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高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.2平面向量的基本定理及坐标表示(真题测试)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.2平面向量的基本定理及坐标表示(真题测试)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023·全国·高考真题（文））已知向量，则（ ）
A．B．2
C．5D．50
2．（2023·全国·高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（ ）
A．-3B．-2
C．2D．3
3.（2023·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
4．(2023·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知是边长为a的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·上海奉贤·二模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·全国·高考真题（理））已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A．B．C．D．
8.(2023·四川·高考真题（文））已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·广东广州·三模）已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·湖北·模拟预测）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A．最大值为B．最大值为1
C．最大值是2D．最大值是
11．(2023·湖北·荆州中学模拟预测）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．存在，使得
C．与共线的单位向量只有一个为
D．向量与夹角的余弦值范围是
12．(2023·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．存在，使得B．当时，与垂直
C．对任意，都有D．当时，
三、填空题
13．（2023·全国高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.
14.(2023·全国·高考真题（理））已知向量，，．若，则________．
15.（2023·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．
16.(2023·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
四、解答题
17．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、. 若，求的值
18．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). O为坐标原点，若动点S满足向量，求的最大值
19．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD中，，，.
(1)用，表示；
(2)若，，，如图建立直角坐标系，求和的坐标.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．
(1)若∥，求 的值；
(2)若⊥（＋2），求实数k的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
21．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 若Q是线段BC上的动点，求的最值
22．(2023·江苏·高考真题）已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（真题测试）
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题（文））已知向量，则（ ）
A．B．2
C．5D．50
答案：A
【解析】
分析：
本题先计算，再根据模的概念求出．
【详解】
由已知，，
所以，
故选A
2．（2023·全国·高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（ ）
A．-3B．-2
C．2D．3
答案：C
【解析】
分析：
根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.
【详解】
由，，得，则，．故选C．
3.（2023·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
答案：C
【解析】
分析：
由二次函数对称轴设出点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得．
【详解】
由题意函数图象的对称轴是，设，
因为，所以，解得或，所以或，
故选：C．
4．(2023·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
以为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，写出坐标，设，用数量积的坐标表示计算数量积后由正弦函数性质得范围．
【详解】
以为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，
圆方程为，在圆上，设，
，，
，
，所以．
故选：B．
5．(2023·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知是边长为a的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
建立平面直角坐标系，用坐标表示出、和，计算的最小值即可．
【详解】
解：以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则，，，
设，则，，，
所以，
所以
；
所以当，时，取得最小值是．
故选：B．
6．(2023·上海奉贤·二模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
以为原点建立平面坐标系，设，，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解．
【详解】
设的起点均为，以为原点建立平面坐标系，如图所示，
不妨设，，则，，
由可得，即，
∴的终点在以为圆心，以为半径的圆上，
同理的终点在以为圆心，以为半径的圆上．
显然当，为圆的两条切线时，最大，即与的夹角最大．
设圆心为，则，∴，则，
∴，
设与轴交于点，由对称性可知轴，且，
∴，
即当与的夹角最大时，
故选：C
7．(2023·全国·高考真题（理））已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】
建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，
故选：．
8.(2023·四川·高考真题（文））已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
【详解】
试题分析：如图可得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又
，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.
【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．
二、多选题
9．(2023·广东广州·三模）已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABC
【解析】
分析：
按照向量数量积的坐标运算、模的坐标运算、夹角公式及平行的坐标公式依次判断即可.
【详解】
，A正确；，B正确；
，则，C正确；
，D错误.
故选：ABC.
10．(2023·湖北·模拟预测）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A．最大值为B．最大值为1
C．最大值是2D．最大值是
答案：BCD
【解析】
分析：
以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，根据三角函数的性质可判断各选项.
【详解】
以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，，，，设，
则，，，
由，得且，
，故A错；
时，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD.
11．(2023·湖北·荆州中学模拟预测）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．存在，使得
C．与共线的单位向量只有一个为
D．向量与夹角的余弦值范围是
答案：AB
【解析】
分析：
根据向量垂直的坐标表示判断A、B，根据单位向量的定义判断C，根据向量夹角的坐标表示及正弦函数的性质判断D；
【详解】
解：对于A选项：若，则，
，．故A正确；
对于B：若，则，即，
所以，即，由A可知，，因为，所以，故B正确；
对于C选项：与共线的单位向量为，故为或，故C选项错误；
对于D选项：设向量与夹角为，则，
因为，所以，所以，故，故D错误；
故选：AB．
12．(2023·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．存在，使得B．当时，与垂直
C．对任意，都有D．当时，
答案：BD
【解析】
分析：
A选项，利用向量平行及三角函数恒等变换得到方程，，故A错误；B选项，利用垂直得到方程，求出正切值；C选项，计算出两向量的模长，得到，C错误；利用向量的数量积列出，平方后得到，求出正切值.
【详解】
对于选项A：若，则，即，
所以不存在这样的，故A错误；
对于选项B：若，则，即，得，故B正确；
对于选项C：，当时，，
此时，故C错误；
对于选项D：，两边同时平方得，化简得，等式两边同除以得，
即，所以，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．（2023·全国高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.
答案：
【解析】
因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
14.(2023·全国·高考真题（理））已知向量，，．若，则________．
答案：
【解析】
分析：
由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】
由题可得
,即
故答案为
15.（2023·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．
答案：
【解析】
分析：
根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】
因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
16.(2023·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
答案：
【解析】
分析：
根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．
【详解】
以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：．
四、解答题
17．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、. 若，求的值
答案：
【解析】
分析：
设出，利用向量的坐标公式求出四边对应的向量，据对边平行得到向量相等，利用向量相等的充要条件列出方程组求出的坐标，从而求出、、的坐标，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可．
【详解】
解：设，，，，则，，
又，
，解得，即，
所以，，，因为，所以，所以，解得，所以
18．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). O为坐标原点，若动点S满足向量，求的最大值
答案：
【解析】
分析：
先利用求出D点坐标，再结合求出S的轨迹是圆，最后利用O到圆心的距离加半径求出最大值即可.
【详解】
设，，由得，解得，
故，设，，则由得，即S的轨迹是以为圆心，
2为半径的圆，故的最大值为O到圆心的距离加半径，即.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD中，，，.
(1)用，表示；
(2)若，，，如图建立直角坐标系，求和的坐标.
答案：(1)
(2)，
【解析】
分析：
（1）根据向量的加法及数乘运算求解；
（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解即可.
(1)
，
，又，所以
所以
(2)
过点D作AB的垂线交AB于点，如图，
于是在中，由可知，
根据题意得各点坐标：，，，，，，
所以
所以，，,
20．（2023·全国·高三专题练习）已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．
(1)若∥，求 的值；
(2)若⊥（＋2），求实数k的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
答案：(1)3；
(2)k＝；
(3)k＜且k≠－6.
【解析】
分析：
（1）解方程1×k－2×＝0即得解；
（2）解方程1×＋2×＝0即得解；
（3）解不等式1×＋2×k＜0且k≠－6，即得解.
(1)
解：因为向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，
所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，
所以＝＝3．
(2)
解：因为＋2＝，且⊥，
所以1×＋2×＝0，解得k＝．
(3)
解：因为与的夹角是钝角，则＜0且与不共线．
即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．
21．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 若Q是线段BC上的动点，求的最值
答案：最小值 ，最大值57.
【解析】
分析：
根据平行四边形，求出D点的坐标，分别求出的解析式，
根据解析式求出最值，再综合考虑即可.
【详解】
依题意作上图，点D的位置有3个，分别为 ，
下面分别求出这3个位置的坐标：
设 ，则有 ，解得 ；
，解得 ；
，解得 ；
∵点Q在BC上，设 ，则有 ，
() ，
， ， ，
，
，当 时，取最小值= ，最大值=11；
，当 时，取最小值= ，最大值=-11；
，当 时，取最小值=11，最大值=57；
所以在以A，B，C为顶点的平行四边形中， 的最小值为，最大值为57；
综上，最小值为，最大值为57.
22．(2023·江苏·高考真题）已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
答案：（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.
【解析】
分析：
（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．
（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．
【详解】
解：（1）∵向量．
由，
可得：，
即，
∵x∈[0，π]
∴．
（2）由
∵x∈[0，π]，
∴
∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；
当，即时．
1．（2023·全国·高考真题（文））已知向量，则（ ）
A．B．2
C．5D．50
2．（2023·全国·高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（ ）
A．-3B．-2
C．2D．3
3.（2023·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
4．(2023·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知是边长为a的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·上海奉贤·二模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·全国·高考真题（理））已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A．B．C．D．
8.(2023·四川·高考真题（文））已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·广东广州·三模）已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·湖北·模拟预测）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A．最大值为B．最大值为1
C．最大值是2D．最大值是
11．(2023·湖北·荆州中学模拟预测）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．存在，使得
C．与共线的单位向量只有一个为
D．向量与夹角的余弦值范围是
12．(2023·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．存在，使得B．当时，与垂直
C．对任意，都有D．当时，
三、填空题
13．（2023·全国高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.
14.(2023·全国·高考真题（理））已知向量，，．若，则________．
15.（2023·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．
16.(2023·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
四、解答题
17．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、. 若，求的值
18．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). O为坐标原点，若动点S满足向量，求的最大值
19．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD中，，，.
(1)用，表示；
(2)若，，，如图建立直角坐标系，求和的坐标.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．
(1)若∥，求 的值；
(2)若⊥（＋2），求实数k的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
21．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 若Q是线段BC上的动点，求的最值
22．(2023·江苏·高考真题）已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（真题测试）
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题（文））已知向量，则（ ）
A．B．2
C．5D．50
答案：A
【解析】
分析：
本题先计算，再根据模的概念求出．
【详解】
由已知，，
所以，
故选A
2．（2023·全国·高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（ ）
A．-3B．-2
C．2D．3
答案：C
【解析】
分析：
根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.
【详解】
由，，得，则，．故选C．
3.（2023·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
答案：C
【解析】
分析：
由二次函数对称轴设出点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得．
【详解】
由题意函数图象的对称轴是，设，
因为，所以，解得或，所以或，
故选：C．
4．(2023·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
以为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，写出坐标，设，用数量积的坐标表示计算数量积后由正弦函数性质得范围．
【详解】
以为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，
圆方程为，在圆上，设，
，，
，
，所以．
故选：B．
5．(2023·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知是边长为a的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
建立平面直角坐标系，用坐标表示出、和，计算的最小值即可．
【详解】
解：以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则，，，
设，则，，，
所以，
所以
；
所以当，时，取得最小值是．
故选：B．
6．(2023·上海奉贤·二模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
以为原点建立平面坐标系，设，，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解．
【详解】
设的起点均为，以为原点建立平面坐标系，如图所示，
不妨设，，则，，
由可得，即，
∴的终点在以为圆心，以为半径的圆上，
同理的终点在以为圆心，以为半径的圆上．
显然当，为圆的两条切线时，最大，即与的夹角最大．
设圆心为，则，∴，则，
∴，
设与轴交于点，由对称性可知轴，且，
∴，
即当与的夹角最大时，
故选：C
7．(2023·全国·高考真题（理））已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】
建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，
故选：．
8.(2023·四川·高考真题（文））已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
【详解】
试题分析：如图可得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又
，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.
【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．
二、多选题
9．(2023·广东广州·三模）已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABC
【解析】
分析：
按照向量数量积的坐标运算、模的坐标运算、夹角公式及平行的坐标公式依次判断即可.
【详解】
，A正确；，B正确；
，则，C正确；
，D错误.
故选：ABC.
10．(2023·湖北·模拟预测）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A．最大值为B．最大值为1
C．最大值是2D．最大值是
答案：BCD
【解析】
分析：
以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，根据三角函数的性质可判断各选项.
【详解】
以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，，，，设，
则，，，
由，得且，
，故A错；
时，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD.
11．(2023·湖北·荆州中学模拟预测）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．存在，使得
C．与共线的单位向量只有一个为
D．向量与夹角的余弦值范围是
答案：AB
【解析】
分析：
根据向量垂直的坐标表示判断A、B，根据单位向量的定义判断C，根据向量夹角的坐标表示及正弦函数的性质判断D；
【详解】
解：对于A选项：若，则，
，．故A正确；
对于B：若，则，即，
所以，即，由A可知，，因为，所以，故B正确；
对于C选项：与共线的单位向量为，故为或，故C选项错误；
对于D选项：设向量与夹角为，则，
因为，所以，所以，故，故D错误；
故选：AB．
12．(2023·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．存在，使得B．当时，与垂直
C．对任意，都有D．当时，
答案：BD
【解析】
分析：
A选项，利用向量平行及三角函数恒等变换得到方程，，故A错误；B选项，利用垂直得到方程，求出正切值；C选项，计算出两向量的模长，得到，C错误；利用向量的数量积列出，平方后得到，求出正切值.
【详解】
对于选项A：若，则，即，
所以不存在这样的，故A错误；
对于选项B：若，则，即，得，故B正确；
对于选项C：，当时，，
此时，故C错误；
对于选项D：，两边同时平方得，化简得，等式两边同除以得，
即，所以，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．（2023·全国高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.
答案：
【解析】
因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
14.(2023·全国·高考真题（理））已知向量，，．若，则________．
答案：
【解析】
分析：
由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】
由题可得
,即
故答案为
15.（2023·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．
答案：
【解析】
分析：
根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】
因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
16.(2023·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
答案：
【解析】
分析：
根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．
【详解】
以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：．
四、解答题
17．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、. 若，求的值
答案：
【解析】
分析：
设出，利用向量的坐标公式求出四边对应的向量，据对边平行得到向量相等，利用向量相等的充要条件列出方程组求出的坐标，从而求出、、的坐标，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可．
【详解】
解：设，，，，则，，
又，
，解得，即，
所以，，，因为，所以，所以，解得，所以
18．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). O为坐标原点，若动点S满足向量，求的最大值
答案：
【解析】
分析：
先利用求出D点坐标，再结合求出S的轨迹是圆，最后利用O到圆心的距离加半径求出最大值即可.
【详解】
设，，由得，解得，
故，设，，则由得，即S的轨迹是以为圆心，
2为半径的圆，故的最大值为O到圆心的距离加半径，即.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD中，，，.
(1)用，表示；
(2)若，，，如图建立直角坐标系，求和的坐标.
答案：(1)
(2)，
【解析】
分析：
（1）根据向量的加法及数乘运算求解；
（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解即可.
(1)
，
，又，所以
所以
(2)
过点D作AB的垂线交AB于点，如图，
于是在中，由可知，
根据题意得各点坐标：，，，，，，
所以
所以，，,
20．（2023·全国·高三专题练习）已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．
(1)若∥，求 的值；
(2)若⊥（＋2），求实数k的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
答案：(1)3；
(2)k＝；
(3)k＜且k≠－6.
【解析】
分析：
（1）解方程1×k－2×＝0即得解；
（2）解方程1×＋2×＝0即得解；
（3）解不等式1×＋2×k＜0且k≠－6，即得解.
(1)
解：因为向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，
所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，
所以＝＝3．
(2)
解：因为＋2＝，且⊥，
所以1×＋2×＝0，解得k＝．
(3)
解：因为与的夹角是钝角，则＜0且与不共线．
即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．
21．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 若Q是线段BC上的动点，求的最值
答案：最小值 ，最大值57.
【解析】
分析：
根据平行四边形，求出D点的坐标，分别求出的解析式，
根据解析式求出最值，再综合考虑即可.
【详解】
依题意作上图，点D的位置有3个，分别为 ，
下面分别求出这3个位置的坐标：
设 ，则有 ，解得 ；
，解得 ；
，解得 ；
∵点Q在BC上，设 ，则有 ，
() ，
， ， ，
，
，当 时，取最小值= ，最大值=11；
，当 时，取最小值= ，最大值=-11；
，当 时，取最小值=11，最大值=57；
所以在以A，B，C为顶点的平行四边形中， 的最小值为，最大值为57；
综上，最小值为，最大值为57.
22．(2023·江苏·高考真题）已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
答案：（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.
【解析】
分析：
（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．
（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．
【详解】
解：（1）∵向量．
由，
可得：，
即，
∵x∈[0，π]
∴．
（2）由
∵x∈[0，π]，
∴
∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；
当，即时．
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