高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第33练椭圆(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第33练椭圆(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了(2023·山西大附中三模等内容，欢迎下载使用。

1．(2023·浙江绍兴·模拟）已知椭圆，则该椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·山东济南·三模）“”是“方程表示的曲线为双曲线”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．(2023·山西大附中三模（文））已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·湖南湘潭·三模）椭圆的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·上海静安·二模）已知椭圆的一个焦点坐标为，则__________.
6．(2023·四川·广安二中模拟（理））若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________.
7．(2023·湖南·长郡中学一模）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为___________.
1．(2023·江苏·南京市江宁高级中学模拟）已知椭圆与圆，过椭圆的顶点作圆的两条切线，若两切线互相垂直，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·河北·石家庄二中模拟）已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·陕西西安·二模（理））如图，圆柱的轴截面是正方形，D，E分别是边和的中点，C是的中点，则经过点C，D，E的平面与圆柱侧面相交所得到曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．2
4．(2023·广东汕头·二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为，，直线AB过与该椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·重庆八中模拟）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为______．
6．(2023·广东汕头·三模）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆E：上，若正方形ABCD的一条边经过椭圆E的焦点F，则E的离心率是__________．
7．(2023·河北张家口·三模）已知椭圆的左､右焦点分别为，，AB是椭圆过点的弦，点A关于原点O的对称点为，，且，则椭圆的离心率为___________.
8．(2023·广东佛山·三模）已知椭圆，、为的左、右焦点，是椭圆上的动点，则内切圆半径的最大值为________．
1．(2023·湖南岳阳·模拟）已知椭圆 及圆O：，如图，过点与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若 ，则椭圆离心率的为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·辽宁沈阳·三模）已知椭圆的两个焦点分别为，点P是椭圆上一点，若的最小值为，则的最大值为（ ）
A．4B．2C．D．
3．(2023·河北秦皇岛·三模）已知椭圆为其左焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，若（为原点），则椭圆的长轴长等于（ ）
A．6B．12C．D．
4．(2023·江苏盐城·三模）已知点为椭圆：的上顶点，点，在椭圆上，满足且，若满足条件的△有且只有一个，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·山东·胜利一中模拟）已知椭圆）的左､右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（多选题）(2023·江苏·阜宁县东沟中学模拟）已知椭圆的左右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（ ）
A．若直线CA的斜率为，BD的斜率，则
B．存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形
C．取值范围为
D．周长的最大值为
7．（多选题）(2023·福建·莆田二中模拟）已知椭圆C：，焦点（-c，0），，下顶点为B．过点的直线l与曲线C在第四象限交于点M，且与圆相切，若，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C上不存在点Q，使得
B．圆A与椭圆C没有公共点
C．当时，椭圆的短轴长为2
D．
8．(2023·广东·模拟）如图，已知为椭圆的左，右焦点，为上在第二象限内一点，以为直径的圆交于点，若（为坐标原点），则的面积为__________，直线的方程为__________.
9．(2023·湖北·荆门市龙泉中学二模）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题：
（1）椭圆C的离心率为__________．
（2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为在l上的射影H在圆上，则椭圆C的方程为__________．
10．(2023·新疆喀什·一模）已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的最小值为______．若点M，N分别是圆和椭圆C上的动点，当椭圆C的离心率取得最小值时，的最大值是______．
专题11 圆锥曲线的方程
第33练 椭圆
1．(2023·浙江绍兴·模拟）已知椭圆，则该椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：因为椭圆的方程为，即，
故，又，故.
故选：C.
2．(2023·山东济南·三模）“”是“方程表示的曲线为双曲线”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
答案：C
【解析】方程表示的曲线为双曲线，则a(2a-1)＜0，解得0＜a＜，
故“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充要条件．
故选：C．
3．(2023·山西大附中三模（文））已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由椭圆方程可知，由四边形OMAN是正方形可知，
又点M在椭圆C上，则有，解得，
又椭圆C的右焦点为，则，
结合椭圆中，解得，，则椭圆C的方程为.
故选：A
4．(2023·湖南湘潭·三模）椭圆的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为的周长为，根据椭圆的定义可得，解得，
则，所以，则椭圆的离心率为.
故选：A.
5．(2023·上海静安·二模）已知椭圆的一个焦点坐标为，则__________.
答案：
【解析】由焦点坐标知焦点在轴上，且，解得.
故答案为：.
6．(2023·四川·广安二中模拟（理））若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________.
答案：
【解析】因为椭圆的焦点在y轴上，
所以，解得，即实数k的取值范围为.
故答案为：
7．(2023·湖南·长郡中学一模）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为___________.
答案：＋＝1
【解析】椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，
∵两焦点恰好将长轴三等分，
∴2c＝·2a＝2，得c＝1，
∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，
∴此椭圆的标准方程为＋＝1.
故答案为：
1．(2023·江苏·南京市江宁高级中学模拟）已知椭圆与圆，过椭圆的顶点作圆的两条切线，若两切线互相垂直，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意可知，若两切线垂直，则过椭圆的左右顶点作圆的切线.
两切线垂直，只需要,所以
故选：B
2．(2023·河北·石家庄二中模拟）已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意及正弦定理得：，
令，则，，可得，
所以椭圆的离心率为：.
故选：B
3．(2023·陕西西安·二模（理））如图，圆柱的轴截面是正方形，D，E分别是边和的中点，C是的中点，则经过点C，D，E的平面与圆柱侧面相交所得到曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．2
答案：B
【解析】连接CO并延长交圆O于点M，过M作圆柱的母线MF，连接CF、DE
取DE的中点N，则NO∥BE
∵BE∥MF，则NO∥MF
可知N为CF的中点，即
∴C，D，E，F四点共面
∵，则平面，则
根据题意不妨设底面圆的半径为1，则
则经过点C，D，E的平面与圆柱侧面相交所得到曲线为以CF为长轴、DE为短轴的椭圆
，即
∴离心率
故选：B．
4．(2023·广东汕头·二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为，，直线AB过与该椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设正三角形的边长为，
设椭圆的标准方程为：，设左、右焦点分别为，
设，则有，
由椭圆的定义可知：，
，解得：，，
在中，由余弦定理可知：，
故选：B
5．(2023·重庆八中模拟）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为______．
答案：
【解析】解：椭圆，所以，即、，
直线过左焦点，所以，，，
所以；
故答案为：
6．(2023·广东汕头·三模）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆E：上，若正方形ABCD的一条边经过椭圆E的焦点F，则E的离心率是__________．
答案：
【解析】
如图：不妨设经过右焦点，由对称性可得经过另一个焦点，则，又由，解得，
则，则，即，整理得，解得，又离心率，则离心率为.
故答案为：.
7．(2023·河北张家口·三模）已知椭圆的左､右焦点分别为，，AB是椭圆过点的弦，点A关于原点O的对称点为，，且，则椭圆的离心率为___________.
答案：
【解析】连接，，，设，
因为，所以四边形为平行四边形，
而，故四边形为矩形，故.
又，由椭圆的定义可得，，
，即，
解得，∴是短轴的端点，且，，.
故答案为：.
8．(2023·广东佛山·三模）已知椭圆，、为的左、右焦点，是椭圆上的动点，则内切圆半径的最大值为________．
答案：
【解析】∵，则
∴的周长
∵内切圆半径，则内切圆半径的最大即为最大
显然当为短轴顶点时最大，此时
则
故答案为：．
1．(2023·湖南岳阳·模拟）已知椭圆 及圆O：，如图，过点与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若 ，则椭圆离心率的为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意得是等边三角形，则直线的倾斜角为，其斜率为，故直线的方程为，代入椭圆方程整理得，其判别式，化简可得，则，又，所以，故选：A.
2．(2023·辽宁沈阳·三模）已知椭圆的两个焦点分别为，点P是椭圆上一点，若的最小值为，则的最大值为（ ）
A．4B．2C．D．
答案：D
【解析】设，由可知，，
，，
，
，时，的最小值为，解得.
当时，的最大值为.
故选：D
3．(2023·河北秦皇岛·三模）已知椭圆为其左焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，若（为原点），则椭圆的长轴长等于（ ）
A．6B．12C．D．
答案：C
【解析】因为椭圆的左焦点为，所以，
又垂直于轴，在椭圆上，故可设，
所以，又，所以，
又
所以．，
解得从而，
故选：C.
4．(2023·江苏盐城·三模）已知点为椭圆：的上顶点，点，在椭圆上，满足且，若满足条件的△有且只有一个，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设直线：，则：，而，
不妨取，直线与椭圆联立，消去得，解得，
所以，则，
因为，所以，
整理得，，易知符合，
因为满足条件的△有且只有一个，
所以无之外的解，整理得，
所以，即，
所以离心率．
故选：B
5．(2023·山东·胜利一中模拟）已知椭圆）的左､右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】连接，延长交轴于，则
，又，，
所以，
故，即，
又，
所以，即.
故选：D.
6．（多选题）(2023·江苏·阜宁县东沟中学模拟）已知椭圆的左右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（ ）
A．若直线CA的斜率为，BD的斜率，则
B．存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形
C．取值范围为
D．周长的最大值为
答案：BD
【解析】将代入椭圆方程，求出，其中，
则，A错误；
由题意得：，当时，，此时，
所以当，是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，
当点A是直角顶点时，由对称性可知：此时A在上顶点或下顶点，由于，故满足题意，所以存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形，B正确；
不妨设，则，
因为，所以，C错误；
如图，当直线经过焦点时，此时的周长最大，
等于，其他位置都比小，
例如当直线与椭圆相交于，与x轴交于C点时，
连接，由椭圆定义可知：，显然，
同理可知：，
故周长的最大值为，D正确
故选：BD
7．（多选题）(2023·福建·莆田二中模拟）已知椭圆C：，焦点（-c，0），，下顶点为B．过点的直线l与曲线C在第四象限交于点M，且与圆相切，若，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C上不存在点Q，使得
B．圆A与椭圆C没有公共点
C．当时，椭圆的短轴长为2
D．
答案：AC
【解析】如下图，设直线l方程为， 圆心A到直线l距离，解得，则，且，得，根据椭圆定义可得，，可得，又，故A正确；圆心A到椭圆左顶点的距离，圆A与椭圆C有公共点，故B错误；当时，，椭圆的短轴长为2，故C正确；，，所以不垂直，故D错误.
故选：AC.
8．(2023·广东·模拟）如图，已知为椭圆的左，右焦点，为上在第二象限内一点，以为直径的圆交于点，若（为坐标原点），则的面积为__________，直线的方程为__________.
答案：
【解析】解：根据椭圆的性质可得，焦点坐标为,
故圆的方程为：，圆的半径为2，即
因为，故，则,
又点在椭圆上，故，则，
在中，由余弦定理得,
故，
则.
因为，，故，即直线的斜率为，
又直线过点，故直线的方程为，整理得.
故答案为：；
9．(2023·湖北·荆门市龙泉中学二模）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题：
（1）椭圆C的离心率为__________．
（2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为在l上的射影H在圆上，则椭圆C的方程为__________．
答案：
【解析】设椭圆C的长轴长为2a(a>0),则由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1，经过的路程为，从而；
如图示：
延长,交于点F0.
在△中,PH⊥F0F2,由反射角等于入射角，可得：,则且H为中点.
在△中,
则,∴,
所以椭圆方程为.
故答案为：；.
10．(2023·新疆喀什·一模）已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的最小值为______．若点M，N分别是圆和椭圆C上的动点，当椭圆C的离心率取得最小值时，的最大值是______．
答案：
【解析】如图所示：
当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，
P对两个焦点的张角渐渐增大，
当且仅当P点位于短轴端点处时，张角达到最大值，
由椭圆上存在一点P，使得，可得中，，
可得中，，
所以，即，
所以椭圆离心率e的最小值，由，，，
解得，，
圆的圆心，半径，
，，
而当取得最大值时，取得最大值，
所以当共线时，取得最大值，
所以，
,
故答案为：，