高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题13.1复数及其四则运算(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题13.1复数及其四则运算(真题测试)(原卷版+解析)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．(2023·全国·高考真题）（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·北京·高考真题）若复数z满足，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
4．(2023·全国·高考真题（文））设，其中为实数，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·全国·高考真题（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（2023·全国·高考真题（理））设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·辽宁·高三开学考试）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数在复平面内对应的点在第四象限
B．复数的虚部为
C．复数的共轭复数
D．复数的模
10．(2023·江苏·姜堰中学高三阶段练习）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数在复平面内对应的点在第四象限B．复数的虚部为
C．复数的共轭复数D．复数的模
11．(2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式（为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）已知R，复数，，则（ ）
A．，
B．若，时，
C．若，，，则
D．若，则
三、填空题
13．（2023·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．
14．（2023·江苏·高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.
15．（2023·江苏·高考真题）已知是虚数单位，则复数的实部是_____.
16．（2023·全国·高考真题（理））设复数，满足，，则=__________.
四、解答题
17．(2023·全国·高三专题练习）已知复数，，其中R，问m为何值时．
18．(2023·全国·高三专题练习）已知是实数，是纯虚数，且满足，求和的值．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知复数，其中，i为虚数单位．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，求的虚部．
20．（2023·河北·沧县中学高三阶段练习）已知复数．
(1)求．
(2)类比数列知识，求．
21．(2023·全国·高三专题练习）已知复数，.
(1)求；
(2)复数，对应的向量分别是，，其中为坐标原点，当时，求的值.
22．(2023·上海交大附中高三期中）已知虚数，其中，，为虚数单位．
(1)若对任意，均有，求实数的取值范围．
(2)若，恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求，的值．
专题13.1 复数及其四则运算（真题测试）
一、单选题
1．(2023·全国·高考真题）（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：利用复数的乘法可求.
【详解】，
故选：D.
2．(2023·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：利用复数相等的条件可求.
【详解】，而为实数，故，
故选：B.
3．(2023·北京·高考真题）若复数z满足，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
答案：B
分析：利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．
【详解】由题意有，故．
故选：B．
4．(2023·全国·高考真题（文））设，其中为实数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】因为R，，所以，解得：．
故选：A.
5．(2023·全国·高考真题（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
6．（2023·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：A
分析：利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
7．（2023·全国·高考真题（理））设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】则．故选C．
8．(2023·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】
由,得,即
故选:
二、多选题
9．(2023·辽宁·高三开学考试）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数在复平面内对应的点在第四象限
B．复数的虚部为
C．复数的共轭复数
D．复数的模
答案：BD
分析：根据复数的除法运算化简求解，根据复数对应的点、复数的模、共轭复数、复数的虚部概念逐项分析即可求解.
【详解】，
故复数在复平面内对应的点在第三象限，故A错误；
所以复数的虚部为，故B正确；
故复数的共轭复数，故C错误；
所以复数的模，故D正确.
故选：BD
10．(2023·江苏·姜堰中学高三阶段练习）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数在复平面内对应的点在第四象限B．复数的虚部为
C．复数的共轭复数D．复数的模
答案：BCD
分析：化简得，再得到其在复平面内对应的点的象限，虚部，共轭复数，模即可得到答案.
【详解】，
，所以复数在复平面内对应的点在第三象限，故A错误；
虚部为，故B正确；
复数的共轭复数，故C正确；
复数的模，故D正确；
故选：BCD.
11．(2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式（为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABC
分析：根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项.
【详解】对于A，当时，因为，所以，故选项A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，由，，所以,得出，故选项C正确；
对于D，由C选项的分析得，推不出，故选项D错误.
故选：ABC.
12．（2023·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）已知R，复数，，则（ ）
A．，
B．若，时，
C．若，，，则
D．若，则
答案：BC
分析：利用复数的乘方，可得纯虚数的乘方，易知模长的表示，根据指数的运算，可得答案.
【详解】，同理，
对于A，，同理，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，由，则，
即，因，则，故C正确；
对于D，由，则，即，，故D错误.
故选：BC
三、填空题
13．（2023·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．
答案：
分析：利用复数的除法化简可得结果.
【详解】.
故答案为：.
14．（2023·江苏·高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.
答案：2.
分析：本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.
【详解】，
令得.
15．（2023·江苏·高考真题）已知是虚数单位，则复数的实部是_____.
答案：3
分析：根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.
【详解】∵复数
∴
∴复数的实部为3.
故答案为：3.
16．（2023·全国·高考真题（理））设复数，满足，，则=__________.
答案：
分析：方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.
方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.
【详解】方法一：设，，
，
，又，所以，，
.
故答案为：.
方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,
由已知,
∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，

∴.
【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解
四、解答题
17．(2023·全国·高三专题练习）已知复数，，其中R，问m为何值时．
答案：.
分析：由题可得，即得.
【详解】∵复数，，又因为，
则,
解得，
故当时，有．
18．(2023·全国·高三专题练习）已知是实数，是纯虚数，且满足，求和的值．
答案：，.
分析：设，代入关系式，然后即可建立方程求解.
【详解】由是纯虚数，可设，则，
整理，得．
由复数相等的充要条件，得，
解得，
所以，．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知复数，其中，i为虚数单位．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，求的虚部．
答案：(1)
(2)8
分析：（1）由题意得，求解即可；
（2）先由题意求得，再根据复数的除法法则化简复数，由此可求得答案.
(1)
解：若z为实数，则，解得．
(2)
解：由题意得解得，
∴，故，
∴的虚部为8．
20．（2023·河北·沧县中学高三阶段练习）已知复数．
(1)求．
(2)类比数列知识，求．
答案：(1)1
(2)
分析：（1）首先进行复数的除法求出，再求模长即可；
（2）利用等比数列前项和公式结合复数知识即可得解.
(1)
∵，
∴
(2)
∵，
又，
∴
21．(2023·全国·高三专题练习）已知复数，.
(1)求；
(2)复数，对应的向量分别是，，其中为坐标原点，当时，求的值.
答案：(1)29；
(2)-3.
分析：（1）求出，再利用复数乘法运算计算作答.
（2）根据给定条件，求出，的坐标，再利用向量数量积的坐标表示计算作答.
(1)
因复数，则，
所以.
(2)
依题意，，当时，，
所以.
22．(2023·上海交大附中高三期中）已知虚数，其中，，为虚数单位．
(1)若对任意，均有，求实数的取值范围．
(2)若，恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求，的值．
答案：(1)
(2)
分析：（1）根据复数得几何意义求出复数的模，再利用分类参数法，从而可得出答案；
（2）由，恰好是某实系数一元二次方程的两个解，可得，互为共轭复数，再根据共轭复数的定义列出方程组，解之即可得解.
(1)
解：，
，
故对任意恒成立，
故对任意恒成立，
所以；
(2)
解：，
因为，恰好是某实系数一元二次方程的两个解，
所以复数与互为共轭复数，
所以，
因为为虚数，
解方程组得，
所以.