湖南省长沙市师大附中教育集团2022-2023学年七年级下学期期末数学试题（原卷及解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中属于无理数的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据无理数、有理数的定义进行判定即可得出答案．
【详解】，是有理数，
是无理数，
故选C．
【点睛】本题考查了无理数的定义.牢记无限不循环小数为无理数是解题的关键.
2. 为了解某市七年级20000名学生的身高，从中抽取了500名学生，对其身高进行统计分析，以下说法正确的是 （ ）
A. 每个学生是个体B. 20000名学生是总体
C. 500名学生是抽取的一个样本D. 每个学生的身高是个体
【答案】D
【解析】
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：A．每个学生身高是个体，故本选项不合题意；
B．20000名学生的身高是总体，故本选项不合题意；
C．500名学生的身高是抽取的一个样本，故本选项不合题意；
D．每个学生的身高是个体，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3. 下列数轴上，正确表示不等式的解集的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出不等式的解集，再在数轴上将解集表示出来即可．
【详解】解：解不等式得，，
将在数轴上表示为：
故选：D．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上表示的方法是正确解答的前提．
4. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中记载：“今有牛五、羊二、直金十二两；牛二、羊五、直金九两，问牛、羊各直金几何？”意思是：“假设有5头牛和2只羊共值金12两，2头牛和5只羊共值金9两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”如果按书中记载，1头牛和1只羊一共值金（ ）两．
A. 3B. 3.3C. 4D. 4.3
【答案】A
【解析】
【分析】本题里体现了两个等量关系，列二元一次方程组很容易解决这个问题．
【详解】解：设每头牛值金两，每只羊值金两，根据题意可得：
解得：，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的问题，解题的关键是找准等量关系列出方程组．
5. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ）
A. ﹣3B. ﹣2C. ﹣1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】方程组中的两个方程相减得出x-y=3m+2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：，
①-②得：x-y=3m+2，
∵关于x，y的方程组的解满足x-y＞-，
∴3m+2＞-，
解得：m＞，
∴m的最小整数解为-1，
故选C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
6. 下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A. 调查某电视节目的收视率B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品
C. 调查某品牌冰箱的使用寿命D. 调查市场上冷冻食品的质量情况
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽样调查与全面调查的意义：抽样调查是根据随机的原则从总体中抽取部分实际数据进行调查，并运用概率估计方法，根据样本数据推算总体相应的数量指标的一种统计分析方法；结合具体的问题情境进行判断即可．
【详解】解：A．调查某电视节目的收视率，适合使用抽样调查，因此选项A不符合题意；
B．调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品，必须使用全面调查，因此选项B符合题意；
C．调查某品牌冰箱的使用寿命，适合使用抽样调查，因此选项C不符合题意；
D．调查市场上冷冻食品的质量情况，适合使用抽样调查，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是正确判断的前提．
7. 在平面直角坐标系xOy中，点在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在第二象限的点的特点为：横坐标<0，纵坐标>0，然后根据横坐标的特点列不等式即可.
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，即，
故选：A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中第二象限内点的特征．
8. 已知是二元一次方程的解，则点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先把代入求出a的值，然后得出此点的坐标，即可得出结果．
【详解】解：∵是二元一次方程的解，
∴，解得：，
∴此点的坐标为：，
即此点坐标为，
∴此点在第四象限，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，平面直角坐标系中各象限内点的特点，根据题意求出a=2的值，是解题的关键．
9. 如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝100米，宽BC＝50米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（ ）

A. 148米B. 196米C. 198米D. 200米
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（AD﹣2）×2，求出即可．
【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，
横向距离等于AB，纵向距离等于（AD﹣2）×2，
图中虚线长为：100+（50﹣2）×2＝196米，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，正确转换图形形状是解题关键．
10. ①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，，则；④如图4，，，则．以上结论正确的个数是（ ）
A. ①②③④B. ①②③C. ②③④D. ①②④
【答案】C
【解析】
【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
③过点E作直线，由平行线的性质可得出结论；
④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．
【详解】解：①过点E作直线，
∵，∴，
∴，，
∴，故①错误；
②过点E作直线，
∵，
∴，∴，，
∴，故②正确；
③过点E作直线，
∵，∴，
∴，，
∴，即，故③正确；
④如图，过点P作直线，
∵，∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，∴，即，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 3－的相反数是___________．
【答案】-3
【解析】
【分析】先判断出 是负数，再根据绝对值性质解答．
【详解】，
.
故答案为.
【点睛】本题考查了实数的性质，主要利用了绝对值的性质，判断出是负数是解题的关键．
12. 将点先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到点，则点的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平移的性质，向左平移，则横坐标减；向上平移，则纵坐标加．
【详解】解：先向左平移1个单位长度，
再向上平移3个单位长度得到点，
，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化平移，解题的关键是熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13. 已知方程是关于x、y的二元一次方程，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据二元一次方程的定义求解即可．
【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程，
∴2n−1＝1，
解得：n＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须满足以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次，方程是整式方程．
14. 若是方程的解，则a的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】把代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值．
【详解】解：把代入方程得：2+2a=8，
∴a=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的一元一次方程是解题的关键．
15. 对于整数a，b，c，d，符号表示运算ad-bc，已知1＜＜3，则bd的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题中已知条件得出关于bd的不等式，直接进行解答即可．
【详解】解：已知1＜＜3，即1＜4-bd＜3，
所以，
解得1＜bd＜3，
因为b，d都是整数，则bd一定也是整数，因而bd=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了新定义运算，读懂题目，把题目中的式子转化为一般的式子是解决本题的关键．
16. 在等式中，（ ）内的数等于______．
【答案】2或-12##-12或2
【解析】
【分析】根据平方根的定义求出，从而求出内的数．
【详解】解：∵，
∴，
∴=2或-12，
故答案为：2或-12．
【点睛】本题考查了平方根的性质，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，且互为相反数．
三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
①得：
③，
②③得：
，
把代入①得：
，
解得：，
原方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
19. 解不等式组．
【答案】
【解析】
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】解：
解①得：，
解②得：，
则不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
四、解答题（本大题共7小题，第20、21题每小题8分，第22、23小题每小题9分，第24、25小题每小题10分，共60分．）
20. 已知每个小正方形网格的边长为1，在如图所示的平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点都在网格交点上．
(1)写出点A，B的坐标；
(2)画出三角形ABC向右平移5个单位，向下平移2个单位后得到的三角形A1B1C1；
(3)求三角形ABC的面积．
【答案】（1）A（-5，5 ）B（0，-3) ；（2）如图见解析； (3)
【解析】
【分析】（1）根据点与坐标的关系解答即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C向右平移5个单位，向下平移2个单位的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（3）直接根据三角形的面积公式计算即可.
【详解】解：（1）A（-5，5 ）B（0，-3) ；
（2）如图，
（3）三角形ABC的面积=
【点睛】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
21. 某校九年级共有540名学生，张老师对该年级学生的升学志愿进行了一次抽样调查，他对随机抽取的一个样本进行了数据整理，绘制了两幅不完整的统计图，见图①和图②，请根据图中提供的信息，解答下列问题．

（1）求张老师抽取的样本容量；
（2）把图①和图②补充或绘制完整；
（3）请估计全年级填报职业高中学生人数．
【答案】（1）60； （2）见解析；
（3）225人．
【解析】
【分析】（1）根据条形图和扇形图得到填报就读普高的学生人数以及百分比，计算即可；
（2）分别求出填报就读职高的学生人数和填报就读其它的学生人数，补充完整图形；
（3）根据填报就读职高的学生人数所占的百分比计算即可．
【小问1详解】
解：张老师抽取的样本容量为．
【小问2详解】
解：普高人数为30，占，对应的圆心角，
报考职高的对应的圆心角为，
报考其它的人数为（名），
∴报考其它的对应的圆心角为；
把图甲和图乙补充或绘制完整，如图：
【小问3详解】
解：全年级填报职业高中的学生人数约为（人）．
答：全年级填报职业高中的学生约225人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大
22. 如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由
（2）若是的平分线，，求的度数．
【答案】（1）互相平行，见解析
（2）40°
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质定理可得，等量代换可得，利用平行线的判定定理可得结论；
（2）由已知可得，利用角平分线的性质定理可得，利用平行线的判定定理可得，由平行线的性质定理可得结论．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
是的平分线，
，
；
．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是能灵活运用平行线的判定和性质定理进行推理．
23. 某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元.
(1)按该公司要求可以有几种购买方案？
(2)如果该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择什么样的购买方案？
【答案】（1）有3种购买方案①购乙6台，②购甲1台，购乙5台，③购甲2台，购乙4台（2）购买甲种机器1台,购买乙种机器5台,
【解析】
【分析】（1）设购买甲种机器x台（x≥0），则购买乙种机器（6-x）台，根据买机器所耗资金不能超过34万元，即购买甲种机器钱数+购买乙种机器的钱数≤34万元．就可以得到关于x的不等式，就可以求出x的范围．
（2）该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，就是已知不等关系：甲种机器生产的零件数+乙种机器生产的零件数≤380件．根据（1）中的三种方案，可以计算出每种方案的需要资金，从而选择出合适的方案．
【详解】解：(1)设购买甲种机器x台(x≥0),则购买乙种机器(6-x)台
依题意,得7x+5(6-x)≤34
解这个不等式,得x≤2,即x可取0,1,2三个值.
∴该公司按要求可以有以下三种购买方案:
方案一:不购买甲种机器,购买乙种机器6台.
方案二:购买甲种机器l1台,购买乙种机器5台.
方案三:购买甲种机器2台,购买乙种机器4台
(2)根据题意,100x+60(6-x)≥380
解之得x>
由(1)得x≤2,即≤x≤2.
∴x可取1,2俩值.
即有以下两种购买方案：
购买甲种机器1台,购买乙种机器5台,所耗资金为1×7+5×5=32万元；
购买甲种机器2台,购买乙种机器4台,所耗资金为2×7+4×5=34万元.
∴为了节约资金应选择购买甲种机器1台,购买乙种机器5台,.
【点睛】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，正确确定各种情况，确定各种方案．
24. 如图，在中，E在边BC上，过点E作，交AC于点F，若D为BC边上的动点，连接DF、DA，设，．

（1）如图①，当D在线段BE上时．
①若，，则________；
②试证明．
（2）如图②，当点D在线段EC上运动时，与、有何数量关系？请判断并说明理由．
（3）如图③，当点D在BC延长线上运动时，与、有何数量关系？请判断并说明理由．
【答案】（1）①；②见解析；
（2），理由见解析；
（3），理由见解析．
【解析】
【分析】（1）①过点D作，利用两直线平行，内错角相等得，，则；
②由①同理解决问题；
（2）设AD与EG的交点为M，由平行线的性质得，且是的外角，得，从而得出答案；
（3）设EG与AD的交点为N，由（2）同理可得．
【小问1详解】
解：①过点D作，
，，
，，
∵，，
，
，，
，
故答案为：；

②过点D作，

∵，，
，
，，
；
【小问2详解】
解：，理由如下：
设AD与EG的交点为M，

，
，
是的外角，
，
；
【小问3详解】
解：，理由如下：
设EG与AD的交点为N，

∵，
，
是的外角，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．
25. 对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均非零实数）．例如：T（1，1）＝3x+3y．
（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值；
（2）已知关于x，y的方程组，若a≥﹣2，求x+y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，请直接写出点B的坐标．
【答案】（1）x=1，y=1；（2）；（3）或或或或或
【解析】
【分析】（1）根据新运算定义建立方程组，解方程组即可得出答案；
（2）应用新运算定义建立方程组，解关于、的方程组可得，进而得出，再运用不等式性质即可得出答案；
（3）根据题意得，由平移可得，根据点落在坐标轴上，且，分类讨论即可．
【详解】解：（1）根据新运算的定义可得：
，
解得：；
（2）由题意得：，
解得：，
，
，
，
，
；
（3）由（2）知，，
，
将线段沿轴向右平移2个单位，得线段，
，
点落在坐标轴上，且，
或，
或；
①当时，，
若点在轴上，，
，
或；
若点在轴上，，
，
或；
②当时，；
点只能在轴上，，
，
或；
综上所述，点的坐标为或或或或或．
【点睛】本题考查了新运算定义，解二元一次方程组，不等式性质，平移变换的性质，理解并应用新运算定义是解题关键．
甲
乙
价格(万元/台)
7
5
每台日产量(个)
100
60