高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.4三角恒等变换(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.4三角恒等变换(知识点讲解)(原卷版+解析)，共25页。


【核心素养】
1.结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相结合，考查三角函数式的化简求值或求角问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．与三角函数的性质相结合考查三角恒等变换的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
【知识点展示】
（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．C(α－β)：cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cs(α＋β)＝csαcs_β－sin_αsinβ；
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ；
S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcs_β－csαsinβ；
T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；
T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β).
2．变形公式：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
.
sinαsinβ＋cs(α＋β)＝csαcsβ，
csαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcsβ，
3．辅助角公式：
函数f(α)＝acs α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．
（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
2.变形公式：
（1）降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，sin αcs α＝eq \f (1,2)sin 2α.
（2）升幂公式
1＋cs α＝2cs2eq \f (α,2)；
1－cs α＝2sin2eq \f (α,2)；
1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)＋cs \f (α,2)))eq \s\up12(2)；
1－sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)－cs \f (α,2)))eq \s\up12(2).
（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2,1－sin 2α＝(sin α－cs α)2
1±sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)±cs\f(α,2)))2,1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)，1－csα＝2sin2eq \f(α,2)
（4）sin 2α＝eq \f (2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f (2tan α,1＋tan2α)；
cs 2α＝eq \f (cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f (1－tan2α,1＋tan2α).
tan eq \f (α,2)＝eq \f (sin α,1＋cs α)＝eq \f (1－cs α,sin α).
（三）常见变换规律
(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(π,2)，eq \f(α,2)＝2×eq \f(α,4)等．
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
【常考题型剖析】
题型一：两角和与差的三角函数公式
例1.(2023·全国·高考真题（理））(2023新课标全国Ⅰ理科)=
A．B．
C．D．
例2．(2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
例3.（2023·全国高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
例4.（2023·全国高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2B．–1C．1D．2
【规律方法】
1.三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
2.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现eq \f(1,2)，1，eq \f(\r(3),2)，eq \r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
题型二：利用“角的变换”求值
例5. （2023·全国·高考真题（文））tan255°=（ ）
A．－2－B．－2+C．2－D．2+
例6.(2023·重庆·高考真题（文））若,则（ ）
A．B．C．D．
例7.(2023·浙江·高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求csβ的值．
【总结提升】
1.三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f (α＋β,2)－eq \f (α－β,2)，α＝eq \f (α＋β,2)＋eq \f (α－β,2)，eq \f (α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (α,2)＋β))等
题型三：二倍（半）角公式
例8.（2023·全国·高考真题（文））（ ）
A．B．C．D．
例9.（2023·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
例10．（2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．
提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，可利用诱导公式化简．
题型四：三角恒等变换应用---求值
例11．(2023·四川·高考真题（理））_______.
例12．(2023·全国·高考真题（理））已知，，则__________．
例13.(2023·上海·高考真题）已知，则的值为_________.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知角为锐角，，且满足，
(1)证明：；
(2)求.
【规律方法】
三角函数式求值的三种题型
(1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．
(2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．
(3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正、余弦函数值，若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,2)，\f (π,2)))，选正弦函数．
题型五：三角恒等变换应用---化简
例15.【多选题】（2023·营口市第二高级中学高一期末）化简下式，与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【规律方法】
1.三角函数式的化简遵循的三个原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．
(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．
(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．
2.三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．
题型六：三角恒等变换应用---研究三角函数的图像和性质
例16.(2023·北京·高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
例17. （2023·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
例18.(2023·四川·高考真题（文））下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
A．B．
C．D．
例19.【多选题】(2023·湖北·黄冈中学二模）设函数，则（ ）
A．在上有且仅有1个零点B．的最小正周期为
C．在上单调递减D．在上单调递减
例20．（2023·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【规律方法】
1.三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用
先根据和角公式、辅助角公式、倍角公式等，把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式.
2.求三角函数周期的常用方法
(1)公式法求周期
①函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B与f (x)＝Acs(ωx＋φ)＋B的周期为T＝eq \f (2π,|ω|)；
②函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝eq \f (π,|ω|).
(2)对称性求最值
①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于eq \f (T,2)；
②对称中心到对称轴距离的最小值等于eq \f (T,4)；
③两个最大(小)值点之差的最小值等于T.
3.三角函数是奇、偶函数的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(2)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
4．如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：
(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(3)若为奇函数则有.
5.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法
(1)求f (x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f (x)＝Acs(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f (x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝eq \f (kπ,2)(k∈Z)，求x.
专题5.4 三角恒等变换（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相结合，考查三角函数式的化简求值或求角问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．与三角函数的性质相结合考查三角恒等变换的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
【知识点展示】
（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．C(α－β)：cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cs(α＋β)＝csαcs_β－sin_αsinβ；
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ；
S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcs_β－csαsinβ；
T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；
T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β).
2．变形公式：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
.
sinαsinβ＋cs(α＋β)＝csαcsβ，
csαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcsβ，
3．辅助角公式：
函数f(α)＝acs α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．
（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
2.变形公式：
（1）降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，sin αcs α＝eq \f (1,2)sin 2α.
（2）升幂公式
1＋cs α＝2cs2eq \f (α,2)；
1－cs α＝2sin2eq \f (α,2)；
1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)＋cs \f (α,2)))eq \s\up12(2)；
1－sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)－cs \f (α,2)))eq \s\up12(2).
（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2,1－sin 2α＝(sin α－cs α)2
1±sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)±cs\f(α,2)))2,1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)，1－csα＝2sin2eq \f(α,2)
（4）sin 2α＝eq \f (2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f (2tan α,1＋tan2α)；
cs 2α＝eq \f (cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f (1－tan2α,1＋tan2α).
tan eq \f (α,2)＝eq \f (sin α,1＋cs α)＝eq \f (1－cs α,sin α).
（三）常见变换规律
(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(π,2)，eq \f(α,2)＝2×eq \f(α,4)等．
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
【常考题型剖析】
题型一：两角和与差的三角函数公式
例1.(2023·全国·高考真题（理））(2023新课标全国Ⅰ理科)=
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
【详解】
原式= ==，故选D.
例2．(2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】
由已知得：,
即：，
即：,
所以,
故选：C
例3.（2023·全国高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
例4.（2023·全国高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2B．–1C．1D．2
答案：D
【解析】
，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
【规律方法】
1.三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
2.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现eq \f(1,2)，1，eq \f(\r(3),2)，eq \r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
题型二：利用“角的变换”求值
例5. （2023·全国·高考真题（文））tan255°=（ ）
A．－2－B．－2+C．2－D．2+
答案：D
【解析】
分析：
本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
详解：=
例6.(2023·重庆·高考真题（文））若,则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
，故选A.
例7.(2023·浙江·高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求csβ的值．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【解析】
分析：
分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】
详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
【总结提升】
1.三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f (α＋β,2)－eq \f (α－β,2)，α＝eq \f (α＋β,2)＋eq \f (α－β,2)，eq \f (α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (α,2)＋β))等
题型三：二倍（半）角公式
例8.（2023·全国·高考真题（文））（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】
由题意，
.
故选：D.
例9.（2023·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
例10．（2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】
将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【总结提升】
1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．
提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，可利用诱导公式化简．
题型四：三角恒等变换应用---求值
例11．(2023·四川·高考真题（理））_______.
答案：.
【解析】
【详解】
法一、.
法二、.
法三、.
例12．(2023·全国·高考真题（理））已知，，则__________．
答案：
【解析】
【详解】
因为，
所以，①
因为，
所以，②
①②得，
即，
解得，
故本题正确答案为
例13.(2023·上海·高考真题）已知，则的值为_________.
答案：
【解析】
分析：
利用两角和的正切公式可求出的值.
【详解】
由两角和的正切公式得.
故答案为.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知角为锐角，，且满足，
(1)证明：；
(2)求.
答案：(1)证明见解析
(2)
【解析】
分析：
（1）根据二倍角的正切公式计算可得即可证明；
（2）根据同角三角函数的关系可得，，再根据两角和差的正弦公式，结合求解即可
(1)
证明：因为，
所以，
因为为锐角且函数在上单调递增，所以
(2)
由，结合角为锐角，解得，，
因为，且
所以.
又，
所以
【规律方法】
三角函数式求值的三种题型
(1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．
(2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．
(3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正、余弦函数值，若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,2)，\f (π,2)))，选正弦函数．
题型五：三角恒等变换应用---化简
例15.【多选题】（2023·营口市第二高级中学高一期末）化简下式，与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BC
【解析】
对于A：，由解得，即，解得，故A错误；
对于B：因为所以， 故B正确；
对于C：
对于D：
故选：BC
【规律方法】
1.三角函数式的化简遵循的三个原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．
(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．
(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．
2.三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．
题型六：三角恒等变换应用---研究三角函数的图像和性质
例16.(2023·北京·高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
答案：C
【解析】
分析：
化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
例17. （2023·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
答案：D
【解析】
分析：
由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】
由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
例18.(2023·四川·高考真题（文））下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．
【详解】
解：y＝cs（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确
y＝sin（2x）＝cs2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；
y＝sin2x+cs2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；
y＝sinx+csxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；
故选A．
例19.【多选题】(2023·湖北·黄冈中学二模）设函数，则（ ）
A．在上有且仅有1个零点B．的最小正周期为
C．在上单调递减D．在上单调递减
答案：ACD
【解析】
分析：
由正弦二倍角公式可得，令，可知或，，由此即可判断A是否正确；根据正弦函数和正切函数的最小正周期即可判断B是否正确；对函数求导，可得，易知，由此即可判断C、D是否正确.
【详解】
由正弦二倍角公式可得，，
∵，
∴或，
∴或，，
∵，∴当且仅当时，即时，满足，
∴在上有且只有一个零点，满足题意，则A正确；
由于，且的最小正周期为，的最小正周期为，
∴的最小正周期为，故B错误，
，则，
∵，∴，∴在每个连续区间上都单调递减，则C、D正确，
故选：ACD.
例20．（2023·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】
（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
【规律方法】
1.三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用
先根据和角公式、辅助角公式、倍角公式等，把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式.
2.求三角函数周期的常用方法
(1)公式法求周期
①函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B与f (x)＝Acs(ωx＋φ)＋B的周期为T＝eq \f (2π,|ω|)；
②函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝eq \f (π,|ω|).
(2)对称性求最值
①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于eq \f (T,2)；
②对称中心到对称轴距离的最小值等于eq \f (T,4)；
③两个最大(小)值点之差的最小值等于T.
3.三角函数是奇、偶函数的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(2)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
4．如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：
(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(3)若为奇函数则有.
5.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法
(1)求f (x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f (x)＝Acs(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f (x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝eq \f (kπ,2)(k∈Z)，求x.