北师大版九年级数学期中期末考试满分全攻略九年级下册第3章圆(压轴题专练)原卷版+解析

这是一份北师大版九年级数学期中期末考试满分全攻略九年级下册第3章圆(压轴题专练)原卷版+解析，共96页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南师大附中博才实验中学一模）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝，扇形AOC的圆心角为60°，点D为 上一动点，P为线段BD上的一点，且PB＝2PD，当点D从点A运动至点C，则点P的运动路径长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏·苏州市振华中学校二模）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（ ）
A．1B．﹣2C．2﹣1D．3
4．（2023·浙江浙江·九年级期末）如图，在中，，BC＝6，AC＝8，⊙O的半径为2，圆心在AB边上运动，当⊙O与的边恰有4个交点时，OA的取值范围是（ ）
A．7.5＜OA＜8B．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5
C．＜OA＜7.5D．7.5＜OA＜8或2＜OA＜
5．（2023·浙江浙江·九年级期末）如图，已知在平面直角坐标系中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作，与y轴交于点A和点B，点P是上的一动点，Q是弦上的一个动点，延长交于点E，运动过程中，始终保持，当的结果最大时，长为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·浙江杭州·九年级期末）如图，圆O的半径为R，正△ABC内接于圆O，将△ABC按逆时针方向旋转后得到△A'B'C'，它的两边与AB相交于点D、E，则以下说法正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1B．2C．3D．4
7．（2023·浙江杭州·九年级期末）如图，△ABC内接于，其外角平分AD交于D，于M，则结论①②③④中正确的是（ ）
A．①B．①②③C．③④D．①②③④
8．（2023·江苏省无锡市侨谊教育集团九年级期中）如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为AM上一动点（A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是：①PB＝PD；②BC的长为π；③∠DBE＝45°；④当P为AM中点时EC=EF；⑤∠DFB＝∠CBP．其中正确的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
9．（2023·浙江浙江·九年级期中）如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的最大值是（ ）
A．4B．5C．6D．
10．（2023·浙江·余姚市姚北实验学校九年级期中）如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（ ）
A．27B．26C．25D．24
11．（2023·浙江杭州·九年级期中）在直角中，，圆O经过A、B、D三点，的延长线交圆O于点E，过点A作圆O的切线，交的延长线于点F，若，则为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·浙江浙江·九年级期中）如图，在正方形纸片中，点M，N在上，将纸片沿折叠，折叠后使点A和点D重合于点I，的外接圆分别交于点P，Q．若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题
14．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则．
15．（2023·全国·九年级专题练习）如图，A，C是双曲线上关于原点对称的点，B，D是双曲线上关于原点对称的点，圆弧与围成了一个封闭图形，当线段AC与BD都最短时，图中阴影部分的面积为________．
16．（2023·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有________（填写所有正确结论的序号）．
17．（2023·全国·九年级月考）如图，CD为⊙O的直径，AB为⊙O中长度为定值的弦，AB＜CD．作AE⊥CD于E，连接AC，BC，BE．下列四个结论中：①O到AB的距离为定值；②BE＝BC；③当OE＝AE时，∠ABC＝67.5°或22.5°；④∠BAE+2∠ACD为定值．正确的是 ___．（填所有正确的序号）
18．（2023·浙江浙江·九年级期中）小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点B，E，C，F在同一条直线上，且，四边形和四边形的面积之差为，则的长是______；连结，若是的内切圆，则圆心O到的距离是_______．
19．（2023·浙江浙江·九年级期中）如图，已知中，，作的外接圆，直径将圆分成上下两部分，点E为上半圆上的动点，点B，C在下半圆上，连结，过点B作，交的延长线于点F，则周长的最大值为________．
20．（2023·浙江杭州·九年级期中）在平面直角坐标系中，若菱形的两条对角线分别与轴、轴平行，则称该菱形为坐标平面内的“规则菱形”．已知点，，的坐标分别为，，，现以点为圆心，长为半径作，若在上存在点，线段上存在点，使以点，为相邻顶点的“规则菱形”为正方形，则的取值范围是______．
21．（2023·广东·执信中学模拟预测）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为___________；
②面积的最大值为_________；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明；
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点P在直线的左侧，且．
①线段长的最小值为_______；
②若，则线段长为________．
22．（2023·四川广元·中考真题）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）．
23．（2023·江西·中考真题）如图，在边长为的正六边形中，连接，，其中点，分别为和上的动点，若以，，为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为______．
24．（2023·浙江义乌·九年级期中）如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：
（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间：_______．（填①或②）
（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是_______．（用含a的代数式表示）
三、解答题
25．（2023·浙江·诸暨市暨阳初级中学九年级月考）如图，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，作矩形ABCD，其中点C，点D在第一象限，且满足AB∶BC＝2∶1．连接BD．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）若点E是线段AB（与端点A不重合）上的一个动点，过E作EF∥AD，交BD于点F，作直线AF．
①过点B作BG⊥AF，垂足为G，当BE＝BG时，求线段AE的长度．
②若点P是线段AD上的一个动点，连结PF，将△DFP沿PF所在直线翻折，使得点D的对应点落在线段BD或线段AB上．直接写出线段AE长的取值范围．
26．（2023·湖北·武汉一初慧泉中学九年级月考）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D．
（1）若BH平分∠ABC交CD于点H，已知∠A=82°，求∠BHC的度数；
（2）如图2，若G为△ABC的内心，E，F分别为BC，AC边上的点，且CE=CF，BE=5， AF=2，求EF的长；
（3）如图3，AF⊥BC于点F，交CD于点H，已知∠ADC=45°，tan∠ACD=，CF=3，直接写出BF的长．
27．（2023·浙江·杭州市采荷中学二模）在中，，以为直径的交于点．
（1）如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求；
（2）如图②，过点作的切线交于点，求证：；
（3）如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值．
28．（2023·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级月考）已知，E为正方形ABCD中CD边上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE交AD于F，垂足为G．
（1）如图1，求证：CE＝DF；
（2）如图2，连接AG、BF，交于点H，求证：∠ABF＝∠AGF；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AG＝AB＝11，求线段GH的长．
29．（2023·黑龙江·哈尔滨市萧红中学九年级月考）已知AB、CD为的两条弦，．
（1）如图1，求证弧弧BD；
（2）如图2，连接AC、BC、OA、BD，弦BC与半径OA相交于点G，延长AO交CD于点E，连接BE，使，若，求证：四边形ABEC为菱形；
（3）在（2）的条件下，CH与相切于点C，连接CO并延长交BE于点F，延长BE交CH于点H，，，求CH长．
30．（2023·江苏·泗阳县实验初级中学九年级月考）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的两个动点，且，AE和BF相交于点P．
（1）探究AE、BF的关系，并说明理由；
（2）求证：A、D、F、P在同一个圆上；
（3）如图2，若正方形ABCD的边AB在y轴上，点A、B的坐标分别为、，点E、F分别是BC、CD上的两个点，且，AE和BF相交于点P，点M的坐标为，当点P落在以M为圆心1为半径的圆上．求a的取值范围．
31．（2023·江苏省盐城中学新洋分校九年级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，点O、P分别在AB、AD边上运动，以点O为圆心、OA为半径作⊙O，连接BP，把⊙O沿着BP翻折得⊙Q．
（1）若⊙O的半径r＝1．
①DQ的最小值为 ．
②当DC切⊙Q于点E时，求CE长．
（2）当⊙Q在运动的过程中与BC边始终没有公共点时，请直接写出⊙O的半径r的值或取值范围．
32．（2023·江苏省盐城中学新洋分校九年级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，连接AC、BC，点Q是△ABC内一点，且有∠QAB＝∠QCA．
（1）求∠AQC的度数．
（2）线段QA、QC、QB三者之间的数量关系为： ，并说明理由．
（3）若，求∠AQB的度数．
33．（2023·重庆一中九年级月考）如图，在等腰中，，，垂足为，点为边上一点，连接并延长至，使，以为底边作等腰．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，连接，，点为的中点，连接，过作，垂足为，连接交于点，求证：；
（3）如图3，点为平面内不与点重合的任意一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，直线与直线交于点，为直线上一动点，连接并在的右侧作且，连接，为边上一点，，，当取到最小值时，直线与直线交于点，请直接写出的面积．
34．（2023·北京·首都师范大学附属中学九年级月考）对图形M，N和点P，如果图形M上存在点Q1，图形N上存在点Q2，使得点Q1绕点P顺时针旋转90°后与点Q2重合，则称图形N是图形M关于点P的“秋实”图形．
（1）如图1，A（﹣3，0），B（0，3），则点C1（1，0），C2（﹣2，﹣1），C3（3，0）中．是线段AB关于坐标原点O的“秋实”图形的点是 ；
（2）设直线y＝x+b（b＞0）与x轴负半轴交于点D，与y轴正半轴交于点E，⊙F是以点F（2，1）为圆心，2为半径的圆．若⊙F是线段DE关于坐标原点O的“秋实”图形，求b的取值范围；
（3）设直线l：y＝k（x+m），其中m＞0，⊙G是以G（4，0）为圆心，1为半径的圆，若对⊙G上的任意一点H，存在k（≤k≤），使得点H是直线l关于坐标原点O的“秋实”图形，请直接写出m的取值范围．
已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
九下第3章 圆压轴题专练
一、单选题
1．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：当⊙与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论．
【详解】如下图所示，连接，过点作，
此时点坐标可表示为，
∴，，
在中，，
又∵半径为5，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∵左右两侧都有相切的可能，
∴A点坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．
2．（2023·湖南师大附中博才实验中学一模）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝，扇形AOC的圆心角为60°，点D为 上一动点，P为线段BD上的一点，且PB＝2PD，当点D从点A运动至点C，则点P的运动路径长为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：在OB上取BE=2OE，在AB上BF=2AF，在BC上取BG=2CG，分别连接EF、PE、GE、OD，则可证明△DBO∽△PBE，从而求得PE的长为定值，这样可确定点P的运动路径为一段弧，且弧的两端为点F和点G，因此只要求出OA的长及圆心角∠FEG的大小，即可求得圆弧的长，从而求得结果．
【详解】在OB上取BE=2OE，在AB上BF=2AF，在BC上取BG=2CG，分别连接EF、PE、GE、OD，如图
∵BP=2PD，BE=2OE
∴
∵∠DBE=∠PBE
∴△DBO∽△PBE
∴
即
∵∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝
∴
∴

同理：EF=，
∴PE=EF=EG
∵当点D与点A重合时，点P与点F重合；当点D与点C重合时，点P与点G重合
∴点P在以点E为圆心，为半径的圆弧FG上运动
∵∠AOC=60°
∴∠COB=∠AOC+∠AOB=90°
∵△FBE∽△ABO，△BEG∽△BOC
∴∠FEB=∠AOB=30°，∠GEB=∠COB=90°
∴∠FEG=90°－∠FEB=60°
的长为
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，弧长公式等知识，难点和关键在于点P的运动路径的探寻，有一定的难度．
3．（2023·江苏·苏州市振华中学校二模）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（ ）
A．1B．﹣2C．2﹣1D．3
答案：B
分析：如图，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BO′、BC．
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，
∴，O′E＝2，
在Rt△BCO′中，，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是在以AC为直径的圆上运动，属于中考选择题中的压轴题．
4．（2023·浙江浙江·九年级期末）如图，在中，，BC＝6，AC＝8，⊙O的半径为2，圆心在AB边上运动，当⊙O与的边恰有4个交点时，OA的取值范围是（ ）
A．7.5＜OA＜8B．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5
C．＜OA＜7.5D．7.5＜OA＜8或2＜OA＜
答案：D
分析：由勾股定理可求AB＝10，找出出⊙O与的边恰有3个交点时OA的临界值，即可求解．
【详解】解：∵
∴AB＝＝＝10，
如图1，当⊙O过点A时，此时⊙O与△ABC的边恰有3个交点，此时OA＝2，当过点B时，此时与△ABC的边恰有3个交点，此时 ，则；
如图2，当⊙O与AC相切于点E时，此时⊙O与的边恰有3个交点，
连接OE，
∴，
∴，
又∵，
∴△AEO∽△ACB，
∴，
∴，
∴AO＝，
当与BC相切于点F时，此时与△ABC的边恰有3个交点，
同理可求，
∴，
∴当⊙O与的边恰有4个交点时，OA的取值范围为或．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识；关键在于能完整的找到临界位置来确定范围．
5．（2023·浙江浙江·九年级期末）如图，已知在平面直角坐标系中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作，与y轴交于点A和点B，点P是上的一动点，Q是弦上的一个动点，延长交于点E，运动过程中，始终保持，当的结果最大时，长为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据△AQP∽△APB，确定，过点M作MG⊥AB，垂足为G，根据垂径定理计算AB=8，用AQ的代数式表示AP+QB，运用二次函数的思想确定最值，确定AQ=2，AP=4，证明AE=AP=4，连接MA，交PE于点N，根据垂径定理的推论，确定AM⊥PE，设AN=x，则MN=5-x，用勾股定理同时表示EN求得x，从而求得EN，根据PE=2EN计算即可
【详解】如图，∵，，
∴△AQP∽△APB，
∴AP：AB=AQ：AP，
∴，
过点M作MG⊥AB，垂足为G，连接MA，则AG=GB，
∵点M的横坐标为3，圆的半径为5，
∴MG=3，MA=5，
根据勾股定理，得AG==4，
∴AB=2AG=8，
∴，
∴或（舍去），
∵AQ=AB-QB，
∴AP+QB=+8-AQ=
=
∴AP+QB有最大值，且当时，有最大值10，
∴AQ=2，AP=4，
连接AE，设MA与PE的交点为N，
∵△AQP∽△APB，
∴∠APQ=∠ABP，
∵∠AEP=∠ABP，
∴∠APQ=∠AEP，
∴AP=AE=4，，
根据垂径定理的推论，得AM⊥PE，
设AN=x，则MN=5-x，
在Rt△AEN中，，
在Rt△MEN中，，
∴=,
解得x=，
∴，
∴EN=，
∴PE=2EN=，
故选D．
【点睛】本题考查了圆的对称性，三角形的相似，二次函数的最值，勾股定理，熟练掌握圆的对称性，活用三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
6．（2023·浙江杭州·九年级期末）如图，圆O的半径为R，正△ABC内接于圆O，将△ABC按逆时针方向旋转后得到△A'B'C'，它的两边与AB相交于点D、E，则以下说法正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1B．2C．3D．4
答案：B
分析：根据圆内接正三角形和旋转的性质得到，，则，于是可得到；在△中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到，，，再利用“”可证明△△，则，所以；根据对顶角相等可得到；在△中利用勾股定理可得到，而，则，把代入得到．
【详解】解：连接，，，，如图，
∵△ABC是正角三角形，按逆时针方向旋转后得到△，
△为等边三角形，
，
而点为△的内心，
，
又，，
△是等腰直角三角形，
，
，
，所以①正确；
，
而，
，
，，
，
，
AB=A'B'，
AA'=BB'，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，所以②错误；
，所以③正确；
在△中，，
，
，
而，
，
，所以④错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和圆内接正三角形的性质；会运用勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系进行几何运算．
7．（2023·浙江杭州·九年级期末）如图，△ABC内接于，其外角平分AD交于D，于M，则结论①②③④中正确的是（ ）
A．①B．①②③C．③④D．①②③④
答案：B
分析：由A、B、C、D四点共圆，可得∠FAD=∠BCD，由同弧所对的圆周角相等得到圆周角相等，结合外角平分线可得∠BCD=∠CBD，可得BD=CD；过点D作DF⊥BE，可以通过证明三角形全等，通过边的关系可以得到②AC+AB=2CM， ③AC-AB=2AM，都是正确的；S△ABD和S△ABC的大小无法判断．
【详解】解：过点D作DF⊥BE于F，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠FAD=∠BCD，
∵外角平分线AD交⊙O于D，
∴∠FAD=∠DAC，
又∵∠DBC=∠DAC，
∴∠BCD=∠CBD，
∴①DB=DC，故此选项正确；
∵AD外角平分线，DF⊥BE，DM⊥AC于M，
∴DF=DM，
在△BFD≌△CMD中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△CMD，
∴BF=CM，
又∵AF=AM，
∴②AC+AB=AM+MC+BF-FA=AM+MC+MC-AM=2CM，故此选项正确；
∴③AC-AB=CM+AM-AB=CM+AM-CM+AF=CM+AM-CM+AM=2AM，故此选项正确；
S△ABD和S△ABC的大小无法判断，④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角、三角形的外角的性质及全等三角形的判定与性质；作出辅助线，利用三角形全等是正确解答本题的关键．
8．（2023·江苏省无锡市侨谊教育集团九年级期中）如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为AM上一动点（A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是：①PB＝PD；②BC的长为π；③∠DBE＝45°；④当P为AM中点时EC=EF；⑤∠DFB＝∠CBP．其中正确的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
答案：C
分析：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，若PD=PB，得出P为AM的中点，与实际不符，即可判定正误；
②先求出∠BOC，再由弧长公式求得BC的长度，进而判断正误；
③由∠BOC=60°，得△OBC为等边三角形，再根据三线合一性质得∠OBE，再由角的和差关系得∠DBE，便可判断正误；
④通过条件可证明△ BCF∽△ PCB，可得到∠ CFE=∠ FCE，便可判断正误；
⑤通过④可得∠DFB＝∠CBP．
【详解】解：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图1，
∵M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BAH=30°，
∵BD与半圆O相切于点B．
∴∠ABD=90°，
∴∠H=60°，
∵∠ACP=∠ABP，∠ACP=∠DCH，
∴∠PDB=∠H+∠DCH=∠ABP+60°，
∵∠PBD=90°-∠ABP，
若∠PDB=∠PBD，则∠ABP+60°=90°-∠ABP，
∴∠ABP=15°，
∴P点为AM的中点，这与P为AM上的一动点不完全吻合，
∴∠PDB不一定等于∠ABD，
∴PB不一定等于PD，
故①错误；
②∵M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BOC=×180°＝60°，
∵直径AB=8，
∴OB=OC=4，
∴BC的长度= ，
故②正确；
③∵∠BOC=60°，OB=OC，
∴∠ABC=60°，OB=OC=BC，
∵BE⊥OC，
∴∠OBE=∠CBE=30°，
∵∠ABD=90°，
∴∠DBE=60°，
故③错误；
④∵ M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BPC=30°，∠COB=60°
∴△COB为等边三角形，
∴∠OBC=60°
又CF⊥OC，
∴∠CBF=30°，
又∠PCB=∠BCF，
∴△PCB∽△BCF，
∴∠CFB=∠CBP，
又P为AM的中点，
∴∠PBC=45°，
∴∠CFE=45°，
又∠CEF=90°，
∴∠FCE=45°，
∴EF=EC，
故④ 正确；
⑤由④可得出，∠DFB＝∠CBP正确，
故⑤ 正确．
∴②④ ⑤正确，故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，关键是熟练掌握这些性质，并能灵活应用．
9．（2023·浙江浙江·九年级期中）如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的最大值是（ ）
A．4B．5C．6D．
答案：C
分析：连接，，如图，利用圆周角定理可判定点在上，易得，，，，，设，则，由于表示点到原点的距离，则当为直径时，点到原点的距离最大，由于为平分，则，利用点在圆上得到，则可计算出，从而得到的最大值．
【详解】解：连接，，如图，
，
为⊙D的直径，
点在上，
，
，，，，，
设，
，
而表示点到原点的距离，
当为直径时，点到原点的距离最大，
为平分，
，
，
，
即
，
此时，
即的最大值是6．
故选：．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理等，作出辅助线，得到是解题的关键．
10．（2023·浙江·余姚市姚北实验学校九年级期中）如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（ ）
A．27B．26C．25D．24
答案：A
分析：过作于，在上截取，连结，；先证明，然后运用相似三角形的性质和已知条件得到；再根据图形得到，即当且仅当，，三点共线时，取得最大值为最小值；然后求得最大值和最小值并相乘即可．
【详解】解：如图：过作于，在上截取，连结，，
是等边三角形，，，
，，
，．
，，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
∴当且仅当，，三点共线时，取得最大值为最小值，
∴的最大值为，的最小值为，
∴的最大值与最小值之积为．
故答案为A．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系、等边三角形的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
11．（2023·浙江杭州·九年级期中）在直角中，，圆O经过A、B、D三点，的延长线交圆O于点E，过点A作圆O的切线，交的延长线于点F，若，则为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：如图，连接DE，可知，证明为等腰三角形，得到，接着通过等量代换证明AC为的角平分线，从而证明△ACG≅△ACB，设BC=x，通过条件和勾股定理列式可解得AB=，最后求解即可．
【详解】解：如图，连接DE，AE为直径，
，
又，
为等腰三角形，
，
，
，
又AF为圆O的切线，
，
，
，
AC为的角平分线，
过C点作AF的垂线，垂足为G，
可知CB=CG，
，AC为公共边，
∴△ACG≅△ACB（HL），
，
设BC=x，，
，
在Rt△CGF中，，
在Rt△ABF中，，
，解得AB=，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查圆的性质的综合运用，涉及求解三角函数值，勾股定理，角平分线，全等三角形等知识，综合性比较强，有一定难度，熟练掌握这些知识点，可以通过条件找出边的关系是解决本题的关键．
12．（2023·浙江浙江·九年级期中）如图，在正方形纸片中，点M，N在上，将纸片沿折叠，折叠后使点A和点D重合于点I，的外接圆分别交于点P，Q．若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：首先证明△IBC是等边三角形，得到，再根据折叠的性质推出，根据内心的性质得到，，过点作，则OH平分BC，利用勾股定理求出OB，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴△IBC是等边三角形，
∴，
∴，
由折叠知：，
，
∴，，
∴，
∵圆是△IBC的外接圆，
∴点是△IBC的内心，
∴OB平分，OC平分，
∴，，
过点作，则OH平分BC．
则：，
在中：，
由勾股定理得：，即，
解得：，（舍），
∴PQ=60×6π180=2π．
故选B．
【点睛本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外接圆，内心的有关性质，弧长公式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用相关定理，掌握求弧长所需的条件．
13．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：B
分析：利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．
【详解】如图所示，
（1）为上一动点，点关于线段的对称点为点，连接，则，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线相交于点，与相交于点M．

四边形是平行四边形

则C△AMN=AN+AM+NM=MG+AM+1
（2）找一点， 连接，则，过点作的平行线，连接则C△AM'N'=AN'+AM'+N'M'=AN'+AM'+CG=AN'+AM'+NM=AN'+AM'+1．
此时
C△AMN