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高中物理鲁科版 (2019)必修 第二册第2节 万有引力定律的应用第1课时课后作业题
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这是一份高中物理鲁科版 (2019)必修 第二册第2节 万有引力定律的应用第1课时课后作业题，共17页。试卷主要包含了已知引力常量G=6等内容，欢迎下载使用。
第1课时 万有引力定律的应用
基础过关练
题组一 计算天体的质量
1.已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,重力加速度g取9.8 m/s2,地球半径R=6.4×106 m,则可知地球质量的数量级是( )
A.1018 kg B.1020 kg
C.1022 kg D.1024 kg
2.(2023山东菏泽鄄城一中月考)已知地球表面重力加速度为g地、地球的半径为R地,地球的质量为M地,火星的半径为R火,某飞船飞到火星上测得火星表面的重力加速度为g火,由此可得火星的质量为( )
A.g火R火2g地R地2M地 B.g地R地2g火R火2M地
C.g火2R火g地2R地M地 D.g火R火g地R地M地
3.(2021安徽安庆月考)2021年2月10日,我国首次火星探测任务——“天问一号”火星探测器实施近火捕获制动,开启了环绕火星之旅。假设“天问一号”探测器在绕火星做圆周运动时距火星表面高为h,绕行的周期为T1;火星绕太阳公转的周期为T2,公转半径为R。太阳半径为r1,火星半径为r2。若忽略其他星球对“天问一号”探测器的影响,则火星与太阳的质量之比为( )
A.R3r13 B.R3T22r13T12
C.r2+ℎR3 D.T2T12·r2+ℎR3
4.(2021江苏南通期末)嫦娥五号是我国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。2020年11月29日,嫦娥五号从椭圆环月轨道变轨到圆形环月轨道,圆形环月轨道对应的周期为T,离月面高度为h,如图所示。已知月球半径为R,引力常量为G。
(1)求月球的质量M;
(2)求月球表面的重力加速度大小g;
(3)假设未来的你是一名宇航员,登陆月球后,要测量月球表面的重力加速度,请简要写出一种测量方案。
5.宇航员在一星球表面附近高h处,以初速度v0竖直向上抛出一小球,经过时间t小球落到星球表面。已知该星球的半径为R,引力常量为G,不计星球表面的气体阻力,则该星球表面的重力加速度和星球质量分别为多大?
题组二 计算天体的密度
6.(2021山东东营广饶一中月考)2020年3月9日,我国成功发射第54颗北斗导航卫星。若将北斗导航卫星绕地球的运动近似看作是匀速圆周运动,运行轨道距地面的高度为h,运行周期为T,已知引力常量为G,地球半径为R。则地球质量M和地球的平均密度分别为( )
A.4π2(R+ℎ)3GT2 3π(R+ℎ)3GT2R3
B.4π2(R+ℎ)3GT2 6π(R+ℎ)3GT2R3
C.4π2(R+ℎ)33GT2 3π(R+ℎ)3GT2R3
D.4π2(R+ℎ)33GT2 6π(R+ℎ)3GT2R3
7.(2022四川南充高级中学期中)假设地球可视为质量均匀分布的球体,已知地球表面重力加速度在两极为g0,在赤道为g;地球自转周期为T,引力常量为G。则地球的密度为( )
A.3π(g0−g)GT2g0 B.3πg0GT2(g0−g)
C.3πGT2 D.3πg0GT2g
8.土星和地球均可近似看成球体,土星的半径约为地球半径的9.5倍,土星的质量约为地球质量的95倍,已知地球表面的重力加速度g0=10 m/s2,地球密度约为ρ0=5.5×103 kg/m3,试计算:
(1)土星的密度;
(2)土星表面的重力加速度。
题组三 重力与万有引力的关系
9.(2021吉林长春九台师范高中第一阶段考试)假如地球的自转角速度增大,关于物体的重力,下列说法错误的是( )
A.放在赤道上的物体受到的万有引力不变
B.放在两极上的物体的重力不变
C.放在赤道上的物体的重力减小
D.放在两极上的物体的重力增大
10.(2023山东济宁曲阜孔子高中月考)设地球表面的重力加速度为g0,物体在距地心4R(R是地球半径)处,由于地球的作用而产生的加速度为g,则gg0为( )
A.1 B.19 C.14 D.116
11.一个物体在地球表面所受的重力大小为G,若不计地球自转的影响,则在距地球表面的高度为地球半径的2倍处,物体所受地球对它的万有引力大小为( )
A.G3 B.G6 C.G8 D.G9
能力提升练
题组一 计算天体的质量
1.(2023福建厦门一中二模)某学习小组分别查阅了木星和土星的多个卫星轨道半长轴a和周期T的数据,并绘制了如图所示的a32-T图像,各物理量的单位已在图上标出(周期的单位是天)。根据图像判断木星质量M1与土星质量M2的关系约为( )
A.M1=1.8M2 B.M1=3.3M2
C.M1=4.0M2 D.M1=5.4M2
2.(多选题)(2023山东烟台一中模拟)2022年2月,有科学家报告了迄今观测到的最大星系——“阿尔库俄纽斯”,它离地球30亿光年,自身横跨1 630万光年。星系中心有一个超大质量的黑洞,若观测到绕该黑洞做圆周运动的天体A的角速度为ωA,到黑洞中心的距离为RA,天体B绕黑洞运动的周期与地球绕太阳转动的周期相同,为T。已知地球中心到太阳中心的距离为R,则下列说法正确的是( )
A.该黑洞质量是太阳质量的ωA2T2R34π2RA3倍
B.该黑洞质量是太阳质量的ωA2RA3T24π2R3倍
C.天体B到该黑洞中心的距离为RA3ωA2T24π2
D.天体B到该黑洞中心的距离为ωAT2πRA3
题组二 计算天体的密度
3.(2021湖南长沙月考)2021年2月5日,我国首个火星探测器“天问一号”传回了火星照片,如图所示。假设多年以后,小明作为一位火星移民,于太阳光直射赤道的某天晚上,在火星赤道上某处仰望天空。某时,他在西边的地平线附近恰能看到一颗火星人造卫星出现,之后极快地变暗而看不到了,他记下此时正是火星上日落后约4小时5分。后来小明得知这是我国火星基地发射的一颗绕火星自西向东运动的周期为T的探测卫星,查阅资料得知火星自西向东自转且周期约为24小时30分,已知引力常量为G。根据以上信息,分析可得火星密度为 ( )
A.3π3GT2 B.24πGT2 C.83π3GT2 D.93πGT2
4.(多选题)(2023山东泰安肥城六中阶段性测试)若宇航员在月球表面附近高为h处以初速度v0水平抛出一个小球,测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R,引力常量为G。下列说法中正确的是( )
A.月球表面的重力加速度g月=2ℎv02L2
B.月球的质量m月=2R2v02GL2
C.月球的自转周期T=2πRv0
D.月球的平均密度ρ=3ℎv022πGRL2
5.(2022四川成都二模)2021年2月24日6时29分,我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动,进入火星停泊轨道(如图所示的椭圆轨道)。若火星可视为半径为R的质量均匀分布的球体,火星停泊轨道的近火点P离火星表面的距离为L1,远火点Q离火星表面的距离为L2,已知探测器在轨道上运行的周期为T,L1+L2≈18R,引力常量为G。则火星的密度约为( )
A.3000πGT2 B.2187πGT2
C.300πGT2 D.243πGT2
6.(2022福建泉州检测)某宇航员乘坐宇宙飞船登陆到半径为R的某行星表面后,为了测定该行星的平均密度,他利用摆长为L的圆锥摆去测定该行星表面的重力加速度,如图所示,某次测得连接小球的悬线与竖直方向间的夹角为θ时,圆锥摆的周期为T,该行星自转的影响可忽略,引力常量为G,求:
(1)该行星表面的重力加速度g;
(2)该行星的平均密度ρ。
题组三 重力与万有引力的关系
7.(2022宁夏银川一中期中)英国杂志评选出了2008年度世界8项科学之最,在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中。若某黑洞的半径R约4.5 km,质量M和半径R的关系满足MR=c22G(其中c为光速,G为引力常量),则该黑洞表面重力加速度的数量级为( )
A.1014 m/s2 B.1013 m/s2
C.1012 m/s2 D.1010 m/s2
8.(2021山西忻州岢岚月考)理论上已经证明,质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体,将一个铁球分别放在地面以下R2深处和放在地面上方R2高度处,则铁球受到地球对它的万有引力之比为( )
A.9∶8 B.8∶9 C.3∶2 D.2∶3
9.(2023山东烟台招远一中期中)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下,需要验证( )
A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的13600
B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的13600
C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的16
D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的160
答案与分层梯度式解析
第4章 万有引力定律及航天
第2节 万有引力定律的应用
第3节 人类对太空的不懈探索
第1课时 万有引力定律的应用
基础过关练
1.D 根据GMmR2=mg可得,地球的质量为M=gR2G≈6.0×1024 kg,D正确。
2.A 星球表面的物体受到的重力等于万有引力,即GMmR2=mg,得M=R2gG,所以M火M地=R火2g火R地2g地,所以M火=R火2g火R地2g地M地,故选A。
3.D 火星绕太阳公转时由万有引力提供向心力,故有GM火M太R2=M火2πT22R;同理,“天问一号”探测器绕火星运动时,有GM火M卫(r2+ℎ)2=M卫2πT12(r2+h),联立解得M火M太=T2T12·r2+ℎR3,选项D正确。
4.答案 (1)4π2(R+ℎ)3GT2 (2)4π2(R+ℎ)3T2R2 (3)见解析
解析 (1)设嫦娥五号的质量为m,根据万有引力提供向心力得
GMm(R+ℎ)2=m4π2T2(R+h)
解得M=4π2(R+ℎ)3GT2
(2)设月球表面上一个物体的质量为m',则
GMm'R2=m'g
所以g=4π2(R+ℎ)3T2R2
(3)答案合理即可。例如:用弹簧测力计测出一个质量为m0的钩码的重力G,则月球表面的重力加速度g=Gm0;在距月球表面高h处,由静止释放一个小钢球,测出其运动时间t,则月球表面的重力加速度g=2ℎt2;在月球表面某一高度释放手机,利用手机内的加速度传感器测月球表面的重力加速度。
5.答案 2(ℎ+v0t)t2 2(ℎ+v0t)R2Gt2
解析 设该星球表面的重力加速度为g0,依题意有
-h=v0t-12g0t2
解得g0=2(ℎ+v0t)t2
在星球表面,物体的重力等于万有引力,有
mg0=GMmR2
解得该星球质量
M=g0R2G=2(ℎ+v0t)R2Gt2
6.A 设卫星的质量为m,地球平均密度为ρ,由万有引力提供向心力有GMm(R+ℎ)2=m2πT2(R+h),解得M=4π2(R+ℎ)3GT2,又有M=ρ·43πR3,由以上两式解得ρ=3π(R+ℎ)3GT2R3,所以A正确,B、C、D错误。
7.B 设地球半径为R,在两极,物体所受地球的万有引力等于重力,则有mg0=GMmR2,由此可得地球质量为M=g0R2G;在赤道处,物体所受地球的万有引力与支持力的合力提供向心力,支持力与重力大小相等,由牛顿第二定律得,GMmR2-mg=m2πT2R,地球的密度为ρ=MV=M43πR3,联立解得ρ=3πg0GT2(g0−g),故选B。
8.答案 (1)0.61×103 kg/m3 (2)10.5 m/s2
解析 (1)星体的密度ρ=MV=M43πR3,则ρρ0=M·R03M0·R3=959.53≈0.11,故土星的密度ρ=0.11ρ0≈0.61×103 kg/m3。
(2)根据星球表面的物体受到的万有引力近似等于物体的重力,有
mg=GMmR2
解得g=GMR2
则gg0=M·R02M0·R2=959.52≈1.05
所以土星表面的重力加速度g=1.05g0=10.5 m/s2。
9.D 地球的自转角速度增大,地球上所有物体受到的万有引力不变,选项A说法正确;在两极,物体受到的重力等于万有引力,万有引力不变,故其重力不变,选项B说法正确,D说法错误;放在赤道上的物体,F引=G+mω2R,由于ω增大,而F引不变,则G减小,C说法正确。
10.D 设距地心4R的物体质量为m,则有GMm16R2=mg,假设在地球表面上放置一个质量为m0的物体,则有GMm0R2=m0g0,两式联立得gg0=GM16R2GMR2=116,A、B、C错误,D正确。故选D。
11.D 设引力常量为G0,由于不计地球自转影响,则物体在地球表面所受重力等于地球对其的万有引力,即G=G0MmR2;物体在距地面高度为地球半径2倍处,距地心的距离为3R,所以万有引力F=G0Mm(3R)2=19G0MmR2=19G,故D正确。
能力提升练
1.B 由万有引力提供向心力得GMmr2=m4π2T2r,则有r3T2=GM4π2,说明k=r3T2只与中心天体的质量有关。根据开普勒第三定律a3T2=k得a32=kT,则a32-T图线的斜率为k,对木星有,k1=1.5×105km10d32①,对土星有,k2=1×105km3212d②,①②两式相比得k1k2=1.8,则木星与土星质量之比为M1M2=k1k2=1.82=3.24,即木星与土星的质量关系约为M1=3.3M2,故选B。
2.BC 设黑洞的质量为M1,太阳质量为M2,地球质量为m,对天体A和地球各自的运动根据牛顿第二定律有
GM1mARA2=mAωA2RA①
GM2mR2=m4π2T2R②
联立①②解得M1M2=ωA2RA3T24π2R3,则M1=ωA2RA3T24π2R3M2,故A错误,B正确;
天体A的运动周期为
TA=2πωA
对天体A、B由开普勒第三定律有
RA3TA2=RB3T2
解得RB=RA3ωA2T24π2
故C正确,D错误。故选B、C。
3.C 火星自转周期约为24小时30分,日落后4小时5分,此时火星相对于日落时转过的角度为60°,卫星的位置如图所示,由图知Rr=cs 30°;设火星的质量为M,卫星的质量为m,根据万有引力提供向心力,可得GMmr2=m2πT2r,火星密度为ρ=M43πR3,联立解得ρ=83π3GT2,选项C正确。
4.AD 由平抛运动规律得L=v0t,h=12g月t2,解得月球表面的重力加速度g月=2ℎv02L2,A正确;在月球表面有,Gm月mR2=mg月,解得m月=2R2ℎv02GL2,B错误;月球的自转周期T=2πRv自转≠2πRv0,C错误;月球的平均密度ρ=m月V月=2R2ℎv02GL243πR3=3ℎv022πGRL2,D正确。故选A、D。
5.A 火星停泊轨道的半长轴为r=L1+L2+2R2=10R,设火星的近火卫星的周期为T0,由开普勒第三定律可得r3T2=R3T02,解得T0=T2103,对近火卫星,万有引力提供向心力,则有GMmR2=m2πT02R,解得M=4π2R3GT02=4000π2R3GT2,火星的体积V=43πR3,则火星的密度ρ=MV=3000πGT2,A正确,B、C、D错误。
6.答案 (1)4π2LcsθT2,方向竖直向下
(2)3πLcsθGRT2
解析 (1)对小球受力分析如图
小球重力和悬线拉力的合力提供小球做圆周运动的向心力,则有
mg tan θ=m4π2T2L sin θ
可得该行星表面的重力加速度g=4π2LcsθT2,方向竖直向下。
(2)在该行星的表面,忽略该行星的自转,则有
GMmR2=mg
可得该行星的质量M=gR2G
则该行星的平均密度ρ=M43πR3=3πLcsθGRT2。
7.B 黑洞实际为一天体,天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力,对黑洞表面的某一质量为m的物体有GMmR2=mg,由题知MR=c22G,联立解得g=c22R,代入数据得重力加速度的数量级为1013 m/s2,故选B。
8.A 设地球的密度为ρ,铁球质量为m,则在地面以下R2深处,铁球受到地球对它的万有引力大小为F1=Gρ·4π3·R23R22m,在地面上方R2高处,铁球受到地球对它的万有引力大小为F2=Gρ·4π3·R33R22m,可得F1F2=98,选A。
9.B 设月球质量为M月,地球质量为M,苹果质量为m,则月球受到的万有引力为F月=GMM月(60r)2,苹果受到的万有引力为F=GMmr2,由于月球质量和苹果质量之间的关系未知,故二者之间万有引力的关系无法确定,故选项A错误;根据牛顿第二定律,对月球和苹果分别得GMM月(60r)2=M月a月、GMmr2=ma,整理可得a月=13600a,故选项B正确;在地球表面处有GMm'R地2=m'g地,在月球表面处有GM月m'r月2=m'g月,由于地球和月球本身的半径大小、质量大小关系未知,故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系,也无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面受到的引力之间的关系,故选项C、D错误。故选B。1.D
2.A
3.D
6.A
7.B
9.D
10.D
11.D
1.B
2.BC
3.C
4.AD
5.A
7.B
8.A
9.B
第1课时 万有引力定律的应用
基础过关练
题组一 计算天体的质量
1.已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,重力加速度g取9.8 m/s2,地球半径R=6.4×106 m,则可知地球质量的数量级是( )
A.1018 kg B.1020 kg
C.1022 kg D.1024 kg
2.(2023山东菏泽鄄城一中月考)已知地球表面重力加速度为g地、地球的半径为R地,地球的质量为M地,火星的半径为R火,某飞船飞到火星上测得火星表面的重力加速度为g火,由此可得火星的质量为( )
A.g火R火2g地R地2M地 B.g地R地2g火R火2M地
C.g火2R火g地2R地M地 D.g火R火g地R地M地
3.(2021安徽安庆月考)2021年2月10日,我国首次火星探测任务——“天问一号”火星探测器实施近火捕获制动,开启了环绕火星之旅。假设“天问一号”探测器在绕火星做圆周运动时距火星表面高为h,绕行的周期为T1;火星绕太阳公转的周期为T2,公转半径为R。太阳半径为r1,火星半径为r2。若忽略其他星球对“天问一号”探测器的影响,则火星与太阳的质量之比为( )
A.R3r13 B.R3T22r13T12
C.r2+ℎR3 D.T2T12·r2+ℎR3
4.(2021江苏南通期末)嫦娥五号是我国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。2020年11月29日,嫦娥五号从椭圆环月轨道变轨到圆形环月轨道,圆形环月轨道对应的周期为T,离月面高度为h,如图所示。已知月球半径为R,引力常量为G。
(1)求月球的质量M;
(2)求月球表面的重力加速度大小g;
(3)假设未来的你是一名宇航员,登陆月球后,要测量月球表面的重力加速度,请简要写出一种测量方案。
5.宇航员在一星球表面附近高h处,以初速度v0竖直向上抛出一小球,经过时间t小球落到星球表面。已知该星球的半径为R,引力常量为G,不计星球表面的气体阻力,则该星球表面的重力加速度和星球质量分别为多大?
题组二 计算天体的密度
6.(2021山东东营广饶一中月考)2020年3月9日,我国成功发射第54颗北斗导航卫星。若将北斗导航卫星绕地球的运动近似看作是匀速圆周运动,运行轨道距地面的高度为h,运行周期为T,已知引力常量为G,地球半径为R。则地球质量M和地球的平均密度分别为( )
A.4π2(R+ℎ)3GT2 3π(R+ℎ)3GT2R3
B.4π2(R+ℎ)3GT2 6π(R+ℎ)3GT2R3
C.4π2(R+ℎ)33GT2 3π(R+ℎ)3GT2R3
D.4π2(R+ℎ)33GT2 6π(R+ℎ)3GT2R3
7.(2022四川南充高级中学期中)假设地球可视为质量均匀分布的球体,已知地球表面重力加速度在两极为g0,在赤道为g;地球自转周期为T,引力常量为G。则地球的密度为( )
A.3π(g0−g)GT2g0 B.3πg0GT2(g0−g)
C.3πGT2 D.3πg0GT2g
8.土星和地球均可近似看成球体,土星的半径约为地球半径的9.5倍,土星的质量约为地球质量的95倍,已知地球表面的重力加速度g0=10 m/s2,地球密度约为ρ0=5.5×103 kg/m3,试计算:
(1)土星的密度;
(2)土星表面的重力加速度。
题组三 重力与万有引力的关系
9.(2021吉林长春九台师范高中第一阶段考试)假如地球的自转角速度增大,关于物体的重力,下列说法错误的是( )
A.放在赤道上的物体受到的万有引力不变
B.放在两极上的物体的重力不变
C.放在赤道上的物体的重力减小
D.放在两极上的物体的重力增大
10.(2023山东济宁曲阜孔子高中月考)设地球表面的重力加速度为g0,物体在距地心4R(R是地球半径)处,由于地球的作用而产生的加速度为g,则gg0为( )
A.1 B.19 C.14 D.116
11.一个物体在地球表面所受的重力大小为G,若不计地球自转的影响,则在距地球表面的高度为地球半径的2倍处,物体所受地球对它的万有引力大小为( )
A.G3 B.G6 C.G8 D.G9
能力提升练
题组一 计算天体的质量
1.(2023福建厦门一中二模)某学习小组分别查阅了木星和土星的多个卫星轨道半长轴a和周期T的数据,并绘制了如图所示的a32-T图像,各物理量的单位已在图上标出(周期的单位是天)。根据图像判断木星质量M1与土星质量M2的关系约为( )
A.M1=1.8M2 B.M1=3.3M2
C.M1=4.0M2 D.M1=5.4M2
2.(多选题)(2023山东烟台一中模拟)2022年2月,有科学家报告了迄今观测到的最大星系——“阿尔库俄纽斯”,它离地球30亿光年,自身横跨1 630万光年。星系中心有一个超大质量的黑洞,若观测到绕该黑洞做圆周运动的天体A的角速度为ωA,到黑洞中心的距离为RA,天体B绕黑洞运动的周期与地球绕太阳转动的周期相同,为T。已知地球中心到太阳中心的距离为R,则下列说法正确的是( )
A.该黑洞质量是太阳质量的ωA2T2R34π2RA3倍
B.该黑洞质量是太阳质量的ωA2RA3T24π2R3倍
C.天体B到该黑洞中心的距离为RA3ωA2T24π2
D.天体B到该黑洞中心的距离为ωAT2πRA3
题组二 计算天体的密度
3.(2021湖南长沙月考)2021年2月5日,我国首个火星探测器“天问一号”传回了火星照片,如图所示。假设多年以后,小明作为一位火星移民,于太阳光直射赤道的某天晚上,在火星赤道上某处仰望天空。某时,他在西边的地平线附近恰能看到一颗火星人造卫星出现,之后极快地变暗而看不到了,他记下此时正是火星上日落后约4小时5分。后来小明得知这是我国火星基地发射的一颗绕火星自西向东运动的周期为T的探测卫星,查阅资料得知火星自西向东自转且周期约为24小时30分,已知引力常量为G。根据以上信息,分析可得火星密度为 ( )
A.3π3GT2 B.24πGT2 C.83π3GT2 D.93πGT2
4.(多选题)(2023山东泰安肥城六中阶段性测试)若宇航员在月球表面附近高为h处以初速度v0水平抛出一个小球,测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R,引力常量为G。下列说法中正确的是( )
A.月球表面的重力加速度g月=2ℎv02L2
B.月球的质量m月=2R2v02GL2
C.月球的自转周期T=2πRv0
D.月球的平均密度ρ=3ℎv022πGRL2
5.(2022四川成都二模)2021年2月24日6时29分,我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动,进入火星停泊轨道(如图所示的椭圆轨道)。若火星可视为半径为R的质量均匀分布的球体,火星停泊轨道的近火点P离火星表面的距离为L1,远火点Q离火星表面的距离为L2,已知探测器在轨道上运行的周期为T,L1+L2≈18R,引力常量为G。则火星的密度约为( )
A.3000πGT2 B.2187πGT2
C.300πGT2 D.243πGT2
6.(2022福建泉州检测)某宇航员乘坐宇宙飞船登陆到半径为R的某行星表面后,为了测定该行星的平均密度,他利用摆长为L的圆锥摆去测定该行星表面的重力加速度,如图所示,某次测得连接小球的悬线与竖直方向间的夹角为θ时,圆锥摆的周期为T,该行星自转的影响可忽略,引力常量为G,求:
(1)该行星表面的重力加速度g;
(2)该行星的平均密度ρ。
题组三 重力与万有引力的关系
7.(2022宁夏银川一中期中)英国杂志评选出了2008年度世界8项科学之最,在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中。若某黑洞的半径R约4.5 km,质量M和半径R的关系满足MR=c22G(其中c为光速,G为引力常量),则该黑洞表面重力加速度的数量级为( )
A.1014 m/s2 B.1013 m/s2
C.1012 m/s2 D.1010 m/s2
8.(2021山西忻州岢岚月考)理论上已经证明,质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体,将一个铁球分别放在地面以下R2深处和放在地面上方R2高度处,则铁球受到地球对它的万有引力之比为( )
A.9∶8 B.8∶9 C.3∶2 D.2∶3
9.(2023山东烟台招远一中期中)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下,需要验证( )
A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的13600
B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的13600
C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的16
D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的160
答案与分层梯度式解析
第4章 万有引力定律及航天
第2节 万有引力定律的应用
第3节 人类对太空的不懈探索
第1课时 万有引力定律的应用
基础过关练
1.D 根据GMmR2=mg可得,地球的质量为M=gR2G≈6.0×1024 kg,D正确。
2.A 星球表面的物体受到的重力等于万有引力,即GMmR2=mg,得M=R2gG,所以M火M地=R火2g火R地2g地,所以M火=R火2g火R地2g地M地,故选A。
3.D 火星绕太阳公转时由万有引力提供向心力,故有GM火M太R2=M火2πT22R;同理,“天问一号”探测器绕火星运动时,有GM火M卫(r2+ℎ)2=M卫2πT12(r2+h),联立解得M火M太=T2T12·r2+ℎR3,选项D正确。
4.答案 (1)4π2(R+ℎ)3GT2 (2)4π2(R+ℎ)3T2R2 (3)见解析
解析 (1)设嫦娥五号的质量为m,根据万有引力提供向心力得
GMm(R+ℎ)2=m4π2T2(R+h)
解得M=4π2(R+ℎ)3GT2
(2)设月球表面上一个物体的质量为m',则
GMm'R2=m'g
所以g=4π2(R+ℎ)3T2R2
(3)答案合理即可。例如:用弹簧测力计测出一个质量为m0的钩码的重力G,则月球表面的重力加速度g=Gm0;在距月球表面高h处,由静止释放一个小钢球,测出其运动时间t,则月球表面的重力加速度g=2ℎt2;在月球表面某一高度释放手机,利用手机内的加速度传感器测月球表面的重力加速度。
5.答案 2(ℎ+v0t)t2 2(ℎ+v0t)R2Gt2
解析 设该星球表面的重力加速度为g0,依题意有
-h=v0t-12g0t2
解得g0=2(ℎ+v0t)t2
在星球表面,物体的重力等于万有引力,有
mg0=GMmR2
解得该星球质量
M=g0R2G=2(ℎ+v0t)R2Gt2
6.A 设卫星的质量为m,地球平均密度为ρ,由万有引力提供向心力有GMm(R+ℎ)2=m2πT2(R+h),解得M=4π2(R+ℎ)3GT2,又有M=ρ·43πR3,由以上两式解得ρ=3π(R+ℎ)3GT2R3,所以A正确,B、C、D错误。
7.B 设地球半径为R,在两极,物体所受地球的万有引力等于重力,则有mg0=GMmR2,由此可得地球质量为M=g0R2G;在赤道处,物体所受地球的万有引力与支持力的合力提供向心力,支持力与重力大小相等,由牛顿第二定律得,GMmR2-mg=m2πT2R,地球的密度为ρ=MV=M43πR3,联立解得ρ=3πg0GT2(g0−g),故选B。
8.答案 (1)0.61×103 kg/m3 (2)10.5 m/s2
解析 (1)星体的密度ρ=MV=M43πR3,则ρρ0=M·R03M0·R3=959.53≈0.11,故土星的密度ρ=0.11ρ0≈0.61×103 kg/m3。
(2)根据星球表面的物体受到的万有引力近似等于物体的重力,有
mg=GMmR2
解得g=GMR2
则gg0=M·R02M0·R2=959.52≈1.05
所以土星表面的重力加速度g=1.05g0=10.5 m/s2。
9.D 地球的自转角速度增大,地球上所有物体受到的万有引力不变,选项A说法正确;在两极,物体受到的重力等于万有引力,万有引力不变,故其重力不变,选项B说法正确,D说法错误;放在赤道上的物体,F引=G+mω2R,由于ω增大,而F引不变,则G减小,C说法正确。
10.D 设距地心4R的物体质量为m,则有GMm16R2=mg,假设在地球表面上放置一个质量为m0的物体,则有GMm0R2=m0g0,两式联立得gg0=GM16R2GMR2=116,A、B、C错误,D正确。故选D。
11.D 设引力常量为G0,由于不计地球自转影响,则物体在地球表面所受重力等于地球对其的万有引力,即G=G0MmR2;物体在距地面高度为地球半径2倍处,距地心的距离为3R,所以万有引力F=G0Mm(3R)2=19G0MmR2=19G,故D正确。
能力提升练
1.B 由万有引力提供向心力得GMmr2=m4π2T2r,则有r3T2=GM4π2,说明k=r3T2只与中心天体的质量有关。根据开普勒第三定律a3T2=k得a32=kT,则a32-T图线的斜率为k,对木星有,k1=1.5×105km10d32①,对土星有,k2=1×105km3212d②,①②两式相比得k1k2=1.8,则木星与土星质量之比为M1M2=k1k2=1.82=3.24,即木星与土星的质量关系约为M1=3.3M2,故选B。
2.BC 设黑洞的质量为M1,太阳质量为M2,地球质量为m,对天体A和地球各自的运动根据牛顿第二定律有
GM1mARA2=mAωA2RA①
GM2mR2=m4π2T2R②
联立①②解得M1M2=ωA2RA3T24π2R3,则M1=ωA2RA3T24π2R3M2,故A错误,B正确;
天体A的运动周期为
TA=2πωA
对天体A、B由开普勒第三定律有
RA3TA2=RB3T2
解得RB=RA3ωA2T24π2
故C正确,D错误。故选B、C。
3.C 火星自转周期约为24小时30分,日落后4小时5分,此时火星相对于日落时转过的角度为60°,卫星的位置如图所示,由图知Rr=cs 30°;设火星的质量为M,卫星的质量为m,根据万有引力提供向心力,可得GMmr2=m2πT2r,火星密度为ρ=M43πR3,联立解得ρ=83π3GT2,选项C正确。
4.AD 由平抛运动规律得L=v0t,h=12g月t2,解得月球表面的重力加速度g月=2ℎv02L2,A正确;在月球表面有,Gm月mR2=mg月,解得m月=2R2ℎv02GL2,B错误;月球的自转周期T=2πRv自转≠2πRv0,C错误;月球的平均密度ρ=m月V月=2R2ℎv02GL243πR3=3ℎv022πGRL2,D正确。故选A、D。
5.A 火星停泊轨道的半长轴为r=L1+L2+2R2=10R,设火星的近火卫星的周期为T0,由开普勒第三定律可得r3T2=R3T02,解得T0=T2103,对近火卫星,万有引力提供向心力,则有GMmR2=m2πT02R,解得M=4π2R3GT02=4000π2R3GT2,火星的体积V=43πR3,则火星的密度ρ=MV=3000πGT2,A正确,B、C、D错误。
6.答案 (1)4π2LcsθT2,方向竖直向下
(2)3πLcsθGRT2
解析 (1)对小球受力分析如图
小球重力和悬线拉力的合力提供小球做圆周运动的向心力,则有
mg tan θ=m4π2T2L sin θ
可得该行星表面的重力加速度g=4π2LcsθT2,方向竖直向下。
(2)在该行星的表面,忽略该行星的自转,则有
GMmR2=mg
可得该行星的质量M=gR2G
则该行星的平均密度ρ=M43πR3=3πLcsθGRT2。
7.B 黑洞实际为一天体,天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力,对黑洞表面的某一质量为m的物体有GMmR2=mg,由题知MR=c22G,联立解得g=c22R,代入数据得重力加速度的数量级为1013 m/s2,故选B。
8.A 设地球的密度为ρ,铁球质量为m,则在地面以下R2深处,铁球受到地球对它的万有引力大小为F1=Gρ·4π3·R23R22m,在地面上方R2高处,铁球受到地球对它的万有引力大小为F2=Gρ·4π3·R33R22m,可得F1F2=98,选A。
9.B 设月球质量为M月,地球质量为M,苹果质量为m,则月球受到的万有引力为F月=GMM月(60r)2,苹果受到的万有引力为F=GMmr2,由于月球质量和苹果质量之间的关系未知,故二者之间万有引力的关系无法确定,故选项A错误;根据牛顿第二定律,对月球和苹果分别得GMM月(60r)2=M月a月、GMmr2=ma,整理可得a月=13600a,故选项B正确;在地球表面处有GMm'R地2=m'g地,在月球表面处有GM月m'r月2=m'g月,由于地球和月球本身的半径大小、质量大小关系未知,故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系,也无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面受到的引力之间的关系,故选项C、D错误。故选B。1.D
2.A
3.D
6.A
7.B
9.D
10.D
11.D
1.B
2.BC
3.C
4.AD
5.A
7.B
8.A
9.B
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