2024河南中考数学备考重难专题课件：真实情境中的圆问题【课件】

这是一份2024河南中考数学备考重难专题课件：真实情境中的圆问题【课件】，共23页。PPT课件主要包含了真实情境中的圆问题，课堂练兵，课后小练，典例精讲，考情分析，答题步骤，方法总结等内容，欢迎下载使用。

例 (2023开封模拟)中国5A级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮、竹筒、支撑杆和水槽等配件组成，如图是水车园中半径为5米的水车灌田的简化示意图，立式水轮⊙O在水流的作用下利用竹筒将水运送到点A处，水沿水槽AP流到田地，⊙O与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上；AP与⊙O相切，若点P到点C的距离为32米，立式水轮⊙O的最低点到水面的距离为2米，连接AC，AB.请解答下列问题：
(1)求证：∠PAC＝∠PBA；
还是无法联系∠PAC和∠PBA，还可以怎样作辅助线？
借助半径构造直径试试，并连接CE
观察图形还有什么发现？
互余的性质得到∠AEC=∠PAC=∠PBA
拓展：∠PAC这种顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，即本题中证明的∠PAC＝∠PBA
注意：①弦切角需要证明②连半径不能直接应用解题还需要构造直径
证得∠PAC＝∠PBA
(1)证明：如解图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE，∵PA是⊙O的切线，∴∠EAP＝90°，∴∠EAC＋∠PAC＝90°，∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∴∠EAC＋∠AEC＝90°，∴∠PAC＝∠AEC∵∠AEC＝∠ABC，∴∠ABC＝∠PAC，即∠PAC＝∠PBA；
(2)请求出水槽AP的长度．
求线段长我们可以想到什么方法？
图中构成A字型相似（有公共角，且另一组角相等）
Rt△OFC中求得FC，BC
切线的性质、圆周角定理及其推论、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数、勾股定理
相似A字型，特点为有共用的一组角，且有另外一组角相等，形似字母“A”
辅助线作法：过圆心连半径，通常还要再转化构造直径去解题(题中没有给出直径的情况)
拓展：题中这种角是弦切角，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角
解题方法：1.证明角间数量关系切线的性质，圆周角定理的推论，两半径构成的等腰三角形，角间等量转换，两角互余的性质2.求线段长通常有3种方法：①锐角三角函数，此时线段要在直角三角形中或者能够构造直角三角形，用锐角三角函数需要已知一条边和一个角；②勾股定理，此时线段要在直角三角形中或者能够构造直角三角形，用勾股定理需要已知两边；③三角形相似、全等，用相似需要证明两组角相等，有等边则证明全等
练习 (2023河南原创卷)我国的纸伞工艺十分巧妙．如图①，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAD，从而保证伞圈C能沿着伞柄滑动．小明受此启发设计了一个“简易平分角的仪器”，如图②，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，则AE为∠PRQ的平分线．
(1)如图②，试说明这个平分角的仪器的制作原理；
证得△ABC≌△ADC全等
(2)如图③，将上述平分角仪器的顶点A落在⊙O的直径MN的端点M处，边AB与直径MN共线，边AD与⊙O相交于点G，AC交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线，与AD，BC分别交于点F，H.①求证：EF⊥AD；
连半径，得到OE⊥EF
能否证明AD∥OE，EF⊥AD？
内错角相等，两直线平行
(2)①证明：如图，连接OE，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠OEA，∵AC平分∠DAB；∴∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠OEA，∴OE∥AD，∵FH是⊙O的切线，∴OE⊥EH，∴EF⊥AD；
②若⊙O半径为3，AE＝4，求FG的长．
放在哪个三角形中求解？
(2)如图③，将上述平分角仪器的顶点A落在⊙O的直径MN的端点M处，边AB与直径MN共线，边AD与⊙O相交于点G，AC交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线，与AD，BC分别交于点F，H.
在Rt△ANE中，可得EN长
证明△EFG∽△AEN
练习1 人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”．意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．如下是弦切角定理一种情况的证明过程： 证明：如图①，∵AB与⊙O相切于点A, ∴∠CAB＝90°，∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．
为了验证这一定理的正确性，需要对其他情况进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图②，__________________，圆心O在∠BAC的内部，AD为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，CE，AE为⊙O的弦．求证：______________．
练习2 与圆有关的定理，我们在初中阶段已经学习了很多，例如垂径定理，圆周角定理等．实际上，与圆相关的定理还有很多，如圆幂定理，它包含了相交弦定理，切割线定理，割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．喜欢思考的天天在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程：已知：如图①，点P为⊙O外一点，切线PA与⊙O相切于点A，割线PBC与⊙O相交于点B，C.求证：PA2＝PB·PC.证明：如图②，连接AB，AC，AO，BO，∵PA与⊙O相切于点A，∴PA⊥AO，即∠PAB＋∠BAO＝90°.…
(1)请你帮助天天将证明过程补充完整；
证明：如图②，连接AB，AC，AO，BO，∵PA与⊙O相切于点A，∴PA⊥AO，即∠PAB＋∠BAO＝90°.