高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.6《三角函数》真题+模拟试卷(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.6《三角函数》真题+模拟试卷(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．(2023·全国·高考真题（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
3．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·上海松江·二模）设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·山东·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）．
A．B．C．D．
7．(2023·全国·高考真题（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·山东·高考真题（理））函数的最小正周期是（ ）
A．B．πC．D．2π
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．(2023·全国·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．是奇函数B．的最小正周期是π
C．的一个对称中心是D．的一个递增区间是
10．(2023·全国·模拟预测）函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．B．
C．函数在上单调递增D．函数图像的对称轴方程为
11．(2023·全国·高三专题练习）设函数，已知在上有且仅有4个零点.下述四个结论正确的是（ ）
A．在上有且仅有3个极大值点
B．在上有且仅有2个极小值点
C．在上单调递增
D．的取值范围是
12．(2023·湖南·高一阶段练习）已知函数，则（ ）
A．其图象可由的图象向右平移个单位得到
B．在仅有1个零点
C．在单调递增
D．在的最小值为
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023·江苏·高考真题）已知 =，则的值是____.
14．（2023·北京·高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
15．（2023·浙江·高考真题）已知，则________；______．
16．（2023·江苏·高考真题）已知，则的值是_____.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(2023·北京·高三学业考试）已知函数．
(1)写出的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值．
18．(2023·湖北·高考真题（理））某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；
（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
19．（江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期期末数学试题）设.
(1)若函数的最大值是最小值的3倍，求b的值；
(2)当时，函数正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，若，求ω的值.
20．(2023·浙江·高考真题）已知函数
（I）求的值
（II）求的最小正周期及单调递增区间.
21．(2023·河南河南·高一期末）2022年是苏颂诞辰1001周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，当点P从枢轮最高处随枢轮开始转动时，打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动．以枢轮中心为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系，令P点纵坐标为，水面纵坐标为，P点转动经过的时间为x分钟．（参考数据：，，）
(1)求，关于x的函数关系式；
(2)求P点进入水中所用时间的最小值（单位：分钟，结果取整数）．
22．(2023·浙江衢州·高一阶段练习）已知函数
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)把的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，已知关于x的方程在上有两个不同的解.
①求实数m的取值范围；
②证明：.
0
0
5
0
专题5.6 《三角函数》真题+模拟试卷
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．(2023·全国·高考真题（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
【详解】
分析：由公式可得结果.
详解：
故选B.
2．（2023·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
答案：D
【解析】
分析：
本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.
【详解】
结合图像易知，，，
则角是第四象限角，
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
先判断函数的奇偶性排除选项C,D，再根据f(2)＜0，排除选项A，即得解.
【详解】
解：由题意可知，＝sinx，
则f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数，图象关于y轴对称，排除选项C,D.
又f(2)＜0，则排除选项A.
故选：B．
4．(2023·上海松江·二模）设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据对称轴和的范围可得的值，从而可得周期，然后由题意可知的最小值为可得.
【详解】
由题知，则，
因为，所以
所以
易知的最小值为.
故选：B
5．(2023·山东·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
根据余弦二倍角公式计算即可得到答案.
【详解】
.
故选：D
6．(2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）．
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
.
所以选A.
7．(2023·全国·高考真题（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
【详解】
试题分析： ，
且，故选D.
8．(2023·山东·高考真题（理））函数的最小正周期是（ ）
A．B．πC．D．2π
答案：B
【解析】
分析：
因为，根据辅助角公式可化简为，根据正弦二倍角公式和正弦周期公式，即可求得答案.
【详解】
,
故最小正周期,
故选：B.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．(2023·全国·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．是奇函数B．的最小正周期是π
C．的一个对称中心是D．的一个递增区间是
答案：BD
【解析】
分析：
根据题目可以判断，所以，所以的对称中心为，递增区间为.
【详解】
B．的最小正周期是，B正确；
A．由于的图象关于直线对称，且最小正周期是，因此的图象也关于直线对称，故是偶函数，A错误；
C．因为是偶函数，且最小正周期是π，则或，根据可得解析式为前者．的对称中心为，，C错误；
D．由于，在单调递增，D正确．
故选：BD.
10．(2023·全国·模拟预测）函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．B．
C．函数在上单调递增D．函数图像的对称轴方程为
答案：AD
【解析】
分析：
利用图像判断周期，求出，即可判断选项A；利用特殊点求出，即可判断选项B；得到函数的解析式，分别求出单调区间和对称轴方程，判断选项C、D.
【详解】
由图像知函数的周期，解得：，所以A对；
由五点对应法得，因为，所以，所以B错误，所以．
当时，函数单调递减.取，得的一个单调递减区间为，所以C错，
函数图像的对称轴方程为，即，所以D对．
故选：AD
11．(2023·全国·高三专题练习）设函数，已知在上有且仅有4个零点.下述四个结论正确的是（ ）
A．在上有且仅有3个极大值点
B．在上有且仅有2个极小值点
C．在上单调递增
D．的取值范围是
答案：BD
【解析】
分析：
根据题意得，进而得的取值范围，再结合正弦函数在上的图像分析判断AB；最后结合时，判断C.
【详解】
解：因为，所以，
因为函数，且在上有且仅有4个零点.
所以，，即，故D正确；
对于A和B，由函数在上的图像（如图），可得在上有且仅有2个极小值点，有3个或2个极大值点，故A错误，B正确；
对于C，当时，，所以在上不单调递增，故C错误.
故选：BD.
12．(2023·湖南·高一阶段练习）已知函数，则（ ）
A．其图象可由的图象向右平移个单位得到
B．在仅有1个零点
C．在单调递增
D．在的最小值为
答案：AD
【解析】
分析：
利用三角恒等变换化简函数的解析式，根据正弦型函数的性质，逐项判断即可.
【详解】
解：.
对于A：的图象向右平移个单位得到，故A正确；
对于B：当时，，由，可得，或，即或，则在有且仅有2个零点.故B错误；
对于C：由，，可得，则在上不单调递增.故C错误；
对于D：由，可得，则，，则在的最小值为.故D正确.
故选：AD.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023·江苏·高考真题）已知 =，则的值是____.
答案：
【解析】
分析：
直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【详解】
故答案为：
14．（2023·北京·高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
答案：（均可）
【解析】
分析：
根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.
【详解】
因为，
所以，解得，故可取.
故答案为：（均可）.
15．（2023·浙江·高考真题）已知，则________；______．
答案：
【解析】
分析：
利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根据两角差正切公式得
【详解】
，
，
故答案为：
16．（2023·江苏·高考真题）已知，则的值是_____.
答案：.
【解析】
分析：
由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
【详解】
由，
得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(2023·北京·高三学业考试）已知函数．
(1)写出的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）根据解析式写出最小正周期；
（2）根据正弦函数的单调性判断函数在区间上的单调性，从而求出最值.
(1)
的最小正周期为：.
(2)
因为，所以．
当，即时，取得最大值．
18．(2023·湖北·高考真题（理））某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；
（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
【详解】
（Ⅰ）根据表中已知数据，解得．数据补全如下表：
且函数表达式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得．
因为的对称中心为，．
令，解得，．
由于函数的图象关于点成中心对称，令，
解得，．由可知，当时，取得最小值．
19．（江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期期末数学试题）设.
(1)若函数的最大值是最小值的3倍，求b的值；
(2)当时，函数正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，若，求ω的值.
答案：(1)；
(2).
【解析】
分析：
（1）由正弦型函数的性质有，即可求b值.
（2）由正弦型函数的性质可得或且，结合、正零点求出x1，x2，x3，即可求ω的值.
(1)
由题设，可得.
(2)
令，则，
所以或且，
则或且，
由且正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，
所以、、，则，
所以.
20．(2023·浙江·高考真题）已知函数
（I）求的值
（II）求的最小正周期及单调递增区间.
答案：（I）2；（II）的最小正周期是，.
【解析】
分析：
（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．
（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．
【详解】
（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cs2xsin x cs x，
＝﹣cs2xsin2x，
＝﹣2，
则f（）＝﹣2sin（）＝2，
（Ⅱ）因为．
所以的最小正周期是．
由正弦函数的性质得
，
解得，
所以，的单调递增区间是．
21．(2023·河南河南·高一期末）2022年是苏颂诞辰1001周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，当点P从枢轮最高处随枢轮开始转动时，打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动．以枢轮中心为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系，令P点纵坐标为，水面纵坐标为，P点转动经过的时间为x分钟．（参考数据：，，）
(1)求，关于x的函数关系式；
(2)求P点进入水中所用时间的最小值（单位：分钟，结果取整数）．
答案：(1)，
(2)13分钟
【解析】
分析：
（1）按照题目所给定的坐标系分别写出 和 的方程即可；
（2）根据零点存在定理判断即可.
(1)
可设，
∵转动的周期为30分钟，∴，
∵枢轮的直径为3.4米，∴，
∵点P的初始位置为最高点，∴，
∴，
∵退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，∴水面的初始纵坐标为，
∵水位以每分钟0.017米的速度下降，
∴；
(2)
P点进入水中，则，即．
∴．
作出和的大致图像，显然在内存在一个交点．
令，
∵，
，
∴P点进入水中所用时间的最小值为13分钟；
综上，，，P点进入水中所用时间的最小值为13分钟.
22．(2023·浙江衢州·高一阶段练习）已知函数
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)把的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，已知关于x的方程在上有两个不同的解.
①求实数m的取值范围；
②证明：.
答案：(1)，函数的单调递增区间
(2)①；②证明见详解
【解析】
分析：
（1）由三角恒等变换可得，再由三角函数的性质即可得解；
（2）①由函数图象变换可得，再由三角函数的性质即可得解；
②由三角恒等变换即可得证.
(1)
∴函数的最小正周期
又∵，即
函数的单调递增区间；
(2)
①由题意可得且方程在上有两个不同的解，
∵，则，
∴
结合正弦函数图象可得
②结合正弦函数对称性可得且，
即，，
∴
0
0
5
0
0
0
5
0
0