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高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.3应用导数研究函数的极值、最值(真题测试)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.3应用导数研究函数的极值、最值(真题测试)(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2008·安徽·高考真题（文））设函数则（ ）
A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数
2．(2023·四川·高考真题（文））已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=（ ）
A．–4B．–2C．4D．2
3．(2023·陕西·高考真题（文））设函数f（x）=+lnx ，则 （ ）
A．x=为f(x)的极大值点B．x=为f(x)的极小值点
C．x=2为 f(x)的极大值点D．x=2为 f(x)的极小值点
4．(2023·全国·高考真题（文））已知函数f(x)=,下列结论中错误的是（ ）
A．, f()=0
B．函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C．若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减
D．若是f（x）的极值点，则 ()=0
5．(2023·辽宁·高考真题（理））设函数满足则时，（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
6．(2023·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
7.（2023·广西南宁·高三模拟预测（理））某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l，左右两端均为半球形，其半径为r，若其表面积为S，则胶囊的体积V取最大值时( )
A．B．C．D．
8．(2023·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（湖北省十堰市2023-2024学年高二下学期期末）已知函数，若，为的两个不同的极值点，则实数a的取值可能是（ ）．
A．B．C．3D．4
10．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．，B．是的极大值点
C．是的极小值点D．是的极小值点
11．(2023·山东·模拟预测）已知，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最大值B．有最小值3
C．有最小值D．有最大值4
12．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若是函数的极值点，则在上的最小值为
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
三、填空题
13．(2023·湖北·荆州中学模拟预测）设是函数的一个极值点，则与的关系为________．
14．(2023·江苏·高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．
15．(2023·全国·高考真题（理））已知函数，则的最小值是_____________．
16．(2023·江西萍乡·三模（文））若存在实数，使得函数与的图象有相同的切线，且相同切线的斜率为，则实数的最大值为_________．
四、解答题
17．(2023·北京·清华附中高一阶段练习）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求证:函数存在最小值.
18．(2023·江西·高考真题（文））已知函数在上单调递减，且满足， (Ⅰ) 求的取值范围；
（Ⅱ）设，求在上的最大值和最小值
19.(2023·北京·高考真题（文））已知函数，（），
（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值
（2）当时，若函数在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围
20．(2023·湖南·高考真题（文））设函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
21．(2023·山东·高考真题（理））已知函数，，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
22．（2023·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值（真题测试）
一、单选题
1．（2008·安徽·高考真题（文））设函数则（ ）
A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数
答案：A
【解析】
【详解】
，则．当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．所以在处取到极大值，故选A
2．(2023·四川·高考真题（文））已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=（ ）
A．–4B．–2C．4D．2
答案：D
【解析】
【详解】
试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.
3．(2023·陕西·高考真题（文））设函数f（x）=+lnx ，则 （ ）
A．x=为f(x)的极大值点B．x=为f(x)的极小值点
C．x=2为 f(x)的极大值点D．x=2为 f(x)的极小值点
答案：D
【解析】
【详解】
，
由得，
又函数定义域为，
当时，，递减，
当时，，递增，
因此是函数的极小值点．故选D．
4．(2023·全国·高考真题（文））已知函数f(x)=,下列结论中错误的是（ ）
A．, f()=0
B．函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C．若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减
D．若是f（x）的极值点，则 ()=0
答案：C
【解析】
【详解】
试题分析：由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定∃x0∈R，f(x0)＝0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2＞x1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确.
5．(2023·辽宁·高考真题（理））设函数满足则时，（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
答案：D
【解析】
【详解】
函数满足，
，令，
则，
由，得，令，
则
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为.
又在单调递增，
既无极大值也无极小值，故选D.
6．(2023·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】
，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
7.（2023·广西南宁·高三模拟预测（理））某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l，左右两端均为半球形，其半径为r，若其表面积为S，则胶囊的体积V取最大值时( )
A．B．C．D．
答案：A
分析：
由圆柱和球的表面积公式将l用r和S表示出来，再代入圆柱体积和球体积公式，表示出胶囊的体积V，利用求导求出V的最大值及此时r的值.
【详解】
依题意，，故
，当时，，取最大值．
故选：A
8．(2023·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】
∵ 球的体积为，所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
二、多选题
9．（湖北省十堰市2023-2024学年高二下学期期末）已知函数，若，为的两个不同的极值点，则实数a的取值可能是（ ）．
A．B．C．3D．4
答案：AD
【解析】
分析：
求导，根据导函数的零点数确定参数a.
【详解】
，
因为有两个不同的极值点，所以，解得或；
故选：AD.
10．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．，B．是的极大值点
C．是的极小值点D．是的极小值点
答案：BD
【解析】
分析：
根据极值的定义、极值的性质和图象变换逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对A. 是的极大值点，并不是最小值点，故A不正确；
对B. 相当于关于轴的对称图象，故应是的极大值点，故B正确；
对C. 相当于关于轴的对称图象，故应是的极小值点，跟没有关系，故C不正确；
对D. 相当于先关于轴的对称，再关于轴的对称图象.故D正确.
故选：BD.
11．(2023·山东·模拟预测）已知，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最大值B．有最小值3
C．有最小值D．有最大值4
答案：BD
【解析】
分析：
对于A,直接由基本不等式求得，即可判断A；对于B，将代入中，结合二次函数性质即可判断；对于C,将变形为，展开后，利用基本不等式即可判断；对于D,构造函数，利用导数求得最大值，即可判断.
【详解】
对于A选项，因为，且，所以由可得，
当且仅当时等号成立，.故A错误；
对于B选项，由，当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C选项，因为
所以，当且仅当即时等号成立，故C错误
对于D选项，因为，
令，解得或（舍），
令，解得，令，解得，
故，此时，故D正确
故选：BD
12．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若是函数的极值点，则在上的最小值为
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
答案：ABC
【解析】
分析：
对于A，由可求出的值，对于B，由选项A，可求得，然后利用导数可求出在上的最小值，对于C，由题意可得，可求出的范围，对于D，将问题转化为在上恒成立，构造函数，再利用导数求出其最大值即可
【详解】
对于A，由，得，因为是函数的极值点，所以，得，经检验是函数的极小值点，所以A正确，
对于B，由选项A，可知，则，由，得或，由，得，所以在和递增，在上递减，所以当时，时，取得最小值，所以B正确，
对于C，因为在上单调递减，所以，即，得在上恒成立，令，则，所以在单调递增，所以，即，所以，所以C正确，
对于D，由在上恒成立，得 在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以上单调递增，所以，所以，所以D错误，
故选：ABC
三、填空题
13．(2023·湖北·荆州中学模拟预测）设是函数的一个极值点，则与的关系为________．
答案：
【解析】
分析：
利用求解即可.
【详解】
解：因为，
所以，
又因为是极值点，
所以，
即：2a+b=-3.
又因为，
所以，
故答案为：
14．(2023·江苏·高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．
答案：.
【解析】
【详解】
分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.
详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
15．(2023·全国·高考真题（理））已知函数，则的最小值是_____________．
答案：
【解析】
【详解】
分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.
详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以fxmin=2×(−32)−32=−332，故答案是.
16．(2023·江西萍乡·三模（文））若存在实数，使得函数与的图象有相同的切线，且相同切线的斜率为，则实数的最大值为_________．
答案：.
【解析】
分析：
分别设出两个函数与的切点为与，再分别求出导函数，由公切线的斜率求出的切点坐标进而求出切线方程，再由公切线斜率求出的切点横坐标与的关系，函数的切点即为，代入公切线中化简得，求的最大值，即可求出答案.
【详解】
设函数的切点为，函数的切点为
分别对函数进行求导，，
由相同切线的斜率为，得
故切线方程为
故函数的切点为.
把切点代入中得
令，
当时，，函数单调递增
当时，，函数单调递减
故
故实数的最大值为
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·北京·清华附中高一阶段练习）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求证:函数存在最小值.
答案：(1)
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，从而得到切线方程；
（2）首先求出导函数，当时令，利用导数说明的单调性，结合零点存在性定理即可得到的单调性，即可求出函数的最小值，
当时可得，即可求出的最小值，从而得证；
(1)
解：当时，，则，
所以，又，所以切线方程为；
(2)
证明：因为，，
所以，
①当时，令，则，
所以在上单调递减，且，，所以存在，使得，即当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
②当时，因为，所以恒成立，且当时等号成立，
所以，
综上可得函数存在最小值；
18．(2023·江西·高考真题（文））已知函数在上单调递减，且满足， (Ⅰ) 求的取值范围；
（Ⅱ）设，求在上的最大值和最小值
答案：：（Ⅰ）
（Ⅱ）（i）当时，在上取得最小值 ，在上取得最大值
当 时，在 取得最大值 ，在 取得最小值
当 时， 在 取得最小值 在 取得最大值
当 时，在取得最小值
当 时， 在取得最小值
【解析】
【详解】
：（Ⅰ）由，得
则 ，依题意须对于任意 ，有 当时，因为二次函数 的图像开口向上，而 ，所以须 ，即
当 时，对任意 有 ，符合条件；
当时，对于任意 ，，符合条件；
当 时，因，不符合条件，故的取值范围为
（Ⅱ）因
（i）当时， ，在上取得最小值 ，在上取得最大值
（ii）当 时，对于任意 有 ，在 取得最大值 ，在 取得最小值
（iii）当时，由 得
① 若 ，即 时， 在上单调递增， 在 取得最小值 在 取得最大值
② 若 ，即 时， 在 取得最大值 ，在 或 取得最小值，而，
则当 时，在取得最小值
当 时， 在取得最小值
19.(2023·北京·高考真题（文））已知函数，（），
（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值
（2）当时，若函数在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围
答案：
【解析】
【详解】
试题分析：（1）求a,b的值,根据曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，列方程组,即可求出的值；（2）求k的取值范围．,先求出的解析式,由已知时，设,求导函数，确定函数的极值点，进而可得时，函数在区间上的最大值为；时，函数在在区间上的最大值小于，由此可得结论．
试题解析：（1）,因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以,所以;
（2）当时，，，，令，则，令，得，所以在与上单调递增，在上单调递减，其中为极大值，所以如果在区间最大值为，即区间包含极大值点，所以．
20．(2023·湖南·高考真题（文））设函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
答案：（1）答案见解析：（2）不存在
【解析】
【详解】
（1）定义域为，
，
令，
①当时，，，故在上单调递增，
②当时，，的两根都小于零，在上，，
故在上单调递增，
③当时，，的两根为，
当时，；当时，；当时，；
故分别在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，，
因为.
所以,
又由（1）知，，于是，
若存在，使得，则，即，
亦即（）
再由（1）知，函数在上单调递增，
而，所以，这与（）式矛盾，
故不存在，使得.
21．(2023·山东·高考真题（理））已知函数，，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
答案：（Ⅰ） （Ⅱ）见解析
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）求导数得斜率，由点斜式写出直线方程.
（Ⅱ）写出函数，求导数得到，由于的正负与的取值有关，故可令，通过应用导数研究在上的单调性，明确其正负.然后分和两种情况讨论 极值情况即可.
试题解析：（Ⅰ）由题意
又，
所以，
因此 曲线在点处的切线方程为
，
即 .
（Ⅱ）由题意得 ，
因为
，
令
则
所以在上单调递增.
因为
所以 当时，
当时，
(1)当时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以 当时取得极小值，极小值是 ；
(2)当时，
由 得 ，
①当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以 当时取得极大值.
极大值为，
当时取到极小值，极小值是 ；
②当时，，
所以 当时，，函数在上单调递增，无极值；
③当时，
所以 当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以 当时取得极大值，极大值是；
当时取得极小值.
极小值是.
综上所述：
当时，在上单调递减，在上单调递增，
函数有极小值，极小值是；
当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是
极小值是；
当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是；
极小值是.
22．（2023·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
答案：（Ⅰ），（Ⅱ）.
【解析】
分析：
（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
【详解】
（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
（Ⅱ）[方法一]：导数法
显然，因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
[方法二]【最优解】：换元加导数法
．
因为为偶函数，不妨设，，
令，则．
令，则面积为，只需求出的最小值．
．
因为，所以令，得．
随着a的变化，的变化情况如下表：
所以．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
当且仅当，即时取等号．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法四]：两次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整体点评】
（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.
a
0
减
极小值
增
1．（2008·安徽·高考真题（文））设函数则（ ）
A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数
2．(2023·四川·高考真题（文））已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=（ ）
A．–4B．–2C．4D．2
3．(2023·陕西·高考真题（文））设函数f（x）=+lnx ，则 （ ）
A．x=为f(x)的极大值点B．x=为f(x)的极小值点
C．x=2为 f(x)的极大值点D．x=2为 f(x)的极小值点
4．(2023·全国·高考真题（文））已知函数f(x)=,下列结论中错误的是（ ）
A．, f()=0
B．函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C．若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减
D．若是f（x）的极值点，则 ()=0
5．(2023·辽宁·高考真题（理））设函数满足则时，（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
6．(2023·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
7.（2023·广西南宁·高三模拟预测（理））某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l，左右两端均为半球形，其半径为r，若其表面积为S，则胶囊的体积V取最大值时( )
A．B．C．D．
8．(2023·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（湖北省十堰市2023-2024学年高二下学期期末）已知函数，若，为的两个不同的极值点，则实数a的取值可能是（ ）．
A．B．C．3D．4
10．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．，B．是的极大值点
C．是的极小值点D．是的极小值点
11．(2023·山东·模拟预测）已知，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最大值B．有最小值3
C．有最小值D．有最大值4
12．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若是函数的极值点，则在上的最小值为
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
三、填空题
13．(2023·湖北·荆州中学模拟预测）设是函数的一个极值点，则与的关系为________．
14．(2023·江苏·高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．
15．(2023·全国·高考真题（理））已知函数，则的最小值是_____________．
16．(2023·江西萍乡·三模（文））若存在实数，使得函数与的图象有相同的切线，且相同切线的斜率为，则实数的最大值为_________．
四、解答题
17．(2023·北京·清华附中高一阶段练习）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求证:函数存在最小值.
18．(2023·江西·高考真题（文））已知函数在上单调递减，且满足， (Ⅰ) 求的取值范围；
（Ⅱ）设，求在上的最大值和最小值
19.(2023·北京·高考真题（文））已知函数，（），
（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值
（2）当时，若函数在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围
20．(2023·湖南·高考真题（文））设函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
21．(2023·山东·高考真题（理））已知函数，，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
22．（2023·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值（真题测试）
一、单选题
1．（2008·安徽·高考真题（文））设函数则（ ）
A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数
答案：A
【解析】
【详解】
，则．当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．所以在处取到极大值，故选A
2．(2023·四川·高考真题（文））已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=（ ）
A．–4B．–2C．4D．2
答案：D
【解析】
【详解】
试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.
3．(2023·陕西·高考真题（文））设函数f（x）=+lnx ，则 （ ）
A．x=为f(x)的极大值点B．x=为f(x)的极小值点
C．x=2为 f(x)的极大值点D．x=2为 f(x)的极小值点
答案：D
【解析】
【详解】
，
由得，
又函数定义域为，
当时，，递减，
当时，，递增，
因此是函数的极小值点．故选D．
4．(2023·全国·高考真题（文））已知函数f(x)=,下列结论中错误的是（ ）
A．, f()=0
B．函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C．若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减
D．若是f（x）的极值点，则 ()=0
答案：C
【解析】
【详解】
试题分析：由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定∃x0∈R，f(x0)＝0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2＞x1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确.
5．(2023·辽宁·高考真题（理））设函数满足则时，（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
答案：D
【解析】
【详解】
函数满足，
，令，
则，
由，得，令，
则
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为.
又在单调递增，
既无极大值也无极小值，故选D.
6．(2023·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】
，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
7.（2023·广西南宁·高三模拟预测（理））某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l，左右两端均为半球形，其半径为r，若其表面积为S，则胶囊的体积V取最大值时( )
A．B．C．D．
答案：A
分析：
由圆柱和球的表面积公式将l用r和S表示出来，再代入圆柱体积和球体积公式，表示出胶囊的体积V，利用求导求出V的最大值及此时r的值.
【详解】
依题意，，故
，当时，，取最大值．
故选：A
8．(2023·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】
∵ 球的体积为，所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
二、多选题
9．（湖北省十堰市2023-2024学年高二下学期期末）已知函数，若，为的两个不同的极值点，则实数a的取值可能是（ ）．
A．B．C．3D．4
答案：AD
【解析】
分析：
求导，根据导函数的零点数确定参数a.
【详解】
，
因为有两个不同的极值点，所以，解得或；
故选：AD.
10．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．，B．是的极大值点
C．是的极小值点D．是的极小值点
答案：BD
【解析】
分析：
根据极值的定义、极值的性质和图象变换逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对A. 是的极大值点，并不是最小值点，故A不正确；
对B. 相当于关于轴的对称图象，故应是的极大值点，故B正确；
对C. 相当于关于轴的对称图象，故应是的极小值点，跟没有关系，故C不正确；
对D. 相当于先关于轴的对称，再关于轴的对称图象.故D正确.
故选：BD.
11．(2023·山东·模拟预测）已知，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最大值B．有最小值3
C．有最小值D．有最大值4
答案：BD
【解析】
分析：
对于A,直接由基本不等式求得，即可判断A；对于B，将代入中，结合二次函数性质即可判断；对于C,将变形为，展开后，利用基本不等式即可判断；对于D,构造函数，利用导数求得最大值，即可判断.
【详解】
对于A选项，因为，且，所以由可得，
当且仅当时等号成立，.故A错误；
对于B选项，由，当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C选项，因为
所以，当且仅当即时等号成立，故C错误
对于D选项，因为，
令，解得或（舍），
令，解得，令，解得，
故，此时，故D正确
故选：BD
12．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若是函数的极值点，则在上的最小值为
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
答案：ABC
【解析】
分析：
对于A，由可求出的值，对于B，由选项A，可求得，然后利用导数可求出在上的最小值，对于C，由题意可得，可求出的范围，对于D，将问题转化为在上恒成立，构造函数，再利用导数求出其最大值即可
【详解】
对于A，由，得，因为是函数的极值点，所以，得，经检验是函数的极小值点，所以A正确，
对于B，由选项A，可知，则，由，得或，由，得，所以在和递增，在上递减，所以当时，时，取得最小值，所以B正确，
对于C，因为在上单调递减，所以，即，得在上恒成立，令，则，所以在单调递增，所以，即，所以，所以C正确，
对于D，由在上恒成立，得 在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以上单调递增，所以，所以，所以D错误，
故选：ABC
三、填空题
13．(2023·湖北·荆州中学模拟预测）设是函数的一个极值点，则与的关系为________．
答案：
【解析】
分析：
利用求解即可.
【详解】
解：因为，
所以，
又因为是极值点，
所以，
即：2a+b=-3.
又因为，
所以，
故答案为：
14．(2023·江苏·高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．
答案：.
【解析】
【详解】
分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.
详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
15．(2023·全国·高考真题（理））已知函数，则的最小值是_____________．
答案：
【解析】
【详解】
分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.
详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以fxmin=2×(−32)−32=−332，故答案是.
16．(2023·江西萍乡·三模（文））若存在实数，使得函数与的图象有相同的切线，且相同切线的斜率为，则实数的最大值为_________．
答案：.
【解析】
分析：
分别设出两个函数与的切点为与，再分别求出导函数，由公切线的斜率求出的切点坐标进而求出切线方程，再由公切线斜率求出的切点横坐标与的关系，函数的切点即为，代入公切线中化简得，求的最大值，即可求出答案.
【详解】
设函数的切点为，函数的切点为
分别对函数进行求导，，
由相同切线的斜率为，得
故切线方程为
故函数的切点为.
把切点代入中得
令，
当时，，函数单调递增
当时，，函数单调递减
故
故实数的最大值为
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·北京·清华附中高一阶段练习）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求证:函数存在最小值.
答案：(1)
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，从而得到切线方程；
（2）首先求出导函数，当时令，利用导数说明的单调性，结合零点存在性定理即可得到的单调性，即可求出函数的最小值，
当时可得，即可求出的最小值，从而得证；
(1)
解：当时，，则，
所以，又，所以切线方程为；
(2)
证明：因为，，
所以，
①当时，令，则，
所以在上单调递减，且，，所以存在，使得，即当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
②当时，因为，所以恒成立，且当时等号成立，
所以，
综上可得函数存在最小值；
18．(2023·江西·高考真题（文））已知函数在上单调递减，且满足， (Ⅰ) 求的取值范围；
（Ⅱ）设，求在上的最大值和最小值
答案：：（Ⅰ）
（Ⅱ）（i）当时，在上取得最小值 ，在上取得最大值
当 时，在 取得最大值 ，在 取得最小值
当 时， 在 取得最小值 在 取得最大值
当 时，在取得最小值
当 时， 在取得最小值
【解析】
【详解】
：（Ⅰ）由，得
则 ，依题意须对于任意 ，有 当时，因为二次函数 的图像开口向上，而 ，所以须 ，即
当 时，对任意 有 ，符合条件；
当时，对于任意 ，，符合条件；
当 时，因，不符合条件，故的取值范围为
（Ⅱ）因
（i）当时， ，在上取得最小值 ，在上取得最大值
（ii）当 时，对于任意 有 ，在 取得最大值 ，在 取得最小值
（iii）当时，由 得
① 若 ，即 时， 在上单调递增， 在 取得最小值 在 取得最大值
② 若 ，即 时， 在 取得最大值 ，在 或 取得最小值，而，
则当 时，在取得最小值
当 时， 在取得最小值
19.(2023·北京·高考真题（文））已知函数，（），
（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值
（2）当时，若函数在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围
答案：
【解析】
【详解】
试题分析：（1）求a,b的值,根据曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，列方程组,即可求出的值；（2）求k的取值范围．,先求出的解析式,由已知时，设,求导函数，确定函数的极值点，进而可得时，函数在区间上的最大值为；时，函数在在区间上的最大值小于，由此可得结论．
试题解析：（1）,因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以,所以;
（2）当时，，，，令，则，令，得，所以在与上单调递增，在上单调递减，其中为极大值，所以如果在区间最大值为，即区间包含极大值点，所以．
20．(2023·湖南·高考真题（文））设函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
答案：（1）答案见解析：（2）不存在
【解析】
【详解】
（1）定义域为，
，
令，
①当时，，，故在上单调递增，
②当时，，的两根都小于零，在上，，
故在上单调递增，
③当时，，的两根为，
当时，；当时，；当时，；
故分别在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，，
因为.
所以,
又由（1）知，，于是，
若存在，使得，则，即，
亦即（）
再由（1）知，函数在上单调递增，
而，所以，这与（）式矛盾，
故不存在，使得.
21．(2023·山东·高考真题（理））已知函数，，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
答案：（Ⅰ） （Ⅱ）见解析
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）求导数得斜率，由点斜式写出直线方程.
（Ⅱ）写出函数，求导数得到，由于的正负与的取值有关，故可令，通过应用导数研究在上的单调性，明确其正负.然后分和两种情况讨论 极值情况即可.
试题解析：（Ⅰ）由题意
又，
所以，
因此 曲线在点处的切线方程为
，
即 .
（Ⅱ）由题意得 ，
因为
，
令
则
所以在上单调递增.
因为
所以 当时，
当时，
(1)当时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以 当时取得极小值，极小值是 ；
(2)当时，
由 得 ，
①当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以 当时取得极大值.
极大值为，
当时取到极小值，极小值是 ；
②当时，，
所以 当时，，函数在上单调递增，无极值；
③当时，
所以 当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以 当时取得极大值，极大值是；
当时取得极小值.
极小值是.
综上所述：
当时，在上单调递减，在上单调递增，
函数有极小值，极小值是；
当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是
极小值是；
当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是；
极小值是.
22．（2023·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
答案：（Ⅰ），（Ⅱ）.
【解析】
分析：
（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
【详解】
（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
（Ⅱ）[方法一]：导数法
显然，因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
[方法二]【最优解】：换元加导数法
．
因为为偶函数，不妨设，，
令，则．
令，则面积为，只需求出的最小值．
．
因为，所以令，得．
随着a的变化，的变化情况如下表：
所以．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
当且仅当，即时取等号．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法四]：两次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整体点评】
（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.
a
0
减
极小值
增
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