高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.6数学归纳法(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.6数学归纳法(真题测试)(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（理））用数学归纳法证明时，在第一步归纳奠基时，要验证的等式是（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·河南南阳·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．(2023·上海·格致中学高二期末）已知为正偶数，用数学归纳法证明：时，若已假设（且为偶数）时等式成立，则还需要再证（ ）
A．时等式成立B．时等式成立
C．时等式成立D．时等式成立
4．(2023·广西北海·高二期末（理））用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（ ）
A．1B．C．D．
5．(2023·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）用数学归纳法证明时，第一步需要验证的不等式是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·上海市复旦实验中学高二期末）在用数学归纳法求证：，（n为正整数）的过程中，从“k到”左边需增乘的代数式为（ ）
A．B．
C．D．
7．（江西省抚州市七校联考2023-2024学年高二下学期期中考试数学（理）试题）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（ ）
A．1项B．k项C．项D．项
8．(2023·上海·华师大二附中高一期末）一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k（k≥2，）时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则（ ）
A．该命题对于的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对
二、多选题
9．（2023·全国·高二专题练习）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ）
A．
B．
C．凸n边形的内角和为
D．凸n边形的对角线条数
10．(2023·江苏·南京师大附中高二开学考试）正项数列满足，，数列满足，则（ ）
A．B．
C．的前项积为D．的前2n项积为
11．(2023·重庆八中模拟预测）数列满足，，．定义函数是数列的特征函数，则下列说法正确的是( )
A．当时，数列单调递增
B．当时，
C．当时，
D．当方程有唯一解时，对任意的，存在，使得
12．(2023·全国·高三专题练习（理））设数列满足，其中为实数，数列的前n项和是，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，一定是递减数列
B．当时，不存在使是周期数列
C．当时，
D．当时，
三、填空题
13．(2023·全国·高二课时练习）与正整数有关的数学命题，如果当（，）时该命题成立，则可推得当时该命题成立，那么为了推得时该命题不成立，需已知______时该命题不成立．
14．(2023·江西抚州·高二期末（理））用数学归纳法证明对任意都成立，则的最小值为_________.
15．(2023·四川省绵阳南山中学高二期中（文））设，，并且对于任意m，，成立．猜想的表达式____________
16．(2023·福建·莆田二中模拟预测）已知数列满足：，，且，，其中.则___________，若，则使得成立的最小正整数为___________.
四、解答题
17．(2023·江西吉安·高二期末（文））已知数列1，，，，…，（）的前项和为．
(1)求，，；
(2)猜想前项和，并证明．
18．(2023·北京·北师大实验中学高二阶段练习）在数列，中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列.
(1)求，，及，，，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：.
19．(2023·广西·桂林市国龙外国语学校高二阶段练习（理））请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：
①
②
已知数列的前项和为，且，_______.
(1)求；
(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
20．（辽宁·高考真题）在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：．
21．(2023·四川·树德中学高二阶段练习（理））数列，分别解答下列问题
(1)若：，．求，，的值，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
(2)已知，若，，证明：，恒成立
22．(2023·湖北·高考真题（理））已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与的大小；
（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：．
专题7.6 数学归纳法（真题测试）
一、单选题
1．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（理））用数学归纳法证明时，在第一步归纳奠基时，要验证的等式是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据数学归纳法的步骤要求，第一步归纳奠基时，验证时的等式，结合所要证明的等式，即可得答案.
【详解】
将代入等式，观察左边最后一项为 ，
则第一步归纳奠基时，要验证的等式即为 ，
故选：D
2.(2023·河南南阳·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：D
【解析】
分析：
根据给定条件，利用数学归纳法的定义逐项分析、计算判断作答.
【详解】
显然当时，，而当时，，A不是；
当时，，B不是；当时，，C不是；
当时，，符合要求，D是．
故选：D
3．(2023·上海·格致中学高二期末）已知为正偶数，用数学归纳法证明：时，若已假设（且为偶数）时等式成立，则还需要再证（ ）
A．时等式成立B．时等式成立
C．时等式成立D．时等式成立
答案：B
【解析】
分析：
根据为正偶数可判断出结果.
【详解】
为正偶数，（且为偶数）之后的下一个正偶数为，
还需要再证时等式成立.
故选：B.
4．(2023·广西北海·高二期末（理））用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（ ）
A．1B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
将代入不等式左边，比较两式即可求解.
【详解】
当时，等式为，
当时，，
增加的项数为,
故选:B.
5．(2023·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）用数学归纳法证明时，第一步需要验证的不等式是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据数学归纳法第一步验证时是否成立判断即可
【详解】
当时，即证明
故选：D
6．(2023·上海市复旦实验中学高二期末）在用数学归纳法求证：，（n为正整数）的过程中，从“k到”左边需增乘的代数式为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据题意，分别得到和时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果.
【详解】
当时，左边，
当时，左边，
则.
故选：D.
7．（江西省抚州市七校联考2023-2024学年高二下学期期中考试数学（理）试题）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（ ）
A．1项B．k项C．项D．项
答案：D
【解析】
分析：
分别分析当与时等号左边的项，再分析增加项即可
【详解】
由题意知当时，左边为，当时，左边为，增加的部分为，共项．
故选：D
8．(2023·上海·华师大二附中高一期末）一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k（k≥2，）时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则（ ）
A．该命题对于的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对
答案：B
【解析】
分析：
当n为偶数时，可以利用数学归纳法判断命题对所有正偶数成立.当n为奇数时，则不能作出任何判断.
【详解】
令P（k）为该与正整数n有关的命题在n=2k，时的情形.则
(1)P（1）成立，即归纳奠基成立；
(2)P（k）成立能得到P（k+1）成立，即归纳递推成立.
根据数学归纳法，该命题对所有正偶数成立.
而n为奇数时，则没有任何关于该命题的信息,
所以不能作出判断.
故选：B.
二、多选题
9．（2023·全国·高二专题练习）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ）
A．
B．
C．凸n边形的内角和为
D．凸n边形的对角线条数
答案：BC
【解析】
分析：
A将初始值代入判断是否满足要求；B、C应用数学归纳法判断是否满足要求；D在成立的条件下判断是否成立即可判断.
【详解】
A：，显然时有，故当n为给定的初始值时命题成立，故不满足要求；
B：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立，故满足要求；
C：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时内角和为命题不成立，故满足要求；
D：假设当时命题成立，即，当时有，故不满足要求.
故选：BC.
10．(2023·江苏·南京师大附中高二开学考试）正项数列满足，，数列满足，则（ ）
A．B．
C．的前项积为D．的前2n项积为
答案：ABC
【解析】
分析：
利用的递推公式列出数列的前几项，即可猜想，再利用数学归纳法证明，即可判断A、B，再根据指数的运算法则及等比数列前项和公式计算即可判断C、D；
【详解】
解：因为，，所以，，，可猜想，当时，成立，假设时，所以也成立，所以，故A正确；
因为，所以，，故，故B正确；
其中，所以，故C正确；
，故D错误；
故选：ABC
11．(2023·重庆八中模拟预测）数列满足，，．定义函数是数列的特征函数，则下列说法正确的是( )
A．当时，数列单调递增
B．当时，
C．当时，
D．当方程有唯一解时，对任意的，存在，使得
答案：BC
【解析】
分析：
A：根据题意，代入x=，根据数列单调性即可判断；B：将x=代入，得到的递推公式，构造等比数列即可求通项公式；C：将x=可得，使用数学归纳法即可证明；D：举特例，如验算即可判断．
【详解】
对于A：当时，，故数列单调递减，故A错误；
对于B：当时，，则，
故数列是以2为公比，为首项的等比数列，
∴，故B正确；
对于C：当时，则，
当n=2时，；
假设当时，，
则当时，，∵，∴
综上，，故C正确；
对于D：取，易知y=x为y=f(x)在x=0处切线，此时方程有唯一解，∴，则，根据指数函数和一次函数增长速度的快慢可知，随着n的增大，与差值越来越大，即越来越大，故D错误．
故选：BC.
12．(2023·全国·高三专题练习（理））设数列满足，其中为实数，数列的前n项和是，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，一定是递减数列
B．当时，不存在使是周期数列
C．当时，
D．当时，
答案：ACD
【解析】
分析：
当时，设单调递增，由可得依次递推可得可判断A；求出，，因为，若存在实数使得则可判断B，利用数学归纳法证明可判断C和D；
【详解】
对于A：当时，设单调递增，
因为，，所以，
，，依次类推可得，
所以当时，一定是递减数列，故选项A正确；
对于B：当时，，，
，
由可得，设，
因为，，由零点存在性定理可知存在常数使，则可得，，存在使是周期数列，故选项B不正确；
对于C：当，，，
假设当时，，
则当时，，
所以当时，成立，故选项C正确；
对于D：
①首先证明,时，,：
设,，对用数学归纳法证明,，
当时，,．
假设,，
则，且，
,．
由数学归纳法知,对所有成立．
∴当c＝时，,，
②再证明：≥1－：
，当c＝时，
由得，
∵,，∴，
∴≤，
∴≤≤≤…≤＝，
∴≥1－，
③最后证明：，
当时，结论成立，
当时，∵，
，
，
又∵，∴．故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．(2023·全国·高二课时练习）与正整数有关的数学命题，如果当（，）时该命题成立，则可推得当时该命题成立，那么为了推得时该命题不成立，需已知______时该命题不成立．
答案：6
【解析】
分析：
根据已知的命题，可以假设 时成立，可得到 时命题成立，故利用反证的思想可得答案.
【详解】
由题意可知， 时，该命题不成立，那么时该命题一定不成立，
否则时该命题成立，那么时，该命题也成立，
故答案为：6
14．(2023·江西抚州·高二期末（理））用数学归纳法证明对任意都成立，则的最小值为_________.
答案：3
【解析】
分析：
化简可得，再从正整数开始逐个代入判断即可
【详解】
由题得，即，当时，，不符合；当时，，不符合；当时，，不等式成立；当时，25，不等式成立，当时根据指数函数与一次函数的性质可得.所以满足题意的的最小值为3.
故答案为：3
15．(2023·四川省绵阳南山中学高二期中（文））设，，并且对于任意m，，成立．猜想的表达式____________
答案：
【解析】
分析：
根据递推公式，列出前几项，即可得出猜想，再利用数学归纳法即可得证.
【详解】
解：因为，，对于任意m，，成立，
所以，
所以，
，，
故可猜想，
当时，，等式成立，
设当时，等式也成立，
即，
当时，
，
所以当时，等式也成立，
综上所述，.
故答案为：.
16．(2023·福建·莆田二中模拟预测）已知数列满足：，，且，，其中.则___________，若，则使得成立的最小正整数为___________.
答案：
【解析】
分析：
求导后可得，依次代入和即可求得；猜想得，由数学归纳法可证明其成立，由此可得，裂项相消可得，解不等式可求得结果.
【详解】
，，
，又，，
；
可猜想：；
当时，成立；
假设当时，成立，
那么当时，，，，
；
综上所述：当时，；，
，
解得：，使得成立的最小正整数为.
故答案为：；.
四、解答题
17．(2023·江西吉安·高二期末（文））已知数列1，，，，…，（）的前项和为．
(1)求，，；
(2)猜想前项和，并证明．
答案：(1)，，
(2)；证明见解析．
【解析】
分析：
（1）根据数列，分别计算，，的值；（2）首先猜想，再利用数学归纳法证明.
(1)
，，；
(2)
猜想前项，
证明：当时，,成立，
当时，假设命题成立，即，
那么当时，，

，
即当时，命题成立，
综上可知当时，命题成立，即.
18．(2023·北京·北师大实验中学高二阶段练习）在数列，中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列.
(1)求，，及，，，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：.
答案：(1)，猜想：，证明见详解
(2)证明见详解
【解析】
分析：
（1）根据题意可得：，，分别令求解，猜想：，利用数学归纳法证明猜想；（2）利用进行放缩，结合裂项相消证明．
(1)
根据题意可得：，
令，则，，可得
令，则，，可得
令，则，，可得
猜想：
当，，成立
假定当，
当时，，即，则
，即，则成立
∴
(2)
即
19．(2023·广西·桂林市国龙外国语学校高二阶段练习（理））请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：
①
②
已知数列的前项和为，且，_______.
(1)求；
(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
答案：(1)
(2)猜想，证明见解析
【解析】
分析：
（1）选择条件①，分别令，3，4，能够求出，，．
选择条件②，分别令，2，3，能够求出，，．
（2）由（1）猜想数列的通项公式：，检验时等式成立，假设时命题成立，证明当时命题也成立．
(1)
解：选择条件①，
当 时，，即，
当 时，，所以，即，
当 时，，即，
故分别为3，5，7.
选择条件②，
当 时，，
当 时，.
当 时，
故分别为3，5，7.
(2)
解：猜想，理由如下：
选择条件①
时，由题知，，猜想成立，
假设时，，
则，所以
两式相减得：
即
所以，时成立，
综上所述，任意，有．
选择条件②
时，由题知，，猜想成立，
假设时，
则
所以，时成立，
综上所述，任意，有．
20．（辽宁·高考真题）在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：．
答案：（Ⅰ）,
（Ⅱ）略．
【解析】
分析：
（Ⅰ）根据递推关系可求a2，a3，a4及b2，b3，b4，从而可猜测，的通项，利用数学归纳法猜想成立.
（Ⅱ）利用放缩法和裂项相消法可证明不等式成立.
【详解】
（Ⅰ）由条件得
由此可得
．
猜测．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即
，
那么当n=k+1时，
．
所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知对一切正整数都成立．
（Ⅱ）．
n≥2时，由（Ⅰ）知．·
故
综上，原不等式成立．
21．(2023·四川·树德中学高二阶段练习（理））数列，分别解答下列问题
(1)若：，．求，，的值，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
(2)已知，若，，证明：，恒成立
答案：(1)，，，，证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）利用递推关系求数列的前几项，归纳猜测通项公式，再利用数学归纳法证明；
（2）利用导数证明函数的单调性，结合数学归纳法证明结论.
(1)
∵，，
∴，，．
猜想．
证明：①当时，，猜想显然成立；
②假设当时，猜想成立，即，
则当时，，
即当时，猜想也成立．
由①②可知，猜想成立，即．
(2)
当，，命题成立
当时，假设成立
当时，，
，当，单调递增，
因为，所以
所以，
所以命题“，恒成立”正确.
22．(2023·湖北·高考真题（理））已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与的大小；
（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：．
答案：（Ⅰ）的单调递增区间为，单调递减区间为．；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．
【解析】
【详解】
（Ⅰ）的定义域为，．
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减．
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，，即．
令，得，即． ①
（Ⅱ）；；
．
由此推测： ②
下面用数学归纳法证明②．
（1）当时，左边右边，②成立．
（2）假设当时，②成立，即．
当时，，
由归纳假设可得．
所以当时，②也成立．
根据（1）（2），可知②对一切正整数都成立．
（Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得
．
即．