高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.2同角三角函数的基本关系与诱导公式(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.2同角三角函数的基本关系与诱导公式(知识点讲解)(原卷版+解析)，共17页。


【核心素养】
1．利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
【知识点展示】
（一）同角三角函数
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2.三角函数求值与化简必会的三种方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sinαcsα;形如asinx+bcsxcsinx+dcsx,等类型可进行弦化切.
(2)“1”的灵活代换法: 等.
(3)和积转换法:利用的关系进行变形、转化.
（二）诱导公式
六组诱导公式
对于角“eq \f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”
【常考题型剖析】
题型一：同角三角函数的基本关系式
例1.(2023·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
例2．（2023·湖南·高考真题）已知，且为第四象限角，则____________
例3.（2023·金华市江南中学高一月考）已知=2，则tanx=____，sinxcsx=____.
例 4.（2023·江苏·高一课时练习）已知tanα＝2，求sinα和csα的值．
【规律方法】
1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法”
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意等；
(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
2. 利用eq \f(sinα,csα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．
（1）若已知tanα＝m，求形如eq \f(asinα＋bcsα,csinα＋dcsα)(或eq \f(asin2α＋bcs2α,csin2α＋dcs2α))的值，其方法是将分子、分母同除以csα(或cs2α)转化为tanα的代数式，再求值，如果先求出sinα和csα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．
（2）形如asin2α＋bsinαcsα＋ccs2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cs2α代换，分子、分母同除以cs2α再求解．
题型二：sinαcsα与sinαcsα的关系及应用
例5.(2023·浙江温州·高二期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
例6. (2023·辽宁沈阳·高一期中）已知，且函数．
(1)化简；
(2)若，求和的值．
【总结提升】
(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα这三个式子，利用(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
题型三：诱导公式及其应用
例7．（2008·天津·高考真题（文））设，，，则（ ）
A．B．C．D．
例8．(2023·安徽·高考真题（理））设函数满足当时，，则（ ）
A．B．C．0D．
例9．（2007·天津·高考真题（文））“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
例10. （2023·永州市第四中学高一月考）已知是第四象限角，.
（1）化简.
（2）若，求的值.
【总结提升】
1.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等,常见的互补关系有π6-θ与5π6+θ,π3+θ与2π3-θ,π4+θ与3π4-θ等.
2.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.
题型四：同角公式、诱导公式的综合应用
例11. （2023·内蒙古·海拉尔第二中学高三月考（理））已知，则＝（ ）
A．-7B．C．D．5
例12.（2023·江苏·高考真题）已知，且，则的值是_________.
例13.(2023·全国·高考真题（文））已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）=___________.
例14．(2023·河北·沧县中学高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆（半径为1的圆）的交点为，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，记的终边与单位圆的交点为Q．
(1)若，，求角的值；
(2)若，求tan的值．
【规律方法】
1.明确三角函数式化简的原则和方向
(1)切化弦，统一名．
(2)用诱导公式，统一角．
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．
2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
3.三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．
4证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．
角
函数
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cs_α
cs_α
余弦
cs_α
－cs_α
cs_α
－cs_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α
专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1．利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
【知识点展示】
（一）同角三角函数
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2.三角函数求值与化简必会的三种方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sinαcsα;形如asinx+bcsxcsinx+dcsx,等类型可进行弦化切.
(2)“1”的灵活代换法: 等.
(3)和积转换法:利用的关系进行变形、转化.
（二）诱导公式
六组诱导公式
对于角“eq \f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”
【常考题型剖析】
题型一：同角三角函数的基本关系式
例1.(2023·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】
分析：
由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】
因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
例2．（2023·湖南·高考真题）已知，且为第四象限角，则____________
答案：
分析：
首先求的值，再求.
【详解】
，且为第四象限角，
，
.
故答案为：
例3.（2023·金华市江南中学高一月考）已知=2，则tanx=____，sinxcsx=____.
答案：3
【解析】
分析：
将=2左端分子分母同除以，得，解得，
.
故答案为：；
例 4.（2023·江苏·高一课时练习）已知tanα＝2，求sinα和csα的值．
答案：当α是第一象限角，则csα＝， sinα＝；
当α是第三象限角，则csα＝－， sinα＝－.
分析：
利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
解 由＝tanα＝2，可得sinα＝2csα.
又sin2α＋cs2α＝1，故(2csα)2＋cs2α＝1，解得cs2α＝.
又由tanα＝2>0，知α是第一或第三象限角．
当α是第一象限角，则csα＝， sinα＝；
当α是第三象限角，则csα＝－， sinα＝－.
【规律方法】
1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法”
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意等；
(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
2. 利用eq \f(sinα,csα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．
（1）若已知tanα＝m，求形如eq \f(asinα＋bcsα,csinα＋dcsα)(或eq \f(asin2α＋bcs2α,csin2α＋dcs2α))的值，其方法是将分子、分母同除以csα(或cs2α)转化为tanα的代数式，再求值，如果先求出sinα和csα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．
（2）形如asin2α＋bsinαcsα＋ccs2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cs2α代换，分子、分母同除以cs2α再求解．
题型二：sinαcsα与sinαcsα的关系及应用
例5.(2023·浙江温州·高二期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.
【详解】
，，，，，
，所以.
故选：C
例6. (2023·辽宁沈阳·高一期中）已知，且函数．
(1)化简；
(2)若，求和的值．
答案：(1)
(2)，
【解析】
分析：
（1）利用三角函数恒等变换公式直接化简即可，
（2）对平方可求出，再由可得，然后求出，从而可求得的值
(1)
．
(2)
由，
平方可得，
即．
∴．
又，∴，，
∴，
∵，
∴．
【总结提升】
(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα这三个式子，利用(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
题型三：诱导公式及其应用
例7．（2008·天津·高考真题（文））设，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
【详解】
因为，，所以，，且，所以，，所以,
故选D.
例8．(2023·安徽·高考真题（理））设函数满足当时，，则（ ）
A．B．C．0D．
答案：A
【解析】
【详解】
试题分析：由题意，
，故选A.
例9．（2007·天津·高考真题（文））“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】
分析：
【详解】
由已知，充分性成立；
由不能得出，如也满足．
故选：A.
例10. （2023·永州市第四中学高一月考）已知是第四象限角，.
（1）化简.
（2）若，求的值.
答案：（1）；（2）
【解析】
（1）．
．
（2）因为
，
所以．
因为是第四象限角，
所以，
所以．
【总结提升】
1.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等,常见的互补关系有π6-θ与5π6+θ,π3+θ与2π3-θ,π4+θ与3π4-θ等.
2.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.
题型四：同角公式、诱导公式的综合应用
例11. （2023·内蒙古·海拉尔第二中学高三月考（理））已知，则＝（ ）
A．-7B．C．D．5
答案：D
分析：
先通过诱导公式对等式进行化简，进而弦化切求出正切值，然后对所求式子进行弦化切，最后得到答案.
【详解】
由题意，，
则.
故选：D.
例12.（2023·江苏·高考真题）已知，且，则的值是_________.
答案：
分析：
先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得.
【详解】
，因为，所以，所以，所以，所以.
故答案为：.
例13.(2023·全国·高考真题（文））已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）=___________.
答案：
【解析】
分析：
由题求得θ的范围，结合已知求得cs（θ），再由诱导公式求得sin（）及cs（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ）的值．
【详解】
解：∵θ是第四象限角，
∴，则，
又sin（θ），
∴cs（θ）．
∴cs（）＝sin（θ），sin（）＝cs（θ）．
则tan（θ）＝﹣tan（）．
故答案为．
例14．(2023·河北·沧县中学高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆（半径为1的圆）的交点为，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，记的终边与单位圆的交点为Q．
(1)若，，求角的值；
(2)若，求tan的值．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）当时，得到，结合三角函数的定义求得，即可求解；
（2）由，结合题意得到，利用三角函数的基本关系式，得出，联立方程组，即可求解.
(1)
解：当时，即角的终边与单位圆（半径为1的圆）的交点为，
根据三角函数的定义可得，
因为，所以，
(2)
解：因为，所以，
即①，平方得，且，
因为，所以，
则②，
由①②得，则.
【规律方法】
1.明确三角函数式化简的原则和方向
(1)切化弦，统一名．
(2)用诱导公式，统一角．
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．
2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
3.三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．
4证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．
角
函数
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cs_α
cs_α
余弦
cs_α
－cs_α
cs_α
－cs_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α