高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.2直线与圆的位置关系(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.2直线与圆的位置关系(知识点讲解)(原卷版+解析)，共23页。

【核心素养】
1．考查圆的方程，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养．
2．考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
3.与圆锥曲线相结合考查，凸显数学运算、直观想象、数学应用的核心素养．
【知识点展示】
一．圆的方程
1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．
2．圆的标准方程
(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．
(2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．
3．圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．
(2) 对方程：.
①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；
②若，则方程只表示一个点，；
③若，则方程不表示任何图形．
4.点与⊙C的位置关系
(1)|AC|r⇔点A在圆外⇔.
二．圆的方程综合应用
1. 圆的标准方程为：
2．圆的一般方程．：（）.
3.点到直线的距离：.
三．直线与圆相切
1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；
2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；
3.代数法：，方程组有一组不同的解.
四．直线与圆相交及弦长
1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；
2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即；
3.代数法：，方程组有两组不同的解.
五．圆与圆的位置关系
设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、().
(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.
(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.
(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.
(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.
(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.
六.常用结论
1．圆的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
3．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．
4．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半eq \f (1,2)l满足关系式r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)l))eq \s\up12(2).
5．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
【常考题型剖析】
题型一：求圆的方程
例1.（2023·山东高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
例2.（重庆·高考真题（文））圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
例3.(2023·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【规律方法】
求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
题型二：圆的方程综合应用
例4.（2023·全国·高三专题练习）当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A．B．C．D．
例5.(2023·天津·高考真题（文））已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.
【总结提升】
涉及圆的方程问题，常用到圆的以下几何性质：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任一弦的垂直平分线上．
题型三：直线与圆相切
例6.（2023·全国·高考真题（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
例7.【多选题】（2023·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
例8.（2023·浙江·高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．
【规律方法】
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
提醒：上述方法中最常用的是几何法．
题型四：直线与圆相交及弦长
例9.（2023·全国·高三专题练习）过圆外一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.若△PAB为等边三角形，则过D(2，1)的直线l被P点轨迹所截得的最短弦长为________.
例10.(2023·天津·高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．
【规律方法】
1.弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
题型五：圆与圆的位置关系
例11.(2023·广西桂林·模拟预测（文））圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
例12.(2023·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【规律方法】
1.判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，先求出公共弦（两圆方程相减即得公共弦方程）所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题．
3.公共弦长要通过解直角三角形获得．
题型六：直线、圆的综合应用
例13.（2023·全国·高考真题（理））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
例14.(2023·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
例15.(2023·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______．
例16.（2023·全国·高三专题练习）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
(3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
【规律方法】
（一）最值问题
1.与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)形如μ＝eq \f (y－b,x－a)形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2.求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
（二）求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
注：从高考命题看，与圆相关轨迹问题，往往与圆锥曲线有关.
（三）几何法解决直线与圆的综合问题
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
专题9.2 直线与圆的位置关系（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1．考查圆的方程，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养．
2．考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
3.与圆锥曲线相结合考查，凸显数学运算、直观想象、数学应用的核心素养．
【知识点展示】
一．圆的方程
1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．
2．圆的标准方程
(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．
(2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．
3．圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．
(2) 对方程：.
①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；
②若，则方程只表示一个点，；
③若，则方程不表示任何图形．
4.点与⊙C的位置关系
(1)|AC|r⇔点A在圆外⇔.
二．圆的方程综合应用
1. 圆的标准方程为：
2．圆的一般方程．：（）.
3.点到直线的距离：.
三．直线与圆相切
1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；
2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；
3.代数法：，方程组有一组不同的解.
四．直线与圆相交及弦长
1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；
2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即；
3.代数法：，方程组有两组不同的解.
五．圆与圆的位置关系
设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、().
(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.
(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.
(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.
(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.
(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.
六.常用结论
1．圆的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
3．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．
4．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半eq \f (1,2)l满足关系式r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)l))eq \s\up12(2).
5．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
【常考题型剖析】
题型一：求圆的方程
例1.（2023·山东高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：
圆的圆心为，半径为，得到圆方程.
【详解】
根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.
故选：B.
例2.（重庆·高考真题（文））圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据圆心的位置及半径可写出圆的标准方程，然后将点代入圆的方程即可求解.
【详解】
因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，则圆的方程为，又点在圆上，所以，解得.
故选：A
例3.(2023·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
答案：或或或；
【解析】
分析：
设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】
解：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或.
【规律方法】
求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
题型二：圆的方程综合应用
例4.（2023·全国·高三专题练习）当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求解即可.
【详解】
解：因为圆的圆心为,半径，
又因为直线过定点A(-1,1),
故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时有，即，解得.
故选：C.
例5.(2023·天津·高考真题（文））已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.
答案：
【解析】
【详解】
试题分析：设，则，故圆C的方程为
【总结提升】
涉及圆的方程问题，常用到圆的以下几何性质：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任一弦的垂直平分线上．
题型三：直线与圆相切
例6.（2023·全国·高考真题（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】
由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
例7.【多选题】（2023·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
答案：ABD
【解析】
分析：
转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】
圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
例8.（2023·浙江·高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．
答案：
【解析】
分析：
由直线与两圆相切建立关于k，b的方程组，解方程组即可.
【详解】
设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，，
所以，所以（舍）或者，
解得.
故答案为：
【规律方法】
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
提醒：上述方法中最常用的是几何法．
题型四：直线与圆相交及弦长
例9.（2023·全国·高三专题练习）过圆外一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.若△PAB为等边三角形，则过D(2，1)的直线l被P点轨迹所截得的最短弦长为________.
答案：
【解析】
分析：
先根据∠APC＝30°，可得P点轨迹方程为圆，再数形结合可知当l与CD垂直时，l被圆所截得的弦长最短，结合垂径定理计算即可
【详解】
由题意知，连接PC，因为△PAB为等边三角形，所以∠APC＝30°，所以，所以P点轨迹的方程为.因为，所以点D(2，1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部.连接CD，结合图形可知，当l与CD垂直时，l被圆所截得的弦长最短，最短弦长为
故答案为：
例10.(2023·天津·高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．
答案：
【解析】
分析：
计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
【规律方法】
1.弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
题型五：圆与圆的位置关系
例11.(2023·广西桂林·模拟预测（文））圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
答案：A
【解析】
分析：
根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解.
【详解】
由与圆，
可得圆心，半径，
则，且，
所以，所以两圆相交.
故选：A.
例12.(2023·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
答案：或或
【解析】
分析：
先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
【规律方法】
1.判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，先求出公共弦（两圆方程相减即得公共弦方程）所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题．
3.公共弦长要通过解直角三角形获得．
题型六：直线、圆的综合应用
例13.（2023·全国·高考真题（理））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】
圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
例14.(2023·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
答案：
【解析】
分析：
首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】
解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
例15.(2023·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______．
答案：##
【解析】
分析：
根据圆的切线的性质，结合三角形面积与，化简可得，进而得到，根据最短时，最短求解即可
【详解】
圆，即，
由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则，
，，所以，
因为，所以，
又，所以，
所以，即，
所以最短时，最短，
点C到直线的距离即为的最小值，
所以，所以的最小值为
故答案为：
例16.（2023·全国·高三专题练习）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
(3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
答案：(1)
(2)
(3)
【解析】
分析：
(1) 设，，可得，代入圆化简即可；
(2) 联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程,再由弦长公式可求得结果；
(3) 作关于轴得对称点，连接与x轴交于Q点，根据时求解即可.
（1）设，，点A在圆，所以有：，P是A，B的中点，，即，得P得轨迹方程为：；
（2）联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程，设到直线MN得距离为d，则,所以，；
（3）作出关于轴得对称点，如图所示；
连接与x轴交于Q点，点Q即为所求，此时，所以的最小值为.
【规律方法】
（一）最值问题
1.与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)形如μ＝eq \f (y－b,x－a)形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2.求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
（二）求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
注：从高考命题看，与圆相关轨迹问题，往往与圆锥曲线有关.
（三）几何法解决直线与圆的综合问题
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．