2023-2024学年广东省梅州市大埔县虎山中学高二（下）段考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省梅州市大埔县虎山中学高二（下）段考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线x− 3y−1=0的倾斜角是( )
A. π6或5π6B. π6C. π3D. π3或2π3
2.曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线方程为( )
A. y=e4xB. y=e2xC. y=e4x+e4D. y=e2x+3e4
3.已知A(1,0,1)，n=(1,0,1)是平面α的一个法向量，且B(−1,2,2)是平面α内一点，则点A到平面α的距离为( )
A. 23B. 26C. 2D. 22
4.已知数列{an}满足an+1=11−an，a1=−1，则a2024=( )
A. −1B. 12C. 2D. 1
5.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+ln x，则f′(2)=( )
A. 32B. 1C. −1D. −32
6.过点(0,−2)与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=( )
A. 1B. 154C. 104D. 64
7.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为直线x=32a上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆C的离心率为( )
A. 33B. 12C. 32D. 34
8.已知数列{an}满足a12+a222+⋯+an2n=n(n∈N∗),bn=λ(an−1)−n2+4n，若数列{bn}为单调递增数列，则λ的取值范围是( )
A. (38,+∞)B. (12,+∞)C. [38,+∞)D. [12,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=2x3−6x+1，则( )
A. g(x)=f(x)−1为奇函数
B. f(x)的单调递增区间为(−1,1)
C. f(x)的极小值为2
D. 若关于x的方程f(x)−m=0恰有3个不等的实根，则m的取值范围为(−3,5)
10.已知直线l1：x+(a−1)y+1=0，直线l2：ax+2y+2=0，则下列结论正确的是( )
A. l1在x轴上的截距为−1B. l2恒过定点(0,−1)
C. 若l1//l2，则a=−1或a=2D. 若l1⊥l2，则a=23
11.已知点P是椭圆E：x28+y24=1上一点，F1，F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是( )
A. P点到x轴的距离为32B. ∠F1PF2>90°
C. △F1PF2的周长为4( 2+1)D. △F1PF2的内切圆半径为32( 2−1)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线C：y2=6x与直线l交于A，B两点，且AB的中点为(m,−2)，则l的斜率为______．
13.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)=0，当x>0时，有xf′(x)−f(x)<0恒成立，则不等式xf(x)>0的解集为______．
14.已知函数f(x)=|ex−1|，x1<0，x2>0，函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))处和点B(x2,f(x2))处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则|AM||BN|的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C经过A(4,0)，B(0,2)两点和坐标原点O．
(Ⅰ)求圆C的方程；
(Ⅱ)垂直于直线x+y=0的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|=2 3，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3−3ax+2且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l与直线x−9y=0相互垂直．
(Ⅰ)求l的方程；
(Ⅱ)求f(x)的极值．
17.(本小题15分)
如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，AB=AC=2A1C1=2，且D为BC中点．
(1)证明：BC⊥平面A1AD；
(2)若A1A= 3，求此时平面ABC和平面A1CD所成角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−ax2．
(1)若a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；
(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a．
19.(本小题17分)
已知双曲线W：2x2−2y2=1与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点相同，点P是W和C在第一象限的公共点，记W的左，右焦点依次为F1，F2，|PF2|= 22．
(1)求C的标准方程；
(2)设点Q在C上且在第一象限，QF1，QF2的延长线分别交C于点E1，E2，设r1，r2分别为△QF1E2，△QF2E1的内切圆半径，求r1−r2的最大值．
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.B
5.D
6.B
7.D
8.A
9.AD
10.ABD
11.ACD
12.−32
13.(−2,0)∪(0,2)
14.(0,1)
15.解：(Ⅰ)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
将A(4,0)，B(0,2)，O(0,0)代入，得16+4D+F=04+2E+F=0F=0，
解得D=−4，E=−2，F=0，所以圆C的方程为x2+y2−4x−2y=0，即(x−2)2+(y−1)2=5．
(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论得圆C的圆心坐标为(2,1)，半径r= 5．
根据直线l垂直于直线x+y=0，设直线l的方程为x−y+m=0，
由圆C被直线l截得的弦长|MN|=2 3，可得2 r2−d2=2 3，其中d为点C到直线l的距离，
所以r2−d2=3，即5−d2=3，解得d= 2，即|2−1+m| 1+1= 2，解得m=−3或1．
因此，直线l的方程是x−y−3=0或x−y+1=0．
16.解：(Ⅰ)由f(x)=x3−3ax+2，得f′(x)=3x2−3a，
因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l与直线x−9y=0相互垂直，
所以切线l的斜率k=f′(1)=3−3a=−9，所以a=4，
所以f(x)=x3−12x+2，所以f(1)=−9，
所以切线l的方程为y+9=−9(x−1)，即9x+y=0．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，f′(x)=3x2−12，
令f′(x)=0，则x=±2，
当x>2或x<−2时，f′(x)>0；当−2所以f(x)极大值=f(−2)=18，f(x)极小值=f(2)=−14．
17.解：(1)证明：因为A1A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1A⊥BC．
又因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC，
又A1A∩AD=A，且A1A，AD⊂平面A1AD，
所以BC⊥平面A1AD；
(2)依题意，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0, 3),D(1,1,0)，
所以A1D=(1,1,− 3),A1C=(0,2,− 3)，
设平面A1CD的一个法向量为n=(x1,y1,z1)，则A1D⋅n=0,A1C⋅n=0，
所以x1+y1− 3z1=02y1− 3z1=0，可取y1=1，则n=( 3, 3,2)，
又平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)，
设平面ABC和平面A1CD所成角为θ，
则csθ=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|=21× 3+3+2= 22，
故平面ABC和平面A1CD所成角的余弦值为 22．
18.解：(1)当a=1时，f(x)≥1等价于(x2+1)e−x−1≤0，
设函数g(x)=(x2+1)e−x−1，
则g′(x)=−(x2−2x+1)e−x=−(x−1)2e−x．
当x≠1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减．
又g(0)=0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1.
(2)设函数ℎ(x)=1−ax2e−x．
f(x)在(0,+∞)只有一个零点等价于ℎ(x)在(0,+∞)只有一个零点．
(i)当a≤0时，ℎ(x)>0，ℎ(x)没有零点;
(ii)当a>0时，ℎ′(x)=ax(x−2)e−x．
当x∈(0,2)时，ℎ′(x)<0;当x∈(2,+∞)时，ℎ′(x)>0．
所以ℎ(x)在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增．
故ℎ(2)=1−4ae2是ℎ(x)在(0,+∞)的最小值．
①若ℎ(2)>0，即0 ②若ℎ(2)=0，即a=e24，ℎ(x)在(0,+∞)只有一个零点;
③若ℎ(2)<0，即a>e24，由于ℎ(0)=1，所以ℎ(x)在(0,2)有一个零点．
由(1)知，当x>0时，ex>x2，
所以ℎ(4a)=1−16a3e4a=1−16a3(e2a)2>1−16a3(2a)4=1−1a>0．
故ℎ(x)在(2,4a)有一个零点．
因此ℎ(x)在(0,+∞)有两个零点．
综上，f(x)在(0,+∞)只有一个零点时，a=e24．

19.解：(1)由题意知：|PF1|−|PF2|= 2|PF1+|PF2|=2a|PF2|= 22，所以a= 2，又因为 a2−b2=1，
所以b=1，则椭圆的标准方程为x22+y2=1；
(2)设Q(x0,y0)，E1(x1,y1)，E2(x2,y2)，显然x0>0，y0>0，y1<0，y2<0，
由椭圆定义知：△QF1E2，△QF2E1的周长均为l=4 2，
所以r1=2S△QF1E2l=|F1F2|(y0−y2)l=y0−y22 2，同理r2=y0−y12 2，所以r1−r2=y1−y22 2，
设直线QF1：x=my−1，m=x0+1y0，
将直线QF1方程代入椭圆C的方程x22+y2=1得：(m2+2)y2−2my−1=0，
所以y0y1=−1m2+2=−1(x0+1y0)2+2=−y02x02+2x0+1+2y02=−y023+2x0，
即y1=−y03+2x0，同理y2=−y03−2x0，
所以r1−r2=y1−y22 2= 2x0y09−4x02= 2x0y0x022+9y02≤ 2x0y02 x022×9y02=13，
当且仅当x0=3 55，y0= 1010时等号成立，
所以r1−r2的最大值为13．