高考数学一轮复习考点探究与题型突破第48讲圆的方程(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习考点探究与题型突破第48讲圆的方程(原卷版+解析)，共14页。试卷主要包含了圆的定义和圆的方程等内容，欢迎下载使用。


1．圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|考点1 圆的方程
[名师点睛]
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.
[典例]
1.(2023·深圳模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
2.已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．
[举一反三]
1.(2023·长春模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
2.(2023·武汉调研)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为________.
考点2 与圆有关的轨迹问题
[名师点睛]
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
[典例]
已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[举一反三]
1.当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，则线段PQ的中点M的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(2x＋3)2＋4y2＝1
2.设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.
考点3 与圆有关的最值问题
[名师点睛]
与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.
①形如u＝eq \f(y－b,x－a)型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；
②形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为圆上动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.
[典例]
1.已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求eq \f(y－3,x＋2)的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值．
2.已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
3.(2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________．
[举一反三]
1.已知A(－2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－eq \r(7))2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最小值为( )
A．9 B．14 C．16 D．26
2.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则x2＋y2的最大值为________，最小值为________.
3.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________.
4.已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.
(1)求eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)求x＋y的最大值和最小值；
(3)求eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值.
定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方
程
标
准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C(a，b)
半径为r
一
般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
第48讲 圆的方程
1．圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|考点1 圆的方程
[名师点睛]
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.
[典例]
1.(2023·深圳模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
答案 C
解析 到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－1.))
又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
2.已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．
答案 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
解析 方法一 设所求圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a2＋－3－b2＝r2，,－2－a2＋－5－b2＝r2，,a－2b－3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，))
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，
即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
方法二 线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，))
得交点坐标O(－1，－2)，
又点O到点A的距离d＝eq \r(10)，
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，
即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
[举一反三]
1.(2023·长春模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
答案 B
解析 设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0)，
由圆与直线4x－3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝eq \f(|4a－3b|,5)＝r＝1，
化简得|4a－3b|＝5，①
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝－1(舍去)，
把b＝1代入①得4a－3＝5或4a－3＝－5，
解得a＝2或a＝－eq \f(1,2)(舍去)，
所以圆心坐标为(2,1)，
则圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
2.(2023·武汉调研)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为________.
答案 (x－4)2＋(y－6)2＝4
解析 设对称圆的圆心为(m，n)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(n－12,m＋2)＝－1，,\f(m－2,2)－\f(n＋12,2)＋8＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝4，,n＝6，))所以所求圆的圆心为(4，6)，
故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝4.
考点2 与圆有关的轨迹问题
[名师点睛]
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
[典例]
已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解 (1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0＋0,2)，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
[举一反三]
1.当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，则线段PQ的中点M的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(2x＋3)2＋4y2＝1
答案 C
解析 设M(x，y)，P(x0，y0)，因为PQ的中点为M，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0＋0,2)，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))
又因为P在圆x2＋y2＝1上，
所以(2x－3)2＋4y2＝1，
所以M的轨迹方程即为(2x－3)2＋4y2＝1.
2.设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.
解 如图，设P(x，y)，
N(x0，y0)，
则线段OP的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2)))，
线段MN的中点坐标为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以eq \f(x,2)＝eq \f(x0－3,2)，eq \f(y,2)＝eq \f(y0＋4,2)，
整理得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝x＋3，,y0＝y－4，))
又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，
直线OM与轨迹相交于两点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,5)，\f(28,5)))，不符合题意，舍去，
所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,5)，\f(28,5))).
考点3 与圆有关的最值问题
[名师点睛]
与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.
①形如u＝eq \f(y－b,x－a)型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；
②形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为圆上动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.
[典例]
1.已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求eq \f(y－3,x＋2)的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值．
解 (1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2eq \r(2).
又|QC|＝eq \r(2＋22＋7－32)＝4eq \r(2)，
∴|MQ|max＝4eq \r(2)＋2eq \r(2)＝6eq \r(2)，
|MQ|min＝4eq \r(2)－2eq \r(2)＝2eq \r(2).
(2)可知eq \f(y－3,x＋2)表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
∵直线MQ与圆C有交点，
∴eq \f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq \r(2)，
可得2－eq \r(3)≤k≤2＋eq \r(3)，
∴eq \f(y－3,x＋2)的最大值为2＋eq \r(3)，最小值为2－eq \r(3).
(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.
当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，∴eq \f(|2－7＋b|,\r(12＋－12))＝2eq \r(2)，
∴b＝9或b＝1.
∴y－x的最大值为9，最小值为1.
2.已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
答案 2eq \r(5)
解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，所以圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝eq \r(5)的圆.设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n＝－2，))故A′(－4，－2).
连接A′C交圆C于Q(图略)，此时，|PA|＋|PQ|取得最小值，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|＝|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq \r(5).
3.(2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________．
答案 12
解析 由题意，得eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，
eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，
故x2＝－(y－3)2＋1，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4
＝6y－12.
易知2≤y≤4，所以当y＝4时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12.
[举一反三]
1.已知A(－2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－eq \r(7))2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最小值为( )
A．9 B．14 C．16 D．26
答案 D
解析 设O为坐标原点，P(x，y)，
则|AP|2＋|BP|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2
＝2(x2＋y2)＋8＝2|PO|2＋8.
圆C的圆心为C(3，eq \r(7))，半径为r＝1，OC＝4，
所以|PO|2的最小值为(OC－r)2＝(4－1)2＝9，
所以|AP|2＋|BP|2的最小值为26.
2.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则x2＋y2的最大值为________，最小值为________.
答案 7＋4eq \r(3) 7－4eq \r(3)
解析 x2＋y2表示圆(x－2)2＋y2＝3上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图).
又圆心到原点的距离为2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3).
3.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________.
答案 5eq \r(2)－4
解析 P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.
作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，
所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5eq \r(2)，
即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5eq \r(2)－4.
4.已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.
(1)求eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)求x＋y的最大值和最小值；
(3)求eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值.
解 (1)eq \f(y,x)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，eq \f(y,x)的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即eq \f(|2k＋3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－2＋eq \f(2\r(3),3)或k＝－2－eq \f(2\r(3),3)，∴eq \f(y,x)的最大值为－2＋eq \f(2\r(3),3)，最小值为－2－eq \f(2\r(3),3).
(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即eq \f(|2＋（－3）－t|,\r(2))＝1，解得t＝eq \r(2)－1或t＝－eq \r(2)－1.
∴x＋y的最大值为eq \r(2)－1，最小值为－eq \r(2)－1.
(3)eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)＝eq \r(（x＋1）2＋（y－2）2)，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为eq \r(34)，∴eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值为eq \r(34)＋1，最小值为eq \r(34)－1.
定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方
程
标
准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C(a，b)
半径为r
一
般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)