2024年七年级数学暑假培优练（人教版）-暑假作业08 一元一次不等式类型题精练（原卷版+解析版）

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作业08 一元一次不等式类型题精练
知识点1．一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
知识点2．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
知识点3．一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
知识点4．由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
知识点5．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
题型一：表达式的性质
1．已知，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：A、不等式的两边都减，不等号的方向不变，得到，故此选项正确，不符合题意；
B、不等式的两边都加1，不等号的方向不变，得到，又因为，因此，故此选项正确，不符合题意；
C、不等式的两边都除以b，不知道b的符号，无法判定与的大小，故此选项错误，符合题意；
D、不等式的两边都先乘以，不等号的方向改变，得到，故此选项正确，不符合题意．
故选：C．
2．若，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】A、 ， ，则，故该选项成立，不符合题意．
B、 ，，故该选项成立，不符合题意；
C、 ， ，故该选项成立，不符合题意；
D、 ，且， ，故该选项不一定成立，符合题意；
故选：D．
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵，，
A．∴a不一定小于，故本选项不符合题意；
B．∵，，
∴，故此选项符合题意；
C．∴，故本选项不符合题意；
D．∴，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．由，得，则的取值可能是（ ）
A．B．C．0D．2.5
【答案】D
【详解】解：由于不等号的方向不变，所以乘以的x为正数，
故选D．
5．若关于x的不等式的解集为 ，则m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】关于x的不等式的解集为 ，
故，
解得，
故答案为：．
题型二：解一元一次不等式
6．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得，
将解集表示在数轴上，如图：
．
故选：A．
7．不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：，
∴，
故选：B．
8．若关于x的一元一次不等式的解集是，则c的值为 ．
【答案】
【详解】解：，
解得：，
∵不等式的解集是，
∴，
解得：．
故答案为：
9．解不等式，并把该不等式的解集在数轴上表示出来．
【答案】
【详解】解： ，
，
，
，
，
∴原不等式的解集为：，
将解集表示在数轴上如下：
10．（2024·河北保定·二模）已知算式“”．
(1)若，求算式的值．
(2)若算式的值为正数，求m的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：当时，；
（2）解：∵算式的值为正数，
∴，
解得．
题型三：一元一次不等式整数解问题
11．若代数式的值不大于的值，则的最大整数值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【详解】解：由题意得，，
解得，
∴的最大整数值是6，
故选：B．
12．已知关于x的不等式至少有三个负整数解，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∵关于x的不等式至少有三个负整数解，
∴关于x的一元一次不等式至少有的三个负整数解是：、、，
∴
∴解得：．
故答案为：
13．解不等式，并写出它的所有负整数解．
【答案】不等式的解集是，其中所有负整数解为，
【详解】解：．
移项得，．
合并同类项得，．
系数化为1得，．
所以原不等式的所有负整数解为，．
题型四：含有参数的一元一次不等式
14．已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【详解】解：
①+②得，
∴
∵
∴
解得：
∴的最小整数值为，
故选：A．
15．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：解不等式得，
∵不等式的解都是不等式的解，
∴，
故选A．
16．已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【详解】解：∵解方程组，
得，
∴①x与y互为相反数，则x=-y，
m+2=2m
m=2，故①正确；
②，
则m+2-2m=2-m
m＜，则m的最大整数值为3，故②错误．
③x=y，
则m+2=-2m
m=，故③错误；
故选：B．
17．已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：
解得：，
由题意得：，
解得：，
∴k的最小值为．
故答案为：．
18．已知关于x的方程．
(1)若该方程的解满足，求a的取值范围；
(2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解方程，得，
∵该方程的解满足，
∴，解得．
（2）解不等式，得，
则最大的整数解是．
把代入，
解得．
题型五：一元一次不等式实际应用问题
19．今年年初，娃哈哈爆火，抢购娃哈哈旗下的产品成为了年轻人的一种新时尚．如图所示的是娃哈哈旗下的八宝粥，其每罐的外包装上标明：净含量：，表明了每罐八宝粥的净含量x（单位：g）的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】净含量的范围是，即．
故选A．
20．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度，行人通常会在红灯亮起前通过马路．若一条人行横道全长24米，小华以的速度匀速通过该人行横道，但行至离起点处时，8秒倒计时灯亮了．小华要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．2倍
【答案】C
【详解】解；设小华的速度要提高到原来的x倍，
由题意得，，
解得，
∴他的速度至少要提高到原来的倍，
故选：C．
21．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2所示．
(1)设每颗玻璃球的体积为，列出x满足的不等式；
(2)已知每放一个玻璃球水面上升，若使水不溢出杯子，最多能放几个小球？
【答案】(1)
(2)使水不溢出杯子，最多能放15个小球．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：设可以放m个小球，
由题意得，，
解得，
∴m的最大值为15，
答：使水不溢出杯子，最多能放15个小球．
22．已知在数轴上，点、、分别表示、、．
(1)当点与点重合时，求的值．
(2)在点、、中，任意两点互不重合，若其中一点到另外两点的距离相等，求的值．
(3)若点到点的距离小于点到点的距离，直接写出的取值范围．
【答案】(1)(2)或或
(3)或
【详解】（1）解：当点与点重合时，则，
解得．
（2）解：依题得：
当点到点、的距离相等时，，解得；
当点到点、的距离相等时，，解得；
当点到点、的距离相等时，，解得．
故的值为或或．
（3）解：由题意得，
当时，解得；
当时，解得．
故的取值范围为或．
23．（2024·福建宁德·二模）为丰富校园生活，某校九年级开展篮球比赛活动．比赛得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分；罚球投中一球可得1分．
(1)A班球队在某场比赛中，上半场共投中12个球，其中投中5个2分球，所得总分为23分，问该球队上半场比赛罚球得分是多少？
(2)A班球队预想在下半场比赛中投中12个球，若在没有罚球的情况下，且下半场所得总分不少于29分，则该班级下半场比赛中至少投中多少个3分球？
【答案】(1)4分(2)5个
【详解】（1）解：设A班球队上半场投中了个3分球，则罚球投中了个1分球，根据题意得：
，
解得：，
故罚球投中了：
答：A班球队上半场比赛罚球得分是4分．
（2）解：设A班球队下半场比赛投中个3分球，则投中个2分球，根据题意得：
，
解得：，
答：A班球队下半场比赛中至少投中5个3分球．
24．某体育用品商场销售两款足球，售价和进价如表：
若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元．
(1)求和的值；
(2)已知商场购进10个款足球和20个款足球，售货员说：“每个款足球按售价进行打折销售，款足球不打折”．若两款足球全部售出后总盈利不少于640元，则每个款足球最多打几折？
【答案】(1)的值为80，的值为60；
(2)每个款足球最多打8折．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
解得：，
所以的值为80，的值为60；
（2）解：设每个款足球打折销售，
根据题意得，
解得，
答：每个款足球最多打8折．
25．如图，某段高速公路全长250千米，交警部门在某段高速公路距离入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5千米处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔28千米处都设置一个摄像头．
（1）设第x个摄像头和第y个限速标志牌与入口的距离相同，则y与x之间的函数关系式为 ．
（2）若该段高速公路全长为250千米，则离入口 千米处刚好同时设置有限速标志牌和摄像头．
【答案】 38和178
【详解】（1）依题意，得，
整理，得，
故答案为：
（2）∵该段高速公路全长为250千米，
∴，
则，
∵x，y均为正整数，
∴和，
此时（千米），（千米），
∴当和时，刚好同时设置有标志牌和摄像头，此时与入口的距离分别为38千米和178千米，
故答案为：38和178．

26．对于任意实数、，定义一种运算：，例如，，请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的所有正整数解的和是 ．
【答案】3
【详解】解：不等式，
，
，
，
，
该不等式的所有正整数解为：1，2，
不等式的所有正整数解的和是3，
故答案为：3．
27．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中水果质量损失，假设不计超市其他费用．
(1)如果超市在进价的基础上提高作为售价，请你通过计算说明，在这一次销售中，该超市是盈利还是亏本；
(2)如果超市至少要获得的利润，那么这种水果的售价最低应提高百分之几?（结果精确到）
【答案】(1)超市要亏本，理由见解析；(2)．
【详解】（1）设超市购进水果千克，每千克元，
由题意得：，
∴超市要亏本；
（2）设超市购进水果千克，每千克元，这种水果的售价在进价的基础上应提高，则售价为每千克元，
由题意得：，
解得：，
∴这种水果的售价最低应提高．
28．已知关于、的二元一次方程组．
(1)若方程组的解、满足方程，求的值；
(2)若方程组的解、满足，且为整数，求的值．
【答案】(1)(2)或或
【详解】（1）解：，
得：，
得：，
将④代入②得：，
，
，
，
解得：，
（2），
，
解得：，
又为整数，
或或．
29．低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行“成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行.阳光公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元.该公司销售3台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利550元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利400元．
(1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
(2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过12400元，最多可以购买乙型自行车______台．
【答案】(1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为150，100元(2)8
【详解】（1）解：设该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为x元、y元，
根据题意，得
解得：，
答：该公司销售一台甲型自行车的利润为150元、一台乙型自行车的利润为100元．
（2）设需要购买乙型自行车a台，则购买甲型自行车台，
依题意得
解得：，
∵a为正整数，
∴a的最大值为8，
故答案为：8．
30．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在八年级开展班级篮球赛，共16个班级参加．
(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？
(2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班这场比赛中至少投中了多少个3分球？
【答案】(1)胜12场，负3场(2)4个
【详解】（1）解：设该班胜场，则负场，根据题意，得
.
解这个方程，得
∴(场)
∴该班胜12场，负3场
（2）设该班这场比赛中投中了x个3分球，则投中了个2分球，
根据题意，得
解这个不等式，得
∴该班这场比赛中至少投中了4个3分球
31．如图，，两地有公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地的2倍，这家厂从地购买原料，制成食品卖到地．已知公路运价为1.5元/（公里·吨），铁路运价为1元/（公里·吨），这两次运输（第一次：地→食品厂；第二次：食品厂→地）共支付公路运费15600元，铁路运费20600元．
(1)这家食品厂到地的距离是多少公里？
(2)此次购进了多少吨原料？制成了多少吨食品？
(3)这家食品厂准备再新进一批原料，加工成食品后全部卖出，已知买进的原料每吨5000元，卖出的食品每吨10000元，保持原料产出食品的效率不变，如果希望获得利润不少于1079750元，则至少要购进多少吨原料？（注：利润＝销售款－原料费－运输费）
【答案】(1)设这家食品工厂到A地距离50公里
(2)此次购进了220吨原料，制成了食品200吨
(3)该厂至少购进275吨原料
【详解】（1）解：设这家食品工厂到A地距离x公里．
依题意得．
解得．
答；设这家食品工厂到A地距离50公里
（2）设此次购进了m吨原料，制成了食品n吨．
依题意得
解得．
答：此次购进了220吨原料，制成了食品200吨．
（3）该厂原料产出食品的效率：原料：食品，
设该厂购进11a吨原料，产出10a吨食品．
解得，则，
答，该厂至少购进275吨原料．
32．数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究：
根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．

根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______；
(2)解不等式；
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)，或
(2)或(3)
【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为；
不等式（）的解集为或；
（2）由（1）得：由于，
所以或，
所以或，
所以的解集为或；
（3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值，
因为数轴上1和对应点的距离为3，
所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．
若x对应的点在1的右边，可得；
若x对应的点在的左边，可得；
所以方程的解为或，
所以不等式的解集为．
33．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板．
(1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张．
(2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？
(3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值．
(4)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出若干张型长方形纸板和型正方形纸板．若要用20张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个．
【答案】(1)3，4(2)制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个(3)12(4)27
【详解】（1）由题意可得，
1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型，
故答案为：3，4；
（2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得，
，解得，
答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个；
（3）解：根据题意，得．
解得．
为非负整数，
的最大值为12；
（4）设可以制作横式纸盒个．
个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，
需要张型和张型，
，解得，
在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒27个．
故答案为：27．
34．根据以下素材，探索完成任务．
【答案】探究一：（1）见详解；（2）最多能做6个礼品盒；探究二：最多能做32个礼品盒；探究三：11或24
【详解】探究一：根据题意可得，一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板，
当时，
（1）补全填表如图：
（2）根据题意可得，
即，
解得： ，
∴个，
故所裁剪的A、B型纸板恰好用完时，最多能做6个礼品盒．
探究二：若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，设能做a个礼品盒，
则，
解得：，
∵a为正整数，
∴a最大为32，
即最多能做32个礼品盒．
探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板，
则，
化简得：，
∵，
∴，
解得：，
∵n，b为正整数，
∴或符合要求，
故n的值为：11或24．
35．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，连接．若，满足．平移线段，使点与点重合，点对应点为点．
(1)填空：______，______，点的坐标为______；
(2)如图2，延长线段至点．
①连接，请利用，，的面积关系，求出，满足的关系式；
②连接，，若的面积为，求的值．（预备结论：可用）
(3)过点作射线轴，交轴于点，动点从点出发沿射线以每秒个单位的速度向右运动，连接，，交轴于点，设运动时间为秒，的面积为，若，求的取值范围．
【答案】(1)，(2)①；②(3)或
【详解】（1）解：∵
∴
解得：
∴，
∵平移线段，使点与点重合，点对应点为点．点的坐标为，
∴
从到的平移方式是：先左平移2个单位，再向上平移3个单位，
将先左平移2个单位，再向上平移3个单位，，得到，即
（2）①如图所示，延长线段至点，则在第三象限，则，
过点作轴于点，
∵，，
∴，，，
∴，
，
∵
∴
即
②如图所示，过点作轴于点，
∵，，，
∴，，，，，
∵
∵
∴
∵的面积为
∴
解得：
（3）解：如图所示，
∵，依题意，，则，
∵,
∵
∴
∴
∴
∵
∴即或
解得：或．
36．虹吸现象是液态分子间引力与高度差所造成的，即利用水柱压力差，使水上升后再流到低处．由于管口处承受不同的压力，水会由压力大的一边流向压力小的一边，直到管口处压力相等，即相对水平面，两个容器内的水面平齐，水就会停止流动（如图1）．
如图2，有甲、乙两个圆柱形容器，甲容器底面积是乙容器底面积的2倍，高度均为，甲容器下方垫有一高度为的长方体木块；未发生虹吸现象前，甲容器内水位高度为，乙容器内无水．若发生虹吸现象，甲容器中的水不断流入乙容器中．（导管与导管内的液体体积忽略不计，圆柱体的体积底面积高）
(1)①当甲容器内水位下降，则乙容器内水位上升 ；
②当时，试判断虹吸现象过程中乙容器内的水是否会溢出？并说明理由；
(2)当虹吸现象结束时，若乙容器内水位深度是甲容器内水位深度的3倍，请求出此时长方体木块高度h的值；
(3)若乙容器内放入高度为的圆柱体铁块丙，其中乙容器底面积是铁块丙底面积的2倍．若发生虹吸现象的过程中无水溢出，请直接写出长方体木块高度h的最大值．
【答案】(1)① ②乙容器内的水不会溢出(2)(3)
【详解】（1）解：①设乙容器的底面积为，则甲容器的底面积为，
∴乙容器内水位上升高度为，
故答案为：；
②乙容器内的水不会溢出，理由为：类型
进价（元/个）
售价（元/个）
A款
m
120
B款
n
90
如何设计礼品盒制作方案
素材1
七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二．

素材2
现有大长方形硬纸板n张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．）
问题解决
任务1
初探
方案
探究一：按素材1的裁剪方法，若x张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，y张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完．
若，
（1）完成右边填表；
（2）最多能做多少个礼品盒？
型号
裁法
（裁法一）
（裁法二 ）
合计
大长方形硬纸板x（张）
大长方形硬纸板y（张）

A型号(张数）
2x
0
2x
B型号（张数）
0


任务2
反思
方案
探究二：
若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由．
任务3
优化
方案
探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计：
首先从n张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若n在10张至30张之间（包括边界），则n的值为 ．（填空）
型号
裁法
（裁法一）
（裁法二 ）
合计
大长方形硬纸板x（张）
大长方形硬纸板y（张）

A型号(张数）
0
B型号（张数）
0