高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)专题13导数及其应用(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)专题13导数及其应用(原卷版+解析)，共16页。试卷主要包含了,则下列结论一定正确的是等内容，欢迎下载使用。

A．B．C．D．
2．(2023·湖北·襄阳五中二模）已知函数，下列对于函数性质的四个描述：①是的极小值点；②的图像关于点中心对称；③有且仅有三个零点；④若区间上递增，则的最大值为．其中正确的描述的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．(2023·江苏无锡·模拟）已知，则，，的大小为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·湖北·模拟）若过点可作曲线三条切线，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·北京·北大附中三模）如图矩形，沿对折使得点与边上的点重合，则的长度可以用含的式子表示，那么长度的最小值为（ ）
A．4B．8C．D．
6．(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟）已知,且为自然对数),则下列结论一定正确的是
（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023·江西省丰城中学模拟（理））某同学对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（ ）个.
（1）函数的图像关于y轴对称； （2）对定义域中的任意实数的值，恒有成立；（3）函数的图像与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；（4）对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且.
A．1B．2C．3D．4
8．(2023·辽宁·鞍山一中模拟）已知且，若任意，不等式均恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．(2023·江苏省木渎高级中学模拟）（多选题）已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数图象的对称轴方程为
C．若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为
D．函数的图象上存在点P，使得在P点处的切线斜率为
10．(2023·福建省福州第一中学三模）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数B．有且仅有两个零点
C．既无最大值，也无最小值D．若且，则
11．(2023·福建省德化第一中学模拟）（多选题）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．，B．是的极大值点
C．是的极小值点D．是的极小值点
12．(2023·山东潍坊·模拟）（多选题）过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线，切点为P1、P2(P1、P2不重合），设直线分别与y轴交于点A，B，则下列结论正确的是（ ）
A．P1、P2两点的横坐标之积为定值
B．直线P1P2的斜率为定值
C．线段AB的长度为定值
D．三角形ABP面积的取值范围为(0，1]
13．(2023·北京·北大附中三模）对于函数和，给出下列四个结论：
①设的定义域为，的定义域为，则是的真子集.
②函数的图像在处的切线斜率为0.
③函数的单调减区间是，.
④函数的图像关于点对称.
其中所有正确结论的序号是___________.
14．(2023·湖北省仙桃中学模拟）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_______________ .
15．(2023·江苏·盐城中学模拟）设函数，设的最小值为M，若至少有一个零点，且命题成立，则的取值范围是__________．
16．(2023·吉林吉林·模拟（文））已知函数，函数，则函数的极小值点为______；若，恒成立，则实数的取值范围为______．
专题13 导数及其应用
1．(2023·天津·模拟）已知函数的图象如图所示，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由函数的图象知：和是的根，
即，解得，
所以，可得，
又由结合图象可得是函数的极值点，
即是的两个根，即是的两个实数根，
所以.
故选：C.
2．(2023·湖北·襄阳五中二模）已知函数，下列对于函数性质的四个描述：①是的极小值点；②的图像关于点中心对称；③有且仅有三个零点；④若区间上递增，则的最大值为．其中正确的描述的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
【解析】.
①：，，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是的极小值点，故本选项描述正确；
②：因为，
所以的图像关于点对称，因此本选项描述正确；
③：令，函数在同一直角坐标系内的图像如下图所示：
可知两个函数的图像有三个交点，因此有且仅有三个零点，所以本选项描述正确；
④：，当时，则有：，因此函数的增区间为：，显然有，所以的最大值为，因此本选项描述不正确，
故选：C．
3．(2023·江苏无锡·模拟）已知，则，，的大小为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】令函数，当时，求导得：，
则函数在上单调递减，又，，，
显然，则有，所以.
故选：C
4．(2023·湖北·模拟）若过点可作曲线三条切线，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设切点为，
由，故切线方程为，
因为在切线上，所以代入切线方程得，
则关于t的方程有三个不同的实数根，
令，则或，
所以当，时，，为增函数，
当时，，为减函数，
且时，，时，，
所以只需，解得
故选：A
5．(2023·北京·北大附中三模）如图矩形，沿对折使得点与边上的点重合，则的长度可以用含的式子表示，那么长度的最小值为（ ）
A．4B．8C．D．
答案：D
【解析】设，，，，则，则有和，
代入，解得：，
令和，
导函数，即可得的最大值在时取得，
此时，求得此时，
故选：D.
6．(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟）已知,且为自然对数),则下列结论一定正确的是
（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】设
则
所以
设,令,得
易知函数在单调递减
所以,即,即
,所以对
,所以B错
,所以C错
,所以错
故选：A
7．(2023·江西省丰城中学模拟（理））某同学对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（ ）个.
（1）函数的图像关于y轴对称； （2）对定义域中的任意实数的值，恒有成立；（3）函数的图像与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；（4）对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且.
A．1B．2C．3D．4
答案：C
【解析】对于（1）：
∵函数的定义域为，，
∴为偶函数，图象关于轴对称，故（1）正确.
对于（2）：
由（1）知为偶函数，当时，
∴
令，
∵，∴，所以在上单调递增，
∴，即恒成立.故（2）正确.
对于（3）：
函数的图象与轴的交点坐标为，
交点与的距离为，其余任意相邻两点的距离为，故（3）错误.
对于（4）：
，，
当，时，
，，每段区间的长度为，
所以对任意常数，存在常数，，，
使在上单调递减且，故（4）正确.
故选：C.
8．(2023·辽宁·鞍山一中模拟）已知且，若任意，不等式均恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】由题设，，令，则恒成立，
令，则，，
当时，递减；当时，递增；
所以，故递增，
当，即时，，不合题意；
当，即时，要使恒成立，则恒成立，
令且，则，，
当时，递减；当时，递增；
所以，故在上递增，而，
此时时，即恒成立.
综上，的取值范围为.
故选：A
9．(2023·江苏省木渎高级中学模拟）（多选题）已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数图象的对称轴方程为
C．若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为
D．函数的图象上存在点P，使得在P点处的切线斜率为
答案：AD
【解析】由函数图象知，，周期满足：，即，则，
由得：，即，而，则，
于是得，，，
，A正确；
由得函数图象的对称轴方程，B不正确；
，由得，
则，，，
当时，，C不正确；
，显然，
即函数的图象在点处切线斜率为，D正确.
故选：AD
10．(2023·福建省福州第一中学三模）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数B．有且仅有两个零点
C．既无最大值，也无最小值D．若且，则
答案：BCD
【解析】解：因为定义域为，
又，所以既不是奇函数也不是偶函数，所以A选项错误．
当时，，即恒成立，所以在为减函数．
又因为，所以在上只有一个零点．
当时，，即恒成立，所以在上为减函数．
又因为，所以在上只有一个零点，即B，C选项正确．
当时，若，，由，可得，
因为在上单调递减，所以，即，
同理可证当，时，结论也成立，故D正确．
故选：BCD．
11．(2023·福建省德化第一中学模拟）（多选题）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．，B．是的极大值点
C．是的极小值点D．是的极小值点
答案：BD
【解析】对A. 是的极大值点，并不是最小值点，故A不正确；
对B. 相当于关于轴的对称图象，故应是的极大值点，故B正确；
对C. 相当于关于轴的对称图象，故应是的极小值点，跟没有关系，故C不正确；
对D. 相当于先关于轴的对称，再关于轴的对称图象.故D正确.
故选：BD.
12．(2023·山东潍坊·模拟）（多选题）过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线，切点为P1、P2(P1、P2不重合），设直线分别与y轴交于点A，B，则下列结论正确的是（ ）
A．P1、P2两点的横坐标之积为定值
B．直线P1P2的斜率为定值
C．线段AB的长度为定值
D．三角形ABP面积的取值范围为(0，1]
答案：ABC
【解析】因为，
所以，当时，；当时，，
不妨设点，的横坐标分别为，且，
若时，直线，的斜率分别为，，此时，不合题意；
若时，则直线，的斜率分别为，，此时，不合题意.
所以或，则，，
由题意可得，可得，
若，则；若，则，不合题意，所以，选项A对；
对于选项B，易知点，，
所以，直线的斜率为，选项B对；
对于选项C，直线的方程为，令可得，即点，
直线的方程为，令可得，即点，
所以，，选项C对；
对于选项D，联立可得，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则当时，，
所以，，选项D错.
故选：ABC.
13．(2023·北京·北大附中三模）对于函数和，给出下列四个结论：
①设的定义域为，的定义域为，则是的真子集.
②函数的图像在处的切线斜率为0.
③函数的单调减区间是，.
④函数的图像关于点对称.
其中所有正确结论的序号是___________.
答案：①③④
【解析】对于①，由题意得，函数的定义域，
函数的定义域.所以是的真子集，则①正确.
对于②，，则在处的切线斜率，则②错误.
对于③，的定义域是，而函数在区间，上都是单调递减且值为正，又因为函数在其定义域上单调递增，
因此复合后得到的在这两个区间上也是单调递减，则③正确.
④只需验证：当时，，则④正确.故答案为：①③④.
14．(2023·湖北省仙桃中学模拟）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_______________ .
答案：
【解析】不等式可化为： ，即.
记.
因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即.
记，则.
因为，所以只需在上递增，
所以，
只需恒成立.
因为在单调递减，所以当时，最大，
所以.
即实数的取值范围为.
故答案为：.
15．(2023·江苏·盐城中学模拟）设函数，设的最小值为M，若至少有一个零点，且命题成立，则的取值范围是__________．
答案：
【解析】由题意，函数，
因为的最小值为，即，即表示圆及其外部的部分，
又因为命题成立，即时，恒成立，
当直线与圆相切时，
可得
设，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为，
可得的最小值为，所以的最大值为，
所以的最小值为，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
16．(2023·吉林吉林·模拟（文））已知函数，函数，则函数的极小值点为______；若，恒成立，则实数的取值范围为______．
答案：
【解析】因为定义域为，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
则当时，函数的取得极小值，即函数的极小值点为，
且，即，
因为，即，其中，
，
构造函数，当时，，则，
故函数在上为增函数，
所以，对任意的恒成立，所以，.
故答案为：；.