北师大版九年级数学期中期末考试满分全攻略 九年级下册第3章 圆（知识清单）

这是一份北师大版九年级数学期中期末考试满分全攻略 九年级下册第3章 圆（知识清单），共8页。试卷主要包含了 圆及与的相关的概念，圆的对称性，垂径定理及推论和重要公式，确定圆的条件，直线与圆的位置关系，切线长定理，圆内接正多边形，正多边形的相关计算等内容，欢迎下载使用。

一、 圆及与的相关的概念
圆的定义
1）圆：
描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“⊙O”，读作：“圆O”，其中端点O叫作圆心
集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。
2）基本概念
= 1 \* GB3 ①半径：线段OA叫作圆的半径（OB、OC也是圆的半径）
= 2 \* GB3 ②弦：圆上任意两点间的线段（半径是特殊的弦）
= 3 \* GB3 ③直径：经过圆心的弦（如AB）
= 4 \* GB3 ④弧：圆上任意两点间的部分（如AC）
= 5 \* GB3 ⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆
= 6 \* GB3 ⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等）
3）确定一个圆的两要素（圆心、半径）
4）圆的任一半径长度都相等
5）圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2倍的半径长度
6）等弧：能够完全重合的两段弧是等弧。也可说在同圆或等圆中，等长弧对应的弧相等；
7）C=2πr S=πr2
注： = 1 \* GB3 ①直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦；
= 2 \* GB3 ②半圆是弧，但弧不一定是半圆。通常将大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧；
= 3 \* GB3 ③等弧必须以“等圆或同圆”为前提，等弧是全等的（能完全重合），不仅指弧长相等，弧度也相等。
2.弦与直径、弧与半圆
①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如下图线段AC，AB；
②经过圆心的弦叫做直径，如下图线段AB；
③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧．
④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
3.同心圆和等圆
同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆。如图2所示：


图2 图3
等圆：半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆。
注：同圆或等圆的半径相等。如图3.等圆与位置无关
等弧：在同圆和等圆中，等够完全重合的弧叫做等弧。
注：长度相等的弧，度数相等的弧都不一定是等弧。
二、圆的对称性
1.圆的对称性
（1）圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线．
（2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
2.弧、弦、圆心角
（1）顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分成360等分，每一份的弧对应1的圆心角，我们也称这样的弧为1的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
三、垂径定理及推论和重要公式
1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。
证明：连AO、BO
∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90°
又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL）
∴AE=EB，∴AD=BD AC=CB
2）知二推三（推论）
= 1 \* GB3 ①CD过圆心（直径/半径）； = 2 \* GB3 ②CD垂直弦AB； = 3 \* GB3 ③CD平分AB； = 4 \* GB3 ④AC=CB； = 5 \* GB3 ⑤AD=BD
垂径定理重要推论：上述5个条件中，任意2个条件成立，则其余3个条件必定成立，即“知二推三”。
3）重要公式：设半径为r，AB=a，OE=d，根据勾股定理：
圆中常用的辅助线：连OB，作OE垂直弦AB，构造出直角三角形。
四：圆周角定理及推论
1）推论1：同弧或等弧所对圆周角相等
∵同弧或等弧所对圆心角相等 ∴同弧或等弧所对圆周角相等
2）圆周角、圆心角、弧长、弦长关系总结：
在同圆或等圆中，有如下关系：
即在同圆或等圆的情况下，圆周角、圆心角、弦长、弧长中任一个相等，则另外几个条件也相等。
3）推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°。（因为圆心角为180°）
4）推论3：两直角三角形共斜边，这四点共圆
证明：∵∠A=90° ∴△ACB外接圆的圆心在CB上，且CB为直径
∵∠D=90° ∴△BCD外接圆的圆心在CB上，且CB为直径 ∴四点共圆
五、确定圆的条件
1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。
3.三角形的外接圆与外心
4.点和圆的位置关系
1）点和圆的位置关系有3种：圆外、圆上、圆内
2）设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则：
P在圆外⟺d>r； P在圆上⟺d=r； P在圆内⟺d六、直线与圆的位置关系
1.直线和圆有几种位置关系
如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．
如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．[
2.切线的判定和性质
1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径
2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
4.弦切角定理及其逆定理
七、切线长定理
切线长与切线长定理
八、圆内接正多边形
把圆分成n(n≥3)等份：
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．
九.正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆 和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.
十、正多边形的相关计算
设正n边形的半径长为 Rn、中心角为αn、边长为an、边心距为rn，则利用等腰三角形 OAB，通过解直角三角形 OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正 n边形的周长及面积.
十一、弧长的计算
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝eq \f(nπR,180)．
十二、与扇形有关的面积计算
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝eq \f(nπR2,360)＝eq \f(1,2)lR.示意图
点和圆的位置关系
经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心．从三角形外心的定义知:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
如图,分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2,设它们的交点为O,则OA＝OB＝OC．于是以点O为圆心,OA(或OB、OC)为半径,便可作出经过A、B、C三点的圆．因为过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O,半径等等于OA,所以这样的圆只有一个．
1）经过一个已知点A可画无数个圆。
2）经过已知两点A，B作圆，可画无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上
3）经过同一直线上三个点A、B、C的圆是不存在的。
4）经过不再同一直线上的三个点A、B、C可画一个圆，而且只能作一个圆。
弦切角定理(需证明)
弦切角的定义
顶点在圆上,并且一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角
弦切角定理
弦切角的度数等于它所夹得弧所对得圆心角得一半,等于它所交得弧所对得圆周角得度数．
如图所示,线段PT所在的直线切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦,∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角．
证明过程略.
弦切角定理逆定理(需证明)
弦切角定理逆定理
如右图,在△ABC的形外作∠PAB=∠BCA,则PA是△ABC的外接圆的切线.
证明:只要用切线的定义,要证AP垂直于过切点的半径,先作过A点的直径,连接DB,则∠DBA=90°,∠D=∠C=∠PAB,所以∠PAD=∠DAB+∠PAB=∠DAB+∠D=90°.
所以PA是圆O的切线.