高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用(知识点讲解)(原卷版+解析)，共20页。


【核心素养】
1.应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，考查三角函数式的化简，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．与三角函数的性质相结合考查函数图象的变换及三角函数模型的应用，凸显逻辑推理、数学运算、数学模型的核心素养．
【知识点展示】
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
提醒：用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髓是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为.
3．由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象
【特别提醒】
(1)两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是 (ω＞0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
4.常用结论
（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
（2）由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
【常考题型剖析】
题型一：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及图象变换
例1.(2023·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
例2．(2023·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例3.（2023·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
例4.【多选题】(2023·湖南·高二阶段练习）要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．每一点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度
B．每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
D．向右平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
【规律方法】
由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.
注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到.
题型二：由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式
例5.【多选题】（2023·海南省高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
例6.（2023·全国高考真题（理））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
【总结提升】
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法为代入法，即把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
题型三：三角函数图象与性质的综合应用
例7.（2023·天津·高考真题）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．①③C．②③D．①②③
例8．（广东省深圳市2023-2024学年高一下学期期末）把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为B．在区间上的最大值为
C．图像的一个对称中心为D．图像的一条对称轴为直线
例9.(2023·全国·高考真题（文））函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则=___________.
例10.(2023·山东·高考真题（理））设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
【总结提升】
关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性、极值点、最值点、零点及有界函数)等．
题型四：三角函数模型的应用
例11．(2023·山东山东·高一期中）我国明朝科学家宋应星所著《天工开物》中记载了水车，水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具，体现了中华民族的创造力．如图是水车示意图，其半径为6m，中心O距水面3m，一水斗从水面处的点处出发，逆时针匀速旋转，80s转动一周，经t秒后，水斗旋转到点P处，此时水斗距离水面高度为h．
(1)以O为坐标原点，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数；
(2)此水斗经过多长时间后再次到达水面？在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是多少？
例12．(2023·上海奉贤·二模）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点A、及的中点 处．km，km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为ykm．
(1)设（弧度），将表示成的函数并求函数的定义域；
(2)假设铺设的污水管道总长度是km，请确定污水处理厂的位置．
【总结提升】
三角函数的应用体现两个方面
(1)已知函数模型求解数学问题．
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f ＝＝
ωx＋φ
φ
专题5.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，考查三角函数式的化简，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．与三角函数的性质相结合考查函数图象的变换及三角函数模型的应用，凸显逻辑推理、数学运算、数学模型的核心素养．
【知识点展示】
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
提醒：用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髓是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为.
3．由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象
【特别提醒】
(1)两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是 (ω＞0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
4.常用结论
（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
（2）由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
【常考题型剖析】
题型一：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及图象变换
例1.(2023·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
答案：D
【解析】
分析：
根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】
因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
例2．(2023·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】
由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
例3.（2023·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】
解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
例4.【多选题】(2023·湖南·高二阶段练习）要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．每一点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度
B．每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
D．向右平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
答案：BC
【解析】
分析：
利用三角函数图象变化规律，即可判断选项.
【详解】
解：对于A，将函数的图象每一点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得函数，
再将所得图象向右平移个单位长度得到函数，故A不正确；
对于B，将函数的图象每一点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得函数，
再将所得图象向右平移个单位长度得到函数，故B正确；
对于C，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，
再将所得图象每一点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得函数，，故C正确；
对于D，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，
再将所得图象每一点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得函数，，故D不正确；
故选：BC.
【规律方法】
由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.
注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到.
题型二：由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式
例5.【多选题】（2023·海南省高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】
由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
例6.（2023·全国高考真题（理））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【总结提升】
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法为代入法，即把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
题型三：三角函数图象与性质的综合应用
例7.（2023·天津·高考真题）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．①③C．②③D．①②③
答案：B
【解析】
分析：
对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】
因为，所以周期，故①正确；
，故②不正确；
将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，
故③正确.
故选：B.
例8．（广东省深圳市2023-2024学年高一下学期期末）把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为B．在区间上的最大值为
C．图像的一个对称中心为D．图像的一条对称轴为直线
答案：AD
【解析】
分析：
根据伸缩平移变换可得函数的解析式，进而判断各选项中图像性质.
【详解】
的图像向左平移个单位长度得函数，
再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数，
其最小正周期为，A选项正确；
由，得，则当，即时，取最大值为，B选项错误；
令，，得，，所以函数的对称中心为，，所以不成立，C选项错误；
令，，解得，，所以函数的对称轴为，，当时，，D选项正确；
故选：AD.
例9.(2023·全国·高考真题（文））函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则=___________.
答案：
【解析】
【详解】
因为y＝cs(2x＋φ)＝cs(－2x－φ)＝sin＝sin，图象向右平移个单位后为y＝sin，与y＝sin重合，所以φ－＝，解得φ＝.
例10.(2023·山东·高考真题（理））设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
答案：(Ⅰ) .
(Ⅱ) .
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到
由题设知及可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
从而.
根据得到，进一步求最小值.
试题解析：（Ⅰ）因为，
所以
由题设知，
所以，.
故，，又，
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以.
因为，
所以，
当，
即时，取得最小值.
【总结提升】
关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性、极值点、最值点、零点及有界函数)等．
题型四：三角函数模型的应用
例11．(2023·山东山东·高一期中）我国明朝科学家宋应星所著《天工开物》中记载了水车，水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具，体现了中华民族的创造力．如图是水车示意图，其半径为6m，中心O距水面3m，一水斗从水面处的点处出发，逆时针匀速旋转，80s转动一周，经t秒后，水斗旋转到点P处，此时水斗距离水面高度为h．
(1)以O为坐标原点，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数；
(2)此水斗经过多长时间后再次到达水面？在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是多少？
答案：(1)；
(2)秒；秒.
【解析】
分析：
（1）求出ts时刻对应的以x轴非负半轴为始边，OP为终边的角，再利用三角函数定义求解作答.
（2）由（1）的结论，求的解即可推理作答.
(1)
依题意，当时，以x轴非负半轴为始边，为终边的角是，
因80s转动一周，则水斗转动的角速度为，
因此，水斗转动ts到点P时的角为，以x轴非负半轴为始边，OP为终边的角是，
于是得点P的纵坐标为，则，
所以所求函数关系为：.
(2)
由（1）令，即，当再次到达水面时，，，
解得：，则有，即此水斗经过秒后再次到达水面，
在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是秒.
例12．(2023·上海奉贤·二模）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点A、及的中点 处．km，km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为ykm．
(1)设（弧度），将表示成的函数并求函数的定义域；
(2)假设铺设的污水管道总长度是km，请确定污水处理厂的位置．
答案：(1)
(2)位置是在线段的中垂线上且离的距离是 km
【解析】
分析：
（1）依据题给条件，先分别求得的表达式，进而得到管道总长度y的表达式，再去求其定义域即可解决；
（2）先解方程，求得，再去确定污水处理厂的位置.
(1)
矩形中，km，km，
，，
则，
则
(2)
令
则
又，即，则，则
此时
所以确定污水处理厂的位置是在线段的中垂线上且离的距离是 km
【总结提升】
三角函数的应用体现两个方面
(1)已知函数模型求解数学问题．
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f ＝＝
ωx＋φ
φ