高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题13.2复数的三角表示(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题13.2复数的三角表示(真题测试)(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．(2023·全国·高一课前预习）若，则（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
2．(2023·全国·高一课前预习）将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（ ）
A．＋iB．－＋i
C．－－iD．－i
3．(2023·全国·高一）复数的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高一课时练习）向量，，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是（ ）
A．负实数B．纯虚数
C．正实数D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)
5．(2023·江苏省天一中学高二期中）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．(2023·河北张家口·高一期末）欧拉公式是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·全国·高三专题练习（文））欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（ ）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
8．(2023·全国·高三专题练习（文））1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项不正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·江苏·高一课时练习）如果非零复数z有一个辐角为，那么下列对z判断错误的是（ ）
A．辐角唯一B．辐角主值唯一
C．辐角主值为D．辐角主值为
10.(2023·全国·高一）以下不是复数的三角形式是（ ）
A．B．
C．D．
11．(2023·河北·张北县第一中学高一阶段练习）已知复数，i为虚数单位，则以下命题正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．(2023·江苏·盐城市伍佑中学高一阶段练习）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．B．当，时，
C．当，时，D．当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
三、填空题
13．(2023·全国·高一课前预习）计算(cs＋isin)÷＝________．
14．(2023·全国·高一课时练习）将复数1＋i对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．
15.(2023·全国·高一课时练习）已知复数和的辐角主值分别为，则__________．
16．(2023·江苏泰州·高一期末）欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡.他生于牧师家庭.15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位.1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国.1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授.他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作. 年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（其中为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，则______；______.
四、解答题
17．(2023·全国·高一课时练习）把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．
(1)6；
(2)；
(3)；
(4)．
18．(2023·全国·高一课时练习）把下列复数表示成代数形式：
(1)；
(2)
19．(2023·全国·高一）计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
20．(2023·全国·高一课时练习）将下列复数表示成三角形式
(1)；
(2)．
21．(2023·全国·高一专题练习）设，，，求的值
22．(2023·全国·高一课时练习）若复平面内单位圆上三点所对应的复数，满足且，求复数．
专题13.2 复数的三角表示（真题测试）
一、单选题
1．(2023·全国·高一课前预习）若，则（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
答案：B
分析：根据复数乘方的三角运算得到的三角形式，即可确定辐角.
【详解】由，
所以60°.
故选：B
2．(2023·全国·高一课前预习）将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（ ）
A．＋iB．－＋i
C．－－iD．－i
答案：A
分析：根据复数i的辐角及旋转过程确定对应复数的辐角，进而写出对应的复数即可.
【详解】由，顺时针旋转，则对应辐角为，
所以对应的复数是.
故选：A
3．(2023·全国·高一）复数的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：设出辐角为，利用公式计算出，，结合辐角主值的取值范围求出答案.
【详解】设复数的辐角为，
则，
所以，，
因为，
所以当时，满足要求，
所以辐角主值为.
故选：A
4．(2023·全国·高一课时练习）向量，，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是（ ）
A．负实数B．纯虚数
C．正实数D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)
答案：B
分析：设z1＝r1(csθ1＋isinθ1)、z2＝r2(csθ2＋isinθ2)，由可得，
利用复数除法运算的三角表示即可得出结果.
【详解】由题意得，
设复数z1＝r1(csθ1＋isinθ1)，z2＝r2(csθ2＋isinθ2)，
由，得或，
.
所以为纯虚数．
故选：B.
5．(2023·江苏省天一中学高二期中）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：C
分析：根据棣莫弗公式及诱导公式计算即可．
【详解】由棣莫弗公式知，
，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：C．
6．(2023·河北张家口·高一期末）欧拉公式是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：按已知公式展开，由等式列出方程组，解出即可.
【详解】 ，



故选：B.
7．(2023·全国·高三专题练习（文））欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（ ）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：B
分析：根据欧拉公式，得到，再利用复数的除法化简，然后利用复数的几何意义求解.
【详解】解：因为，
，
所以复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选：B．
8．(2023·全国·高三专题练习（文））1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项不正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据可判断ABD，根据复数的乘法运算可判断C.
【详解】因为所以，故A正确
，，故B正确
，故C错误
，故D正确
故选：C
二、多选题
9．(2023·江苏·高一课时练习）如果非零复数z有一个辐角为，那么下列对z判断错误的是（ ）
A．辐角唯一B．辐角主值唯一
C．辐角主值为D．辐角主值为
答案：ACD
分析：由给出的非0复数有一个辐角为，结合辐角主值的概念得答案．
【详解】辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值，
非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值．
故选：ACD．
10.(2023·全国·高一）以下不是复数的三角形式是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AD
分析：提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．
【详解】解：，所以B正确，而，故C正确.
故选：AD
11．(2023·河北·张北县第一中学高一阶段练习）已知复数，i为虚数单位，则以下命题正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：ABD
分析：根据共轭复数的定义，复数的四则运算规则复数的三角表示乘方运算规则计算即可.
【详解】因为，所以，故A正确；
，故B正确；

，
故C错误，D正确；
故选：ABD.
12．(2023·江苏·盐城市伍佑中学高一阶段练习）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．B．当，时，
C．当，时，D．当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
答案：AC
分析：根据复数的相关定义及性质，逐项分析即可得出答案.
【详解】对于复数有，
，而，所以选项A正确；
根据复数的三角形式，时，
此时，，选项B错误；
时，
根据棣莫弗定理，，所以选项C正确；
时，，n为偶数时，
设, ，
所以k为奇数时，为纯虚数；k为偶数时为实数，选项D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．(2023·全国·高一课前预习）计算(cs＋isin)÷＝________．
答案：
分析：根据复数除法的几何意义即可得结果.
【详解】由复数除法的几何意义知：(cs＋isin)÷＝.
故答案为：
14．(2023·全国·高一课时练习）将复数1＋i对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．
答案：
分析：利用复数的三角表示，化简即可得出答案.
【详解】.
由题意知:
.
故答案为：
15.(2023·全国·高一课时练习）已知复数和的辐角主值分别为，则__________．
答案：1
分析：由题设条件可得，代两角和的正切公式即可求解
【详解】由题意，复数和的辐角主值分别为，则，
所以
故答案为：
16．(2023·江苏泰州·高一期末）欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡.他生于牧师家庭.15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位.1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国.1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授.他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作. 年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（其中为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，则______；______.
答案：
分析：根据所提供的欧拉公式，将相关的数字代入计算即可.
【详解】 ，

；
故答案为：-2，-1.
四、解答题
17．(2023·全国·高一课时练习）把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．
(1)6；
(2)；
(3)；
(4)．
答案：(1)，图见详解
(2)，图见详解
(3)，图见详解
(4)，图见详解
分析：对（1）（2）（3）（4）中的复数，先画出图像，结合图像求得辐角主值和模，从而求得其三角形式.
（1）
设复数的模为，辐角主值为．
6对应的向量如下图中，
∵，，，又，
∴，∴．
（2）
设复数的模为，辐角主值为．
对应的向量如下图中，
∵，，，
又，∴，
∴．
（3）
设复数的模为，辐角主值为．
对应的向量如下图中，
∵，，，
又，∴，
∴．
（4）
设复数的模为，辐角主值为．
对应的向量如下图中，
∵，，，
又，
∴，
∴．
18．(2023·全国·高一课时练习）把下列复数表示成代数形式：
(1)；
(2)
答案：(1)
(2)
分析：根据复数的运算及三角函数诱导公式求解即可.
(1)
因为，
，
所以
(2)
因为，
，
所以
19．(2023·全国·高一）计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
答案：(1)
(2)
(3)
分析：根据复数三角形式的乘法运算直接求解即可.
(1)
.
(2)
.
(3)
方法一：.
方法二：.
20．(2023·全国·高一课时练习）将下列复数表示成三角形式
(1)；
(2)．
答案：(1)；
(2)当时,；
当时，.
分析：（1）根据同角三角函数的商数关系及诱导公式，再结合复数表示的三角形式
即可求解；
（2）根据三角函数的二倍角公式及诱导公式，再结合复数表示的三角形式即可求解；
(1)
，
，
(2)
.
∵当时，，，
∴，
当时，，，
∴
.
21．(2023·全国·高一专题练习）设，，，求的值
答案：
分析：将化为三角形式，利用复数三角形式的乘除法、乘方运算直接求解即可.
【详解】，，
.
22．(2023·全国·高一课时练习）若复平面内单位圆上三点所对应的复数，满足且，求复数．
答案：答案见解析.
分析：根据复数的几何意义，结合复数的运算求得和，再结合复数的乘除运算，即可求得.
【详解】因为单位圆上三点所对应的复数为，
故可设z1＝cs α＋isin α，z2＝cs β＋isin β，z3＝cs γ＋isin γ，
则由，可得，
利用cs2β＋sin2β＝1，解得，所以，z3＝；
故当z3＝时，z2＝－i(z3－1)＝，z1＝＝1；
当z3＝时，z2＝－i(z3－1)＝，z1＝＝1．