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高考数学一轮复习(提升版)(新高考地区专用)8.4均值与方差在生活中的运用(精练)(提升版)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习(提升版)(新高考地区专用)8.4均值与方差在生活中的运用(精练)(提升版)(原卷版+解析)，共31页。
A．>，>B．<，>
C．>，2．（2023·全国·高三专题练习）设，随机变量的分布列为
则当在内增大时（ ）
A．增大B．减小C． 先减小后增大D．先增大后减小
3．(2023·浙江省杭州学军中学模拟预测）设，随机变量X的分布列是（ ）
则当a在内增大时，（ ）
A．增大B．减小C．先增大再减小D．先减小再增大
4．(2023·全国·高三专题练习）从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定：
（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．(2023·浙江·三模）随机变量的分布列如下所示，其中，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·浙江绍兴·模拟预测）设，随机变量的分布列分别如下，则( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为，a，2，根据以往销售经验可得，随机变量X的分布列为
其中结论正确的是（ ）A．
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C．
D．当最小时，
题组二 利用均值做决策
1．(2023·全国·南京外国语学校模拟预测）真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼主题等．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在5分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．
(1)求该团队能进入下一关的概率；
(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小？并说明理由．
2．(2023·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下两种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．
在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；
(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二中哪个较“优”？做出判断并说明理由．
3．(2023·惠州模拟）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答.甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜.已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为.甲､乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；
（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
4．(2023·福建模拟）冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中男子个人赛的规则如下：
①共滑行5圈（每圈），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；
②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；
③如果选手有发子弹未命中目标，将被罚时分钟；
④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.
已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.
（1）若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；
（2）若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.
5．(2023·湛江模拟）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热､咳嗽､乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.
（1）设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；
（2）若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲､乙两种中药哪种药性更好？
题组三 均值与其他知识综合
1．(2023·平江模拟）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共 份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：
方案甲：逐份检验，需要检验n次；
方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有 份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为 ．
假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为 ．
（1）若 ， ，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；
（2）记 为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．
①当 ， 时，求 ；
②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据： ）
2．(2023·武昌模拟）接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A、B、C三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足.为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A、B、C三种号码(产生每个号码的可能性都相等)，前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗(例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推).若甲、乙、丙、丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗.
（1）记甲、乙、丙、丁四个人中接种疫苗A的人数为，求随机变量的数学期望；
（2）记甲、乙、丙、丁四个人中接种疫苗的种数为，求随机变量的分布列和数学期望.
3(2023·黄山模拟）“红五月”将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛，挑战赛分为个人晋级赛和决赛两个阶段.个人晋级赛的试题有2道“是非判断”题和道“信息连线”题，其中4道“信息连线”题是由电脑随机给出错乱排列的四句古诗词和四条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，每位参赛选手只有一次挑战机会.比赛规则为：电脑随机同时给出道“是非判断”和4道“信息连线”题，要求参赛者全都作答，若有四道或四道以上答对，则该选手晋级成功.
（1）设甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的2道“是非判断”题和4道“信息连线”题都有且只有一道题能够答对，其余的4题只能随机作答，求甲同学晋级成功的概率；
（2）已知该校高三（1）班共有位同学，每位同学都参加个人晋级赛，且彼此相互独立.若将（1）中甲同学晋级的概率当作该班级每位同学晋级的概率，设该班晋级的学生人数为.
①问该班级成功晋级的学生人数最有可能是多少？说明理由；
②求随机变量的方差.
4．(2023·江西·南昌二中高三开学考试（理））某商场为吸引顾客，增加顾客流量，决定开展一项有奖游戏．参加一次游戏的规则如下：连续抛质地均匀的硬币三次（每次抛硬币结果相互独立），若正面朝上多于反面朝上的次数，则得分，否则得分．一位顾客可最多连续参加次游戏．
(1)求顾客甲在一次游戏中正面朝上次数的分布列与期望；
(2)若连续参加游戏获得的分数总和不小于分，即可获得一份大奖．顾客乙准备连续参加次游戏，则他获得这份大奖的概率多大？
5．(2023·北京市第五中学三模）2022 年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发. 该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒. 我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者. 一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察. 调查发现某位感染者共有 10 位密切接触者，将这 10 位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测. 核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用 “ 合 1 检测法”. “ 合 1 检测法” 是将 个样本混合在一起检测，若混合样本呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测; 若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性. 通过病毒指标检测，每位密切按触者为阴性的概率为 ，且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立.
(1)现对 10 个样本进行单样本检测，求检测结果最多有1个样本为阳性的概率 的表达式;
(2)若对 10 个样本采用 “5合1检测法” 进行核酸检测. 用 表示以下结论:
①求某个混合样本呈阳性的概率;
②设总检测次数为，求的分布列和数学期望 .
6(2023·泰安二模）为提升教师的命题能力，某学校将举办一次教师命题大赛，大赛分初赛和复赛，初赛共进行3轮比赛，3轮比赛命制的题目分别适用于高一，高二，高三年级，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，限时60分钟，参赛教师要在指定的知识范围内，命制非解答题，解答题各2道，若有不少于3道题目入选，将获得“优秀奖”，3轮比赛中，至少获得2次“优秀奖”的教师将进入复赛．为能进入复赛，教师甲赛前多次进行命题模拟训练，指导老师从教师甲模拟训练命制的题目中，随机抽取了4道非解答题和4道解答题，其中有3道非解答题和2道解答题符合入选标准．
（1）若从模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中，随机抽取非解答题，解答题各2道，由此来估计教师甲在一轮比赛中的获奖情况，试预测教师甲在一轮比赛中获“优秀奖”的概率；
（2）若以模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中两类题目各自入选的频率作为每道该类题目入选的概率，经指导老师对教师甲进行赛前强化训练后，每道非解答题入选的概率不变，每道解答题入选的概率比强化训练前大，以获得“优秀奖”次数的期望作为判断依据，试预测教师甲能否进入复赛？0
1
2
X
0
1
2
P
b
X
0
1
P
b
0
1
P
0
1
2
P
0
1
2
P
X
0
a
2
P
b
8.4 均值与方差在生活中的运用（精练）（提升版）
题组一 均值与方差
1．（2023·浙江·磐安县第二中学）已知随机变量的分布列如下表所示：
若，则（ ）
A．>，>B．<，>
C．>，答案：A
【解析】，
，
由于，所以.
，
同理可得.
，
所以.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）设，随机变量的分布列为
则当在内增大时（ ）
A．增大B．减小C． 先减小后增大D．先增大后减小
答案：A
【解析】根据随机变量分布列的性质可知，
，
，
因为，所以单调递增，
故选：A
3．(2023·浙江省杭州学军中学模拟预测）设，随机变量X的分布列是（ ）
则当a在内增大时，（ ）
A．增大B．减小C．先增大再减小D．先减小再增大
答案：C
【解析】因为，所以，
因为，
所以
所以当时，增大增大，当时，减小减小.
故选：C.
4．(2023·全国·高三专题练习）从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定：
（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
【解析】根据题意，，，，分布列如下：
根据题意，，，，分布列如下：
，，
，，
可得，
故选：C.
5．(2023·浙江·三模）随机变量的分布列如下所示，其中，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】根据分布列可得：，
则，
因为，故，即．
令（）
则
当时，，单调递增；
当时，，单调递减
又因为
所以与大小无法确定
故选：D．
6．(2023·浙江绍兴·模拟预测）设，随机变量的分布列分别如下，则( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
答案：A
【解析】设随机变量为X，其可能的取值是，对应概率为，则其数学期望(均值)为，
其方差为：
，
则，，
；
，，
；
∴，
若，则，，故，即，故A正确，B错误；
若，则，但无法判断与1的大小，故无法判断的大小，故CD错误．故选：A．
7．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为，a，2，根据以往销售经验可得，随机变量X的分布列为
其中结论正确的是（ ）A．
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C．
D．当最小时，
答案：ABC
【解析】由题意，，，故选项A正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为，故选项B正确；随机变量X的期望值，可知方差
，当时，，故选项C正确；当时，，故选项D错误.
故选：ABC.
题组二 利用均值做决策
1．(2023·全国·南京外国语学校模拟预测）真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼主题等．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在5分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．
(1)求该团队能进入下一关的概率；
(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小？并说明理由．
答案：(1)
【解析】（1）解：记“团队能进入下一关”的事件为，则“不能进入下一关”的事件为，
，
所以该团队能进入下一关的概率为．
（2）解：设按先后顺序各自能完成任务的概率分别，，，且，，互不相等，
根据题意知的所有可能的取值为1，2，3；
则，，，
，
所以．
若交换前两个人的派出顺序，则变为，
由此可见，当时，
交换前两人的派出顺序可增大均值，应选概率大的甲先开锁；
若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，
由交换前，
所以交换后的派出顺序则变为，
当时，交换后的派出顺序可增大均值．
所以先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．
2．(2023·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下两种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．
在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；
(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二中哪个较“优”？做出判断并说明理由．
答案：(1)
(2)方案二较“优”；理由见解析
【解析】(1)
用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则，
由题意可知，设4个疑似病例中至少有1例呈阳性为事件A
；
(2)
方案一：逐个检验，检验次数为4．
方案二：每组两个样本检测时，呈阴性的概率为，
设方案二的检测次数为随机变量Y，则Y的可能取值为2，4，6，所以
，
，
，
所以随机变量Y的分布列为：
所以方案二检测次数Y的期望为．
则采取方案二较“优”.
3．(2023·惠州模拟）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答.甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜.已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为.甲､乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；
（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
答案：（1）45（2）甲
【解析】（1）解：甲小组至少答对2道题目可分为答对2题或者答对3题；
，
所求概率
（2）解：甲小组抽取的3题中正确回答的题数为X，则X的取值分别为1，2，3.
，
结合（1）可知，
.
设乙小组抽取的三题中正确回答的题数为Y，则，
，
由，可得，甲小组参加决赛更好.
4．(2023·福建模拟）冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中男子个人赛的规则如下：
①共滑行5圈（每圈），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；
②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；
③如果选手有发子弹未命中目标，将被罚时分钟；
④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.
已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.
（1）若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；
（2）若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.
答案：（1）（2）乙
【解析】（1）解：甲滑雪用时比乙多秒分钟，因为前三次射击，甲、乙两人的被罚时间相同，所以在第四次射击中，甲至少要比乙多命中4发子弹.
设“甲胜乙”为事件A，“在第四次射击中，甲有4发子弹命中目标，乙均未命中目标”为事件，
“在第四次射击中，甲有5发子弹命中目标，乙至多有1发子弹命中目标”为事件，
依题意，事件和事件是互斥事件，，
，，
所以，.
即甲胜乙的概率为.
（2）解：依题意得，甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为，乙选手在比赛中未击中目标的子弹数为，则，，
所以甲被罚时间的期望为（分钟），
乙被罚时间的期望为（分钟），
又在赛道上甲选手滑行时间慢3分钟，所以甲最终用时的期望比乙多2分钟.
因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高.
5．(2023·湛江模拟）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热､咳嗽､乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.
（1）设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；
（2）若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲､乙两种中药哪种药性更好？
答案：（1）（2）甲
【解析】（1）解：依题意有，，
.
又事件C与D相互独立，
则，
所以.
（2）解：设A组中服用甲种中药康复的人数为，则，
所以.
设A组的积分为，则，
所以.
设B组中服用乙种中药康复的人数为，则的可能取值为：0，1，2，3，
，
，
，
，
故的分布列为
所以，
设B组的积分为，则，
所以，
因为，
所以甲种中药药性更好.
题组三 均值与其他知识综合
1．(2023·平江模拟）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共 份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：
方案甲：逐份检验，需要检验n次；
方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有 份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为 ．
假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为 ．
（1）若 ， ，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；
（2）记 为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．
①当 ， 时，求 ；
②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据： ）
答案：（1）0.2 （2）见解析
【解析】（1）解：对5个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件A为“5个人的血样中恰有2个人的检验结果为阳性”，则
（2）解：①当 ， 时，5个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为 ，总共需要检验的次数为1次；结果为阳性的概率为 ，总共需要检验的次数为6次；所以 的分布列为：
所以 ．
②当采用混合检验的方案时 ，
根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足 ，
即 ，化简得 ，
所以当P满足 ，用混合检验的方案能减少检验次数．
2．(2023·武昌模拟）接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A、B、C三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足.为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A、B、C三种号码(产生每个号码的可能性都相等)，前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗(例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推).若甲、乙、丙、丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗.
（1）记甲、乙、丙、丁四个人中接种疫苗A的人数为，求随机变量的数学期望；
（2）记甲、乙、丙、丁四个人中接种疫苗的种数为，求随机变量的分布列和数学期望.
答案：（1）（2）见解析
【解析】（1）解：由题意，∴，
即随机变量的数学期望为
（2）解：的可能取值为1，2，3．
，
，
，
的分布列为：
3(2023·黄山模拟）“红五月”将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛，挑战赛分为个人晋级赛和决赛两个阶段.个人晋级赛的试题有2道“是非判断”题和道“信息连线”题，其中4道“信息连线”题是由电脑随机给出错乱排列的四句古诗词和四条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，每位参赛选手只有一次挑战机会.比赛规则为：电脑随机同时给出道“是非判断”和4道“信息连线”题，要求参赛者全都作答，若有四道或四道以上答对，则该选手晋级成功.
（1）设甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的2道“是非判断”题和4道“信息连线”题都有且只有一道题能够答对，其余的4题只能随机作答，求甲同学晋级成功的概率；
（2）已知该校高三（1）班共有位同学，每位同学都参加个人晋级赛，且彼此相互独立.若将（1）中甲同学晋级的概率当作该班级每位同学晋级的概率，设该班晋级的学生人数为.
①问该班级成功晋级的学生人数最有可能是多少？说明理由；
②求随机变量的方差.
答案：（1）512（2）1645144
【解析】（1）解：记事件甲同学晋级成功，则事件包含以下几种情况：
①事件“共答对四道”，即答对余下的是非判断题，答错两道信息连线题，则
.
②事件“共答对五道”，即答错余下的是非判断题，答对余下的三道信息连线题，则.
③事件“共答对六道”， 即答对余下的四道问题，，
所以.
（2）解：①由题意可知，设最大，
则，即，
可得，解得，即最有可能取的值为19或20；
②由二项分布的方差公式可得.
4．(2023·江西·南昌二中高三开学考试（理））某商场为吸引顾客，增加顾客流量，决定开展一项有奖游戏．参加一次游戏的规则如下：连续抛质地均匀的硬币三次（每次抛硬币结果相互独立），若正面朝上多于反面朝上的次数，则得分，否则得分．一位顾客可最多连续参加次游戏．
(1)求顾客甲在一次游戏中正面朝上次数的分布列与期望；
(2)若连续参加游戏获得的分数总和不小于分，即可获得一份大奖．顾客乙准备连续参加次游戏，则他获得这份大奖的概率多大？
答案：(1)分布列见解析，数学期望为
(2)
【解析】（1）解：由题意得三次抛硬币正面朝上的次数，
则，，
，，
所以分布列为
则甲在一次游戏中硬币正面朝上次数的期望
（2）
解：由（1）知，在一次游戏中，顾客乙得3分和得1分的概率均为
设次游戏中，得分的次数为，则，即，
易知，故
.
5．(2023·北京市第五中学三模）2022 年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发. 该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒. 我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者. 一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察. 调查发现某位感染者共有 10 位密切接触者，将这 10 位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测. 核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用 “ 合 1 检测法”. “ 合 1 检测法” 是将 个样本混合在一起检测，若混合样本呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测; 若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性. 通过病毒指标检测，每位密切按触者为阴性的概率为 ，且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立.
(1)现对 10 个样本进行单样本检测，求检测结果最多有1个样本为阳性的概率 的表达式;
(2)若对 10 个样本采用 “5合1检测法” 进行核酸检测. 用 表示以下结论:
①求某个混合样本呈阳性的概率;
②设总检测次数为，求的分布列和数学期望 .
答案：(1)；
(2)①；②分布列见解析，.
【解析】(1)由题意可知，对10个样本进行逐个检测属于独立重复试验，所以最多有1个阳性样本的概率为：
，
所以
(2)①设“某个混合样本呈阳性”为事件，则表示事件“某个混合样本呈阴性”，而混合样本呈阴性即为该混合样本全部为阴性，．
故
②X的可能取值为2，7，12．
当两个混合样本都呈阴性时，.
当两个混合样本一个呈阳性，一个呈阴性时，．
当两个混合样本都呈阳性时，．
故X的分布列为：
的数学期望，
所以的数学期望为
6(2023·泰安二模）为提升教师的命题能力，某学校将举办一次教师命题大赛，大赛分初赛和复赛，初赛共进行3轮比赛，3轮比赛命制的题目分别适用于高一，高二，高三年级，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，限时60分钟，参赛教师要在指定的知识范围内，命制非解答题，解答题各2道，若有不少于3道题目入选，将获得“优秀奖”，3轮比赛中，至少获得2次“优秀奖”的教师将进入复赛．为能进入复赛，教师甲赛前多次进行命题模拟训练，指导老师从教师甲模拟训练命制的题目中，随机抽取了4道非解答题和4道解答题，其中有3道非解答题和2道解答题符合入选标准．
（1）若从模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中，随机抽取非解答题，解答题各2道，由此来估计教师甲在一轮比赛中的获奖情况，试预测教师甲在一轮比赛中获“优秀奖”的概率；
（2）若以模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中两类题目各自入选的频率作为每道该类题目入选的概率，经指导老师对教师甲进行赛前强化训练后，每道非解答题入选的概率不变，每道解答题入选的概率比强化训练前大，以获得“优秀奖”次数的期望作为判断依据，试预测教师甲能否进入复赛？
答案：见解析
【解析】（1）解：设A＝“在一轮比赛中，教师甲获得优秀奖”，则事件A发生的所有情况有
①符合入选标准的非解答题入选1道，解答题入选2道的概率为
②符合入选标准的非解答题入选2道，解答题入选1道的概率为
③符合入选标准的非解答题，解答题各入选2道的概率为
所以
（2）解：由题知，强化训练后，每道非解答题入选的概率为，每道解答题入选的概率为，则强化训练后，教师甲在一轮比赛中可获得“优秀奖”的概率为
，
因为每轮比赛结果互不影响，所以进行3轮比赛可看作3重伯努利试验．
用X表示教师甲在3轮比赛中获得“优秀奖”的次数，则．
∴，
∴教师甲能进入复赛.0
1
2
X
0
1
2
P
b
X
0
1
P
b
0
1
P
0
1
2
P
0
1
2
P
X
0
a
2
P
b
Y
2
4
6
P
0
1
2
3
1
6
P
1
2
3
0
1
2
3
2
7
12
A．>，>B．<，>
C．>，
则当在内增大时（ ）
A．增大B．减小C． 先减小后增大D．先增大后减小
3．(2023·浙江省杭州学军中学模拟预测）设，随机变量X的分布列是（ ）
则当a在内增大时，（ ）
A．增大B．减小C．先增大再减小D．先减小再增大
4．(2023·全国·高三专题练习）从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定：
（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．(2023·浙江·三模）随机变量的分布列如下所示，其中，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·浙江绍兴·模拟预测）设，随机变量的分布列分别如下，则( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为，a，2，根据以往销售经验可得，随机变量X的分布列为
其中结论正确的是（ ）A．
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C．
D．当最小时，
题组二 利用均值做决策
1．(2023·全国·南京外国语学校模拟预测）真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼主题等．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在5分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．
(1)求该团队能进入下一关的概率；
(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小？并说明理由．
2．(2023·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下两种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．
在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；
(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二中哪个较“优”？做出判断并说明理由．
3．(2023·惠州模拟）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答.甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜.已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为.甲､乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；
（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
4．(2023·福建模拟）冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中男子个人赛的规则如下：
①共滑行5圈（每圈），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；
②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；
③如果选手有发子弹未命中目标，将被罚时分钟；
④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.
已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.
（1）若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；
（2）若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.
5．(2023·湛江模拟）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热､咳嗽､乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.
（1）设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；
（2）若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲､乙两种中药哪种药性更好？
题组三 均值与其他知识综合
1．(2023·平江模拟）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共 份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：
方案甲：逐份检验，需要检验n次；
方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有 份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为 ．
假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为 ．
（1）若 ， ，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；
（2）记 为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．
①当 ， 时，求 ；
②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据： ）
2．(2023·武昌模拟）接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A、B、C三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足.为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A、B、C三种号码(产生每个号码的可能性都相等)，前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗(例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推).若甲、乙、丙、丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗.
（1）记甲、乙、丙、丁四个人中接种疫苗A的人数为，求随机变量的数学期望；
（2）记甲、乙、丙、丁四个人中接种疫苗的种数为，求随机变量的分布列和数学期望.
3(2023·黄山模拟）“红五月”将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛，挑战赛分为个人晋级赛和决赛两个阶段.个人晋级赛的试题有2道“是非判断”题和道“信息连线”题，其中4道“信息连线”题是由电脑随机给出错乱排列的四句古诗词和四条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，每位参赛选手只有一次挑战机会.比赛规则为：电脑随机同时给出道“是非判断”和4道“信息连线”题，要求参赛者全都作答，若有四道或四道以上答对，则该选手晋级成功.
（1）设甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的2道“是非判断”题和4道“信息连线”题都有且只有一道题能够答对，其余的4题只能随机作答，求甲同学晋级成功的概率；
（2）已知该校高三（1）班共有位同学，每位同学都参加个人晋级赛，且彼此相互独立.若将（1）中甲同学晋级的概率当作该班级每位同学晋级的概率，设该班晋级的学生人数为.
①问该班级成功晋级的学生人数最有可能是多少？说明理由；
②求随机变量的方差.
4．(2023·江西·南昌二中高三开学考试（理））某商场为吸引顾客，增加顾客流量，决定开展一项有奖游戏．参加一次游戏的规则如下：连续抛质地均匀的硬币三次（每次抛硬币结果相互独立），若正面朝上多于反面朝上的次数，则得分，否则得分．一位顾客可最多连续参加次游戏．
(1)求顾客甲在一次游戏中正面朝上次数的分布列与期望；
(2)若连续参加游戏获得的分数总和不小于分，即可获得一份大奖．顾客乙准备连续参加次游戏，则他获得这份大奖的概率多大？
5．(2023·北京市第五中学三模）2022 年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发. 该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒. 我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者. 一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察. 调查发现某位感染者共有 10 位密切接触者，将这 10 位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测. 核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用 “ 合 1 检测法”. “ 合 1 检测法” 是将 个样本混合在一起检测，若混合样本呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测; 若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性. 通过病毒指标检测，每位密切按触者为阴性的概率为 ，且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立.
(1)现对 10 个样本进行单样本检测，求检测结果最多有1个样本为阳性的概率 的表达式;
(2)若对 10 个样本采用 “5合1检测法” 进行核酸检测. 用 表示以下结论:
①求某个混合样本呈阳性的概率;
②设总检测次数为，求的分布列和数学期望 .
6(2023·泰安二模）为提升教师的命题能力，某学校将举办一次教师命题大赛，大赛分初赛和复赛，初赛共进行3轮比赛，3轮比赛命制的题目分别适用于高一，高二，高三年级，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，限时60分钟，参赛教师要在指定的知识范围内，命制非解答题，解答题各2道，若有不少于3道题目入选，将获得“优秀奖”，3轮比赛中，至少获得2次“优秀奖”的教师将进入复赛．为能进入复赛，教师甲赛前多次进行命题模拟训练，指导老师从教师甲模拟训练命制的题目中，随机抽取了4道非解答题和4道解答题，其中有3道非解答题和2道解答题符合入选标准．
（1）若从模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中，随机抽取非解答题，解答题各2道，由此来估计教师甲在一轮比赛中的获奖情况，试预测教师甲在一轮比赛中获“优秀奖”的概率；
（2）若以模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中两类题目各自入选的频率作为每道该类题目入选的概率，经指导老师对教师甲进行赛前强化训练后，每道非解答题入选的概率不变，每道解答题入选的概率比强化训练前大，以获得“优秀奖”次数的期望作为判断依据，试预测教师甲能否进入复赛？0
1
2
X
0
1
2
P
b
X
0
1
P
b
0
1
P
0
1
2
P
0
1
2
P
X
0
a
2
P
b
8.4 均值与方差在生活中的运用（精练）（提升版）
题组一 均值与方差
1．（2023·浙江·磐安县第二中学）已知随机变量的分布列如下表所示：
若，则（ ）
A．>，>B．<，>
C．>，
【解析】，
，
由于，所以.
，
同理可得.
，
所以.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）设，随机变量的分布列为
则当在内增大时（ ）
A．增大B．减小C． 先减小后增大D．先增大后减小
答案：A
【解析】根据随机变量分布列的性质可知，
，
，
因为，所以单调递增，
故选：A
3．(2023·浙江省杭州学军中学模拟预测）设，随机变量X的分布列是（ ）
则当a在内增大时，（ ）
A．增大B．减小C．先增大再减小D．先减小再增大
答案：C
【解析】因为，所以，
因为，
所以
所以当时，增大增大，当时，减小减小.
故选：C.
4．(2023·全国·高三专题练习）从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定：
（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
【解析】根据题意，，，，分布列如下：
根据题意，，，，分布列如下：
，，
，，
可得，
故选：C.
5．(2023·浙江·三模）随机变量的分布列如下所示，其中，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】根据分布列可得：，
则，
因为，故，即．
令（）
则
当时，，单调递增；
当时，，单调递减
又因为
所以与大小无法确定
故选：D．
6．(2023·浙江绍兴·模拟预测）设，随机变量的分布列分别如下，则( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
答案：A
【解析】设随机变量为X，其可能的取值是，对应概率为，则其数学期望(均值)为，
其方差为：
，
则，，
；
，，
；
∴，
若，则，，故，即，故A正确，B错误；
若，则，但无法判断与1的大小，故无法判断的大小，故CD错误．故选：A．
7．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为，a，2，根据以往销售经验可得，随机变量X的分布列为
其中结论正确的是（ ）A．
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C．
D．当最小时，
答案：ABC
【解析】由题意，，，故选项A正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为，故选项B正确；随机变量X的期望值，可知方差
，当时，，故选项C正确；当时，，故选项D错误.
故选：ABC.
题组二 利用均值做决策
1．(2023·全国·南京外国语学校模拟预测）真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼主题等．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在5分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．
(1)求该团队能进入下一关的概率；
(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小？并说明理由．
答案：(1)
【解析】（1）解：记“团队能进入下一关”的事件为，则“不能进入下一关”的事件为，
，
所以该团队能进入下一关的概率为．
（2）解：设按先后顺序各自能完成任务的概率分别，，，且，，互不相等，
根据题意知的所有可能的取值为1，2，3；
则，，，
，
所以．
若交换前两个人的派出顺序，则变为，
由此可见，当时，
交换前两人的派出顺序可增大均值，应选概率大的甲先开锁；
若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，
由交换前，
所以交换后的派出顺序则变为，
当时，交换后的派出顺序可增大均值．
所以先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．
2．(2023·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下两种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．
在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；
(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二中哪个较“优”？做出判断并说明理由．
答案：(1)
(2)方案二较“优”；理由见解析
【解析】(1)
用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则，
由题意可知，设4个疑似病例中至少有1例呈阳性为事件A
；
(2)
方案一：逐个检验，检验次数为4．
方案二：每组两个样本检测时，呈阴性的概率为，
设方案二的检测次数为随机变量Y，则Y的可能取值为2，4，6，所以
，
，
，
所以随机变量Y的分布列为：
所以方案二检测次数Y的期望为．
则采取方案二较“优”.
3．(2023·惠州模拟）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答.甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜.已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为.甲､乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；
（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
答案：（1）45（2）甲
【解析】（1）解：甲小组至少答对2道题目可分为答对2题或者答对3题；
，
所求概率
（2）解：甲小组抽取的3题中正确回答的题数为X，则X的取值分别为1，2，3.
，
结合（1）可知，
.
设乙小组抽取的三题中正确回答的题数为Y，则，
，
由，可得，甲小组参加决赛更好.
4．(2023·福建模拟）冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中男子个人赛的规则如下：
①共滑行5圈（每圈），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；
②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；
③如果选手有发子弹未命中目标，将被罚时分钟；
④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.
已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.
（1）若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；
（2）若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.
答案：（1）（2）乙
【解析】（1）解：甲滑雪用时比乙多秒分钟，因为前三次射击，甲、乙两人的被罚时间相同，所以在第四次射击中，甲至少要比乙多命中4发子弹.
设“甲胜乙”为事件A，“在第四次射击中，甲有4发子弹命中目标，乙均未命中目标”为事件，
“在第四次射击中，甲有5发子弹命中目标，乙至多有1发子弹命中目标”为事件，
依题意，事件和事件是互斥事件，，
，，
所以，.
即甲胜乙的概率为.
（2）解：依题意得，甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为，乙选手在比赛中未击中目标的子弹数为，则，，
所以甲被罚时间的期望为（分钟），
乙被罚时间的期望为（分钟），
又在赛道上甲选手滑行时间慢3分钟，所以甲最终用时的期望比乙多2分钟.
因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高.
5．(2023·湛江模拟）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热､咳嗽､乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.
（1）设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；
（2）若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲､乙两种中药哪种药性更好？
答案：（1）（2）甲
【解析】（1）解：依题意有，，
.
又事件C与D相互独立，
则，
所以.
（2）解：设A组中服用甲种中药康复的人数为，则，
所以.
设A组的积分为，则，
所以.
设B组中服用乙种中药康复的人数为，则的可能取值为：0，1，2，3，
，
，
，
，
故的分布列为
所以，
设B组的积分为，则，
所以，
因为，
所以甲种中药药性更好.
题组三 均值与其他知识综合
1．(2023·平江模拟）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共 份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：
方案甲：逐份检验，需要检验n次；
方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有 份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为 ．
假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为 ．
（1）若 ， ，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；
（2）记 为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．
①当 ， 时，求 ；
②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据： ）
答案：（1）0.2 （2）见解析
【解析】（1）解：对5个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件A为“5个人的血样中恰有2个人的检验结果为阳性”，则
（2）解：①当 ， 时，5个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为 ，总共需要检验的次数为1次；结果为阳性的概率为 ，总共需要检验的次数为6次；所以 的分布列为：
所以 ．
②当采用混合检验的方案时 ，
根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足 ，
即 ，化简得 ，
所以当P满足 ，用混合检验的方案能减少检验次数．
2．(2023·武昌模拟）接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A、B、C三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足.为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A、B、C三种号码(产生每个号码的可能性都相等)，前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗(例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推).若甲、乙、丙、丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗.
（1）记甲、乙、丙、丁四个人中接种疫苗A的人数为，求随机变量的数学期望；
（2）记甲、乙、丙、丁四个人中接种疫苗的种数为，求随机变量的分布列和数学期望.
答案：（1）（2）见解析
【解析】（1）解：由题意，∴，
即随机变量的数学期望为
（2）解：的可能取值为1，2，3．
，
，
，
的分布列为：
3(2023·黄山模拟）“红五月”将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛，挑战赛分为个人晋级赛和决赛两个阶段.个人晋级赛的试题有2道“是非判断”题和道“信息连线”题，其中4道“信息连线”题是由电脑随机给出错乱排列的四句古诗词和四条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，每位参赛选手只有一次挑战机会.比赛规则为：电脑随机同时给出道“是非判断”和4道“信息连线”题，要求参赛者全都作答，若有四道或四道以上答对，则该选手晋级成功.
（1）设甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的2道“是非判断”题和4道“信息连线”题都有且只有一道题能够答对，其余的4题只能随机作答，求甲同学晋级成功的概率；
（2）已知该校高三（1）班共有位同学，每位同学都参加个人晋级赛，且彼此相互独立.若将（1）中甲同学晋级的概率当作该班级每位同学晋级的概率，设该班晋级的学生人数为.
①问该班级成功晋级的学生人数最有可能是多少？说明理由；
②求随机变量的方差.
答案：（1）512（2）1645144
【解析】（1）解：记事件甲同学晋级成功，则事件包含以下几种情况：
①事件“共答对四道”，即答对余下的是非判断题，答错两道信息连线题，则
.
②事件“共答对五道”，即答错余下的是非判断题，答对余下的三道信息连线题，则.
③事件“共答对六道”， 即答对余下的四道问题，，
所以.
（2）解：①由题意可知，设最大，
则，即，
可得，解得，即最有可能取的值为19或20；
②由二项分布的方差公式可得.
4．(2023·江西·南昌二中高三开学考试（理））某商场为吸引顾客，增加顾客流量，决定开展一项有奖游戏．参加一次游戏的规则如下：连续抛质地均匀的硬币三次（每次抛硬币结果相互独立），若正面朝上多于反面朝上的次数，则得分，否则得分．一位顾客可最多连续参加次游戏．
(1)求顾客甲在一次游戏中正面朝上次数的分布列与期望；
(2)若连续参加游戏获得的分数总和不小于分，即可获得一份大奖．顾客乙准备连续参加次游戏，则他获得这份大奖的概率多大？
答案：(1)分布列见解析，数学期望为
(2)
【解析】（1）解：由题意得三次抛硬币正面朝上的次数，
则，，
，，
所以分布列为
则甲在一次游戏中硬币正面朝上次数的期望
（2）
解：由（1）知，在一次游戏中，顾客乙得3分和得1分的概率均为
设次游戏中，得分的次数为，则，即，
易知，故
.
5．(2023·北京市第五中学三模）2022 年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发. 该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒. 我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者. 一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察. 调查发现某位感染者共有 10 位密切接触者，将这 10 位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测. 核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用 “ 合 1 检测法”. “ 合 1 检测法” 是将 个样本混合在一起检测，若混合样本呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测; 若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性. 通过病毒指标检测，每位密切按触者为阴性的概率为 ，且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立.
(1)现对 10 个样本进行单样本检测，求检测结果最多有1个样本为阳性的概率 的表达式;
(2)若对 10 个样本采用 “5合1检测法” 进行核酸检测. 用 表示以下结论:
①求某个混合样本呈阳性的概率;
②设总检测次数为，求的分布列和数学期望 .
答案：(1)；
(2)①；②分布列见解析，.
【解析】(1)由题意可知，对10个样本进行逐个检测属于独立重复试验，所以最多有1个阳性样本的概率为：
，
所以
(2)①设“某个混合样本呈阳性”为事件，则表示事件“某个混合样本呈阴性”，而混合样本呈阴性即为该混合样本全部为阴性，．
故
②X的可能取值为2，7，12．
当两个混合样本都呈阴性时，.
当两个混合样本一个呈阳性，一个呈阴性时，．
当两个混合样本都呈阳性时，．
故X的分布列为：
的数学期望，
所以的数学期望为
6(2023·泰安二模）为提升教师的命题能力，某学校将举办一次教师命题大赛，大赛分初赛和复赛，初赛共进行3轮比赛，3轮比赛命制的题目分别适用于高一，高二，高三年级，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，限时60分钟，参赛教师要在指定的知识范围内，命制非解答题，解答题各2道，若有不少于3道题目入选，将获得“优秀奖”，3轮比赛中，至少获得2次“优秀奖”的教师将进入复赛．为能进入复赛，教师甲赛前多次进行命题模拟训练，指导老师从教师甲模拟训练命制的题目中，随机抽取了4道非解答题和4道解答题，其中有3道非解答题和2道解答题符合入选标准．
（1）若从模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中，随机抽取非解答题，解答题各2道，由此来估计教师甲在一轮比赛中的获奖情况，试预测教师甲在一轮比赛中获“优秀奖”的概率；
（2）若以模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中两类题目各自入选的频率作为每道该类题目入选的概率，经指导老师对教师甲进行赛前强化训练后，每道非解答题入选的概率不变，每道解答题入选的概率比强化训练前大，以获得“优秀奖”次数的期望作为判断依据，试预测教师甲能否进入复赛？
答案：见解析
【解析】（1）解：设A＝“在一轮比赛中，教师甲获得优秀奖”，则事件A发生的所有情况有
①符合入选标准的非解答题入选1道，解答题入选2道的概率为
②符合入选标准的非解答题入选2道，解答题入选1道的概率为
③符合入选标准的非解答题，解答题各入选2道的概率为
所以
（2）解：由题知，强化训练后，每道非解答题入选的概率为，每道解答题入选的概率为，则强化训练后，教师甲在一轮比赛中可获得“优秀奖”的概率为
，
因为每轮比赛结果互不影响，所以进行3轮比赛可看作3重伯努利试验．
用X表示教师甲在3轮比赛中获得“优秀奖”的次数，则．
∴，
∴教师甲能进入复赛.0
1
2
X
0
1
2
P
b
X
0
1
P
b
0
1
P
0
1
2
P
0
1
2
P
X
0
a
2
P
b
Y
2
4
6
P
0
1
2
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1
2
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