2024河南中考数学复习 (特殊)平行四边形的判定 强化精练 (含答案)

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1. 下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB∥CD，AD＝BC
B. ∠A＝∠B，∠C＝∠D
C. AB＝AD，CB＝CD
D. AB∥CD，AB＝CD
2. 如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是( )
第2题图
A. 矩形的对角线相等
B. 矩形的四个角是直角
C. 对角线垂直的平行四边形是矩形
D. 对角线相等的平行四边形是矩形
3. (2023河南黑白卷)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，点D为AB中点，DE⊥BC，DF⊥AC，则四边形DECF的周长为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
第3题图
4. 如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，转动一张纸条的过程中，下列结论：
①四边形ABCD的周长不变；
②四边形ABCD的面积有变化；
③AD＝BC；
④AD＝AB；
其中一定正确的是( )
第4题图
A. ②④ B. ②③
C. ①② D. ①③
5. [新考法——增加条件判定菱形](2023齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：________，使四边形ABCD成为菱形．
第5题图
6. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.若AC＝10，则四边形OCED的周长是________．
第6题图
7. 如图，在等腰Rt△OAB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，以AB为边向右侧作等腰Rt△ABC，连接OC，则OC的长为________．
第7题图
8. (2023岳阳)如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形．
(1)你添加的条件是________(填序号)；
(2)添加条件后，请证明▱ABCD为矩形．
第8题图
拔高题
9. (2022辽宁)如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F.若∠ACB＝60°，CD＝4eq \r(3)，则四边形CEDF的周长是______．
第9题图
10. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点(不与点A，B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为________．
第10题图
11. (2023长春)将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放，点A，E，B，D依次在同一条直线上，连接AF，CD.
(1)求证：四边形AFDC是平行四边形；
(2)已知BC＝6 cm，当四边形AFDC是菱形时，AD的长为________cm.
第11题图
12. (2023丽水)某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片(如图)进行如下操作，并进行猜想和证明．
(1)用三角板分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，画AF⊥DE于点F；
(2)用(1)中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形(无缝隙无重叠)，并用三角板画出示意图；
(3)请判断(2)中所拼的四边形的形状，并说明理由．
第12题图
参考答案与解析
1. D
2. D 【解析】推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形．
3. B 【解析】∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC＝4，∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，∴四边形CEDF为矩形，∴DF∥BC，又∵D为AB中点，∴DF＝ eq \f(1,2) BC＝2，同理DE＝ eq \f(1,2) AC＝2，∴四边形CEDF为正方形，∴正方形CEDF的周长为4DF＝4×2＝8.
4. B 【解析】由题意可知：AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，DC到AB的距离不会变化，AD＝BC，随着纸条的转动，线段AB的长度发生变化，∴四边形ABCD的面积有变化．
5. AD∥BC(或AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD等) 【解析】当添加“AD∥BC”时，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；当添加：“AB＝CD”时，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；当添加“OB＝OD”时，∵AD＝BC，AC⊥BD，∴Rt△ADO≌Rt△CBO(HL)，∴AO＝CO，DO＝BO，∴四边形ABCD是菱形；当添加：“∠ADB＝∠CBD”时，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
6. 20 【解析】∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∴OC＝DE，OD＝CE，∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OC＝ eq \f(1,2) AC＝5，OD＝ eq \f(1,2) BD，BD＝AC，∴OC＝OD＝5，∴OC＝OD＝CE＝DE，∴平行四边形OCED是菱形，∴菱形OCED的周长＝4OC＝4×5＝20.
7. 2 eq \r(2) 或2 eq \r(5) 【解析】分两种情况：①当以AB为底边作等腰Rt△ABC时，如解图①，∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠ABO＝45°.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠ACB＝90°，∴∠AOB＝∠OAC＝∠ACB＝∠CBO＝90°，又∵OA＝OB，∴四边形AOBC是正方形，∴OC＝AB＝ eq \r(OA2＋OB2) ＝2 eq \r(2) ；②当以AB为腰作等腰Rt△ABC时，当∠CAB＝90°，如解图②，∴∠ABC＝45°.∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝45°，AB＝2 eq \r(2) .∴∠CBO＝∠ABC＋∠ABO＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝ eq \r(AB2＋AC2) ＝4，∴OC＝ eq \r(OB2＋BC2) ＝ eq \r(22＋42) ＝2 eq \r(5) ；当∠ABC＝90°，如解图③，同理可得OC＝2 eq \r(5) .综上所述，OC的长为2 eq \r(2) 或2 eq \r(5) .
第7题解图
8. (1)解：①；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠A＋∠D＝180°，
在△ABM和△DCM中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝DC,∠1＝∠2,BM＝CM)) ，
∴△ABM≌△DCM(SAS)，
∴∠A＝∠D，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴▱ABCD为矩形．
9. 16 【解析】如解图，连接EF交CD于点O，∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形CEDF是平行四边形，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠FCD＝∠ECD，∵DE∥AC，∴∠FCD＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE，∴四边形CEDF是菱形，∴CD⊥EF，∠ECD＝ eq \f(1,2) ∠ACB＝30°，OC＝ eq \f(1,2) CD＝2 eq \r(3) ，在Rt△COE中，CE＝ eq \f(OC,cs 30°) ＝ eq \f(2\r(3),\f(\r(3),2)) ＝4，∴四边形CEDF的周长是4CE＝4×4＝16.
第9题解图
10. 2 eq \r(5) 【解析】如解图，连接OP，∵四边形ABCD是菱形，AC＝20，BD＝10，∴AC⊥BD，AO＝ eq \f(1,2) AC＝10，BO＝ eq \f(1,2) BD＝5，∠AOB＝90°，在Rt△ABO中，由勾股定理得，AB＝ eq \r(AO2＋BO2) ＝ eq \r(102＋52) ＝5 eq \r(5) ，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠OEP＝∠OFP＝∠EOF＝90°，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小，此时，S△ABO＝ eq \f(1,2) OA·OB＝ eq \f(1,2) AB·OP，∴OP＝ eq \f(10×5,5\r(5)) ＝2 eq \r(5) ，∴EF的最小值为2 eq \r(5) .
第10题解图
11. (1)证明：∵△ACB≌△DFE，
∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE，
∴AC∥DF，
∴四边形AFDC是平行四边形；
(2)解：18.
【解法提示】如解图，连接CF交AD于点O，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6 cm，∴AC＝ eq \r(3) BC＝6 eq \r(3) (cm)，∵四边形AFDC是菱形，∴CF⊥AD，AD＝2AO，∴∠AOC＝90°，∴AO＝ eq \f(\r(3),2) AC＝ eq \f(\r(3),2) ×6 eq \r(3) ＝9(cm)，∴AD＝2AO＝18(cm).
第11题解图
12. 解：(1)画图如解图①；
第12题解图①
(2)画图如解图②，四边形MBCN是所求的四边形；
第12题解图②
(3)矩形，理由如下：
∵∠MDB＋∠BDE＝180°，∠DEC＋∠NEC＝180°，
∴点M，D，E，N在一条直线上，
如解图③，分别延长BD，CE交于点A，过点A作AF⊥MN于点F，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝ eq \f(1,2) BC，
∵MD＋EN＝DE，
∴MN＝MD＋DE＋EN＝BC，MN∥BC，
∴四边形MBCN为平行四边形，
由题意可得：△MDB≌△FDA，△AFE≌△CNE，
∴∠N＝∠AFE＝90°，
∴四边形MBCN为矩形．
第12题解图③
【解题关键点】
将EF的最小值转化为OP的最小值，利用垂线段最短即可求解．