用等积法求出AF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠BAD，
∴AB∥ED，
∵AE⊥AC，
∴∠EAC＝90°，
∵BD垂直平分AC，
∴∠BFA＝90°，
∴∠EAC＝∠BFA，
∴AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
（2）解：∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE＝∠ADB，
∵∠ADE＝∠BAD，
∴∠ADB＝∠BAD，
∴BA＝BD，
∵AB＝3，
∴BD＝3
过B作BH⊥AD，
∴AH=HD=12AD=2，
∴BH=32−22=5，
∵BD垂直平分AC，则AF＝FC，
∵S△ABD=12DA⋅BH=12DB⋅AF，
∴AF=DA⋅BHDB=453，
∴AC=853．
【点评】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键．
【变式4-5】（2023春•西安期末）如图，在△AFC中，∠FAC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且AD＝BC，连接CD，求证：四边形ABCD是平行四边形．
分析：证Rt△AEB≌Rt△FEC（HL），得BE＝CE，则∠CBE＝∠BCE＝45°，再证出∠BCE＝∠CAD，得BC∥AD，即可证出四边形ABCD是平行四边形；
【解答】证明：∵FE⊥AC，
∴∠FEA＝∠FEC＝90°，
∵∠FAC＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，∠AFE＝∠FAE＝45°，
在Rt△AEB和Rt△FEC中，
AB=FCAE=FE，
∴Rt△AEB≌Rt△FEC（HL），
∴BE＝CE，
∴∠CBE＝∠BCE＝45°，
∵AD⊥AF，
∴∠FAD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BCE＝∠CAD，
∴BC∥AD，
又∵BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明Rt△AEB≌Rt△FEC是解题的关键．
【变式4-6】(2023春•礼泉县期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）求证：△AEF≌△BAC；
（2）四边形ADFE是平行四边形吗？请说明理由．
分析：（1）由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BC，再由等边三角形的性质得AB＝AE，AB＝2AF，则AF＝BC，由HL即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得∠DAC＝60°，AC＝AD，再证EF∥AD，然后由全等三角形的性质得EF＝AC，则EF＝AD，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝AE，AB＝2AF，
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
AE=BAAF=BC，
∴Rt△AEF≌Rt△BAC（HL）；
（2）解：四边形ADFE是平行四边形，理由如下：
∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°，
∴AD⊥AB，
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
由（1）得：△AEF≌△BAC，
∴EF＝AC，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明Rt△AEF≌Rt△BAC是解题的关键．
题型五 平行四边形性质与判定的综合运用
【例题5】如图，在▱ABCD中，要在对角线BD上找两点E、F，使A、E、C、F四点构成平行四边形，现有①，②，③，④四种方案，①只需要满足BE＝DF；②只需要满足AE⊥BD，CF⊥BD；③只需要满足AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，④只需要满足AE＝CF．则对四种方案判断正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
分析：只要证明△ABE≌△CDF，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABE＝∠CDF，
①在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，故①正确；
②∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，故②正确；
③∵AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
∠BAE=∠DCFAB=CD∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，故③正确；
④由AE＝CF，不能证明△ABE≌△CDF，不能判定四边形AECF为平行四边形，故④不正确；
判断正确的是①②③，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
【变式5-1】如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、DC的中点，连接AF、CE、DE、BF、EF，AF与DE交于点G，CE与BF交于点H，则图中共有平行四边形（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
分析：根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、DC的中点，
∴AE＝BE＝DF＝CF，
∴四边形ADFE，四边形BCFE，四边形AFCE，四边形DFBE是平行四边形，
∴DE∥BF，AF∥CE，
∴四边形GFHE是平行四边形，
∴图中共有平行四边形6个，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
【变式5-2】如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D是线段BC上的一个动点（点D不与点B，C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交线段AB，AC于点F，G，连接BE和CF．则下列结论中：①BE＝CD；②∠BDE＝∠CAD；③四边形BCGE是平行四边形；④当CD＝2时，S△AEF＝23，其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
分析：①证△AEB≌△ADC（SAS），得BE＝CD，故①正确；再由平角的定义和三角形内角和定理得∠BDE＝∠CAD，故②正确；由∠EBC+∠ACB＝180°，得EB∥GC．则四边形BCGE是平行四边形．故③正确；证出BD＝2CD，得S△ACD=13S△ABC＝33，再证AF＝2BF，得S△AEF=23S△AEB=23S△ACD＝23，故④错误．即可求解．
【解答】解：①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝60°，
又∵∠EAB＝∠EAD﹣∠BAD，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD，
∴∠EAB＝∠DAC，
在△AEB和△ADC中，
AE=AD∠EAB=∠DACAB=AC，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD，故①正确；
∵∠BDE+∠ADE+∠ADC＝180°，∠ACD+∠ADC+∠CAD＝180°，∠ADE＝∠ACD＝60°，
∴∠BDE＝∠CAD，故②正确；
由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE＝∠ACB＝60°．
又∵∠ABC＝∠C＝60°，∠EBC＝120°，
∴∠EBC+∠ACB＝180°，
∴EB∥GC．
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形，故③正确；
∵AC＝BC＝6，CD＝2，
∴BD＝4＝2CD，
∴S△ACD=13S△ABC=13×34×62＝33，
∵EG∥BC，
∴∠BFE＝∠ABC＝60°＝∠ABE，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF＝BE，
∴BF＝CD＝2，
∴AF＝4＝2BF，
∴S△AEF=23S△AEB=23S△ACD＝23，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△AEB≌△ADC是解题的关键．
【变式5-3】(2023春•南海区月考）如图，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求▱ABCD的面积．
分析：（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，再证△ABE≌△FCE（ASA），得AB＝CF，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得∠ABC＝∠D＝60°，BC＝AD＝8，AD∥BC，再证△ABE是等边三角形，得∠BAE＝∠AEB＝60°，然后证∠BAC＝90°，则AC＝43，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠FCE，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
∠ABE=∠FCEBE=CE∠AEB=∠FEC，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB＝CF，
又∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝60°，BC＝AD＝8，AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BA＝BE=12BC＝CE＝4，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，
∵AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ECA=12∠AEB＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，
∴AC⊥AB，AC=BC2−AB2=82−42=43，
∴▱ABCD的面积＝AB•AC＝4×43=163．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【变式5-4】(2023春•重庆月考）已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
分析：（1）先根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB＝∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E＝∠F，∠EAM＝∠FCN，然后利用ASA可证明△AEM≌△CFN；
（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BM＝DN，BM∥DN，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论．
【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD，AD∥BC，
∴∠EAM＝∠FCN，
∵AD∥BC，
∴∠E＝∠F．
在△AEM与△CFN中，
∠EAM=∠FCNAE=CF∠E=∠F，
∴△AEM≌△CFN（ASA）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵△AEM≌△CFN，
∴AM＝CN，
∴BM＝DN，BM∥DN，
∴四边形BMDN是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得到△AEM≌△CFN．
【变式5-5】(2023春•南湖区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积．
分析：（1）证明△AED≌△CFB，得到DE＝BF，进而可以解决问题；
（2）根据勾股定理可得BF=BC2−CF2=5cm，BE=AB2−AE2=16cm，所以EF＝BE﹣BF＝11cm，进而可以求四边形AFCE的面积．
【解答】（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△AED和△CFB中，
∠AED=∠CFB∠ADE=∠CBFAD=BC，
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴DE＝BF，
∴OD﹣DE＝OB﹣BF，
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF＝12cm，
∵AD＝BC＝13cm，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，AB＝20cm，
∴BF=BC2−CF2=5cm，
BE=AB2−AE2=16cm，
∴EF＝BE﹣BF＝11cm，
∵S四边形AFCE＝AE•EF＝11×12＝132cm2，
∴四边形AFCE的面积为132cm2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△AED≌△CFB．
【变式5-6】（2023春•南昌期中）如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，过点O的直线交AD，BC于P，Q两点，交BA，DC的延长线于M，N两点．
（1）求证：AP＝CQ；
（2）连接DM，BN，求证：四边形BNDM是平行四边形．
分析：（1）连接AC，根据平行四边形的性质证明△AOE≌△COF（AAS），可得OO＝ON，AM＝CN，然后证明△PAM≌△QCN即可解决问题；
（2）结合（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题．
【解答】证明：（1）如图，连接AC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，AD∥BC，
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC，
∴∠M＝∠N，
在△AOM和△CON中，
∠M=∠N∠AOM=∠CONOA=OC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OO＝ON，AM＝CN，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠NCQ，
∵AD∥BC，
∴∠B＝∠MAP，
∴∠MAP＝∠NCQ，
在△PAM与△QCN中，
∠M=∠NAM=CN∠MAP=∠NCQ，
∴△PAM≌△QCN（ASA），
∴AP＝CQ；
（2）连接DM，BN，
∵AB∥CD，AB＝CD，AM＝CN，
∴BM＝DN，
∴四边形BNDM是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AOE≌△COF．
【变式5-7】(2023春•温州校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的一点，作DE⊥BC，垂足为E，延长DE到F，连结CF，使∠A＝∠F．
（1）求证：四边形ADFC是平行四边形．
（2）连接CD，若CD平分∠ADE，CF＝10，CD＝12，求四边形ADFC的面积．
分析：（1）由∠ACB＝90°，DE⊥BC，推出AC∥DF，得出∠A＝∠BDF，再证∠BDF＝∠F，则CF∥AB，即可得出结论；
（2）先由AAS证得△ADC≌△FDC，得出AD＝DF，由平行四边形的性质得S四边形ADFC＝2S△CDF，AD＝CF＝DF＝10，设EF＝x，则DE＝10﹣x，再由勾股定理求出x=145，CE=485，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，延长DE到F，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠BDF，
∵∠A＝∠F，
∴∠BDF＝∠F，
∴CF∥AB，
又∵AC∥DF，
∴四边形ADFC是平行四边形；
（2）解：∵CD平分∠ADE，
∴∠ADC＝∠FDC，
在△ADC和△FDC中，
∠A=∠F∠ADC=∠FDCCD=CD，
∴△ADC≌△FDC（AAS），
∴AD＝DF，
由（1）得：四边形ADFC是平行四边形，
∴S四边形ADFC＝2S△CDF，AD＝CF＝DF＝10，
设EF＝x，则DE＝10﹣x，
在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2＝CD2﹣DE2，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2＝CF2﹣EF2，
∴122﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，
解得：x=145，
∴CE=CF2−EF2=102−(145)2=485，
∴S四边形ADFC＝2S△CDF＝2×12DF•CE＝2×12×10×485=96．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【变式5-8】(2023春•锦江区校级期中）如图，在等边△ABC中，D、E两点分别在边BC、AC上，BD＝CE，以AD为边作等边△ADF，连接EF，CF．
（1）求证：△CEF为等边三角形；
（2）求证：四边形BDFE为平行四边形；
（3）若AE＝2，EF＝4，求四边形BDFE的面积．
分析：（1）证△BAD≌△CAF（SAS），得∠ACF＝∠ABD＝60°，BD＝CF，再证CF＝CE，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得∠CEF＝60°，EF＝CE，再证EF∥BD，然后证EF＝BD，即可得出结论；
（3）过E作EG⊥BC于G，由（2）可知，CE＝EF＝4，则AC＝6，再由等边三角形的性质得BC＝AC＝6，∠ACB＝60°，然后证CG=12CE＝2，则EG＝23，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵△ADF是等边三角形，
∴AD＝AF，∠DAF＝60°，
∴∠BAC＝∠DAF＝∠ACB＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC∠BAD=∠CAFAD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝60°，BD＝CF，
∵BD＝CE，
∴CF＝CE，
∴△CEF是等边三角形；
（2）证明：由（1）可知，△CEF是等边三角形，
∴∠CEF＝60°，EF＝CE，
∴∠CEF＝∠ACB＝60°，
∴EF∥BD，
∵BD＝CE，
∴EF＝BD，
∴四边形BDFE是平行四边形；
（3）解：如图，过E作EG⊥BC于G，则∠EGC＝90°，
由（2）可知，CE＝EF＝4，
∴AC＝AE+CE＝2+4＝6，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝6，∠ACB＝60°，
∴∠CEG＝90°﹣∠ACB＝30°，
∴CG=12CE＝2，
∴EG=CE2−CG2=42−22=23，
∵四边形BDFE为平行四边形，
∴BD＝EF＝4，
∴S平行四边形BDFE＝BD•EG＝4×23=83．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．