高考数学一轮复习考点探究与题型突破第46讲直线的倾斜角与斜率、直线方程(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习考点探究与题型突破第46讲直线的倾斜角与斜率、直线方程(原卷版+解析)，共12页。试卷主要包含了直线的方向向量，直线的倾斜角，直线的斜率，直线方程的五种形式等内容，欢迎下载使用。


1．直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则eq \(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
4．直线方程的五种形式
考点1 直线的倾斜角与斜率
[名师点睛]
(1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.
(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性.
[典例]
1.直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.
2.(2023·宿州模拟)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A.k1＜k2＜k3
B.k3＜k1＜k2
C.k3＜k2＜k1
D.k1＜k3＜k2
[举一反三]
1.直线2xcs α－y－3＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的变化范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(2π,3)))
2.(2023·潮州模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A．k≥eq \f(1,2) B．k≤－2
C．k≥eq \f(1,2)或k≤－2 D．－2≤k≤eq \f(1,2)
3．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))，则k的取值范围是________．
考点2 求直线的方程
[名师点睛]
(1)求直线方程一般有以下两种方法：
①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.
②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程.
(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用.
[典例]
1.已知一条直线经过点A(2，－eq \r(3))，且它的倾斜角等于直线x－eq \r(3)y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为____________________.
2.过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为______________.
3.经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________.
[举一反三]
1.已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为( )
A．y－3＝－eq \f(3,2)(x＋4)B．y＋3＝eq \f(3,2)(x－4)
C．y－3＝eq \f(3,2)(x＋4)D．y＋3＝－eq \f(3,2)(x－4)
2.(多选)过点(－3,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是( )
A．x＋3y＝0 B．x＋y＋2＝0
C．x－y＋2＝0 D．x－3y＝0
考点3 直线方程的综合应用
[名师点睛]
1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”.若直线的方程为y＝k(x－1)＋2，则直线过定点(1，2).
2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.
3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
[典例]
已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
[举一反三]
已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
第46讲 直线的倾斜角与斜率、直线方程
1．直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则eq \(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
4．直线方程的五种形式
考点1 直线的倾斜角与斜率
[名师点睛]
(1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.
(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性.
[典例]
1.直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.
答案 (－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)
解析 设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－eq \r(3)，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).
当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－eq \r(3)].
故斜率的取值范围是(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞).
2.(2023·宿州模拟)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A.k1＜k2＜k3
B.k3＜k1＜k2
C.k3＜k2＜k1
D.k1＜k3＜k2
答案 D
解析 因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.
[举一反三]
1.直线2xcs α－y－3＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的变化范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(2π,3)))
答案 B
解析 直线2xcs α－y－3＝0的斜率k＝2cs α.
由于α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，
所以eq \f(1,2)≤cs α≤eq \f(\r(3),2)，
因此k＝2cs α∈[1，eq \r(3)]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，eq \r(3)]．
由于θ∈[0，π)，
所以θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即倾斜角的变化范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3))).
2.(2023·潮州模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A．k≥eq \f(1,2) B．k≤－2
C．k≥eq \f(1,2)或k≤－2 D．－2≤k≤eq \f(1,2)
答案 D
解析 直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，
∵kPA＝eq \f(3－1,1－2)＝－2，kPB＝eq \f(－1－1,－2－2)＝eq \f(1,2)，
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，
∴－2≤k≤eq \f(1,2).
3．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))，则k的取值范围是________．
答案 [－eq \r(3)，0)∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1))
解析 当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,4)))时，
k＝tan α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1))；
当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))时，k＝tan α∈[－eq \r(3)，0)．
综上得k∈[－eq \r(3)，0)∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1)).
考点2 求直线的方程
[名师点睛]
(1)求直线方程一般有以下两种方法：
①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.
②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程.
(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用.
[典例]
1.已知一条直线经过点A(2，－eq \r(3))，且它的倾斜角等于直线x－eq \r(3)y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为____________________.
答案 eq \r(3)x－y－3eq \r(3)＝0
解析 由已知得直线x－eq \r(3)y＝0的斜率为eq \f(\r(3),3)，
则其倾斜角为30°，
故所求直线倾斜角为60°，斜率为eq \r(3)，
故所求直线的方程为y－(－eq \r(3))＝eq \r(3)(x－2)，即eq \r(3)x－y－3eq \r(3)＝0.
2.过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为______________.
答案 x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
解析 由题意可设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝6，,\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，))解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.
故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
3.经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________.
答案 2x＋3y－5＝0
解析 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,2x－y＝1，))解得x＝1，y＝1，
∴直线过点(1，1).
∵直线的方向向量v＝(－3，2)，
∴直线的斜率k＝－eq \f(2,3)，
则直线的方程为y－1＝－eq \f(2,3)(x－1)，
即2x＋3y－5＝0.
[举一反三]
1.已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为( )
A．y－3＝－eq \f(3,2)(x＋4)B．y＋3＝eq \f(3,2)(x－4)
C．y－3＝eq \f(3,2)(x＋4)D．y＋3＝－eq \f(3,2)(x－4)
答案 C
解析 方法一 因为直线l的一个方向向量为
n＝(2,3)，
所以直线l的斜率k＝eq \f(3,2)，
故直线l的方程为y－3＝eq \f(3,2)(x＋4)．
方法二 设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x＋4，y－3)，
因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，
即直线l的方程为y－3＝eq \f(3,2)(x＋4)．
2.(多选)过点(－3,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是( )
A．x＋3y＝0 B．x＋y＋2＝0
C．x－y＋2＝0 D．x－3y＝0
答案 AB
解析 当截距均为0时，设直线的方程为y＝kx，将点(－3,1)的坐标代入得k＝－eq \f(1,3)，此时直线的方程为x＋3y＝0；当截距均不为0时，设直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，将点(－3,1)的坐标代入得a＝－2，此时直线的方程为x＋y＋2＝0.
考点3 直线方程的综合应用
[名师点睛]
1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”.若直线的方程为y＝k(x－1)＋2，则直线过定点(1，2).
2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.
3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
[典例]
已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
(1)证明 直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1，))
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1).
(2)解 由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－eq \f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).
(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，
得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0，1＋2k).
依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)<0，,1＋2k>0，))解得k>0.
∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|＝eq \f(1,2)·eq \f(（1＋2k）2,k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k＋\f(1,k)＋4))
≥eq \f(1,2)×(2×2＋4)＝4，
当且仅当4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)，等号成立，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
[举一反三]
已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
解 法一 设直线l的方程为
y－1＝k(x－2)，
则可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k－1,k)，0))，B(0，1－2k).
∵l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2k－1,k)＞0，,1－2k＞0，))∴k＜0.
于是S△AOB＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|
＝eq \f(1,2)·eq \f(2k－1,k)·(1－2k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(1,k)－4k))
≥eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4＋2\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)))·（－4k）)))＝4.
当且仅当－eq \f(1,k)＝－4k，即k＝－eq \f(1,2)时，△AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
法二 设所求直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)，则eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1.
又∵eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(2,ab))，∴eq \f(1,2)ab≥4，当且仅当eq \f(2,a)＝eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)，
即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝eq \f(1,2)ab有最小值为4.
此时，直线l的方程是eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0.
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用