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高考数学一轮复习考点探究与题型突破第47讲两直线的位置关系(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习考点探究与题型突破第47讲两直线的位置关系(原卷版+解析)，共16页。试卷主要包含了两条直线平行与垂直的判定，距离公式，对称问题等内容，欢迎下载使用。
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
4.对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.
考点1 两条直线的平行与垂直
[名师点睛]
1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
[典例]
1.(2023·杭州模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝eq \f(1,e)”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2.(2023·长春模拟)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为( )
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
3.(2023·荆门模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2,0)，B(1,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0
[举一反三]
1.已知m，n∈R，则“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.(2023·烟台期末)若直线l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0与l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0垂直，则实数k的值是( )
A.3或－3 B.3或4
C.－3或－1 D.－1或4
3.经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________.
4.(多选)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是( )
A.若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B.若l1∥l2，则m＝3
C.若l1⊥l2，则m＝－eq \f(1,2)
D.若l1⊥l2，则m＝eq \f(1,2)
考点2 两直线的交点与距离问题
[名师点睛]
(1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.
[典例]
1.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－eq \f(1,2)x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.
2.(2023·湖州调研)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.
3.若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，则c的值是________.
[举一反三]
1.两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为( )
A．a＝6，d＝eq \f(\r(6),3) B．a＝－6，d＝eq \f(\r(5),3)
C．a＝6，d＝eq \f(\r(5),3) D．a＝－6，d＝eq \f(\r(6),3)
2.已知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________．
3.(多选)(2023·济南调研)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为( )
A.2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0
C.6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0
考点3 对称问题
[名师点睛]
(1)光的反射问题实质是点关于直线的对称问题，要注意转化.
(2)直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.
(3)求直线l1关于直线l对称的直线l2，有两种处理方法：
①在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程.
②设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程.
[典例]
1.过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
2.已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.
3.直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________________.
[举一反三]
1.直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为( )
A．4x－2y－1＝0 B．4x－2y＋1＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．4x＋2y－1＝0
2．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为( )
A．2 B．1 C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
3.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
第47讲 两直线的位置关系
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
4.对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.
考点1 两条直线的平行与垂直
[名师点睛]
1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
[典例]
1.(2023·杭州模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝eq \f(1,e)”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当l1∥l2时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a＋2＝0，,2a－1≠0，))
解得a＝－1或a＝2.
而由ea＝eq \f(1,e)，解得a＝－1，
所以“ea＝eq \f(1,e)”是“l1∥l2”的充分不必要条件．
2.(2023·长春模拟)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为( )
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
答案 C
解析 ∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，
∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，
∵直线l经过点(1，－1)，
∴1－2＋c＝0，即c＝1.
直线l的方程为x＋2y＋1＝0.
3.(2023·荆门模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2,0)，B(1,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0
答案 D
解析 由题设，可得kAB＝eq \f(2－0,1－2)＝－2，
且AB的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，1))，
∴AB垂直平分线的斜率k＝－eq \f(1,kAB)＝eq \f(1,2)，
故AB的垂直平分线方程为y＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))＋1＝eq \f(x,2)＋eq \f(1,4)，
∵AC＝BC，则△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上，
∴△ABC的欧拉线的方程为2x－4y＋1＝0.
[举一反三]
1.已知m，n∈R，则“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案 A
解析 直线x＋my－1＝0与直线nx＋y＋1＝0平行，则eq \f(1,n)＝eq \f(m,1)≠eq \f(－1,1)，
∴mn＝1，充分性成立.
而m＝－1，n＝－1时，mn＝1，但x－y－1＝0与－x＋y＋1＝0重合，必要性不成立.
2.(2023·烟台期末)若直线l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0与l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0垂直，则实数k的值是( )
A.3或－3 B.3或4
C.－3或－1 D.－1或4
答案 A
解析 ∵直线l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0，
直线l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0互相垂直，
∴(k－3)×(k＋1)＋(k＋4)×2(k－3)＝0，
即k2－9＝0，解得k＝3或k＝－3.
3.经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________.
答案 4x－3y＋9＝0
解析 法一 由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)，))即交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9))).
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以所求直线的斜率为k＝eq \f(4,3).
由点斜式得所求直线方程为
y－eq \f(7,9)＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5,3)))，即4x－3y＋9＝0.
法二 由垂直关系可设所求直线方程为
4x－3y＋m＝0.
由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))
可解得交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，
代入4x－3y＋m＝0得m＝9，
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
法三 由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0.①
又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，解得λ＝2，
代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
4.(多选)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是( )
A.若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B.若l1∥l2，则m＝3
C.若l1⊥l2，则m＝－eq \f(1,2)
D.若l1⊥l2，则m＝eq \f(1,2)
答案 BD
解析 若l1∥l2则1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，
当m＝－1时，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－1＝0，l1与l2重合，
∴m＝－1(舍去)，故m＝3，故B正确；
若l1⊥l2，则1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝eq \f(1,2)，故C不正确，D正确.
考点2 两直线的交点与距离问题
[名师点睛]
(1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.
[典例]
1.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－eq \f(1,2)x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)，\f(1,2)))
解析 由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2k＋1，,y＝－\f(1,2)x＋2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1)，))
(若2k＋1＝0，即k＝－eq \f(1,2)，则两直线平行)
∴交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－4k,2k＋1)，\f(6k＋1,2k＋1))).又∵交点位于第一象限，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2－4k,2k＋1)＞0，,\f(6k＋1,2k＋1)＞0，))解得－eq \f(1,6)＜k＜eq \f(1,2).
2.(2023·湖州调研)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.
答案 [0，10]
解析 由题意得，点P到直线的距离为
eq \f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq \f(|15－3a|,5).
又eq \f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，
解得0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0，10].
3.若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，则c的值是________.
答案 2或－6
解析 由题意得eq \f(3,6)＝eq \f(－2,a)≠eq \f(－1,c)，
∴a＝－4，c≠－2，
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq \f(c,2)＝0.
由两平行线间的距离公式得eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)＋1)),\r(13))＝eq \f(2\r(13),13)，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)＋1))＝2，解得c＝2或c＝－6.
[举一反三]
1.两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为( )
A．a＝6，d＝eq \f(\r(6),3) B．a＝－6，d＝eq \f(\r(5),3)
C．a＝6，d＝eq \f(\r(5),3) D．a＝－6，d＝eq \f(\r(6),3)
答案 B
解析 由题知2×3＝－a，解得a＝－6，
又－6x＋3y－4＝0可化为2x－y＋eq \f(4,3)＝0，∴d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3－\f(4,3))),\r(5))＝eq \f(\r(5),3).
2.已知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________．
答案 4x－y－2＝0或x＝1
解析 若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，
由题设有eq \f(|2k－3－k＋2|,\r(1＋k2))＝eq \f(|0＋5－k＋2|,\r(1＋k2))，
即|k－1|＝|7－k|，解得k＝4.
此时直线方程为4x－y－2＝0.
若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题设条件．
故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.
3.(多选)(2023·济南调研)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为( )
A.2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0
C.6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0
答案 BD
解析 设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，
直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，
由题意知d1＝eq \f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq \f(|m＋9|,\r(16＋36)).
因为eq \f(d1,d2)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq \f(|m＋9|,\r(16＋36))，
即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－eq \f(13,3)，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.
考点3 对称问题
[名师点睛]
(1)光的反射问题实质是点关于直线的对称问题，要注意转化.
(2)直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.
(3)求直线l1关于直线l对称的直线l2，有两种处理方法：
①在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程.
②设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程.
[典例]
1.过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
答案 x＋4y－4＝0
解析 设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
2.已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.
答案 6x－y－6＝0
解析 设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b－4,a－（－3）)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N(2，6)，
所以所求直线的方程为eq \f(y－0,6－0)＝eq \f(x－1,2－1)，
即6x－y－6＝0.
3.直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________________.
答案 x－2y＋3＝0
解析 设所求直线上任意一点P(x，y)，
点P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－（y－y0），))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝y－2，,y0＝x＋2.))
∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
[举一反三]
1.直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为( )
A．4x－2y－1＝0 B．4x－2y＋1＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．4x＋2y－1＝0
答案 A
解析 设直线2x－4y－1＝0上一点P(x0，y0)关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为P′(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－y0,x－x0)＝1，,\f(x＋x0,2)＋\f(y＋y0,2)＝0，))
整理可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－y，,y0＝－x，))
∴－2y＋4x－1＝0，
即直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为4x－2y－1＝0.
2．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为( )
A．2 B．1 C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
答案 D
解析 以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0.设P(t，0)(03.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
解 (1)设A′(x，y)，由已知条件得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(33,13)，\f(4,13))).
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，
则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))
得M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,13)，\f(30,13))).
设直线m与直线l的交点为N，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．
又m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)方法一 在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如P(1,1)，Q(4,3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，
易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，
再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
方法二 ∵l∥l′，
∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．
∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，
∴由点到直线的距离公式，
得eq \f(|－2＋6＋C|,\r(22＋32))＝eq \f(|－2＋6＋1|,\r(22＋32))，
解得C＝－9，∴l′的方程为2x－3y－9＝0.
方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
4.对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.
考点1 两条直线的平行与垂直
[名师点睛]
1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
[典例]
1.(2023·杭州模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝eq \f(1,e)”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2.(2023·长春模拟)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为( )
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
3.(2023·荆门模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2,0)，B(1,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0
[举一反三]
1.已知m，n∈R，则“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.(2023·烟台期末)若直线l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0与l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0垂直，则实数k的值是( )
A.3或－3 B.3或4
C.－3或－1 D.－1或4
3.经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________.
4.(多选)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是( )
A.若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B.若l1∥l2，则m＝3
C.若l1⊥l2，则m＝－eq \f(1,2)
D.若l1⊥l2，则m＝eq \f(1,2)
考点2 两直线的交点与距离问题
[名师点睛]
(1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.
[典例]
1.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－eq \f(1,2)x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.
2.(2023·湖州调研)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.
3.若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，则c的值是________.
[举一反三]
1.两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为( )
A．a＝6，d＝eq \f(\r(6),3) B．a＝－6，d＝eq \f(\r(5),3)
C．a＝6，d＝eq \f(\r(5),3) D．a＝－6，d＝eq \f(\r(6),3)
2.已知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________．
3.(多选)(2023·济南调研)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为( )
A.2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0
C.6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0
考点3 对称问题
[名师点睛]
(1)光的反射问题实质是点关于直线的对称问题，要注意转化.
(2)直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.
(3)求直线l1关于直线l对称的直线l2，有两种处理方法：
①在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程.
②设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程.
[典例]
1.过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
2.已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.
3.直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________________.
[举一反三]
1.直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为( )
A．4x－2y－1＝0 B．4x－2y＋1＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．4x＋2y－1＝0
2．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为( )
A．2 B．1 C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
3.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
第47讲 两直线的位置关系
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
4.对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.
考点1 两条直线的平行与垂直
[名师点睛]
1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
[典例]
1.(2023·杭州模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝eq \f(1,e)”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当l1∥l2时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a＋2＝0，,2a－1≠0，))
解得a＝－1或a＝2.
而由ea＝eq \f(1,e)，解得a＝－1，
所以“ea＝eq \f(1,e)”是“l1∥l2”的充分不必要条件．
2.(2023·长春模拟)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为( )
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
答案 C
解析 ∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，
∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，
∵直线l经过点(1，－1)，
∴1－2＋c＝0，即c＝1.
直线l的方程为x＋2y＋1＝0.
3.(2023·荆门模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2,0)，B(1,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0
答案 D
解析 由题设，可得kAB＝eq \f(2－0,1－2)＝－2，
且AB的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，1))，
∴AB垂直平分线的斜率k＝－eq \f(1,kAB)＝eq \f(1,2)，
故AB的垂直平分线方程为y＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))＋1＝eq \f(x,2)＋eq \f(1,4)，
∵AC＝BC，则△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上，
∴△ABC的欧拉线的方程为2x－4y＋1＝0.
[举一反三]
1.已知m，n∈R，则“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案 A
解析 直线x＋my－1＝0与直线nx＋y＋1＝0平行，则eq \f(1,n)＝eq \f(m,1)≠eq \f(－1,1)，
∴mn＝1，充分性成立.
而m＝－1，n＝－1时，mn＝1，但x－y－1＝0与－x＋y＋1＝0重合，必要性不成立.
2.(2023·烟台期末)若直线l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0与l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0垂直，则实数k的值是( )
A.3或－3 B.3或4
C.－3或－1 D.－1或4
答案 A
解析 ∵直线l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0，
直线l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0互相垂直，
∴(k－3)×(k＋1)＋(k＋4)×2(k－3)＝0，
即k2－9＝0，解得k＝3或k＝－3.
3.经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________.
答案 4x－3y＋9＝0
解析 法一 由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)，))即交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9))).
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以所求直线的斜率为k＝eq \f(4,3).
由点斜式得所求直线方程为
y－eq \f(7,9)＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5,3)))，即4x－3y＋9＝0.
法二 由垂直关系可设所求直线方程为
4x－3y＋m＝0.
由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))
可解得交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，
代入4x－3y＋m＝0得m＝9，
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
法三 由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0.①
又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，解得λ＝2，
代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
4.(多选)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是( )
A.若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B.若l1∥l2，则m＝3
C.若l1⊥l2，则m＝－eq \f(1,2)
D.若l1⊥l2，则m＝eq \f(1,2)
答案 BD
解析 若l1∥l2则1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，
当m＝－1时，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－1＝0，l1与l2重合，
∴m＝－1(舍去)，故m＝3，故B正确；
若l1⊥l2，则1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝eq \f(1,2)，故C不正确，D正确.
考点2 两直线的交点与距离问题
[名师点睛]
(1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.
[典例]
1.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－eq \f(1,2)x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)，\f(1,2)))
解析 由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2k＋1，,y＝－\f(1,2)x＋2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1)，))
(若2k＋1＝0，即k＝－eq \f(1,2)，则两直线平行)
∴交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－4k,2k＋1)，\f(6k＋1,2k＋1))).又∵交点位于第一象限，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2－4k,2k＋1)＞0，,\f(6k＋1,2k＋1)＞0，))解得－eq \f(1,6)＜k＜eq \f(1,2).
2.(2023·湖州调研)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.
答案 [0，10]
解析 由题意得，点P到直线的距离为
eq \f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq \f(|15－3a|,5).
又eq \f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，
解得0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0，10].
3.若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，则c的值是________.
答案 2或－6
解析 由题意得eq \f(3,6)＝eq \f(－2,a)≠eq \f(－1,c)，
∴a＝－4，c≠－2，
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq \f(c,2)＝0.
由两平行线间的距离公式得eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)＋1)),\r(13))＝eq \f(2\r(13),13)，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)＋1))＝2，解得c＝2或c＝－6.
[举一反三]
1.两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为( )
A．a＝6，d＝eq \f(\r(6),3) B．a＝－6，d＝eq \f(\r(5),3)
C．a＝6，d＝eq \f(\r(5),3) D．a＝－6，d＝eq \f(\r(6),3)
答案 B
解析 由题知2×3＝－a，解得a＝－6，
又－6x＋3y－4＝0可化为2x－y＋eq \f(4,3)＝0，∴d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3－\f(4,3))),\r(5))＝eq \f(\r(5),3).
2.已知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________．
答案 4x－y－2＝0或x＝1
解析 若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，
由题设有eq \f(|2k－3－k＋2|,\r(1＋k2))＝eq \f(|0＋5－k＋2|,\r(1＋k2))，
即|k－1|＝|7－k|，解得k＝4.
此时直线方程为4x－y－2＝0.
若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题设条件．
故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.
3.(多选)(2023·济南调研)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为( )
A.2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0
C.6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0
答案 BD
解析 设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，
直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，
由题意知d1＝eq \f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq \f(|m＋9|,\r(16＋36)).
因为eq \f(d1,d2)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq \f(|m＋9|,\r(16＋36))，
即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－eq \f(13,3)，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.
考点3 对称问题
[名师点睛]
(1)光的反射问题实质是点关于直线的对称问题，要注意转化.
(2)直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.
(3)求直线l1关于直线l对称的直线l2，有两种处理方法：
①在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程.
②设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程.
[典例]
1.过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
答案 x＋4y－4＝0
解析 设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
2.已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.
答案 6x－y－6＝0
解析 设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b－4,a－（－3）)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N(2，6)，
所以所求直线的方程为eq \f(y－0,6－0)＝eq \f(x－1,2－1)，
即6x－y－6＝0.
3.直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________________.
答案 x－2y＋3＝0
解析 设所求直线上任意一点P(x，y)，
点P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－（y－y0），))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝y－2，,y0＝x＋2.))
∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
[举一反三]
1.直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为( )
A．4x－2y－1＝0 B．4x－2y＋1＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．4x＋2y－1＝0
答案 A
解析 设直线2x－4y－1＝0上一点P(x0，y0)关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为P′(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－y0,x－x0)＝1，,\f(x＋x0,2)＋\f(y＋y0,2)＝0，))
整理可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－y，,y0＝－x，))
∴－2y＋4x－1＝0，
即直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为4x－2y－1＝0.
2．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为( )
A．2 B．1 C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
答案 D
解析 以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0.设P(t，0)(0
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
解 (1)设A′(x，y)，由已知条件得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(33,13)，\f(4,13))).
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，
则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))
得M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,13)，\f(30,13))).
设直线m与直线l的交点为N，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．
又m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)方法一 在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如P(1,1)，Q(4,3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，
易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，
再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
方法二 ∵l∥l′，
∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．
∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，
∴由点到直线的距离公式，
得eq \f(|－2＋6＋C|,\r(22＋32))＝eq \f(|－2＋6＋1|,\r(22＋32))，
解得C＝－9，∴l′的方程为2x－3y－9＝0.
方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
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