2023-2024学年上海市徐汇区南洋模范中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年上海市徐汇区南洋模范中学高二（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线2x−y+1=0与直线x+my+2=0垂直，则m= ______．
2.已知函数f(x)=2x2+1，则limx→0f(2+Δx)−f(2)Δx= ______．
3.2位教师和3名学生站成一排，要求2位教师相邻，则不同排法的种数为______．
4.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=2a2，P(X=1)=a，那么a= ______．
5.双曲线C：49mx2−16my2=1的渐近线方程为______．
6.投掷一颗骰子，记事件A={2,4,5}，B={1,2,4,6}，则P(A|B)= ______．
7.已知点A(1,1)，F1是椭圆x28+y24=1的左焦点，P是椭圆上任意一点.则|PF1|+|PA|的取值范围为______．
8.已知圆C：x2+y2−6x=0，l1，l2是过原点且互相垂直的两条直线，若l1被C截得的弦长与l2被C截得的弦长的比为2：1，则直线l1的斜率k= ______．
9.若m，n∈N∗，m≥3，n≥m+2，则Anm=Am2An−2m−2+C21Am1An−2m−1+ ______.(请用一个排列数来表示)
10.下列说法中正确的是______．
①设随机变量服X从二项分布B(6,12)，则p(x=3)=516；
②已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)且P(X0)的渐近线上一点与右焦点F(2,0)的最短距离为 2．
(1)求双曲线的方程；
(2)O为坐标原点，直线x=ty+2与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．
(ⅰ)求实数t的取值范围．
(ⅱ)设S1、S2分别为△AOC的面积和△BOD的面积，求S1+S2的最大值．
21.已知函数f(x)=alnx−ax+1，a∈R．
(1)若经过点(0,0)的直线与函数f(x)的图像相切于点(2,f(2))，求实数a的值；
(2)设g(x)=f(x)+12x2−1，若函数g(x)在区间(32,4)为严格递减函数时，求实数a的取值范围；
(3)对于(2)中的函数g(x)，若函数g(x)有两个极值点为x1，x2(x1≠x2)，且不等式g(x1)+g(x2)0，
∴f′(x)在[0,+∞)上单调递增．
∴f′(x)的最小值是f′(0)=cs0+e0=2．
19.解：(1)甲获得决赛资格的概率P1=45×34=35，乙获得决赛资格的概率P2=23×12=13，
由题意得X=0，1，2，
则P(X=0)=(1−35)×(1−13)=415，P(X=1)=(1−35)×13+35×(1−13)=815，P(X=2)=35×13=315，
所以X的分布列为：
所以E(X)=0×415+1×815+2×315=1415；
(2)设事件Ai=“甲取到i道选择题”，i=0，1，2；事件B=“乙取到第一题是选择题”，
由题意可知，P(A0)=C32C62=315，P(A1)=C31C31C62=915，P(A2)=C32C62=315，
P(B|A0)=C41C101=410，P(B|A1)=C51C101=510，P(B|A2)=C61C101=610，
①由全概率公式可得：P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=12；
②由条件概率公式和乘法公式可得：P(A2|B)=P(A2B)P(B)=P(A2)P(B|A2)P(B)=625．
20.解：(1)设双曲线的焦距为2c，
此时c=2，
因为F(2,0)到直线bx−ay=0的距离为|2b| b2+a2= 2，
所以b= 2，
则a= c2−b2= 2，
故双曲线的方程为x22−y22=1；
(2)(ⅰ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=ty+2x2−y2=2，消去x并整理得(t2−1)y2+4ty+2=0，
此时t2−1≠0Δ=8t2+8>0y1+y2=−4tt2−1y1⋅y2=2t2−1，
因为直线与双曲线右支交于两点，
所以y1y2=2t2−14，
所以k′(a)