高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.3空间点、直线、平面之间的位置关系(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.3空间点、直线、平面之间的位置关系(知识点讲解)(原卷版+解析)，共22页。


【核心素养】
1.通过考查空间线面关系，凸显逻辑推理、直观想象的核心素养．
2.通过考查空间角的计算，凸显数学运算、直观想象及逻辑推理的核心素养．
【知识点展示】
（一）平面的基本性质
(1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．
(2)基本事实2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．
(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
（二）空间两直线的位置关系
1.位置关系的分类
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交直线,平行直线)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))
2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
（三）异面直线所成的角
1.异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．
②范围：.
2.异面直线的判定方法：
判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；
反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
（四）空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内---有无数个公共点；相交---有且只有一个公共点；平行---没有公共点．后两种情况直线不在平面内，也称直线在平面外.
(2)平面与平面的位置关系有两种情况：平行---没有公共点；相交---有一条公共直线．
（五）常用结论
唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
【常考题型剖析】
题型一：平面的基本性质及应用
例1.（四川·高考真题（文））， ，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．， B．，
C．， ，共面D．， ，共点 ， ，共面
例2.(2023·山东·高考真题（文））已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例3．(2023·上海·模拟预测）如图正方体中，分别为棱的中点，连接.空间任意两点，若线段上不存在点在线段上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为（ ）
A．点PB．点BC．点RD．点Q
例4.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
【方法技巧】
1.证明点共线问题的常用方法
公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上
同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.
2.证明线共点问题的方法
证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．
3.证明点、直线共面问题的常用方法
纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内
辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
题型二：空间两直线的位置关系
例5.（广东·高考真题（文））若空间中四条直线、、、，满足、、，则下列结论一定正确的是（ ）．
A．B．
C．、既不平行也不垂直D．、位置关系不确
例6.（湖北·高考真题（文））表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
例7.（2023·全国·高考真题（理））设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①②③④
【总结提升】
判断空间两直线位置关系的思路方法
(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．
(2)异面直线的判定方法
①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
②定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
题型三：异面直线所成的角
例8.(2023·全国·高考真题（文））在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
例9.(2023·全国·高考真题（文））平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
例10. （皖豫名校2023-2024学年高一下学期阶段性测试（期末）数学试题）在正三棱台中，E，F分别是棱，的中点，且，则异面直线AE与BF所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
例11.（内蒙古赤峰市2023-2024学年高一下学期期末考试数学（理）试题）在长方体中，，，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
例12.(2023·四川内江·模拟预测（理））如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例13.（2023·天津西青·高一期末）已知为正方体，，分别是，的中点，异面直线与所成的角为_______
例14.(2023·福建漳州·高二期末）在如图所示的直四棱柱中，，点在侧面内（含边界）运动，若点到直线与直线的距离相等，则直线与直线所成角的正弦值的最大值为________．
【规律方法】
1. 平移法：求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
2．坐标法求异面直线所成的角
当题设中含有两两垂直的三边关系或比较容易建立空间直角坐标系时，常采用坐标法．
提醒：如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.通过考查空间线面关系，凸显逻辑推理、直观想象的核心素养．
2.通过考查空间角的计算，凸显数学运算、直观想象及逻辑推理的核心素养．
【知识点展示】
（一）平面的基本性质
(1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．
(2)基本事实2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．
(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
（二）空间两直线的位置关系
1.位置关系的分类
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交直线,平行直线)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))
2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
（三）异面直线所成的角
1.异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．
②范围：.
2.异面直线的判定方法：
判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；
反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
（四）空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内---有无数个公共点；相交---有且只有一个公共点；平行---没有公共点．后两种情况直线不在平面内，也称直线在平面外.
(2)平面与平面的位置关系有两种情况：平行---没有公共点；相交---有一条公共直线．
（五）常用结论
唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
【常考题型剖析】
题型一：平面的基本性质及应用
例1.（四川·高考真题（文））， ，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．， B．，
C．， ，共面D．， ，共点 ， ，共面
答案：B
【解析】
【详解】
解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条．
选项A，可能相交．选项C中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误．选B.
例2.(2023·山东·高考真题（文））已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】
【详解】
当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；
当“平面α和平面β相交”，则 “直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立.
故选A.
例3．(2023·上海·模拟预测）如图正方体中，分别为棱的中点，连接.空间任意两点，若线段上不存在点在线段上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为（ ）
A．点PB．点BC．点RD．点Q
答案：D
【解析】
分析：
利用排除法，如图，连接，则可得四点共面，∥，然后进行分析判断即可
【详解】
如图连接，
因为分别为的中点，
所以, ∥，
所以四边形为平行四边形，
所以∥,
因为∥，
所以∥，
所以四点共面，
所以与相交，所以点与点不可视，所以排除A，
因为∥，
所以共面，
所以由图可知与相交，与相交，
所以点，点都与点不可视，所以排除BC，
故选：D
例4.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
答案：见解析
【解析】证明：(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF∥BD.
∵在△BCD中，eq \f(BG,GC)＝eq \f(DH,HC)＝eq \f(1,2)，
∴GH∥BD，∴EF∥GH.
∴E，F，G，H四点共面．
(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，
∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．
【方法技巧】
1.证明点共线问题的常用方法
公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上
同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.
2.证明线共点问题的方法
证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．
3.证明点、直线共面问题的常用方法
纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内
辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
题型二：空间两直线的位置关系
例5.（广东·高考真题（文））若空间中四条直线、、、，满足、、，则下列结论一定正确的是（ ）．
A．B．
C．、既不平行也不垂直D．、位置关系不确
答案：D
【解析】
【详解】
分析：
试题分析：如下图所示，在正方体中，取 为， 为，取 为， 为，
；取为 ，为 ，则；取为 ，为，则 与异面，因此、的位置关系不确定，故选D.
例6.（湖北·高考真题（文））表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
答案：A
【解析】
【详解】
若p：是异面直线，由异面直线的定义知，不相交，所以命题q：不相交成立，即p是q的充分条件；反过来，若q：不相交，则可能平行，也可能异面，所以不能推出是异面直线，即p不是q的必要条件，故应选．
例7.（2023·全国·高考真题（理））设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①②③④
答案：①③④
【解析】
分析：
利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】
对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，
所以，，即，命题为真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题.
综上可知，，为真命题，，为假命题，
为真命题，为假命题，
为真命题，为真命题.
故答案为：①③④.
【总结提升】
判断空间两直线位置关系的思路方法
(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．
(2)异面直线的判定方法
①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
②定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
题型三：异面直线所成的角
例8.(2023·全国·高考真题（文））在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.
【详解】
在正方体中，，所以异面直线与所成角为，
设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，
则.故选C.
例9.(2023·全国·高考真题（文））平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
试题分析：如图，设平面平面=，平面平面=，因为平面，所以，则所成的角等于所成的角.延长，过作，连接，则为，同理为，而，则所成的角即为所成的角，即为，故所成角的正弦值为，选A.
例10. （皖豫名校2023-2024学年高一下学期阶段性测试（期末）数学试题）在正三棱台中，E，F分别是棱，的中点，且，则异面直线AE与BF所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
答案：C
【解析】
分析：
连接，则可得四边形为平行四边形，则可得∥，所以为异面直线AE与BF所成的角，然后计算即可
【详解】
连接，
因为E，F分别是棱，的中点，
所以∥ , ，
因为正三棱台中，，
所以∥，，
所以∥，，
所以四边形为平行四边形，所以∥，
所以为异面直线AE与BF所成的角，
设，则，
在等腰梯形中，，
因为，所以，
因为,
所以为等边三角形，所以，同理,
所以为等边三角形，
所以，
所以异面直线AE与BF所成的角为，
故选：C
例11.（内蒙古赤峰市2023-2024学年高一下学期期末考试数学（理）试题）在长方体中，，，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
作图，构造三角形，将 与 的夹角转变为三角形内角，运用余弦定理求解.
【详解】
依题意作上图，延长 至 ，
使得 ，连接 ，
，∴四边形 是平行四边形，
，异面直线 与 的夹角就是 与 的夹角 ，
，
，
，
由余弦定理得 ，
，∴ ；
故选：B.
例12.(2023·四川内江·模拟预测（理））如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
连接交于，若是的中点，连接，易得，即直线与直线夹角为或补角，进而求其余弦值.
【详解】
连接交于，若是的中点，连接，
由为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：是的中点，
所以，故直线与直线夹角，即为与的夹角或补角，
若，则，，
面，面，则，
而，又，面，故面，
又面，所以.
所以，，
在△中.
故选：C
例13.（2023·天津西青·高一期末）已知为正方体，，分别是，的中点，异面直线与所成的角为_______
答案：##
【解析】
分析：
建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出异面直线所成的角.
【详解】
取点为原点，边，，所在的直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，0，，，2，，，1，，，1，，
，
，，
，
与所成的角为．
故答案为：．
例14.(2023·福建漳州·高二期末）在如图所示的直四棱柱中，，点在侧面内（含边界）运动，若点到直线与直线的距离相等，则直线与直线所成角的正弦值的最大值为________．
答案：##
【解析】
分析：
设于，于，于，根据题意可得，再以为坐标原点，在平面上建立平面直角坐标系，分析点的轨迹方程，结合直线与直线所成角为，根据双曲线的性质求解最大值即可
【详解】
由题意，设于，于，于，如图连接.由题意，，且.故，即
以为坐标原点，在平面上建立如图平面直角坐标系，由可得的轨迹方程为，即双曲线在正方形中的部分，由双曲线的一条渐近线为，即对角线，故当在上时，取得最大值，此时最大，，，.又，故与直线所成角为，即直线与直线所成角的正弦值的最大值为
故答案为：
【规律方法】
1. 平移法：求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
2．坐标法求异面直线所成的角
当题设中含有两两垂直的三边关系或比较容易建立空间直角坐标系时，常采用坐标法．
提醒：如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．