高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.4三角恒等变换(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.4三角恒等变换(真题测试)(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．(2023·全国·高考真题（文））函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
3．（2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高考真题（文））已知 ∈（0，），2sin2α=cs2α+1，则sinα=（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·全国·高考真题（文））已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
6．(2023·全国·高考真题（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·湖北·高三阶段练习）在平面直角坐标系中，角的大小如图所示，则（ ）
A．1B．C．D．
8．（2023·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、多选题
9．(2023·广东湛江·二模）已知是函数的一个周期，则的取值可能为（ ）
A．﹣2B．1C．D．3
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，其中为锐角，则以下命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．(2023·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象不关于原点对称
B．函数在上的值域为
C．函数在上单调递减
D．函数在上有3个零点
12．（2023·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2023·全国·高考真题（文））若，则__________．
14．(2023·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
15．（2023·全国·高考真题（文））函数的最小值为___________．
16．(2023·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
四、解答题
17．(2023·北京·高考真题（文））已知函数.
（I）求f(x)的最小正周期；
（II）求证：当时，．
18．(2023·北京·高考真题（文））已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.
19．(2023·江苏·高考真题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
20．(2023·全国·模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答问题．
已知，，，______，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，求
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若，求的值.
22．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知，求的值；
（2）已知，，且，，求．
专题5.4 三角恒等变换（真题测试）
一、单选题
1．(2023·全国·高考真题（文））函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
【详解】
分析:将函数进行化简即可
详解：由已知得
的最小正周期
故选C.
2.（2023·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
答案：C
【解析】
分析：
利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】
由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
3．（2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】
由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
4．（2023·全国·高考真题（文））已知 ∈（0，），2sin2α=cs2α+1，则sinα=（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】
，．
，又，，又，，故选B．
5．(2023·全国·高考真题（文））已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
答案：B
【解析】
分析：
首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
【详解】
根据题意有，
所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
6．(2023·全国·高考真题（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.
【详解】
由三点共线，从而得到，
因为，
解得，即，
所以，故选B.
7．（2023·湖北·高三阶段练习）在平面直角坐标系中，角的大小如图所示，则（ ）
A．1B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据已知求出，化简即得解.
【详解】
解：由题图知，则，
所以．
故选：C．
8．（2023·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：C
【解析】
分析：
利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.
【详解】
法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
二、多选题
9．(2023·广东湛江·二模）已知是函数的一个周期，则的取值可能为（ ）
A．﹣2B．1C．D．3
答案：ABD
【解析】
分析：
根据三角恒等变换公式进行化简，根据周期函数定义求出的表达式即可求解．
【详解】
依题意得，
由周期函数定义得：
，即：
即：

解得：
又
或
故选：ABD．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，其中为锐角，则以下命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AB
【解析】
分析：
利用凑角的方式，将角看成整体，但要注意角的范围，
根据同角三角函数的关系，两角和差的余弦公式及解方程即可求解.
【详解】
因为，，
所以，故A正确；
因为，
所以
所以
，故B正确；
，
，
由得，，解得；故C不正确；
由得，，解得；
，故D不正确.
故选：AB.
11．(2023·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象不关于原点对称
B．函数在上的值域为
C．函数在上单调递减
D．函数在上有3个零点
答案：AD
【解析】
分析：
根据奇函数的定义、余弦的二倍角公式，利用换元法、二次函数的性质、零点的定义逐一判断即可.
【详解】
的定义域为R．因为，所以，则函数的图象不关于原点对称，故A正确．
，故当，即时，令，，
则问题转化为函数在上的值域，且图象的对称轴方程为，
故函数在上单调递增，最大值为1，最小值为－2，故B错误．
当，在上单调递增，即，时，
函数在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数单调性，故C错误．
令，即，解得或，
当时，或或，故函数在上有3个零点，故D正确．
故选：AD．
12．（2023·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】
分析：
A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】
A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
三、填空题
13．（2023·全国·高考真题（文））若，则__________．
答案：
【解析】
分析：
直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
【详解】
.
故答案为：.
14．(2023·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
答案： 1
【解析】
分析：
先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】
∵，∴
∴
故答案为：1，
15．（2023·全国·高考真题（文））函数的最小值为___________．
答案：.
【解析】
分析：
本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.
【详解】
，
，当时，，
故函数的最小值为．
16．(2023·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
答案：
【解析】
分析：
先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】
，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则．
故答案为：；．
四、解答题
17．(2023·北京·高考真题（文））已知函数.
（I）求f(x)的最小正周期；
（II）求证：当时，．
答案：（1）（2）见解析
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为，最后根据公式求周期；（Ⅱ）先求的范围再求函数的最小值.
试题解析:（Ⅰ）.
所以的最小正周期.
（Ⅱ）因为，
所以.
所以.
所以当时，.
18．(2023·北京·高考真题（文））已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.
答案：（Ⅰ） ；（Ⅱ）.
【解析】
分析：
（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.
【详解】
（Ⅰ），
所以的最小正周期为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
因为，所以.
要使得在上的最大值为，
即在上的最大值为1.
所以，即.
所以的最小值为.
19．(2023·江苏·高考真题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
答案：（1）；（2）
【解析】
【详解】
分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
20．(2023·全国·模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答问题．
已知，，，______，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案：
【解析】
分析：
若选条件①，利用诱导公式和同角三角函数关系可求得；若选条件②，切化弦后可求得，由同角三角函数关系可得；若选条件③，由二倍角公式可求得，根据同角三角函数关系可得；利用同角三角函数求得后，根据，利用两角和差余弦公式求解即可.
【详解】
若选条件①，由得：，
又，，，；
若选条件②，由得：，
，，，；
若选条件③，由得：，
，，；
，，，，
.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，求
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若，求的值.
答案：(1)
(2)
(3)
【解析】
分析：
小问1：由三角函数基本关系式即可求值，这里要注意角的范围；
小问2：先由诱导公式对原式进行化简，然后利用齐次式对式子进行求值即可；
小问3：确定角的范围以后，用已知角来拼凑出所求的角，再利用三角函数恒等变换求值即可.
(1)
，解得 或
又，，即.
(2)
，
又， 原式=
(3)
，，，
又，，
则.
.
22．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知，求的值；
（2）已知，，且，，求．
答案：（1）；（2）
【解析】
分析：
（1）先借助平方关系、商数关系及倍角公式化为齐次分式，再切化弦代入即可求解；
（2）先借助正切的和角公式求出，再求出，结合角的范围即可求解.
【详解】
（1）
；
（2）由可知，又，，
则，又，则，则，
又，则.