高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.3等比数列及其前n项和(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.3等比数列及其前n项和(知识点讲解)(原卷版+解析)，共22页。

【核心素养】
1.与等差数列的定义、性质相类比，考查等比数列的定义、性质，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合具体问题的计算，考查等比数列的通项公式与前n项和公式，凸显数学运算的核心素养．
3．与实际应用问题、数学文化相结合，考查等比数列的应用，凸显数学建模的核心素养．
【知识点展示】
（一）等比数列有关概念
1. 等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）
2．等比数列通项公式为：.
说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则.
3．等比中项
如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）
（二）等比数列的前n项和
一般地，设等比数列的前n项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.
说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.
（三）等比数列的性质：
（1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；
（2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等比数列中，对任意，，；
（4）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等比中项. 也就是：，如图所示：.
（5）若数列是等比数列，且公比不为－1，是其前项的和，，那么，，成等比数列.
如下图所示：
.
（6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列．
（7）若数列是等比数列,则，仍为等比数列．
（8）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为.
（9）等比数列的单调性
当或时，为递增数列，当或时，为递减数列．
（四）等差数列与等比数列的区分与联系
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．
(2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列．
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．
【常考题型剖析】
题型一：等比数列基本量的运算
例1.(2023·全国·高考真题（文））已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
例2．（2023·全国·高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
【总结提升】
1.等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．
2.运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
3.特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为.
这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便.
题型二：等比数列的判定与证明
例3.（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求证：数列是等比数列.
例4.（2023·全国·高考真题（理））已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
例5．(2023·全国·高考真题（文））已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
【总结提升】
等比数列的判定方法
(1)定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；
(2)等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列；
(3)通项公式法 (均是不为0的常数，)⇔是等比数列．
题型三：等比数列的前n项和及其应用
例6．(2023·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏B．3盏
C．5盏D．9盏
例7.（2023·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
例8.(2023·天津·高考真题（文））设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（Ⅰ）求Sn和Tn；
（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
【总结提升】
1.若已知首项和末项，则；若等比数列{an}的首项是，公比是，则其前项和公式为.
2. 注意应用分类讨论思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{}的前n项和；当q≠1时，{}的前n项和.
3.等比数列前n项和Sn相关的结论
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1＋q)(q≠1且q≠－1)．
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝eq \f(Sn＋m－Sn,Sm)(q为公比)．
4.等比数列最值有关问题的解题思路
求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．
题型四：等比数列性质及应用
例9.(2023·陕西西安·三模（文））已知为等比数列，，，则（ ）
A．1B．-1C．1或-8D．-8
例10.(2023·北京·高考真题）己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
例11．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________.
【温馨提醒】
应用等比数列性质解题时的两个关注点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如在等比数列中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比数列，公比为qk(q≠－1)．
题型五：等差数列、等比数列的综合问题
例12．(2023·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
例13．(2023·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
例14.（2023·全国·高考真题（文））设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{lg3an}的前n项和．若，求m．
【总结提升】
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
专题7.3 等比数列及其前n项和（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.与等差数列的定义、性质相类比，考查等比数列的定义、性质，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合具体问题的计算，考查等比数列的通项公式与前n项和公式，凸显数学运算的核心素养．
3．与实际应用问题、数学文化相结合，考查等比数列的应用，凸显数学建模的核心素养．
【知识点展示】
（一）等比数列有关概念
1. 等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）
2．等比数列通项公式为：.
说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则.
3．等比中项
如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）
（二）等比数列的前n项和
一般地，设等比数列的前n项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.
说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.
（三）等比数列的性质：
（1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；
（2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等比数列中，对任意，，；
（4）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等比中项. 也就是：，如图所示：.
（5）若数列是等比数列，且公比不为－1，是其前项的和，，那么，，成等比数列.
如下图所示：
.
（6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列．
（7）若数列是等比数列,则，仍为等比数列．
（8）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为.
（9）等比数列的单调性
当或时，为递增数列，当或时，为递减数列．
（四）等差数列与等比数列的区分与联系
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．
(2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列．
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．
【常考题型剖析】
题型一：等比数列基本量的运算
例1.(2023·全国·高考真题（文））已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
答案：D
【解析】
分析：
设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】
解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
例2．（2023·全国·高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
答案：B
【解析】
分析：
根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.
【详解】
设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，
因此.
故选：B.
【总结提升】
1.等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．
2.运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
3.特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为.
这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便.
题型二：等比数列的判定与证明
例3.（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求证：数列是等比数列.
答案：证明见解析
【解析】
分析：
设，证明出为非零常数，即可证得结论成立.
【详解】
设，则 ，
且，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.
例4.（2023·全国·高考真题（理））已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
答案：（1）见解析；（2），．
【解析】
分析：
(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为的等差数列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
例5．(2023·全国·高考真题（文））已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
答案：（1），，；（2）是首项为，公比为的等比数列．理由见解析；（3）.
【解析】
分析：
（1）根据题中条件所给的数列的递推公式，将其化为，分别令和，代入上式求得和，再利用，从而求得，，；
（2）利用条件可以得到，从而 可以得出，这样就可以得到数列是首项为，公比为的等比数列；
（3）借助等比数列的通项公式求得，从而求得.
【详解】
（1）由条件可得．
将代入得，，而，所以，．
将代入得，，所以，．
从而，，；
（2）是首项为，公比为的等比数列．
由条件可得，即，又，
所以是首项为，公比为的等比数列；
（3）由（2）可得，所以．
【总结提升】
等比数列的判定方法
(1)定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；
(2)等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列；
(3)通项公式法 (均是不为0的常数，)⇔是等比数列．
题型三：等比数列的前n项和及其应用
例6．(2023·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏B．3盏
C．5盏D．9盏
答案：B
【解析】
【详解】
设塔顶的a1盏灯，
由题意{an}是公比为2的等比数列，
∴S7==381，
解得a1=3．
故选B．
例7.（2023·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
答案：（1）；（2）
【解析】
分析：
(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
【详解】
(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：
.
例8.(2023·天津·高考真题（文））设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（Ⅰ）求Sn和Tn；
（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
答案：(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.
【解析】
分析：
（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合题意可得等差数列的首项和公差为，则其前n项和.
（II）由（I），知 据此可得 解得（舍），或.则n的值为4.
【详解】
（I）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得．
因为，可得，故．所以，．
设等差数列的公差为．由，可得．
由，可得从而，故，所以，．
（II）由（I），有
由,
可得，
整理得解得（舍），或．所以n的值为4．
【总结提升】
1.若已知首项和末项，则；若等比数列{an}的首项是，公比是，则其前项和公式为.
2. 注意应用分类讨论思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{}的前n项和；当q≠1时，{}的前n项和.
3.等比数列前n项和Sn相关的结论
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1＋q)(q≠1且q≠－1)．
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝eq \f(Sn＋m－Sn,Sm)(q为公比)．
4.等比数列最值有关问题的解题思路
求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．
题型四：等比数列性质及应用
例9.(2023·陕西西安·三模（文））已知为等比数列，，，则（ ）
A．1B．-1C．1或-8D．-8
答案：C
【解析】
分析：
利用等比数列性质，结合已知解方程组即可计算作答.
【详解】
在等比数列中，，因此，解得或，
显然，，则当，时，，当，时，，
所以的值是1或-8.
故选：C
例10.(2023·北京·高考真题）己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
答案：①③④
【解析】
分析：
推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.
【详解】
由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
例11．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________.
答案：
【解析】
分析：
运用等比数列的相关性质，以及前n项和公式来进行相关运算即可.
【详解】
∵，∴，∴，∵，
∴，，
将代入，可得.
故答案为：
【温馨提醒】
应用等比数列性质解题时的两个关注点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如在等比数列中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比数列，公比为qk(q≠－1)．
题型五：等差数列、等比数列的综合问题
例12．(2023·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
答案：(1)证明见解析；
(2)．
【解析】
分析：
（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
(1)
设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
(2)
由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
例13．(2023·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
答案：(1)证明见解析；
(2)．
【解析】
分析：
（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
(1)
解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
(2)
解：由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
例14.（2023·全国·高考真题（文））设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{lg3an}的前n项和．若，求m．
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；
（2）由（1）求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果.
【详解】
（1）设等比数列的公比为，
根据题意，有，解得，
所以；
（2）令，
所以，
根据，可得，
整理得，因为，所以.
【总结提升】
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．