高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第19练复数的概念(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第19练复数的概念(原卷版+解析)，共11页。

A．B．C．D．
2．(2023·浙江·镇海中学模拟）已知复数是纯虚数（i为虚数单位），则（ ）
A．2或B．2C．D．0
3．(2023·江苏南通·模拟）在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（ ）
A．－1＋2iB．－1＋3iC．3iD．
4．(2023·江苏徐州·模拟）已知复数z满足（i为虚数单位），则（ ）
A．B．5C．D．10
5．(2023·上海青浦·二模）已知为虚数单位，复数，则_________．
6．(2023·黑龙江·哈九中二模（理））复数z满足（其中i为虚数单位），则______．
1．(2023·浙江·杭师大附中模拟）欧拉公式（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数）是数学中的一个神奇公式．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．(2023·江苏泰州·模拟）已知复数z满足，则|z|＝（ ）
A．1B．C．2D．2
3．(2023·湖北·荆州中学模拟）设复数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
4．(2023·江苏南通·模拟）在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转60°后，再将模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是（ ）
A．6B．－6C．D．
5．(2023·上海·模拟）对于复数a、b、c、d，若集合具有性质“对任意，必有”，则当时，_________．
6．(2023·天津市第四中学模拟）设复数满足，的实部与虚部互为相反数，则___________.
7．(2023·江苏·扬州中学模拟）写出一个虚数z，使得为纯虚数，则___________.
8．(2023·北京·潞河中学三模）若复数为纯虚数，则实数________.
1．(2023·湖北·模拟）瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下，被誉为“数学中的天桥”，据此（ ）
A．1B．C．0D．
2．(2023·辽宁沈阳·三模）已知复数和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．(2023·山东·胜利一中模拟）若复数z满足，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．5D．6
4．(2023·江苏南京·模拟）当复数满足时，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·重庆市天星桥中学一模）复数在复平面内对应的点为，将点绕坐标原点逆时针旋转一定的角度，得到点，对应的复数为，则（ ）．
A．B．
C．D．
6．(2023·北京·101中学模拟）满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆
7．(2023·湖北省仙桃中学模拟）已知单位向量分别对应复数，且，则可能为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·湖北·襄阳四中模拟）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为9+i
C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
9．(2023·上海黄浦·二模）已知复数z满足，则的最大值为___________．
10．(2023·江苏·扬中市第二高级中学模拟）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______.
专题06 复数
第19练 复数的概念和运算
1．(2023·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，而为实数，故，
故选：B.
2．(2023·浙江·镇海中学模拟）已知复数是纯虚数（i为虚数单位），则（ ）
A．2或B．2C．D．0
答案：C
【解析】因为复数是纯虚数，
所以且，
所以．
故选：C.
3．(2023·江苏南通·模拟）在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（ ）
A．－1＋2iB．－1＋3iC．3iD．
答案：B
【解析】复数1＋2i，－2＋i，0所对应的点分别是A（1，2），B（－2，1），O（0，0），
由题意可知，正方形以为邻边，设另一点为D（x，y），
所以
则，解得，
∴.
故选：B．
4．(2023·江苏徐州·模拟）已知复数z满足（i为虚数单位），则（ ）
A．B．5C．D．10
答案：C
【解析】由题意有：，
从而有.
∴．
故选：C
5．(2023·上海青浦·二模）已知为虚数单位，复数，则_________．
答案：
【解析】解：因为，
所以.
故答案为：.
6．(2023·黑龙江·哈九中二模（理））复数z满足（其中i为虚数单位），则______．
答案：
【解析】∵，∴.
另解：.
故答案为：.
1．(2023·浙江·杭师大附中模拟）欧拉公式（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数）是数学中的一个神奇公式．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：A
【解析】由欧拉公式，在复平面内对应点在第一象限．
故选：A．
2．(2023·江苏泰州·模拟）已知复数z满足，则|z|＝（ ）
A．1B．C．2D．2
答案：C
【解析】解：由已知得，则，∴，
故选：C．
3．(2023·湖北·荆州中学模拟）设复数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
答案：D
【解析】由题意得，，即，所以，
故选：D.
4．(2023·江苏南通·模拟）在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转60°后，再将模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是（ ）
A．6B．－6C．D．
答案：B
【解析】绕O点逆时针方向旋转后变为再将模变为倍，得，对应的复数的实部是－6.
故选：B.
5．(2023·上海·模拟）对于复数a、b、c、d，若集合具有性质“对任意，必有”，则当时，_________．
答案：
【解析】∵，则，即，则
若，则取，则
若，则取，则，
经检验满足题意
∴
故答案为：．
6．(2023·天津市第四中学模拟）设复数满足，的实部与虚部互为相反数，则___________.
答案：或0
【解析】设，
因为复数满足，的实部与虚部互为相反数，
所以，解得或
所以或
所以或0
故答案为：或0
7．(2023·江苏·扬州中学模拟）写出一个虚数z，使得为纯虚数，则___________.
答案：（答案不唯一）．
【解析】设（，，），则，因为为纯虚数，所以且.
任取不为零的实数，求出即可得，答案不确定，如，
故答案为：．
8．(2023·北京·潞河中学三模）若复数为纯虚数，则实数________.
答案：-1
【解析】解：为纯虚数，
，解得．
故答案为：．
1．(2023·湖北·模拟）瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下，被誉为“数学中的天桥”，据此（ ）
A．1B．C．0D．
答案：B
【解析】
，
故选：B
2．(2023·辽宁沈阳·三模）已知复数和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】，复数和是实数，成立，
当时，例如，推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．(2023·山东·胜利一中模拟）若复数z满足，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．5D．6
答案：C
【解析】设.
则表示复平面点到点的距离为3.
则的最大值为点到的距离加上3.
即.
故选：C.
4．(2023·江苏南京·模拟）当复数满足时，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设，则，
所以，复数在复平面内对应的点的轨迹方程为，
圆的圆心坐标为，半径长为，
表示圆上的点到定点的距离，
因此，的最大值为.
故选：B
5．(2023·重庆市天星桥中学一模）复数在复平面内对应的点为，将点绕坐标原点逆时针旋转一定的角度，得到点，对应的复数为，则（ ）．
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由题意知点的坐标为，
设射线是角的终边，则有，，
旋转后所得的射线为角的终边，设，
则，
，
∴，
故选：C．
6．(2023·北京·101中学模拟）满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆
答案：C
【解析】因为，所以， 因此复数在复平面上对应点的轨迹是圆，选C.
7．(2023·湖北省仙桃中学模拟）已知单位向量分别对应复数，且，则可能为（ ）
A．B．C．D．
答案：AD
【解析】因为单位向量分别对应复数，
设复数，，
因为，所以，即，
所以，
故选：AD.
8．(2023·湖北·襄阳四中模拟）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为9+i
C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
答案：BCD
【解析】对于选项A，设，只需即可，故错误；
对于选项B，复数与分别表示向量与，
表示向量的复数为，故正确；
对于选项C，点的坐标为，则对应的点为，在第三象限，故正确；
对于选项D，若复数满足，则复数对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1，外圆半径为的圆环上，故所构成的图形面积为，故正确；
故选：BCD．
9．(2023·上海黄浦·二模）已知复数z满足，则的最大值为___________．
答案：3
【解析】不妨设，
由可得，，故点在上运动，
又因为，
所以，即点与点之间的距离，
从而的最大值为点到上一点的最大距离，
又因为是以圆心，半径为1的圆，
故圆心与点之间的距离，
从而的最大值为.
故答案为：3.
10．(2023·江苏·扬中市第二高级中学模拟）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______.
答案：
【解析】复数满足，即
即复数对应的点到点的距离满足
设，表示复数对应的点到点的距离
数形结合可知的最大值
故答案为：